Động lực học

Các vấn đề liên quan đến động lực học: hệ tiên đề động lực học, Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ, Các định lý tổng quát động lực học, Phương pháp Lagrange trong đ

ĐỘNG LỰC HỌC

Mục lục Bài mở đầu

Chương I Các khái niệm cơ bản Hệ tiên đề động lực học

§1 Các khái niệm cơ bản

1 Mô hình các vật thể chuyển động

2 Hệ quy chiếu quán tính

3 Khái niệm cơ bản về lực

a Mô men của lực đối với một điểm

b Tiên đề giải phóng liên kết

Chương II Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ

§1 Phương trình vi phân chụyển động của chất điểm

1 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

2 Các bài toán động lực học chất điểm

a Bài toán thuận Ví dụ

b Bài toán ngược Ví dụ

3 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính

§2 Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ

1 Hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ

a Trong hệ quy chiếu quán tính

b Trong hệ quy chiếu không quán tính

2 Ví dụ

Chương III Các định lý tổng quát động lực học

§1 Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

1 Khối tâm của cơ hệ

a Định nghĩa

b Khối tâm của các vật rắn đồng chất và đối xứng

c Khối tâm của hệ vật rắn

2 Mô men quán tính của vật rắn

a Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục

b Mô men quán tính của vật đối với các trục song song Định lý Steiner (Jacob Steiner (1796 – 1863))

c Mô men quán tính của vật rắn đối với các trục cắt nhau

d Ten xơ quán tính Các trục quán tính chính

§2 Định lý động lượng

1 Các định nghĩa động lượng của cơ hệ và xung lượng của lực

a Định nghĩa động lượng của chất điểm và cơ hệ

b Định nghĩa xung lượng của lực

2 Định lý động lượng

a Đối với chất điểm

b Đối với cơ hệ

3 Định luật bảo toàn động lượng

4 Các bài toán và ví dụ

5 Chuyển động của vật thể có khối lượng biến thiên

§3 Định lý mô men động lượng

1 Định nghĩa mô men động lượng

a Định nghĩa

b Mô men động lượng của vật rắn

2 Định lý mô men động lượng

a Định lý mô men động lượng của chất điểm và cơ hệ

b Định lý mô men động lượng trong chuyển động tương đối với khối tâm

3 Định luật bảo toán mô men động lượng

4 Các bài toán và ví dụ

§4 Định lý động năng

1 Các định nghĩa cơ bản

a Định nghĩa động năng Động năng của các vật rắn chuyển động

b Định nghĩa công của lực Tính công của các lực thường gặp Lực có thế

§5 Áp dụng các định lý tổng quát vào chuyển động của các vật rắn

1 Chuyển động của vật rắn quay xung quanh một trục cố định

3 Chụyển động quay của vật rắn xung quanh một điểm cố định

a Mô men động lượng đối với điểm cố định

b Lý thuyết gần đúng con quay

Chương IV Phương pháp Lagrange trong động lực học

§1 Mở đầu Các khái niệm và định nghĩa cơ bản

1 Mở đầu

2 Cơ hệ không tự do Liên kết và phân loại liên kết

a Cơ hệ không tự do Liên kết và phương trình lien kết

b Phân loại lien kết và cơ hệ

3 Toạ độ suy rộng

4 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ

a Di chụyển khả dĩ Phương trình đối với các di chuyển khả dĩ

§3 Nguyên lý D’Alembert Lagrange Phương trình Lagrange loại II

1 Nguyên lý D’Alembert – Lagrange

2 Ví dụ

ĐỘNG LỰC HỌC

Bài mở đầu

Như đã biết, các vật thể xung quanh chúng ta luôn luôn chuyển động

và tác dụng tương hỗ lẫn nhau Đối tượng nghiên cứu của Cơ học là thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng đặc trưng cho chuyển động của các vật thể

