MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢPGIẢI HỆ PHƯ ƠNG TRÌNH TOÁN TỬ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Phạm Kỳ Anh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi năm Có thể tìm thấy luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội ngày tháng MỞ ĐẦU Nhiều toán khoa học kĩ thuật toán khôi phục ảnh, toán xử lý tín hiệu, toán tối ưu, toán cân v.v dẫn tới giải toán chấp nhận lồi sau Bài toán 0.1 (CFP - Convex Feasibility Problem) Cho Ci , i = 1, , N tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H Banach X Bài toán CFP phát biểu sau: Tìm điểm x ∗ cho x ∗ ∈ C := N Ci (1) i =1 Dạng đơn giản toán CFP tìm điểm chung tập lồi cho trước (dạng hiển) Khi đó, kĩ thuật phổ biến giải toán CFP sử dụng phép chiếu lên tập lồi Một số phương pháp điển phương pháp chiếu lặp (xoay vòng), phương pháp chiếu lặp đồng thời (song song) phương pháp lặp khối Tuy nhiên thực tế hầu hết tập Ci cho dạng ẩn, tức chúng nghiệm toán Một ví dụ điển hình xử lý ảnh, cần khôi phục hình ảnh ban đầu x từ quan sát f i (chẳng hạn, hình chiếu đại lượng vật lý khác liên quan tới ảnh x) Điều đưa giải hệ phương trình toán tử có dạng Fi ( x ) = f i , i = 1, , N, Ci cho dạng ẩn nghiệm phương trình Fi ( x ) = f i Trong luận án này, nghiên cứu toán chấp nhận lồi dạng tổng quát (GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem) Bài toán GCFP phát biểu sau: Bài toán 0.2 (GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem) Cho N toán P1 , P2 , , P N không gian Hilbert H Banach X tập Ci Bài toán CFP (1) cho dạng ẩn tập nghiệm N toán tương ứng Pi , i = 1, , N Bài toán GCFP cho N toán là: Tìm điểm x ∗ nghiệm chung toán P1 , P2 , , P N (2) Sau số dạng toán GCFP nghiên cứu luận án Giải hệ phương trình toán tử (SOE): Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, x ∈ X, i = 1, , N, (3) Fi : X → Y toán tử, f i ∈ Y X, Y không gian Hilbert Banach Khi đó, Pi toán giải phương trình toán tử Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = Ci tập nghiệm tương ứng Tìm điểm bất động chung họ toán tử (CFPP): Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H Banach X Si : C → C, i = 1, , N họ hữu hạn ánh xạ Bài toán CFPP cho họ ánh xạ Si , i = 1, , N tìm x ∗ ∈ C cho: x ∗ ∈ F := N F ( Si ) (4) i =1 Bài toán CFPP trường hợp riêng toán GCFP với Pi toán tìm điểm bất động ánh xạ Si Ci = F (Si ) tập điểm bất động Si Nghiệm chung bất đẳng thức biến phân (CSVIP): Cho Ai : C → X, i = 1, , N toán tử Bài toán CSVIP cho họ toán tử Ai , i = 1, , N C tìm x ∗ ∈ C cho: Ai ( x ∗ ), x − x ∗ ≥ 0, ∀ x ∈ C, i = 1, , N (5) Bài toán CSVIP dạng toán GCFP với Ci = V I ( Ai , C ) tập nghiệm bất đẳng thức biến phân cho toán tử Ai tập C Nghiệm chung toán cân (CSEP): Cho f i : C × C → ℜ, i = 1, , N song hàm Bài toán CSEP cho họ song hàm f i , i = 1, , N C tìm x ∗ ∈ C cho: f i ( x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, i = 1, , N (6) Bài toán CSEP dạng toán GCFP với Ci = EP( f i , C ) tập nghiệm toán cân cho song hàm f i tập C Ngoài toán tìm nghiệm chung nêu trên, thực tế có nhiều toán dạng GCFP khác như: Bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp (tức tìm nghiệm chung nhiều họ toán với nhau) toán tổng quát hơn, gọi toán tách, bao gồm toán chấp nhận tách, toán biến phân tách toán cân tách Trong hai thập niên gần đây, toán dạng GCFP (3) − (6) quan tâm nghiên cứu rộng rãi nhiều nhà toán học Phần lớn thuật toán giải chúng (xoay vòng) Ý tưởng chung sử dụng thuật toán biết để xấp xỉ nghiệm bước cho toán việc lặp cách luân phiên xoay vòng qua toán thành phần hệ ban đầu Đối với hệ phương trình toán tử SOE (3), không đặt điều kiện thêm lên toán tử Fi toán giải hệ phương trình Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, i = 1, , N đặt không chỉnh theo nghĩa lời giải với vế phải f i ∈ X (X ∗ ) lời giải không phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu ( Fi , f i ) Do tính không ổn định toán đặt không chỉnh nên ta cần chiến lược hiệu chỉnh toán Ý tưởng phương pháp hiệu chỉnh thay toán ban đầu họ toán đặt chỉnh mà nghiệm chúng hội tụ nghiệm toán ban đầu tham số hiệu chỉnh dần tới Hai phương pháp hiệu chỉnh phổ biến sử dụng cho toán đặt không chỉnh là: Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev Ngoài phương pháp hiệu chỉnh, phương pháp chỉnh lặp sử dụng để giải toán đặt không chỉnh Ý tưởng phương pháp chỉnh lặp kết hợp phép lặp biết với kĩ thuật hiệu chỉnh Một số phương pháp chỉnh lặp điển hình kể đến phương pháp chỉnh lặp bậc không bậc một, phương pháp chiếu-lặp hiệu chỉnh (iterative-projection regularization method), phương pháp hàm phạt (penalty method), phương pháp giảm dư (residual method), phương pháp tựa nghiệm (quasi-solution method) Hệ phương trình SOE (3) thiết lập cách tương đương với toán CFPP (4) cho họ hữu hạn ánh xạ Ti , i = 1, , N với Ti = x − Ai ( x ) Hai phương pháp lặp phổ biến cho toán FPP (Fixed Point Problem) sử dụng luận án phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Halpern Dựa hai phương pháp này, thiết kế thuật toán khác