ok_C_1_mot_so_mo_hinh_va_phuong_phap_toi_uu

Trao đổi trực tuyến tại: www.mientayvn.com/chat_box_toan.html Chương I MỘT SỐ MƠ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU Mơ hình quy hoạch tuyến tính 1.1 Các bước cần thiết áp dụng phương pháp mơ hình hố − Trước hết phải khảo sát, phát vấn đề cần giải − Phát biểu điều kiện ràng buộc, mục tiêu tốn dạng định tính Sau lựa chọn biến định / ẩn số xây dựng mơ hình định lượng (cịn gọi mơ hình tốn học) − Thu thập số liệu, xác định phương pháp giải − Định quy trình giải / thuật giải Có thể giải mơ hình cách tính tốn thơng thường Đối với mơ hình lớn, gồm nhiều biến nhiều điều kiện ràng buộc cần lập trình giải mơ hình máy tính − Đánh giá kết Trong trường hợp phát thấy có kết bất thường kết khơng phù hợp với thực tế, cần kiểm tra chỉnh sửa lại quy trình giải mơ hình − Triển khai phương án tìm thực tế Các thuật ngữ sau thường gặp áp dụng phương pháp mô hình hố: − Ứng dụng tốn / Tốn ứng dụng (Mathematical Applications hay Applied Mathematics) − Vận trù học (Operations Research viết tắt OR) − Khoa học quản lí (Management Science viết tắt MS) 1.2 Mơ hình quy hoạch tuyến tính Phát biểu mơ hình Với mục đích tìm hiểu bước đầu, xét mơ hình tốn học sau đây, cịn gọi mơ hình quy hoạch tuyến tính hay tốn quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), mà muốn tối ưu hố (cực đại hố hay cực tiểu hoá) hàm mục tiêu: z = c1x1 + c2x2 + cnxn → Max (Min) với điều kiện ràng buộc: a11x1 + a12x2 + +a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + +a2nxn ≤ b2 am1x1 + am2x2 + +amnxn ≤ bm x1, x2, , xn ≥ (điều kiện khơng âm) Ví dụ: z = 8x1 + 6x2 → Max với ràng buộc: 4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x , x2 ≥ Cần tìm giá trị biến định x1, x2 để ràng buộc thoả mãn hàm mục tiêu đạt giá trị lớn Bài tốn có ý nghĩa kinh tế sau: Giả sử xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm I II Để sản xuất đơn vị sản phẩm I cần có đơn vị nguyên liệu loại A đơn vị nguyên liệu loại B, tiêu cho đơn vị sản phẩm loại II Lượng nguyên liệu dự trữ loại A B có 60 48 (đơn vị) Hãy xác định phương án sản xuất đạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận đơn vị sản phẩm bán (đơn vị tiền tệ) cho sản phẩm loại I II Phương pháp đồ thị Phương pháp đồ thị có ý nghĩa minh hoạ giúp hiểu chất vấn đề Bước 1: Vẽ miền ràng buộc / miền phương án khả thi, tập hợp phương án khả thi (các phương án, nói cách ngắn gọn) Mỗi phương án thể qua số (x1, x2) gọi véc tơ nghiệm, thoả mãn tất ràng buộc có (xem hình I.1) − Trước hết vẽ đồ thị 4x1 + 2x2 = 60 cách xác định hai