và sự tương tác giữa chúng

Phần động học đã xây dựng các đại lượng đặc trưng cho chuyển động

của các vật thể: điểm và vật rắn Phần động lực học sẽ giải quyết vấn đề

tổng quát vừa nêu ra ở trên

Để giải quyết bài toán cơ bản của cơ học đặt ra ở trên, nhiều thế hệ

các nhà cơ học, toán học như Galileo Galileé (1564 - 1642), I Newton (1642

- 1727), D’Alembert (1717 - 1783), Lagrange (1736 - 1813), Hamilton (), Xiôn kovxki (1857 - 1935), Meserxki (1859 - 1935)… đã xây dựng đươc các

cách tiếp cận khác nhau và đem lại những thành tựu quan trọng của Cơ học

và áp dụng chúng vào thực tiễn Vì vậy, chọn lọc các chất liệu cho các bài giảng là một vấn đề cấp thiết và có tầm quan trọng đặc biệt

Chúng tôi đã dựa trên hai yêu cầu chính Một là

Chất liệu sử dụng để đưa vào các bài giảng này dựa trên hai

Chương I Các khái niệm cơ bản Hệ tiên đề động lực học

§1 Các khái niệm cơ bản

1 Mô hình các vật thể chuyển động

Các đối tượng chụyển động nghiên cứu trong Cơ học gọi chung là các vật thể Các vật thể có kích thước rất bé so với các kích thước khác trong bài

toán được gọi là chất điểm Trong các tính toán ta sẽ coi chất điểm là các

điểm không có kích thước và mang vật chất

Tập hợp nhiều chất điểm trong một bài toán Cơ học gọi là Cơ hệ Trong giáo trình này ta sẽ nghiên cứu các cơ hệ sau đây:

- Các cơ hệ chứa một số hữu hạn chất điểm;

- Các cơ hệ có vô hạn chất điểm, nhưng khoảng cách giữa chúng không đổi khi chịu lực và chuyển động và gọi là vật rắn tuyệt đối

2 Hệ quy chiếu quán tính

Trong động lực học, ta khảo sát một loại hệ quy chiếu đặc biệt gọi là hệ quy chiếu quán tính

Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó một chất điểm cô lập thì đứng yên mãi mãi hoặc là chuyển động thẳng và đều

Trong thực tế, các hệ quy chiếu quán tính chỉ có thể chọn gần đúng Tuỳ theo mức độ chính xác của bài toán, người ta có thể chọn gần đúng hệ này hay hệ kia làm hệ quy chiếu quán tính Chẳng hạn, trong các bài toán thiên văn hoặc du hành vũ trụ, người ta thường lấy hệ quy chiếu gắn vào tâm mặt trời còn các trục toạ độ hướng vào các ngôi sao cố định, còn trong các bài toán kỹ thuật thông thường người ta chọn mặt đất làm các hệ quy chiếu quán tính v.v…

3 Khái niệm cơ bản về lực

a Khái niệm chung

Lực là đại lượng dùng để đo tương tác cơ học của các vật thể Tác

dụng cơ học là các tác dụng mà kết quả của nó là làm cho vật thay đổi trạng thái chuyển động hoặc là biến dạng đi Lực tác dụng giữa các vật thể biểu thị

ở cường độ, phương, chiều và điểm đặt Vì vậy, lực có thể mô hình toán học bằng một vectơ buộc Vectơ lực, ký hiệu là F

đặt tại điểm đặt của lực tác dụng, cùng phương chiều với lực tác dụng và có cường độ tỷ lệ với cường

độ của lực tác dụng Từ nay ta sẽ đồng nhất khái niệm lực tác dụng và vectơ biểu diễn lực và gọi chung là lực

b Mô men của lực đối với một điểm

b.1 Định nghĩa Mô men của lực F

đối với điểm O là vectơ, ký hiệu là

OA

r 

Vectơ mô men của lực F

theo định nghĩa sẽ vuông góc với mặt phẳng (O,F )

)

(

(1.2) trong đó d là khoảng cách từ O đến F

các thành phần của vectơ mô men của lực F

sẽ nhận dạng

zY yZ F

m Ox(  )  

