Tải từ trang web trường Phổ thông Việt-Úc Hà Nội: www.vashanoi.edu.vn HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 HÀ NỘI NĂM 2013 Bài I: (2,0 ñiểm) 1) Với x = 64 ta có A = + 64 + = = 64 2) B= ( x − 1).( x + x ) + (2 x + 1) x x x + x = = 1+ = x ( x + x ) x x+x x +1 x +2 x +1 3) Với x > ta có : A 2+ x 2+ x > ⇔ > ⇔ : B x x +1 x +1 > x ⇔ x + > x ⇔ x < ⇔ < x < 4.( Do x > 0) Bài II: (2,0 ñiểm) ðặt x (km/h) vận tốc ñi từ A ñến B, vận tốc ñi từ B ñến A x + (km/h) Do giả thiết ta có: 90 90 10 10 + = 5− ⇔ + = ⇔ x( x + 9) = 20(2 x + 9) x x +9 x x+9 2 ⇔ x − 31x − 180 = ⇔ x = 36 (vì x > 0) Bài III: (2,0 điểm) 1) Hệ phương trình tương đương với: 3x + + 2x + 4y = 5x + 4y = 5x + 4y = 11x = 11 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 4x + − x − 2y = 3x − 2y = 6x − 4y = 10 6x − 4y = 10 y = −1 2) a) Với m = ta có phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) x = x + ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 hay x = (Do a – b + c = 0) 2 9 Ta có y (-1)= ; y(3) = Vậy tọa ñộ giao ñiểm A B (-1; ) (3; ) 2 2 b) Phươnh trình hồnh ñộ giao ñiểm (P) (d) x = mx − m + m + ⇔ x − 2mx + m − 2m − = (*) 2 ðể (d) cắt (P) ñiểm phân biệt x1 , x2 phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt Khi ∆ ' = m − m + 2m + > ⇔ m > −1 Khi m > -1 ta có x1 − x2 = ⇔ x12 + x22 − x1 x = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x = ⇔ 4m − 4(m − 2m − 2) = ⇔ 8m = −4 ⇔ m = − Cách giải khác: Khi m > -1 ta có x1 − x2 = ⇔ −b + ∆ ' −b − ∆ ' − = ∆ ' = 2m + a' a' Do đó, u cầu tốn ⇔ 2m + = ⇔ m + = ⇔ 2m + = ⇔ m = − Bài IV (3,5 ñiểm) 1/ Xét tứ giác AMON có hai góc đối K = 900 ANO Q = 900 nên tứ giác nội tiếp AMO M T 2/ Hai tam giác ABM AMC đồng dạng C I nên ta có AB AC = AM2 = AN2 = 62 = 36 H A B 62 62 ⇒ AC = = = (cm) P O AB ⇒ BC = AC − AB = − = 5(cm) N = MON = AON (cùng chắn cung 3/ MTN = AON MN ñường trịn (O)), AIN (do điểm N, I, M nằm đường trịn đường kính AO chắn cung 900) = TIC nên MT // AC có hai góc so le Vậy AIN = MTI 4/ Xét ∆AKO có AI vng góc với KO Hạ OQ vng góc với AK Gọ i H giao điểm OQ AI H trực tâm ∆AKO , nên KMH vuông góc với AO Vì MHN vng góc với AO nên đường thẳng KMHN vng góc với AO, nên KM vng góc với AO Vậy K nằm đường thẳng cố ñịnh MN BC di chuyển Cách giải khác: Ta có KB2 = KC2 = KI.KO Nên K nằm trục đẳng phương đường trịn tâm O đường trịn đường kính AO Vậy K nằm đường thẳng MN trục đẳng phương đường trịn Bài IV: (0,5 ñiểm) Từ giả thiết ñã cho ta có 1 1 1 + + + + + = Theo bất ñẳng thức Cauchy ta ab bc ca a b c có: 1 1 1 1 1 1 , + ≥ , + + ≥ ≥ a b ab b c bc c a ca 1 1 1 + ≥ , + 1 ≥ , + ≥ 2a a 2b b 2c c Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có: 3 1 1 3 1 1 + + + ≥ ⇔ + + ≥ 6− = 2a b c 2 a b c 2 1 ⇔ + + ≥ (ñiều phải chứng minh) a b c