điểm đồ thị: (x1 = 0, x2 = 30) (x2 = 0, x1 = 15) x2 30 4x1 + 2x2 = 60 12 A B 2x1 + 4x2 = 48 C O 15 24 x1 Hình I.1 Phương pháp đồ thị giải tốn quy hoạch tuyến tính Đồ thị đường thẳng chia mặt phẳng làm hai nửa mặt phẳng: phần gồm điểm (x1, x2) thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60; phần thoả mãn 4x1 + 2x2 ≥ 60 Ta tìm nửa mặt phẳng thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60 − Tương tự, vẽ đồ thị 2x1 + 4x2 = 48 cách xác định hai điểm thuộc đồ thị (x1 = 0, x2 = 12) (x2 = 0, x1 = 24) Sau tìm nửa mặt phẳng thoả mãn 2x1 + 4x2 ≤ 48 − Lúc này, giao hai nửa mặt phẳng tìm cho ta tập hợp điểm (x1, x2) thoả mãn hai ràng buộc Tuy nhiên, để thoả mãn điều kiện không âm biến, ta xét điểm nằm góc phần tư thứ Vậy miền phương án khả thi miền giới hạn tứ giác OABC (cịn gọi đơn hình miền tạo nên giao nửa mặt phẳng) Bước 2: Trong miền (OABC) ta tìm điểm (x1, x2) cho z = 8x1 + 6x2 đạt giá trị lớn Cách 1: Dùng đường đồng mức Tùy theo giá trị x1, x2 mà z có mức giá trị khác − Vẽ đường đồng mức: 8x1 + 6x2 = c mức c = 24, (ta chọn giá trị c bất kì, chọn c = 24 bội số chung để việc tìm toạ độ điểm cắt hai trục toạ độ thuận lợi hơn) Dễ dàng tìm hai điểm nằm đường đồng mức (x1 = 0, x2 = 4) (x2 = 0, x1 = 3) Các điểm nằm đường đồng mức cho giá trị hàm mục tiêu z = 24 − Tương tự, vẽ đường đồng mức thứ hai: 8x1 + 6x2 = 48 qua hai điểm (x1 = 0, x2 = 8) (x2 = 0, x1 = 6) Chúng ta nhận thấy, tịnh tiến song song đường đồng r mức lên theo hướng véc tơ pháp tuyến n (8, 6) giá trị hàm mục tiêu z = 8x1 + 6x2 tăng lên Vậy giá trị z lớn đạt đường đồng mức qua điểm B(12, 6) (tìm x1 = 12, x2 = cách giải hệ phương trình 4x1 + 2x2 = 60 2x1 + 4x2 = 48) Kết luận: Trong phương án khả thi phương án tối ưu (x1 = 12, x2 = 6) Tại phương án này, giá trị hàm mục tiêu lớn zmax = × 12 + × = 132 Nhận xét: Phương án tối ưu toán (hay BTQHTT khác, có) ln đạt đỉnh đơn hình hay cịn gọi điểm cực biên đơn hình (chính xác hơn, điểm cực biên điểm thuộc đơn hình, mà khơng thể tìm đoạn thẳng thuộc đơn hình nhận điểm điểm trong) Nhận xét định lí tốn học chứng minh cách tổng qt Nói cách hình ảnh, muốn đạt phương án tối ưu cho BTQHTT cần phải “mạo hiểm” xét điểm cực biên miền phương án Cách 2: Từ nhận xét trên, để tìm phương án tối ưu ta cần so sánh giá trị hàm mục tiêu điểm cực biên miền phương án Tính giá trị z O(0, 0): z(0, 0) = 0; A(0, 12): z(0, 12) = 72; C(15,0): z(15, 0) = 120; B(12, 6): z(12, 6) = 132 = Max{z(O), z(A), z(B), z(C)} Vậy zmax = 132 Nhận xét: Muốn tìm phương án tối ưu BTQHTT ta xuất phát từ điểm cực biên đó, tìm cách cải