;

xZ zX F

m Oy(  )  

yX xY F

trên mặt phẳng  vuông góc với , d  là

khoảng cách từ O đến F 

Ta có định nghĩa

Định nghĩa Mô men của lực

quay xung quanh

O ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu trừ trong trường hợp trái lại

d F F

m(  )    

(1.3)

Dễ nhận thấy rằng, toạ độ các điểm đặt của F

Mô men của lực F

đối với trục đi qua điểm O là hình chiếu lên trục  mô men của

nó đối với điểm O

m (F ) hc mO(F )



Để chứng minh, trước tiên ta nhận thấy rằng

và đại lượng

d F

gọi là trị số mô men của ngẫu lực

Ta đưa vào vectơ

m F F   ABF  

) ,

 (1.5) gọi là (vectơ) mô men của ngẫu lực Vectơ

) , (F F

m   

vuông góc với mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực, có chiều nhìn từ đó lại thấy chiều quay của ngẫu lực ngược

chiều kim đồng hồ và có mô đun bằng trị số mô men của ngẫu lực m

Dễ dàng chỉ ra rằng vectơ mô men của ngẫu lực bằng tổng mô men của các lực tạo thành ngẫu lực đối với điểm bất kỳ Hơn nữa, tác dụng của ngẫu lực không thay đổi nếu ta tuỳ ý thay đổi các lực tạo thành ngẫu lực

miễn sao vectơ mô men của ngẫu lực không đổi, hay nói khác đi, vectơ mô men của ngẫu lực hoàn toàn đặc trưng cho ngẫu lực đó

§2 Hệ tiên đề động lực học

Phương pháp tiên đề hay phương pháp mô hình là phương pháp nghiên cứu dựa trên sự trừu tượng hoá các đối tượng cụ thể để hình thành các khái niệm, các định nghĩa cơ bản Trên cơ sở các khái niệm và định nghĩa này người ta xây dựng một hệ các mệnh đề gốc thoả mãn các điều kiện nhất định (xem [1]) gọi là các tiên đề và từ đó bằng các lý luận logic suy diễn ra các quy luật khác Tập hợp các quy luật xây dựng được tạo thành

hệ thống lý thuyết của môn học Chính Newton đã gọi các định luật cơ bản

do ông nêu ra là các axiom (tiên đề) sử dụng các tiên đề đó để xây dựngộhc thuyết về chuyển động cơ học

1 Hệ tiên đề động lực học

Tiên đề quán tính Galileé

Một chất điểm cô lập (tức là không chịu tác dụng của lực nào) thì đứng yên mãi mãi hoặc là chuyển động thẳng và đều

Galileé là người đã phát hiện ra tiên đề này vào năm 1638 và gọi là

Định luật quán tính Tiên đề này làm cơ sở để xác định một hệ quy chiếu có

phải là hệ quán tính hay không, hay nói khác đi, nó cho ta tiêu chuẩn để xem xét tính quán tính của một hệ quy chiếu

Tiên đề 2 Tiên đề cơ bản động lực học

Dưới tác dụng của lực, chất điểm thu được gia tốc cùng chiều với lực,

có độ lớn tỷ lệ thuận với cường độ của lực

Tiên đề này có thể biểu thị bằng công thức sau

m w F

trong đó m gọi là khối lượng của chất điểm

Dễ dàng nhận thấy rằng hệ số m đặc trưng cho tính chất chống lại sự

thay đổi chuyển động do lực gây ra Tính chất này gọi là tính quán tính

của vật và do đó m thường gọi là khối lượng quán tính của vật

Đơn vị khối lượng là kg và các bội và ước của nó

Khi một chất điểm đặt trên mặt đất, nó bị trái đất tác dụng lực hút hướng về tâm trái đất gọi là trọng lực, ký hiệu là P

và sẽ rơi với gia tốc,

ký hiệu là g

gọi là gia tốc rơi tự do (hay gia tốc trọng trường) Theo tiên

đề cơ bản ta có thể viết

P g

Tiên đề 3 làm cơ sở tính toán các lực tác dụng trong cơ hệ có nhiều chất điểm

Dưới tác dụng của một hệ lực chất điểm thu được gia tốc bằng tổng hình học các gia tốc khi tác dụng riêng rẽ từng lực một vào chất điểm