cho toán CFPP (4), chẳng hạn, để giải toán CFPP (4) cho họ ánh xạ không giãn tương đối Ti : C → C, i = 1, , N không gian Banach, năm 2011, Liu sử dụng thuật toán lặp Halpern đề xuất phương pháp lai ghép sau: Chọn x0 ∈ C    yn = J −1 (αn Jx0 + (1 − αn ) JTn(mod) N xn ),      C = {v ∈ C : φ(v, y ) ≤ α φ(v, x ) + (1 − α )φ(v, x )} , n n n n n   Qn = {v ∈ C : Jx0 − Jxn , xn − v ≥ 0} ,      x n +1 = Π Cn ∩ Q n x0 , n ≥ 0, (7) J : X → X ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ΠC phép chiếu tổng quát lên tập C không gian Banach X Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP - Variational Inequality Problem) trường hợp đặc biệt toán cân (EP - Equilibrium Problem) Phương pháp chiếu đơn giản cho toán VIP phương pháp chiếu đạo hàm (GM - Gradient Method), cần tìm phép chiếu lên tập ràng buộc Tuy nhiên, hội tụ (hội tụ yếu) phương pháp đòi hỏi toán tử đơn điệu mạnh (hoặc đơn điệu mạnh ngược) Để vượt qua khó khăn đó, năm 1976, Korpelevich đề xuất phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường (EGM - Extragradient Method) nghiên cứu toán điểm yên ngựa Phương pháp EGM thiết kế sau:   y = P ( x − λ A( x )), n n n C n  x n +1 = PC ( x n − λn A ( y n )), (8) A : H → H toán tử PC phép chiếu metric lên C Sự hội tụ phương pháp EGM đòi hỏi tính liên tục Lipschitz tính đơn điệu (hoặc giả đơn điệu) toán tử A Phương pháp điểm gần kề (PPM) cho toán EP bao gồm việc giải toán cân hiệu chỉnh (REP - Regularization Equilibrium Problem) bước lặp, nghĩa là, biết xn , xấp xỉ f f xn+1 = Tr ( xn ), r > tham số Tr giải thức song hàm f xác định f Tr ( x ) = u ∈ H : f (u, y) + y − u, u − x ≥ 0, r ∀y ∈ C , x ∈ H (9) f Nếu f đơn điệu giải thức Tr đơn điệu mạnh, không giãn đơn trị Nếu f song hàm thuộc lớp f đơn điệu tổng quát hơn, chẳng hạn, giả đơn điệu Tr , nói chung, không đơn trị, không đơn điệu mạnh Do đó, phương pháp PPM áp dụng trường hợp Năm 2008, Quoc cộng mở rộng phương pháp EGM cho toán EP Phương pháp EGM cho toán EP bao gồm việc giải hai toán tối ưu sau   y = arg min{λ f ( x , y) + || x − y||2 : y ∈ C }, n n n n  x = arg min{λ f (y , y) + || x − y||2 : y ∈ C } n +1 n n (10) n Ưu điểm của phương pháp EGM sử dụng cho lớp song hàm giả đơn điệu hai toán tối ưu bước lặp giải dễ dàng phương pháp PPM nhiều trường hợp Trong năm gần đây, hai phương pháp PPM EGM nghiên cứu sâu rộng nhà toán học nước lý thuyết thuật toán Cùng với toán tìm nghiệm chung, toán tìm nghiệm chung hỗn hợp quan tâm nghiên cứu Trong nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng toán tối ưu đa mục tiêu, toán cân Nash-Cournot kinh tế, toán tối ưu mà miền ràng buộc biểu diễn dạng giao họ hữu hạn tập điểm bất động dẫn tới toán tìm nghiệm chung hai hay nhiều toán EP, VIP FPP không gian hai không gian khác (qua ánh xạ tuyến tính) Dựa phương pháp biết cho toán thành phần, tác giả thiết kế chúng theo trật tự định thu thuật toán cho toán tìm nghiệm chung hỗn hợp Chẳng hạn, để tìm nghiệm chung toán CSEP cho song hàm f i , i = 1, , M, toán CSVIP cho toán tử A j , j = 1, , N toán CFPP cho ánh xạ không giãn Sk , k = 1, 2, không gian Hilbert H, năm 2010, Saeidi sử dụng phương pháp điểm gần kề (PPM), phép chiếu gradient, ánh xạ Wn đề xuất phương pháp lai ghép xoay vòng sau đây:  fM f1   un = Tr M,n Tr1,n xn , x1 ∈ H,        = PC ( I − λ N,n A N ) PC ( I − λ1,n A1 )un ,       yn = (1 − αn ) xn + αn Wn ,    Cn = { v ∈ H : v − yn ≤ v − xn } ,        Q n = {v ∈ H : x0 − x n , x n − v ≥ 0} ,      x n +1 = PCn ∩ Q n x0 , n ≥ 1, (11) Wn ánh xạ không giãn xây dựng cách qua ánh xạ Si , i = 1, 2, , PC f phép chiếu metric lên tập C Tr giải thức song hàm f (ánh xạ Combettes) Phương pháp lai ghép (11) chứng minh hội tụ tới hình chiếu điểm xuất phát x0 lên tập nghiệm toán ban đầu Luận án nghiên cứu đề xuất số phương pháp kết hợp giải toán dạng GCFP không gian Hilbert Banach Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận án chia thành bốn chương Kết tập chung Chương 2, Bố cục luận án Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình toán tử Chương Nghiệm chung toán EP, toán VIP toán FPP Chương Bài toán cân tách Kết luận Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan tới luận án Tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hình học không gian Banach Cho X không gian Banach X ∗ không gian đối ngẫu X Định nghĩa 1.1 Không gian Banach X gọi 1) lồi chặt mặt cầu đơn vị S(0, 1) = { x ∈ X : || x || = 1} lồi chặt, tức với x, y ∈ S(0, 1), x = y || x + y|| < 2; 2) lồi với ǫ > 0, tồn δ = δ(ǫ) > cho với x, y ∈ X với x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ǫ x + y ≤ 2(1 − δ) 3) trơn giới hạn lim t →0 x + ty − x t tồn với x, y ∈ S(0, 1) Mô-đun lồi X xác định δX (ǫ) = inf − trơn X xác định ρ X (τ ) = sup x +y + x −y x −y : x = y = 1, x − y = ǫ Mô-đun − : x = 1, y = τ Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X gọi trơn limτ →0 h X (τ ) := limτ →0 ρ X (τ ) τ = Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Ánh xạ PC : H → C xác định PC x = arg { y − x : y ∈ C } gọi phép chiếu (metric) từ H lên C Ánh xạ J : X → 2X ∗ xác định J (x) = f ∈ X∗ : f , x = x = f gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn X Phiếm hàm Lyapunov φ : X × X → R+ xác định φ( x, y) = x − x, Jy + y , ∀ x, y ∈ X Phép chiếu tổng quát ΠC : X → C xác định ΠC ( x ) = arg miny∈C φ( x, y) Trong không gian Hilbert φ( x, y) = || x − y||2 ΠC = PC 1.2 Phương trình toán tử không gian Banach 1.3 Phương trình toán tử accretive Trong phần Chương 2, xem xét lớp toán tử sau Định nghĩa 1.3 Toán tử liên tục A : X → X gọi accretive ϕ-đều ngược ( hay đơn giản + accretive ngược), tồn hàm ϕ : R + × R + ∗ → R ∗ liên tục, tăng chặt theo biến thứ hai ϕ(s, t) = t = với s > cố định, cho, với R > x, y ∈ X, x , y ≤ R, ta có A( x ) − A(y), J ( x − y) ≥ ϕ ( R, A( x ) − A(y)) ) (1.1) Xét hệ phương trình toán tử Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, x ∈ X, i = 1, , N, (1.2) đó, f i ∈ X Fi : D ( Fi ) ⊂ X → X (và Ai ) toán tử accretive ngược với hàm số ϕi tương ứng Tuy nhiên, không giảm tổng quát, giả thiết toán tử Fi accretive ngược với hàm số ϕ Chúng ta đặt hai nhóm điều kiện sau lên không gian X, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J, toán tử Ai (i = 1, , N ) Điều kiện (AJX) A1 Ai , i = 1, 2, , N, toán tử accretive ϕ-đều ngược với D ( Ai ) = X; A2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục liên tục yếu theo dãy; A3 X không gian Banach trơn, phản xạ có tính chất xấp xỉ Điều kiện (AX) B1 Ai , i = 1, 2, , N, toán tử m-accretive ϕ-đều ngược với D ( Ai ) = X; B2 X không gian Banach trơn lồi 1.4 Bài toán tìm điểm bất động Nhiều toán lĩnh vực toán học tối ưu, bất đẳng thức biến phân phương trình vi phân đưa dạng x = T ( x ), (1.3) T toán tử phi tuyến xác định không gian metric Tập nghiệm phương trình gọi tập điểm bất động T kí hiệu F ( T ) Định nghĩa 1.4 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Ánh xạ T : C → C gọi ánh xạ không giãn || T ( x ) − T (y)|| ≤ || x − y|| với x, y ∈ C Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Banach X phản xạ, lồi chặt trơn , T : C → C ánh xạ với F ( T ) tập điểm bất động Điểm p ∈ C gọi điểm bất động tiệm cận T tồn dãy { xn } ⊂ C cho xn ⇀ p xn − Txn → n → +∞ Tập điểm bất động tiệm cận T kí hiệu F˜ ( T ) Trong chương 2, nghiên cứu lớp ánh xạ sau Định nghĩa 1.5 Ánh xạ T : C → C gọi 1) không giãn tương đối F ( T ) = Ø, F ( T ) = F˜ ( T ) φ( p, Tx ) ≤ φ( p, x ), ∀ p ∈ F ( T ), ∀ x ∈ C; 2) tựa φ - không giãn F ( T ) = Ø φ( p, Tx ) ≤ φ( p, x ), ∀ p ∈ F ( T ), ∀ x ∈ C; 3) tựa φ-không giãn tiệm cận F ( T ) = Ø tồn dãy {k n } ⊂ [1, +∞) với k n → n → +∞ cho φ( p, T n x ) ≤ k n φ( p, x ), ∀n ≥ 1, ∀ p ∈ F ( T ), ∀ x ∈ C; 4) liên tục Lipschitz tồn số L > cho T n x − T n y ≤ L x − y , ∀n ≥ 1, ∀ x, y ∈ C 1.5 Bất đẳng thức biến phân toán cân Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach X A : C → X ∗ toán tử phi tuyến Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) toán tử A C tìm x ∗ ∈ C cho A( x ∗ ), x − x ∗ ≥ 0, ∀ x ∈ C (1.4) Tập nghiệm toán VIP (1.4) kí hiệu V I ( A, C ) Chú ý p∗ ∈ V I ( A, C ) p∗ = PC ( p∗ − λAp∗ ), (1.5) λ > Giả sử f song hàm từ C × C vào tập hợp số thực R Bài toán cân (EP) cho f C tìm phần tử x ∗ ∈ C cho f ( x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C (1.6) Tập nghiệm toán cân EP (1.6) kí hiệu EP( f , C ) đơn giản EP( f ) Để giải toán (1.6) không gian Banach X, giả thiết song hàm f thỏa mãn điều kiện sau đây: (A1) f ( x, x ) = với x ∈ C; (A2) f đơn điệu, tức f ( x, y) + f (y, x ) ≤ với x, y ∈ C; (A3) Với x, y, z ∈ C, lim sup f (tz + (1 − t) x, y) ≤ f ( x, y); t →0+ (A4) Với x ∈ C, f ( x, ) hàm lồi nửa liên tục Bổ đề 1.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, song hàm f từ C × C tới ℜ thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) cho trước r > 0, x ∈ X Khi tồn z ∈ C cho f (z, y) + y − z, Jz − Jx ≥ 0, r ∀y ∈ C Bổ đề 1.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, song hàm f từ C × C tới ℜ thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) Với r > 0, x ∈ X, ta xác định giải thức f (ánh xạ Combettes) Tr x = {z ∈ C : f (z, y) + y − z, Jz − Jx ≥ 0, r ∀ y ∈ C } Khi (B1) Tr đơn trị; (B2) Tr không giãn vững (firmly nonexpansive), tức với x, y ∈ X, Tr x − Tr y, JTr x − JTr y ≤ Tr x − Tr y, Jx − Jy ; (B3) F ( Tr ) = Fˆ ( Tr ) = EP( f ); (B4) EP( f ) lồi đóng Tr ánh xạ không giãn tương đối Trong chương 3, X không gian Hilbert thực H, xét toán EP giả đơn điệu Khi đó, giả thiết song hàm f thỏa mãn điều kiện sau đây: ¯ ) f ( x, x ) = với x ∈ C f giả đơn điệu, tức với x, y ∈ C, ( A1 f ( x, y) ≥ ⇒ f (y, x ) ≤ 0; ¯ ) f liên tục kiểu Lipschitz, tức tồn hai số dương c1 , c2 cho ( A2 f ( x, y) + f (y, z) ≥ f ( x, z) − c1 || x − y||2 − c2 ||y − z||2 , ∀ x, y, z ∈ C; ¯ ) f (., y) nửa liên tục yếu theo dãy C với y ∈ C, tức là, ( A3 lim sup f ( xn , y) ≤ f ( x, y) n→∞ với dãy { xn } ⊂ C xn ⇀ x; ¯ ) f ( x, ) lồi khả vi phân C với x ∈ C cố định ( A4 1.6 Mối liên hệ toán EP, VIP, FPP giải phương trình toán tử 1.7 Một số bất đẳng thức sử dụng luận án Trong mục này, trình bày số bất đẳng thức sơ cấp sử dụng để chứng minh hội tụ phương pháp đề xuất Chương Bổ đề 1.3 Giả sử {λn } { pn } dãy số không âm {bn } dãy số dương thỏa mãn bất đẳng thức λ n + ≤ ( − p n ) λ n + bn , pn ∈ (0; 1) , bn pn ∀n ≥ 0, → (n → +∞) ∑∞ i =1 p n = +∞ Khi λn → (n → +∞ ) Bổ đề 1.4 Cho dãy số thực không âm { αn }, { β n }, {γn } hai số thực a, b cho αn ≤ β n + bγn − aγn+1 , ∀n ≥ Nếu ∑∞ n =0 β n < +∞ a > b ≥ limn → ∞ α n = liệu có nhiễu ( Fn,i , f n,i ), toán tử Fn,i : D ( Fn,i ) = X → X accretive với n ≥ i = 1, , N Hơn nữa, giả sử Fn,i ( x ) − Fi ( x ) ≤ hn g( x ), (2.4) f n,i − f i ≤ δn , (2.5) i = 1, , N, đó, g(t) hàm không âm, không giảm liên tục, hn > 0, δn > với n > Xuất phát từ z0 ∈ X bất kì, dãy {zn } sinh phương pháp IPIRM sau đây: An,i (zin ) + ( z n +1 = N αn + γn )zin = γn zn , N (2.6) i = 1, 2, , N, N ∑ zin , (2.7) n = 0, 1, , i =1 An,i ( x ) := Fn,i ( x ) − f n,i , i = 1, 2, , N Ta có kết sau Định lý 2.2 Giả sử điều kiện Định lý 2.1 (2.4), (2.5) thỏa mãn Nếu dãy {zn } sinh (2.6) , (2.7) hội tụ mạnh tới x∗ h n + δn αn → n → +∞, n → +∞ Tiếp theo nghiên cứu phương pháp chỉnh lặp song song (Explicit Parallel Iterative Regularization Method - EPIRM) giải hệ phương trình (2.1) Phương pháp mô tả sau: Chọn z0 ∈ X • Tìm đồng thời xấp xỉ trung gian zni , i = 1, 2, , N, zni = zn − γn αn zn N Ai (zn ) + = zn − τn Ai (zn ) + αn zn N (2.8) • Xác định xấp xỉ zn+1 trung bình cộng xấp xỉ trung gian zni z n +1 = N Định lý 2.3 Giả sử điều kiện AX thỏa mãn hàm N ∑ zni , (2.9) n = 1, 2, i =1 ϕ( s,t ) t theo biến t với s > cố định Hơn nữa, dãy số αn → 0, τn := 1/γn → n → +∞ cho ∞ ∑ αn τn = +∞, i =1 τn → 0, αn | α n − α n +1 | → 0, τn α2n ρ X (τn ) → τn αn (2.10) Khi đó, dãy {zn } xác định (2.8) (2.9) hội tụ mạnh tới x ∗ n → ∞ 2.2 Điểm bất động chung họ ánh xạ Trong phần này, nghiên cứu phương pháp lai ghép song song tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận không gian Banach trơn lồi E, tức tìm phần tử x ∈ C cho Ai ( x ) = x − Ti ( x ) = 0, i = 1, 2, , N, (2.11) C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach E Ti : C → C ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận) 10 2.2.1 Các phương pháp lai ghép song song Giả sử toán tử Ti , i = 1, 2, , N tựa φ-không giãn tiệm cận với dãy kin ⊂ [1, +∞), kin → 1, tức F ( Ti ) = Ø φ( p, Tin x ) ≤ kin φ( p, x ), ∀n ≥ 1, ∀ p ∈ F ( Ti ), ∀ x ∈ C Khi đó, đặt k n := max{kin : i = 1, , N }, ta có k n ⊂ [1, +∞), k n → 1, φ( p, Tin x ) ≤ k n φ( p, x ), ∀i = 1, , N, ∀n ≥ 1, ∀ p ∈ F, ∀ x ∈ C Ta giả thiết tập F = N i =1 F ( Ti ) khác rỗng trường hợp Ti tựa φ-không giãn tiệm cận, giả thiết thêm F bị chặn, tức tồn số dương ω cho F ⊂ Ω := {u ∈ C : ||u|| ≤ ω } Định lý 2.4 Cho E không gian Banach trơn đều, lồi C tập lồi đóng khác rỗng E Giả sử { Ti }iN=1 : C → C họ hữu hạn ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận với dãy {k n } ⊂ [1, +∞), k n → Hơn nữa, giả sử với i ≥ 1, ánh xạ Ti Li - liên tục Lipschitz tập F = N i =1 F ( Ti ) khác rỗng bị chặn C Dãy { xn } xác định     x0 ∈ C0 := C,        yin = J −1 αn Jxn + (1 − αn ) JTin xn , i = 1, 2, , N,    in = arg max1≤i≤ N yin − xn , y¯ n := yinn ,      Cn+1 := { v ∈ Cn : φ(v, y¯ n ) ≤ φ(v, x n ) + ǫn } ,        xn+1 = ΠC x0 , n ≥ 0, n +1 ǫn := (k n − 1)(ω + || x n ||)2 {αn } dãy đoạn [0, 1] cho lim αn = Khi đó, dãy { xn } n→∞ hội tụ mạnh tới x † := Π F x0 Trong Định lý tiếp theo, thiết lập kết tương tự cho họ ánh xạ tựa φ - không giãn { Ti }iN=1 Đối với lớp ánh xạ này, không cần giả thiết tính liên tục Lipschitz tính bị chặn tập F = ∩iN=1 F ( Ti ) Định lý 2.5 Cho E không gian Banach thực trơn đều, lồi C tập lồi đóng khác rỗng E Giả sử { Ti }iN=1 : C → C họ hữu hạn ánh xạ tựa φ - không giãn đóng Giả sử tập F = ∩iN=1 F ( Ti ) = Ø Dãy { xn } xác định     x0 ∈ C0 := C,        yin = J −1 (αn Jxn + (1 − αn ) JTi xn ) , i = 1, 2, , N,    in = arg max1≤i≤ N yin − xn , y¯ n := yinn ,       Cn+1 := {v ∈ Cn : φ(v, y¯ n ) ≤ φ(v, xn )} ,       xn+1 = ΠC x0 , n ≥ 0, n +1 { αn } ⊂ [0, 1] cho lim αn = Khi đó, dãy { xn } hội tụ mạnh tới x † := Π F x0 n→∞ 2.2.2 Các phương pháp lai ghép Trong phần này, nghiên cứu phương pháp lai ghép tìm điểm bất động chung họ ánh xạ tựa φ - không giãn tiệm cận 11 Định lý 2.6 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach thực, trơn đều, lồi { Ti } iN=1 : C → C họ hữu hạn ánh xạ tựa φ - không giãn tiệm cận với dãy {k n } ⊂ [1, +∞), k n → Giả sử { Ti }iN=1 liên tục Lipschitz với số L > tập F = N i =1 F ( Ti ) khác rỗng bị chặn, tức là, tồn số ω > cho F ⊂ Ω := {u ∈ C : ||u|| ≤ ω } Dãy { xn } xác định     x1 ∈ C1 = Q1 := C,      p   yn = J −1 αn Jx1 + (1 − αn ) JTjnn xn ,    Cn = {v ∈ C : φ(v, y n ) ≤ αn φ(v, x1 ) + (1 − αn )φ(v, xn ) + ǫn } ,       Qn = {v ∈ Qn−1 : Jx1 − Jxn ; xn − v ≥ 0} ,        xn+1 = ΠC Q x1 , n ≥ 1, n n n = ( pn − 1) N + jn , jn ∈ {1, 2, , N }, pn ∈ {1, 2, }, ǫn = (k pn − 1)(ω + || xn ||)2 {αn } dãy nằm đoạn [0, 1] cho lim αn = Khi đó, dãy { xn } hội tụ mạnh tới x † := Π F x1 n→∞ Đối với họ hữu hạn ánh xạ đóng tựa φ - không giãn, ta không cần giả thiết tính bị chặn tập F = N