thiện hàm mục tiêu cách tới điểm cực biên kề Tiếp tục tìm phương án tối ưu Trong trường hợp BTQHTT có phương án tối ưu quy trình giải bao gồm hữu hạn bước (do số điểm cực biên hữu hạn) Đối với BTQHTT xét, quy trình giải minh hoạ sau: O(0, 0) → → z=0 → A(0,12) z = 72 → B(12,6) dừng z = 132 hoặc: O(0, 0) → → z=0 → C(15, 0) z = 120 B(12, 6) dừng → z = 132 Sơ đồ khối Bắt đầu Nhập liệu Tìm điểm cực biên xuất phát Kiểm tra điều kiện tối ưu Sai Đúng In lưu trữ kết Dừng Hình I.2 Sơ đồ khối giải BTQHTT Tìm điểm cực biên kề tốt Quy trình giải BTQHTT tổng quát có sơ đồ khối giản lược trình bày hình I.2 Trong sơ đồ trên, mục đích trình bày vấn đề đơn giản, không đề cập tới trường hợp BTQHTT có miền phương án tập rỗng (lúc ta khơng tìm phương án xuất phát) ta khơng tìm điểm cực biên kề tốt điều kiện tối ưu chưa thoả mãn (lúc tập giá trị hàm mục tiêu z không bị chặn) 1.3 Phương pháp đơn hình Đây phương pháp số giải BTQHTT theo sơ đồ Để giải ví dụ cho, trước hết cần đưa BTQHTT dạng tắc cách thêm vào biến bù không âm x3 x4 sau: z = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 → Max với ràng buộc: 4x1 + 2x2 + x3 2x1 + 4x2 = 60 + x4 = 48 x , x2 , x3 , x4 ≥ Cách lập biến đổi bảng đơn hình Để giải BTQHTT dạng tắc đây, cần lập số bảng đơn trình bày bảng I.1 Trước hết, cần điền số liệu tốn cho vào bảng đơn hình bước 1: − Cột cột hệ số hàm mục tiêu ứng với biến sở chọn Phương án xuất phát chọn x1 = x2 = (đây điểm gốc toạ độ O(0, 0)), x3 = 60, x4 = 48) Như bước chưa bước vào sản xuất, nên phương án chưa có đơn vị sản phẩm loại I hay II sản xuất (chỉ “sản xuất” lượng nguyên liệu dư thừa, ta nói “sản phẩm” loại III IV), giá trị hàm mục tiêu z tạm thời Các biến bù có giá trị lớn có nghĩa nguyên liệu loại tương ứng chưa sử dụng hết Ta gọi biến x3 x4 biến sở chúng có giá trị lớn x1 x2 biến ngồi sở chúng có giá trị Với tốn có hai ràng buộc, bước có hai biến sở − Cột cột biến sở Trong cột (cột phương án) cần ghi giá trị biến sở chọn − Các cột cột hệ số điều kiện ràng buộc tương ứng với biến x1, x2, x3 x4 toán cho Bảng I.1 Các bảng đơn hình giải BTQHTT Hệ số hàm mục tiêu cj Biến sở Phương án c1 = c2 = c3 = c4 = x1 x2 x3 x4 0 x3 x4 60 48 2 0 z0 = z1 = z2 = z3 = z4 = ∆1 = ∆2 = ∆3 = ∆4 = 15 18 1/2 1/4 −1/2 z0 = 120 z1 = z2 = z3 = z4 = ∆1 = ∆2 = ∆3 = −2 ∆4 = 12 0 1/3 −1/6 −1/6 1/3 z0 = 132 5/3 2/3 0 −5/3 −2/3 Hàng z Hàng ∆j = cj − zj x1 x4 Hàng z Hàng ∆j = cj − zj x1 x2 Hàng z Hàng ∆j = cj − zj Phân tích bảng đơn hình bước − Hệ số ứng với biến x1 hàng thứ a11 = có nghĩa tỉ lệ thay riêng đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại III (giải thích: xét phương trình / ràng buộc thứ 4x1 + 2x2 + x3 = 60, x1 tăng đơn vị x3 phải giảm bốn đơn vị giữ ngun x2) Tương tự ta giải thích ý nghĩa hệ số aij khác cho hàng hàng bảng đơn hình bước − Chúng ta xét hàng z bảng đơn hình Để tính z1, cần áp dụng cơng thức z1 = (cột hệ số hàm mục tiêu) × (cột hệ số biến x1) = 0×4 + 0×2 = (giá đơn vị sản phẩm loại III)×(tỉ lệ thay riêng loại I / loại III) + (giá đơn vị sản phẩm loại IV) × (tỉ lệ thay riêng loại I / loại IV) = tổng chi phí phải bỏ đưa thêm đơn vị sản phẩm loại I vào phương án sản xuất = Các giá trị zj, với j = 1, 2, 3, 4, tính tương tự chi phí đưa thêm đơn vị sản phẩm loại xj vào phương án sản xuất Còn z0 giá trị hàm mục tiêu đạt phương án xét: z0 = (cột hệ số hàm mục tiêu)× (cột phương án) = 0×60 + 0×48 = − Trên hàng ∆j cần ghi giá trị ∆j, j = 1, 2, 3, 4, tính theo cơng thức ∆j = cj –zj = lợi nhuận đơn vị sản phẩm – chi phí đơn vị sản phẩm Vậy ∆j "lãi biên"/một đơn vị sản phẩm đưa thêm đơn vị sản phẩm loại j vào phương án sản xuất Nếu ∆j > hàm mục tiêu tăng ta đưa thêm đơn vị sản phẩm loại j vào phương án sản xuất Có thể chứng minh ∆j đạo hàm riêng ∂z/∂xj hàm mục tiêu z theo biến xj Như vậy, x1 tăng lên z tăng lên cịn x2 tăng lên z tăng lên Do ∆1 ∆2 dương nên khả cải thiện hàm mục tiêu chuyển sang (hay “xoay sang”) phương án cực biên kề tốt (quay lại nhận xét phần giải toán phương pháp đồ thị: điểm cực biên kề điểm (0, 0) A(0, 12) hay C(15, 0)) Thủ tục xoay (pivotal procedure) Bước 1: Chọn cột xoay cột có ∆j > tức chọn biến xj làm biến sở xj tăng kéo theo hàm mục tiêu tăng Ở ta chọn đưa x1 vào (đánh dấu √ cột ∆1) Bước 2: Chọn hàng xoay để xác định đưa biến khỏi số biến sở (vì bước số biến sở không thay đổi) Để chọn hàng xoay, ta thực quy tắc “tỉ số dương bé nhất" cách lấy cột phương án (60 48)T chia tương ứng cho cột xoay (4 2)T để chọn tỉ số bé Một điều cần ý ta xét tỉ số có mẫu số dương Vì Min{60/4, 48/2} = 60/4 đạt hàng đầu, nên ta đánh dấu √ vào hàng xoay hàng đầu (hàng tương ứng với biến x3) Do cần đưa x3 khỏi biến sở Bước 3: Chọn phần tử xoay nằm giao hàng xoay cột xoay Bước 4: Xoay sang bảng đơn hình mới, xác định biến sở để điền vào cột biến sở, đồng thời thay giá trị cột hệ số hàm mục tiêu Sau đó, tính lại phần tử hàng xoay cách lấy hàng xoay cũ chia cho phần tử xoay để có hàng tương ứng Bước 5: Các phần tử cịn lại bảng đơn hình tính theo quy tắc "hình chữ nhật": (1)mới = (1)cũ – (2)cũ× (4)cũ/(3)cũ, (3) đỉnh tương ứng với phần tử xoay (xem hình I.3) (2) (3) Chẳng hạn: (1)cũ = 4, 2(cũ) = (3)cũ = phần tử xoay = 