Giả sử trên chất điểm tác dụng hệ lực F F Fn

, , , 2

w w

Về mặt cơ học sự ngăn cản chuyển động các chất điểm của cơ hệ, tức là

tác dụng vào các chất điểm của cơ hệ các lực Các lực do liên kết tác dụng vào các chất điểm của cơ hệ gọi là phản lực liên kết Phản lực liên kết là các

lực thụ động phụ thuộc vào các lực khác đã xác định tác dụng vào cơ hệ và

có chiều ngược với chiều ngăn cản chuyển động do liên kết gây ra Các lực xác định đặt vào các chất điểm của cơ hệ gọi là các lực hoạt động hay lực cho trước

Trong thực tế ta thường gặp các loại liên kết như liên kết tựa (Hình 6,a), liên kết dây mềm không dãn có trọng lượng không đáng kể (Hình 6,b), liên kết bản lề (Hình 6,c)

c) Các liên kết không lý tưởng Lực ma sát

Thực chất của các liên kết tựa và liên kết bản lề là sự tiếp xúc giữa hai mặt tựa Có các phản lực liên kết đã nêu ở trên, thực ra ta đã cho rằng các vật khảo sát là rắn tuyệt đối và bề mặt của chúng là trơn tuyệt đối Đó là các giả thiết lý tưởng các vật thật Trong thực tế, các vật không bao giờ rắn tuyệt đối và bề mặt của chúng không thể trơn tuyệt đối, do đó sự tiếp xúc giữa chúng không thể coi ở tại một điểm mà diễn ra trên một vùng và ở đó có một

của vật khảo sát trên mặt tiếp xúc Do vậy phản lực liên kết sẽ gồm các thành phần dưới đây:

- Phản lực pháp tuyến N

vuông góc với mặt tựa;

- Phản lực tiếp tuyến, tiếp tuyến với bề mặt mặt tựa Thành phần phản lực này gọi là lực ma sát trượt, ký hiệu là Fms

- Ngẫu lực ngăn cản sự lăn, gọi là ngẫu lực ma sát lăn, ký hiệu m l Coulomb là người đã có công lớn trong việc khảo sát quy luật ma sát giữa các mặt tựa khô của các vật tiếp xúc nhau

Định luật ma sát trượt, khô

Lực ma sát trượt (ngẫu lực ma sát lăn) xuất hiện ở nơi tiếp xúc giữa hai

bề mặt của hai vật ngăn cản sự trượt hoặc xu hướng trượt của vật nọ trên vật kia, trị số của nó tăng theo sự tăng của các lực hoạt động đến một giá trị giới hạn Khi chưa xảy ra sự trượt, lực ma sát trượt (ngẫu lực ma sát lăn) thoả mãn hệ thức giới hạn:

fN

trong đó f là hệ số ma sát trượt, còn k là hệ số ma sát lăn Các hệ số ma sát này phụ thuộc vào bản chất vật lý của các mặt tiếp xúc, không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc giữa hai vật

Tóm lại, đối với cơ hệ không tự do, các liên kết tác dụng vào cơ hệ khảo sát các phản lực lien kết Tuỳ theo tính chất của bề mặt tiếp xúảttong các trường hợp cụ thể, các bề mặt này có thể xem là không có ma sát, hoặc

có ma sát

3 Tiên đề giải phóng liên kết

Các tiên đề phát biểu ở trên được áp dụng cho các cơ hệ tự do Đối với các cơ hệ không tự do ta cần bổ sung vào 4 tiên đề đã phát biểu ở trên tiên đề giải phóng liên kết