i =1 F ( Ti ) Ta có kết sau Định lý 2.7 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach thực trơn đều, lồi { Ti }iN=1 : C → C họ hữu hạn ánh xạ tựa φ - không giãn đóng Giả sử { Ti }iN=1 ánh xạ liên tục Lipschitz F = N i =1 F ( Ti ) = Ø Dãy { xn } xác định     x1 ∈ C1 = Q1 := C,        y = J −1 αn Jx1 + (1 − αn ) JTjn xn ,   n  Cn = { v ∈ C : φ(v, yn ) ≤ αn φ(v, x1 ) + (1 − αn )φ(v, xn )} ,       Qn = {v ∈ Qn−1 : Jx1 − Jxn ; xn − v ≥ 0} ,        xn+1 = ΠC Q x1 , n ≥ 1, n n n = ( pn − 1) N + jn , jn ∈ {1, 2, , N } {αn } nằm đoạn [0, 1] cho lim αn = Khi đó, n→∞ dãy { xn } hội tụ mạnh tới x † := Π F x1 2.3 Thử nghiệm số Kết luận chương Trong chương này, trình bày phương pháp chỉnh lặp song song ẩn phương pháp chỉnh lặp song song hiển giải hệ phương trình toán tử accretive không gian Banach Ngoài ra, trình bày phương pháp lai ghép song song tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận) 12 Chương Nghiệm chung toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động Trong chương này, trình bày phương pháp lai ghép tìm nghiệm (nghiệm chung) toán EP, toán VIP toán FPP Hai phương pháp phổ biến giải toán cân bất đẳng thức biến phân phương pháp PPM phương pháp chiếu 3.1 Phương pháp điểm gần kề 3.1.1 Phương pháp lai ghép không gian Banach Cho E không gian Banach trơn - lồi C tập lồi đóng khác rỗng E, f k : C × C → ℜ, k = 1, , K song hàm cân bằng, Ai : C → E∗ , i = 1, , M toán tử S j : C → C, j = 1, , N ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận) Bài toán phát biểu sau: Tìm điểm x ∗ ∈ F, F = ∩iM =1 V I ( A i , C ) ∩N j =1 F ( S j ) ∩Kk=1 EP( f k ) Chúng giả thiết tập F khác rỗng toán tử Ai thỏa mãn điều kiện sau (V1) Ai α - đơn điệu mạnh ngược (V2) V I ( Ai , C ) = ∅ (V3) || Ai y|| ≤ || Ai y − Ai u|| với y ∈ C u ∈ V I ( Ai , C ) Phương pháp A                        x0 ∈ C chọn bất kỳ, yin = ΠC J −1 ( Jxn − λn Ai xn ) , i = 1, 2, M, in = arg max ||y in − xn || : i = 1, , M , y¯ n = yinn , j zn = J −1 αn Jxn + (1 − αn ) JSnj y¯ n , j = 1, , N, j j jn = arg max ||zn − xn || : j = 1, , N , z¯n = znn ,      ukn = Trkn z¯n , k = 1, , K,       k n = arg max ||ukn − xn || : k = 1, 2, K , u¯ n = uknn ,       Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, u¯ n ) ≤ φ(z, z¯ n ) ≤ φ(z, x n ) + ǫn } ,      xn+1 = ΠCn+1 x0 , n ≥ 13 (3.1) Các dãy tham số điều khiển {λn } , {αn } , {rn } thỏa mãn điều kiện ≤ αn ≤ 1, lim sup αn < 1, n→∞ λn ∈ [ a, b], rn ≥ d, (3.2) với a, b ∈ (0, αc2 /2), d > 1/c số - lồi không gian E Dãy {ǫn } xác định hai trường hợp Nếu ánh xạ {Si } tựa φ - không giãn tiệm cận, giả thiết tập F bị chặn, tức tồn số dương ω cho F ⊂ Ω := {u ∈ C : ||u|| ≤ ω } đặt ǫn := (k n − 1)(ω + || xn ||)2 Nếu {Si } tựa φ - không giãn, k n = ta đặt ǫn = K Định lý 3.1 Giả sử toán tử { Ai }iM =1 thỏa mãn điều kiện (V1)-(V3); song hàm { f k }k =1 thỏa mãn N j =1 điều kiện (A1)-(A4) S j ánh xạ L-liên tục Lipschitz tựa φ-không giãn tiệm cận với dãy {k n } ⊂ [1, +∞), k n → Hơn nữa, tập nghiệm F khác rỗng bị chặn, nghĩa là, tồn số thực dương ω cho F ⊂ Ω := {u ∈ C : ||u|| ≤ ω } Khi đó, tham số điều khiển {αn } , {λn } , {rn } thỏa mãn điều kiện (3.2) dãy { xn } xác định (3.1) hội tụ mạnh tới Π F x0 Tiếp theo, trình bày phương pháp lai ghép song song khác Ý tưởng phương pháp tương tự phương pháp A Tuy nhiên, tập Cn+1 đơn giản Phương pháp B                                        x0 ∈ C yin chọn bất kì, = ΠC J −1 ( Jxn − λn Ai xn ) , i = 1, , M, in = arg max ||yin − xn || : i = 1, , M , y¯ n = yinn , n zn = J −1 αn,0 Jxn + ∑ N j =1 α n,j JS j y¯ n , (3.3) ukn = Trkn zn , k = 1, , K, k n = arg max ||ukn − xn || : k = 1, , K , u¯ n = uinn , Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, u¯ n ) ≤ φ(z, xn ) + ǫn } , xn+1 = ΠCn+1 x0 , n ≥ 0, dãy tham số điều khiển {λn } , αn,j , {rn } thỏa mãn điều kiện N ≤ αn,j ≤ 1, ∑ αn,j = 1, j =0 lim inf αn,0 αn,j > 0, n→∞ λn ∈ [ a, b], rn ≥ d (3.4) Định lý 3.2 Kết luận Định lý 3.1 cho Phương pháp B Tiếp theo, trình bày hai phương pháp lai ghép song song cho toán VIP, toán EP toán FPP cho ánh xạ tựa φ - không giãn Điều đặc biệt ta không cần giả thiết tính bị chặn tập F tính liên tục Lipschitz Si K Định lý 3.3 Giả sử { Ai }iM =1 , { f k } k =1 , {α n } , {rn } {λn } thỏa mãn điều kiện Định lý 3.1 S j N j =1 họ hữu hạn ánh xạ đóng tựa φ - không giãn Hơn nữa, giả sử tập F khác rỗng Khi đó, dãy { xn } xác định 14 bởi: x0 ∈ C hội tụ mạnh tới Π F x0                                        yin = ΠC J −1 ( Jxn − λn Ai xn ) , i = 1, 2, M, in = arg max ||yin − x n || : i = 1, 2, M , y¯ n = yinn , j zn = J −1 αn Jxn + (1 − αn ) JS j y¯ n , j = 1, 2, N, j j jn = arg max ||zn − xn || : j = 1, 2, N , z¯n = znn , ukn = Trkn z¯n , k = 1, 2, K, (3.5) k n = arg max ||ukn − xn || : k = 1, 2, K , u¯ n = uknn , Cn+1 = { z ∈ Cn : φ(z, u¯ n ) ≤ φ(z, z¯ n ) ≤ φ(z, xn )} , xn+1 = ΠCn+1 x0 , n ≥ 0, Định lý 3.4 Giả sử điều kiện Định lý 3.3 thỏa mãn Khi đó, dãy { xn } xác định bởi: x0 ∈ C  −1 i    yn = ΠC J ( Jxn − λn Ai xn ) , i = 1, 2, M,     in = arg max ||yin − x n || : i = 1, 2, M , y¯ n = yinn ,       zn = J −1 αn,0 Jxn + ∑ N  j =1 α n,j JS j y¯ n ,   ukn = Trkn zn , k = 1, 2, K,      k n = arg max ||ukn − xn || : k = 1, 2, K , u¯ n = uknn ,       Cn+1 = { z ∈ Cn : φ(z, u¯ n ) ≤ φ(z, xn )} ,      x n +1 = Π Cn +1 x0 , n ≥ 0, (3.6) hội tụ mạnh tới Π F x0 3.1.2 Phương pháp lai ghép không gian Hilbert Các kết trình bày Mục 3.1.1 sử dụng để tìm nghiệm chung cho toán EP, VIP FPP không gian Hilbert Tuy nhiên, hội tụ phương pháp yêu cầu toán tử Ai thỏa mãn điều kiện (V3) : || Ai (y)|| ≤ || Ai (y) − Ai (u)|| với y ∈ C u ∈ V I ( Ai , C ) Giả thiết khó kiểm tra thực tế tập nghiệm V I ( Ai , C ) chưa biết Để khắc phục điều này, đề xuất phương pháp lặp không gian Hilbert H mà không cần giả thiết (V3) Thuật toán thiết kế sau: Chọn x0 ∈ H, C0 = Q0 = H  f   zln = Trnl xn , l = 1, , K,        ln := arg max zln − xn : l = 1, , K , z¯n := zlnn ,       uk = P (z¯n − λA z¯n ), k = 1, , M,  C k n        k n := arg max ukn − xn : k = 1, , M , u¯ n := uknn ,    yin = αn u¯ n + (1 − αn )Si u¯ n , i = 1, , N,      in i   in := arg max yn − xn : i = 1, , N , y¯ n := yn ,      Cn = {v ∈ H : v − y¯ n ≤ v − z¯ n ≤ v − xn } ,         Q n = { v ∈ H : x0 − x n , x n − v ≥ 0} ,      x n +1 = PCn ∩ Q n x0 , n ≥ 1, (3.7) λ dãy tham số điều khiển {rn } , {αn } thỏa mãn điều kiện nêu Định lý 15 Định lý 3.5 Giả sử { Ak }kM=1 : C → H họ hữu hạn toán tử α - đơn điệu mạnh ngược, {Si }iN=1 : C → C họ hữu hạn ánh xạ không giãn { f l }K l =1 họ hữu hạn song hàm từ C × C vào tập số thực R thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) Hơn nữa, tập nghiệm F khác rỗng, λ ∈ (0; 2α) dãy tham số điều khiển {αn } {rn } thỏa mãn điều kiện: (i) { αn } ⊂ (0, 1), lim supn→∞ αn < 1; (ii) {rn } ⊂ [d, ∞) với d > Khi đó, dãy { xn } sinh thuật toán (3.7) hội tụ mạnh tới PF x0 3.2 Các phương pháp chiếu Trong mục trình bày hai phương pháp chiếu tìm nghiệm (nghiệm chung) toán EP FPP Hai phương pháp đề cập mục là: Phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường (EGM - Extragradient Method) phương pháp chiếu kiểu đạo hàm (GLM - Gradient-like Method) 3.2.1 Phương pháp chiếu EGM Giải sử C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H; { f i }iN=1 : C × C → ℜ ¯ ) − (A4 ¯ ) S j họ song hàm thỏa mãn điều kiện (A1 M j =1 : C → C họ ánh xạ không giãn Trong mục này, trình bày thuật toán lai ghép song song tìm nghiệm chung toán EP toán FPP Giả thiết tập nghiệm F = ∩iN=1 EP( f i ) ∩ jM=1 F (S j ) khác rỗng song hàm f i , i = 1, , N thỏa mãn điều kiện liên tục kiểu Lipschitz (Lipschitz-type continuous) với cặp số c1 c2 Thuật toán 3.1 (Phương pháp lai ghép EGM song song) Khởi tạo Chọn x0 ∈ C, < ρ < 1 2c1 , 2c2 , n := dãy {αk } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện lim supk→∞ αk < Bước Giải N toán lồi mạnh yin = argmin{ρ f i ( x n , y) + || xn − y||2 : y ∈ C }, i = 1, , N Bước Giải N toán lồi mạnh zin = argmin{ρ f i (yin , y) + || x n − y||2 : y ∈ C }, i = 1, , N Bước Tìm zin , i = 1, , N, xấp xỉ xa xn nhất, tức in = argmax{||zin − xn || : i = 1, , N }, z¯ n := zinn j Bước Tính xấp xỉ trung gian un j un = αn xn + (1 − αn )S j z¯n , j = 1, , M j Bước Tìm un , j = 1, , M, xấp xỉ xa x n nhất, tức j j jn = argmax{||un − xn || : j = 1, , M }, u¯ n := unn 16 Bước Xây dựng hai tập lồi đóng C Cn = {v ∈ C : ||u¯ n − v|| ≤ || x n − v||}, Q n = { v ∈ C : x − x n , v − x n ≤ } Bước Tìm phép chiếu xn+1 = PCn ∩ Qn ( x0 ) Bước Nếu xn+1 = xn dừng Ngược lại, đặt n := n + quay lại Bước Định lý 3.6 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Giả sử { f i }iN=1 họ hữu hạn ¯ ) − (A4 ¯ ) S j song hàm thỏa mãn điều kiện (A1 M j =1 họ hữu hạn ánh xạ không giãn C Hơn nữa, giả sử tập nghiệm F khác rỗng Khi đó, dãy (vô hạn) { xn } sinh Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh tới x † = PF x0 3.2.2 Phương pháp chiếu GLM Trong mục này, đề xuất phương pháp chiếu kiểu đạo hàm (GLM - Gradient-like Method) tìm nghiệm toán EP Trong phương pháp đề xuất, toán tối ưu cần giải hội tự không yêu cầu thêm giả thiết Thuật toán 3.2 (Phương pháp chiếu GLM) Khởi tạo Các tham số λ k thỏa mãn điều kiện sau 0 2( c1 + c2 ) − 2λ(c1 + c2 ) Chọn x0 , x1 ∈ H, y0 ∈ C, C0 = Q0 = H tính y1 = argmin{λ f (y0 , y) + || x0 − y||2 } y∈C Bước Giải toán tối ưu yn+1 = argmin{λ f (yn , y) + || x n − y||2 } y∈C Nếu yn+1 = yn = xn dừng Ngược lại, Bước Tính xn+1 = PCn ∩ Qn ( x0 ), Cn = z ∈ H : ||y n+1 − z||2 ≤ || xn − z||2 + ǫn , Q n = { z ∈ H : x0 − x n , z − x n ≤ 0} , ǫn = k|| xn − xn−1 ||2 + 2λc2 ||yn − yn−1 ||2 − (1 − k − 2λc1 )||yn+1 − yn ||2 Đặt n := n + quay lại Bước Định lý 3.7 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Giả sử f song hàm ¯ ) − (A4 ¯ ) Hơn nữa, tập nghiệm EP( f , C ) khác rỗng Khi đó, dãy { xn }, {yn } sinh thỏa mãn điều kiện (A1 Thuật toán 3.2 hội tụ mạnh tới PEP( f ,C)( x0 ) 17 3.3 Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo Trong mục này, trình bày phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo tìm nghiệm chung toán EP cho song hàm f i : C × C → ℜ, i ∈ I = {1, , N }, không