4, (4)cũ = 2 = ⇒ (1)mới = − × (1) (4) Hình I.3 Quy tắc hình chữ nhật Giải thích: Các bước xoay phép biến đổi tương đương hệ phương trình 4x1 + 2x2 + x3 2x1 + 4x2 = 60 (a) + x4 = 48 (b) để có hệ x1 + (1/2)x2 + (1/4)x3 = 15 (a’) 0x1 + 3x2 − (1/2)x3 + x4 = 18 (b’) cách lấy phương trình (a) chia cho (phần tử xoay) để có (a’), lấy (b) trừ bớt × (a)/4 để có (b’) Đây nội dung bước bước Còn bước đảm bảo giá trị biến sở không âm (x1 = 15, x4 = 18) Áp dụng thủ tục xoay cho phần tử nằm hàng bảng đơn hình bước 1, sau tính giá trị hàng zj ∆j tương tự lập bảng đơn hình bước 1, nhận bảng đơn hình bước Phân tích bảng đơn hình bước Bảng bước phân tích tương tự bảng bước Cần ý lúc ta vị trí điểm C(15, 0) x1 = 15 x2 = 0; giá trị hàm mục tiêu z0 = 120 cải thiện so với bước Ta thấy ∆2 = > nên cịn cải thiện hàm mục tiêu cách chọn biến x2 làm biến sở Thực bước xoay sang phương án cực biên kề tốt hơn, có bảng đơn hình bước Phân tích bảng đơn hình bước Tại bảng đơn hình bước ta thấy điều kiện tối ưu thoả mãn (∆j ≤ ∀j=1, 2, 3, 4) nên khơng cịn khả cải thiện phương án Phương án tối ưu đạt x1 = 12, x2 = 6, x3 = 0, x4 = 0, tức điểm cực biên B(12, 6) với giá trị zmax = 132 Một số ý − Điều kiện tối ưu cho BTQHTT dạng Max ∆j ≤ ∀j − Đối với BTQHTT cần cực tiểu hố hàm mục tiêu điều kiện tối ưu (hay tiêu chuẩn dừng) ∆j ≥ ∀j (nếu tồn j mà ∆j ≤ cần tiếp tục cải thiện hàm mục tiêu cách chọn cột j làm cột xoay ) − Trong thực tiễn giải BTQHTT dạng tổng quát xảy trường hợp khơng tìm phương án xuất phát (tức khơng có phương án khả thi, xem thêm mục 1.2) Lúc kết luận mơ hình thiết lập có điều kiện ràng buộc chặt chẽ, cần xem xét nới lỏng điều kiện − Trong trường hợp ta tìm cột xoay mà khơng tìm hàng xoay kết luận hàm mục tiêu không bị chặn (đối với BTQHTT dạng Max) không bị chặn (đối với BTQHTT dạng Min) Khi dừng q trình giải kết luận mơ hình quy hoạch tuyến tính thiết lập không phù hợp với thực tế 1.4 Giải mô hình quy hoạch tuyến tính phần mềm tính tốn Hiện có nhiều phần mềm tính tốn giải BTQHTT hiệu Excel, Lingo Những phần mềm thân thiện với người dùng Tuy nhiên cần nhấn mạnh rằng, việc phát biểu mơ hình tốn phân tích, đánh giá kết khâu quan trọng phương pháp mơ hình hố Sau đây, dùng phần mềm Lingo để giải ví dụ xét z = 8x1 + 6x2 → Max với ràng buộc: 4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x , x2 ≥ Để giải toán này, cần cài đặt Lingo vào máy tính Nhấn vào biểu tượng Lingo hình để vào cửa sổ Lingo Sau thực lệnh Lingo: Menu > New > gõ vào liệu tốn hình I.4 Hình I.4 Nhập liệu tốn quy hoạch tuyến tính Lingo Tiếp theo, cần nháy chuột