BTTS

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC BỘ MÔN TỐN BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Mã mơn học: TN005 Người soạn: PHẠM BÍCH NHƯ Cần Thơ - 11/2006 Mục lục Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm ma trận Phép toán hàng dạng bậc thang ma trận 1.2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 5 Chương MA TRẬN 23 2.1 Các phép toán ma trận 23 2.2 Ma trận khả nghịch 36 Chương ĐỊNH THỨC 47 3.1 Khái niệm định thức 47 3.2 Các phép toán sơ cấp hàng định thức 51 3.3 Ứng dụng định thức 56 Chương KHÔNG GIAN VECTƠ 4.1 Không gian vectơ không gian 4.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở không gian vectơ 4.3 Tọa độ sở 4.4 Số chiều không gian vectơ 4.5 Không gian hàng hạng ma trận 4.6 Chuyển sở 79 79 94 111 114 127 130 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 133 5.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính, nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 133 5.2 Sự đẳng cấu không gian véctơ hạng ánh xạ tuyến tính 148 5.3 Biểu diễn ma trận ánh xạ tuyến tính 157 Chương VECTER RIÊNG, CHÉO HĨA VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG171 6.1 Giá trị riêng vectơ riêng 171 6.2 Chéo hóa ma trận 184 Tài liệu tham khảo 199 Mục lục Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm ma trận Phép toán hàng dạng bậc thang ma trận Tóm tắt lí thuyết: Để có dạng bậc thang ma trận A, ta sử dụng thuật toán rút gọn hàng theo lược đồ sau: Bước 1: Dùng phép đổi hàng ( cần) để có phần tử cột khác (tính từ trái sang phải ) phần tử đỉnh cột Đây phần tử chốt thứ Bước 2: Dùng phép thay hàng để biến tất phần tử đứng phía phần tử chốt thứ (trong cột) thành phần tử Bước 3: Lặp lại hai bước ma trận thu từ ma trận ban đầu cách bỏ hàng cột chứa phần tử chốt thứ nhất, tiếp tục phần tử chốt cuối Bài tập 1.1 Đưa ma trận sau dang bậc thang:       −3 2 −4 −6 B=  C =  −5  A =  −4  −5 3 −4     −3 −2    −1  D = −2 E = −3 −4 −7 10 Giải       −3 −3 −3 −5  −→  −1  + A =  −4  −→  −5 −1 0        5        + B = −→ −→ −4 −→ −4 3 −3 0        −4 −6 −5 −5 −26  −→  + C =  −5  −→  −4 −6  −→  −4 −4 −9 26    −5 −26  0 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH     −3 −3 + D =  −2  −→  0  −4 0       −2 1 −7 10 −7 10 −1  −→  −3 −1  −→  −6 −1  + E =  −3 −7 10 2 −2 0 Bài tập 1.2 Đưa ma trận sau dang bậc thang rút gọn:      2 −1 −2 1 10 13  B =  −1  C= A= 4 6 20 19 −5 −5      −1 2 −1  11 −5        −2 D= E = F =  −5  −6 1 Giải      1 0  2 −1    10 13  −→  +A= 4  0   6 20 19  0   13    11 11 11  −2       −10 15 −5 −→  + B = −1    11 11 11 −5 −5   0 0  17  11       −2    −1  −→  +C=  3    −2   0   13    11 11  −1    11 −5    −5  −→   +D=    −5  11 11    0 0  1 0 0      0 −1     −2  −→  +E=   0  −6 −1  0  −2 1 −1  −2  −2 −1   0 1  −3 1.1 Khái niệm ma trận Phép toán hàng dạng bậc thang ma trận     −2 0  −1     −→  0  +F =  0  0  1  −3 0 0 Tóm tắt lí thuyết: Để tìm hạng ma trận A khác không, ta dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa A dạng bậc thang Lúc hạng ma