yêu cầu tính liên tục kiểu Lipschitz song hàm f i , i ∈ I Chúng giả thiết song hàm f i thỏa mãn điều kiện ¯ ), (A4 ¯ ) (A3a ¯ ) sau (A1 ¯ ) f i liên tục yếu theo dãy ∆ × ∆, ∆ tập mở chứa C, tức f i ( xn , yn ) → f ( x, y) (A3a với { xn } , {yn } ⊂ ∆ xn ⇀ x yn ⇀ y n → ∞ Giả sử L : C × C → ℜ song hàm thỏa mãn điều kiện sau: β B1 Tồn số β > cho L( x, y) ≥ || x − y||2 L( x, x ) = với x, y ∈ C; B2 L liên tục yếu, L( x, ) khả vi, lồi mạnh với x ∈ C L′x (y, y) = với y ∈ C Thuật toán 3.3 (Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo) Khởi tạo Chọn x0 ∈ C, ρ > 0, η ∈ (0, 1), α ∈ (0, 1) Bước Với i ∈ I Tìm yin = argmin{ f i ( xn , y) + L ( x n , y ) : y ∈ C } ρ Đặt In = i ∈ I : d in := xn − yin = Nếu In = ∅ dừng Bước (Tìm kiếm theo tia) Bước 2.1 Với i ∈ / In , đặt zin = tin = xn , gni = 0, σni = Bước 2.2 Với i ∈ In , tìm số nguyên dương nhỏ cho i tin = xn − η mn din , f i (tin , xn ) − f i (tin , yin ) − α L( xn , yin ) ≥ ρ Bước 2.3 Tính zin = PC ( xn − σni gni ), i ∈ In , gni ∈ ∂2 f i (tin , xn ) σni = f i ( t in ,x n ) || gni ||2 Bước Tính xn+1 = PHn ∩Wn ( x0 ), Hn = ∩i∈ I Hni Hni = z ∈ C : ||zin − z|| ≤ || xn − z|| , Wn = {z ∈ C : x0 − xn , z − xn ≤ 0} Đăt n := n + quay lại Bước ¯ ), (A3a ¯ ) (A4 ¯ ); Định lý 3.8 Giả sử f i : C × C → ℜ, i ∈ I song hàm thỏa mãn điều kiện (A1 L : C × C → ℜ song hàm thỏa mãn điều kiện B1 B2 Hơn nữa, tập nghiệm F = ∩i∈ I EP( f i ) khác rỗng Khi đó, dãy { xn } sinh Thuật toán 3.3 hội tụ mạnh tới PF ( x0 ) 18 3.4 Thử nghiệm số Kết luận chương Trong chương này, trình bày số phương pháp lai ghép song song tìm nghiệm chung toán EP với toán VIP toán FPP Một cải thiện đáng ý phương pháp chiếu EGM phương pháp chiếu GLM tìm nghiệm toán EP, toán tối ưu cần giải bước lặp mà không cần "bước mở rộng liên quan tới tập ràng buộc" 19 Chương Bài toán cân tách Trong chương này, trình bày khái quát hóa toán tìm nghiệm chung toán cân toán cân tách (SEP - Split equilibrium problem) Bài toán phát biểu sau: Cho C Q tương ứng tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 Giả sử f i : C × C → ℜ, i = 1, , N; Fj : Q × Q → ℜ, j = 1, , M song hàm A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn Tìm điểm x ∗ ∈ Ω, Ω = x ∗ ∈ ∩iN=1 EP( f i , C ) : Ax ∗ ∈ ∩ jM=1 EP( Fj , Q) 4.1 Các thuật toán hội tụ Trong mục này, kết hợp phương pháp chiếu EGM với phương pháp PPM đề xuất thuật toán hội tụ yếu sau giải toán SEP Thuật toán 4.1 (Phương pháp EGM - PPM song song) Khởi tạo Chọn x0 ∈ C Các tham số λ, µ, rn thỏa mãn điều kiện sau 1 , 2c1 2c2 < λ < , rn ≥ d > 0, < µ < || A||2 Bước Giải 2N toán tối ưu   yi = arg λ f i ( xn , y) + ||y − xn ||2 : y ∈ C , i = 1, , N, n  zi = arg λ f (yi , y) + ||y − x n ||2 : y ∈ C , i = 1, , N i n n Bước Tìm xấp xỉ z¯n = arg max ||zin − xn || : i = 1, , N j Fj Bước Giải M toán cân hiệu chỉnh wn = Trn ( Az¯n ), j = 1, , M j Bước Tìm xấp xỉ w¯ n = arg max ||wn − Az¯n || : j = 1, , M Bước Tính xn+1 = PC (z¯n + µA∗ (w¯ n − Az¯n )) Đặt n = n + quay lại Bước Định lý 4.1 (Định lý hội tụ yếu) Cho C, Q tương ứng tập lồi đóng khác rỗng hai không gian ¯ ) − (A4 ¯ ) Hilbert thực H1 H2 Giả sử { f i } iN=1 : C × C → ℜ song hàm thỏa mãn điều kiện (A1 Fj M j =1 : Q × Q → ℜ song hàm thỏa mãn điều kiện (A1) − (A4) Giả sử A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ Hơn nữa, giả thiết tập nghiệm Ω khác rỗng Khi đó, dãy { xn }, yin , zin , i = 1, , N sinh Thuật toán 4.1 hội tụ yếu tới p ∈ ∩iN=1 EP( f i , C ) dãy j wn , j = 1, , M hội tụ yếu tới Ap ∈ ∩ jM=1 EP( Fj , Q) 20 Để thu thuật toán hội tụ mạnh, kết hợp Thuật toán 4.1 với phương pháp chiếu co (shrinking projection method) thu thuật toán hội tụ mạnh sau Thuật toán 4.2 (Phương pháp EGM - PPM lai ghép song song) Khởi tạo Chọn x0 ∈ C, C0 = C, tham số điều khiển λ, rn , µ thỏa mãn điều kiện sau < λ < 1 , 2c1 2c2 , rn ≥ d > 0, < µ < || A||2 Bước Giải 2N toán tối ưu   yin = arg λ f i ( xn , y) + ||y − xn ||2 : y ∈ C , i = 1, , N,  zi = arg λ f (yi , y) + ||y − x n ||2 : y ∈ C , i = 1, , N i n n Bước Tìm z¯n = arg max ||zin − xn || : i = 1, , N Fj j Bước Giải M toán cân hiệu chỉnh wn = Trn ( Az¯n ), j = 1, , M j Bước Tìm w¯ n = arg max ||wn − Az¯n || : j = 1, , M Bước Tính tn = PC (z¯n + µA∗ (w¯ n − Az¯n )) Bước Xây dựng Cn+1 = { v ∈ Cn : ||tn − v|| ≤ ||z¯n − v|| ≤ || x n − v||} Tính xn+1 = PCn+1 ( x0 ) Đặt n = n + quay lại Bước ¯ ) thay giả thiết yếu (A3a ¯ ) Để thiệt lập hội tụ Thuật toán 4.2, giả thiết (A3 ¯ ) f (., y) nửa liên tục theo dãy C với y ∈ C cố định, tức là, lim sup f ( x n , y) ≤ f ( x, y) (A3a n→∞ với dãy { xn } ⊂ C hội tụ tới x n → ∞ Ta có kết sau Định lý 4.2 (Định lý hội tụ mạnh) Giả sử Fj song hàm { f i }iN=1 M , j =1 A, Ω thỏa mãn điều kiện Định lý 4.1 ¯ ), (A2 ¯ ), (A3a ¯ ), (A4 ¯ ) Khi đó, dãy { xn }, yin , : C × C → ℜ thỏa mãn điều kiện (A1 j zin , i = 1, , N sinh Thuật toán 4.2 hội tụ mạnh tới x † = PΩ ( x0 ) wn , j = 1, , M hội tụ mạnh tới Ax † ∈ ∩ jM=1 EP( Fj , Q) 4.2 Ứng dụng cho toán biến phân tách Trong phần này, xét toán biến phân tách (SVIP) sau đây:   Tìm x ∗ ∈ C cho Ai ( x ∗ ), y − x ∗ ≥ 0, ∀y ∈ C, ∀i = 1, , N  và u∗ = Ax ∗ ∈ Q thỏa mãn B (u∗ ), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ Q, ∀ j = 1, , M, j (4.1) C ⊂ H1 , Q ⊂ H2 tập lồi đóng khác rỗng; Ai : C → H1 , Bj : Q → H2 toán tử A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn Tập nghiệm toán SVIP (4.1) kí hiệu Ω= x ∗ ∈ ∩iN=1 V I ( Ai , C ) : Ax ∗ ∈ ∩ jM=1 V I ( Bj , Q) Để giải toán (4.1), giả thiết toán tử Ai , Bj thỏa mãn điều kiện sau Điều kiện AB • Ai giả đơn điệu C • Ai liên tục Lipschitz với số L > 21 • Bj đơn điệu Q Hơn nữa, để thu kết hội tụ yếu (Định lý 4.3), toán tử Ai thỏa mãn thêm điều kiện sau (4.2) Ai ( xn ) → Ai ( x ), i = 1, , N với dãy { xn } ⊂ C hội tụ yếu tới x Định lý 4.3 Giả sử toán tử Ai , Bj thỏa mãn điều kiện AB (4.2), A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ Hơn nữa, tập nghiệm Ω of (4.1) khác rỗng Giả sử { xn } dãy sinh bởi: x0 ∈ C    yin = PC ( xn − λAi ( xn )),       zin = PC ( xn − λAi (yin )),  j j j   wn + rn Bj (wn ) − z¯n , z − wn ≥ 0, ∀z ∈ Q,      x = P (z¯ + µA∗ (w¯ − Az¯ )) , n +1 C n n n z¯n w¯ n xác định Thuật toán 4.1 Khi đó, λ ∈ 0, || A2||2 0, L , rn ≥ d > 0, µ ∈ { xn } hội tụ yếu tới nghiệm Ω Định lý 4.4 Giả sử Ai , Bj toán tử thỏa mãn điều kiện AB A : H1 → H2 toán tử tuyến bính bị chặn với toán tử liên hợp A∗ Hơn nữa, tập nghiệm Ω (4.1) khác rỗng Giả sử { xn } sinh bởi: x0 ∈ C, C0 = C   i  yn = PC ( xn − λAi ( xn )),       zin = PC ( xn − λAi (yin )),        wnj + rn Bj (wnj ) − z¯n , z − wnj ≥ 0, ∀z ∈ Q,    t = PC (z¯n + µA∗ (w¯ n − Az¯n )) ,  n      Cn+1 = { v ∈ Cn : ||tn − v|| ≤ ||z¯n − v|| ≤ || xn − v||} ,      x n +1 = PCn +1 ( x0 ) z¯n , w¯ n , λ, rn µ xác định Định lý 4.3 Khi đó, dãy { xn } hội tụ mạnh tới PΩ ( x0 ) 4.3 Thử nghiệm số Kết luận chương Trong chương này, đề xuất hai thuật toán song song giải toán SEP hai không gian Hilbert thực Các thuật toán kết hợp hai phương pháp PPM EGM với phương pháp chiếu co Hai định lý hội tụ yếu mạnh thiết lập giả thiết sử dụng phổ biến cho song hàm 22 Kết luận chung Luận án đề xuất số phương pháp song song giải toán dạng GCFP bao gồm toán giải hệ phương trình toán tử accretive, toán CFPP, toán CSVIP, toán CSEP, toán tìm nghiệm chung hỗn hợp toán SEP Các kết thu luận án bao gồm: Phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (IPIRM) phương pháp chỉnh lặp song song (EPIRM) cho hệ phương trình toán tử accretive không gian Banach Phương pháp lai ghép song song tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận) không gian Banach trơn lồi Phương pháp lai ghép PPM song song, phương pháp chiếu EGM song song, phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo tìm nghiệm chung toán EP và/hoặc toán VIP toán FPP không gian Hilbert Banach Phương pháp chiếu GLM tìm nghiệm toán EP không gian Hilbert Phương pháp PPM - EGM song song giải toán cân tách không gian Hilbert Một số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Các kết luận án mở rộng để giải hệ phương trình với toán tử accretive kết hợp với xấp xỉ hữu hạn chiều không gian Banach Nghiên cứu phương trình Hammerstein loại (vế trái hợp toán tử đơn điệu) phương trình với toán tử hiệu toán tử đơn điệu Nghiên cứu kỹ thuật phân rã song song, chia miền để xây dựng phương pháp song song Đề xuất phương pháp dạng chiếu gradient với số lần thực phép chiếu tính giá trị toán tử bước lặp để giải toán VIP GEP (Generalized Equilibrium Problem) 23 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Anh P.K., Buong Ng., Hieu D.V (2014), "Parallel methods for regularizing systems of equations involving accretive operators", Appl Anal 93(10), pp 2136-2157 Anh P.K., Hieu D.V (2015), "Parallel and sequential hybrid methods for a finite family of asymptotically quasi φ - nonexpansive mappings", J Appl Math Comput 48, pp 241-263 Anh P.K., Hieu D.V (2015), "Parallel hybrid methods for variational inequalities, equilibrium problems and common fixed point problems", Vietnam J Math., DOI: 10.1007/s10013-015-0129-z Hieu D.V (2015), "A parallel hybrid method for equilibrium problems, variational inequalities and nonexpansive mappings in Hilbert space", J Korean Math Soc 52(2), pp 373-388 Hieu D.V., Muu L.D., Anh P.K (2016), "Parallel hybrid extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings", Numer Algorithms, DOI: 10.1007/s11075-0150092-5 Hieu D.V (2015), "The common solutions to pseudomonotone equilibrium problems", Bull Iranian Math Soc (Accepted for publication) Hieu D.V (2016), "Parallel hybrid methods for generalized equilibrium problems and asymptotically strictly pseudocontractive mappings", J Appl Math Comput., DOI :10.1007/s12190-015-09809 Hieu D.V (2016), "Parallel extragradient-proximal methods for split equilibrium problems", Math Model Anal., DOI:10.3846/13926292.2016.1183527 Hieu D.V (2016), "An extension of hybrid method without extrapolation step to equilibrium problems", J Ind Manag Optim (Revised) 10 Hieu D.V (2016), "Some projection methods for common solutions to equilibrium problems", RAIRO - Operations Research (Revised) 24