vào nút LINGO giải toán để thu kết chi tiết hình I.5 Hình I.5 Kết giải tốn quy hoạch tuyến tính Lingo Kết chi tiết cho ta biết giá trị cực đại hàm mục tiêu 132 với phương án tối ưu là: x1 = 12, x2 = Các giá trị tối ưu biến đối ngẫu y1 = 5/3 y2 = 2/3 (còn gọi giá ước định hay giá bóng Shadow Prices) 1.5 Một số ứng dụng phương pháp đơn hình Ví dụ: Giải BTQHTT hai mục tiêu z1 = 8x1+ 6x2 → Max z2 = x1 + 3x2 → Max với ràng buộc: (D) 4x1 + 3x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48 x1 , x ≥ a Bước khởi tạo − Giải BTQHTT cho mục tiêu ví dụ ta có hai tốn: Max z1 = 8x1 + 6x2 → Max với điều kiện ràng buộc (D) cho phương án tối ưu X1(12, 6) Max z1 = 132; z2 = x1 + 3x2 → Max cho phương án tối ưu X2(0, 12) Max z2 = 36 Như miền phương án tối ưu Pareto phương án thuộc AB (xem r r hình I.1), với A(0, 12) B(12, 6) n1 (8, 6) hướng tăng mục tiêu 1, n (1, 3) hướng tăng mục tiêu Do đó, chọn phương án tối ưu Pareto dịch dần từ B A z1 giảm, z2 tăng Cần tìm phương án tối ưu Pareto "thoả mãn nhất" thuộc AB cách “thương lượng” z1 z2 − Lập bảng pay−off cho mục tiêu Phương án Xi z1 z2 X1(12, 6) 132 30 72 36 X (0, 12) Dựa thông tin bảng pay−off, ta có z1W = 72, z1B = 132; cịn z 2W = 30, z B2 = 36 Do đó, đoạn biến thiên cần xét cho z1 [72, 132] cho z2 [30, 36] Từ thiết lập hàm thoả dụng mờ ứng với hai mục tiêu cho sau: µ1 ( z1 ) = 72 z1 z z − 72 z1 − z1W = = − = − 1,2 B W 60 60 132 − 72 60 z1 − z1 Hàm thoả dụng mờ phụ thuộc vào z1, nên phụ thuộc vào (x1, x2) Khi có phương án khả thi (x1, x2) ta tính độ thoả dụng µ1 ( z1 ) mục tiêu z1 Tương tự z2 ta có hàm thoả dụng mờ: z − 30 z z − z W2 = − µ2 (z2 ) = B W = 36 − 30 z2 − z2 Lập hàm thoả dụng tổ hợp u = w1 µ1 (z1 ) + w2 µ (z ) , w1, w2 trọng số thoả mãn ≤ w1, w2 ≤ w1 + w2 = b Các bước lặp z1 z z z − 1,2) + 0,5 ( − 5) = ( + ) + 60 120 12 z z 1,9 Để cực đại hoá hàm thoả dụng tổ hợp, ta cần tìm Max ⎧⎨ + ⎫⎬ Vậy chúng ⎩120 12 ⎭ Xét w1 = 0,5 w2 = 0,5, có u = 0,5 ( ta cần giải toán: Max u = z1 z + với ràng buộc (D), hay toán tương 120 12 đương: z = 120u/18 = x1 + 2x2 → Max với ràng buộc (D) Giải BTQHTT ta có kết (0, 12) Nếu thay đổi giá trị trọng số (w1, w2) thu phương án Pareto khác nhau, nằm đoạn AB Chú ý: Chú ý rằng, với trọng số (w1, w2) ta tìm phương án tối ưu Pareto (x1, x2) cách làm cực đại hoá hàm thoả dụng tổ hợp u thiết lập Cứ chọn trọng số w1, w2 khác ta có phương án tối ưu Pareto khác Từ phương án đó, chọn phương án tối ưu Pareto tốt Phần mềm MULTIOPT phiên 1.0 xây dựng dựa phương pháp thoả dụng mờ tương tác nhằm giải BTQHTT đa mục tiêu Chương trình xây dựng ngơn ngữ Visual Basic, có giao diện đơn giản dễ dùng Các chức phần mềm bao gồm: − Chức nhập liệu cho BTQHTT đa mục tiêu cách trực quan: nhập liệu qua bàn phím nhập liệu từ tệp − Xuất toán nhập tệp − Giải toán: theo dõi bảng pay−off giải theo phương pháp trọng số − Xuất kết tệp: xuất kết trung gian tệp / xuất kết cuối tệp Sau cài đặt chương trình, liên kết đến chương trình tạo menu Start > Programs Windows Để khởi động chương trình, kích hoạt menu Start > Programs > Tối ưu đa mục tiêu Sau đó, cần phải chọn tốn cách vào menu Chương trình, để chọn Bài tốn tuyến tính Người sử dụng nhập liệu theo hai cách sau: Nhập liệu từ bàn phím Chọn menu Xử lí tốn > Nhập liệu > Nhập từ bàn phím Các số liệu đầu vào chương trình bao gồm: − n − số biến; − m − số ràng buộc; − m1 − số ràng buộc = ; − p − số mục tiêu; − ep − số dương đủ nhỏ; − gz − số dương đủ lớn Nhập liệu từ tệp Thực lệnh Xử lí tốn>Nhập liệu>Nhập từ tệp, sau chọn tệp liệu Ví dụ: Giải tốn quy hoạch tuyến tính ba mục tiêu z1 = x1 − 2x2 + 3x4 → Max z2 = −3x1 + 6x2 − 9x4 → Max z3 = 5x1 + x2 + 2x3 → Max với ràng buộc: −2x1 + x3 ≤ 6; x1 + x2 + 5x3 ≤ 6; 6x1 + 5x2 − 3x3 ≤ 6; −x3 + 4x4 ≤ 8; x1, x2, x3, x4 ≥ Như vậy, muốn cực đại hoá đồng thời ba hàm mục tiêu miền D phương án khả thi thoả mãn đồng thời bốn ràng buộc điều kiện không âm biến Hình 1.7 Nhập liệu từ bàn phím Trong bước khởi tạo, ta nhập liệu từ bàn phím hình I.7 − Sau nhập liệu, thực tính bước trung gian (tính giá trị bảng pay−off, tính giá trị cho hàm thoả dụng) cách chọn Xử lí tốn>Tính tốn>Tính trung gian − Thực Xử lí tốn>Tính tốn>Phương pháp trọng số Trên hình xuất form nhập giá trị trọng số (xem hình I.7: giá trị trọng số nhập cho có tổng 1) Sau nhập giá trị trọng số nhấn vào nút Giải tốn để giải tốn (xem hình I.8) Hình I.8 Nhập giá trị trọng số giải bi toỏn Kết hình I.8 x1 = 1,45, x2 = 0, x3 = 0,91, x4 = 0, µ1 (z1 ) = 0,42, µ (z ) = 0,58, µ3 (z3 ) = 1; z1 = 1,45, z2 = −4,36 vµ z3 = 9,09 ứng với trọng số w1 = 0,2, w2 = 0,3 w3 = 0,5 Mơ hình tối ưu phi tuyến đơn đa mục tiêu 4.1 Một số khái niệm Mơ hình tối ưu tổng qt Mơ hình tối ưu tổng quát, hay toán tối ưu tổng quát, có dạng: F(X) → Min (Max) với X ∈ D ⊂ Rn Ở F(X) hàm vơ hướng hay hàm véc tơ, tuyến tính hay phi tuyến Trong trường hợp F(X) hàm vơ hướng ta có mơ hình tối ưu đơn mục tiêu, cịn F hàm véc tơ có mơ hình tối ưu đa mục tiêu D gọi miền ràng buộc hay miền phương án khả thi, thường biểu diễn đẳng thức và/hoặc bất đẳng thức Mơ hình tối ưu phi tuyến đơn mục tiêu Dạng tắc tốn tối ưu mục tiêu biểu diễn sau: f(X) → Min (Max), X = (x1, x2, …, xn)∈ Rn,