Tiên đề 6 Tiên đề giải phóng liên kết

Cơ hệ không tự do có thể khảo sát như các cơ hệ tự do bằng cách bỏ

đi các liên kết và thay chúng bằng các phản lực liên kết

Chương II Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ

§1 Phương trình vi phân chụyển động của chất điểm

1 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Khảo sát chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính R0

Theo tiên đề 4, chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của các lực

 1 2 Tuỳ theo những điều kiện cụ thể của bài toán, ta

có thể chọn các hệ toạ độ khác nhau để viết phương trình (2.1) dưới dạng toạ

độ

1.1 Trong trường hợp tổng quát, ta chọn hệ toạ độ đề các Oxyz và chiếu

phương trình (2.1) lên hệ đã chọn với chú ý rằng

gọi là hệ phương trình vi phân

chuyển động của điểm dưới dạng

toạ độ đề các

Trong nhiều trường hợp ta

biết trước quỹ đạo chuyển động

của chất điểm, do đó ta có thể xây

dựng được hệ toạ độ tự nhiên  n b

, ,

 tại mỗi điểm trên đường cong Trong các trường hợp đó, ta thường chọn hệ toạ độ tự nhiên để viết các phương trình hình chiếu của phương trình (2.1) với chú ý rằng

n

v s

Hệ phương trình vừa viết gọi là

hệ phương trình vi phân chuyển động của điểm dưới dạng tự nhiên

Nói chung, tuỳ theo những bài toán cụ thể ta còn có thể sử dụng các

hệ toạ độ khác để viết các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm như hệ toạ độ cầu, hệ toạ độ trụ v.v…

2.Các bài toán động lực học chất điểm

a Bài toán thuận

Cho biết chuyển động của chất điểm, tìm lực tác dụng lên chất điểm

Để giải bài toán này, thoạt tiên ta tìm gia tốc của chất điểm rồi sau đó thay gia tốc tìm được vào phương trình (2.1) hoặc các phương trình ở dạng hìmh chiếu

Ví dụ 2.1 Một sàng vật liệu dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ a = 5cm Hãy xác định tần

Áp dụng phương trình (2.1)

N P

w



Bây giờ ta tìm gia tốc của hạt Do hạt nằm trên sàng nên sẽ dao động điều

hoà cùng với sàng với biên độ a Phương trình dao động của hạt do đó có

trong đó k là tần số dao động,  là pha ban đầu; k, là các hằng số Gia tốc

của hạt hướng theo phương thẳng đứng và biến đổi theo luật

P P

Hz a

g

05 , 0

8 , 9





b Bài toán ngược Ví dụ

Cho biết lực tác dụng lên chất điểm Tìm chuyển động của chất điểm (phương trình chuyển động, vận tốc … của chất điểm)

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một trong các dạng các phương trình hình chiếu (2.2), (2.3) hoặc (2.4) Khi đó ta đi đến một hệ phương trình vi phân cấp hai Từ lý thuyết phương trình vi phân thường ta biết rằng nghiệm tổng quát của các hệ phương trình vi phân phụ thuộc vào các hằng số tuỳ ý

Do đó, để tìm một dạng chuyển động cụ thể của chất điểm ta cần biết các điều kiện ban đầu Về mặt cơ học các điều kiện ban đầu thể hiện trạng thái ban đầu về vị trí và vận tốc của điểm Như thế, chẳng hạn nếu ta sử dụng hệ phương trình vi phân chuyển động dưới dạng toạ đồ đề các, thì các điều kiện ban đầu cần phải cho trước là

0 0

0 ,x(t ) x t

t  , y(t0)  y0, z(t0) z0

x (t0) x0, y (t0)  y0, z (t0) z0

Ví dụ 2.2 Viên đạn có khối lượng m được bắn lên với vận tốc ban đầu v0 lập với phương nằm ngang góc  Tìm phương trình chuyển động, quỹ đạo, độ cao và tầm xa của viên đạn Bỏ qua sức cản không khí

Bài giải