trận A số dịng khác khơng ma trận bậc thang Bài tập 1.3 Xác định hạng ma trận sau:     1 A=  B=  5     4 2 D=  E= 1  12 0 3    −1 −1 −2    −2 −2  H= G=  −1   1 −9 −2 −6 Giải           + A = −→ −→ 5 Suy r(A) =2     1 1 + B =   −→   0 Suy r(B) =     1 −3 0  −→   + C =  −1 −3 0 Suy r(C)  =3    4 + D =   −→  0 0  12 0 0 Suy r(D) =1   2 +E= 1  0 3 Suy r(E) =3     0 + F =   −→  1  0 1   1 −3  C =  −1 −3   F =   −1   13  10  −1  0 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Suy r(F  )=3   −1 −1    −2  +G= −→   −1   −9 Suy r(G) =    −2 −1   −2   −→  +H=   13  −2 −6 10 Suy r(H) =  −1 −1 −7   0  0  −2 −1 −1   0  0 0 Bài tập 1.4 Tìm biện luận hạng ma trận theo tham số m, n:     1 −3 m 5m −m m 10m  A= m  B =  2m m −m −2m −3m     1 m 0 n  m 10   n m 0     C=  17  D =  n m  2 0 n m Giải       1 −3 1 −3 1 −3 −1 m +  −→  −1 m+6  + A =  m  −→  m m−1 0 m + 5m - Nếu m = m = −5 r(A) = - Nếu m6= m 6= −5  r(A) = m 5m −m m 10m  + B =  2m −m −2m −3m - Nếu m = r(A) =0    −1 −1 10  −→  −3  ⇒ r(B) = - Nếu m 6= B −→  −1 −2 −3 0       17 17 3 1  10     m 10   1  −5m m       −→  −→  0 +C=    17 2   m 10 2 0 - Nếu m = r(C) = - Nếu m6= r(C) =  m 0 n  n m 0   +D=  n m  0 n m 1.2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss - Nếu m = n = r(D) = - Nếu m 6= n 6= r(D) =  m 0 n  −n  m  m   - Nếu m 6= n 6= D −→  n3  0 m  m2   −m4 + n4 0 − m3 1.2       r(D) = m = n  ⇒ r(D) = nếum 6= n     Giải hệ tuyến tính tổng qt Phương pháp Gauss Tóm tắt lí thuyết: Để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b phương pháp Gauss ta thực bước sau: - Bước 1: Lập ma trận đầy đủ A∗ hệ: A∗ = [A|b] -Bước 2: Đưa A∗ dạng bậc thang Giả sử A∗ ∼ B -Bước 3: Kết luận + Nếu r(A∗ ) > r(A), tức ma trận B có dịng có dạng (0, 0, , 0, α), α 6= hệ vơ nghiệm + Nếu r(A∗ ) = r(A) = n (số ẩn) hệ có nghiệm + Nếu r(A∗ ) = r(A) = r < n hệ vơ số nghiệm phụ thuộc vào n − r tham số  +x2 +x3 =  3x1 +5x2 +9x3 = −2 Ví dụ:  x1 +2x2 +3x3 = Giải Ma trận đầy đủ hệ là:       1 3 3 h ↔h3 h2 →h2 −3h1  −2  − A∗ =  −2  −−1−−→ −−−−−−→  −1 −11  1 1 3       1 −3 1 −3 0 h →h2 +h3 h ↔h3 h2 →h2 −h3  1  −− −−2−−− −−→  0 −8  −−2−−→ −−−−→  11  h1 →h1 −2h3 h1 →h1 −h3 1 0 −8 0 −8 Vậy nghiệm hệ là: (5, 11, −8) Bài tập 1.5 Mỗi ma trận cho sau ma trận đầy đủ hệ phương trình tuyến tính, xác định hệ có nghiệm khơng, có viết nghiệm 10 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH   −1  a A∗ =  0 −5  1 ∗  b A = 1 0    3 1 −1  0 3  d A∗ =  c A∗ =  0  0 0 0 −2 0 Giải   2 −1  a A∗ =  0 −5       Hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm có hàng (0; 0; 0; −5)  1 b A∗ =  1  0  Ta có: r(A) = r(A∗ ) nên suy hệ  x1 =    x2 = Nghiệm hệ có dạng: x3 =    x4 = có nghiệm 1−t −1 − t , với t ∈ R t   1 −1 3  c A∗ =  0 0 −2 Ta có: r(A) = r(A∗ ) nên suy hệ    x1 =     x2 = Nghiệm hệ có dạng:   x3 =     x =   d A∗ =   0 0 0   3  h4 →h4 −3h3  − −−−−−−→    có nghiệm −15 −t t , với t ∈ R 2 0 0  3   0  −8 Hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm có hàng (0; 0; 0; −8) Bài tập 1.6 Xác định tồn tính nghiệm hệ sau: