Kiến thức cơ bản và nâng cao hình học 12 (tái bản lần thứ nhất) phần 1

lX(f^) =2 Hinh 11 N T Hinh 12 Khong Id khoi da dien / JL Hinh Hinh la kh6'i da dien lOi cu th^ la hinh chop ngu giac ABCDEF Co so dinh D = 6, s6 canh C = 10, s6' mat M = => X(H) = + - 10 = ffinh la khd'i da dien I6i c6 D = 12 so canh C = 18, s6 mat M = 8, X ( H ) = 12+8-18 = i f ffinh la khoi da dien kh6ng I6i, D = 9, C = 14, M = 8, X(H, = 9+8-14 = ffinh khong la kh6'i da dien ffinh khong la kh6'i da dien Hinh 13 Hinh 14 Hinh 15 Khd'i da dien khdng iSi Khoi da dien khdng Idi D = 16,C = 28,M = 14 Hinh 18 Hinh 16 Hinh 17 Khd'i da dien khdng iSi Khd'i da dien khdng loi D = 24.C = 48,M = 24 sau va dan lai khd'i da dien diu: V i du 7: Cho hinh tarn mat diu canh a Tmh th^ tich khoi bat dien deu Chung minh rang tarn cac mat cua hinh bat dien d^u la cac dinh ciia hinh lap phuong Tinh thi tich kh6'i lap phuong nay: Hinh bat dien deu chinh la hai hinh chop tii giac deu chung day ABCD CO dien tich day m6i chop la a^ (ABCD la hinh vu6ng canh a) ASCS' cung la hinh vu6ng canh a nen SS' = a-\/2 Do chieu cao cua m6i Khoi mat deu loai (3,3) chop tu" giac deu la — a ^f2 VSy th^ tich kh6'i mat la: ay/2 V, = 2.^a 1 _ a 'V2 Kh6'i mat diu loai (4,3) Goi tarn ciia mat ben SAB, SAC, SCD, SDA la M , N , P, Q Goi trung die'm ciia AB, BC, CD, DA la M ' , N', F, Q' Ap dung dinh ly Talet ta de 2 AC dang suy M N = NP = PQ = QM = ^ M N ' = M N P Q la hinh vu6ng nen MNPQ la hinh vu6ng canh Khoi mat deu loai (3,4) Do aV2 Chirng minh tuofng tu cac tam M " , N", P", Q" ciia SAB, S'BC, SCD, SDA cung se tao hinh vuong canh - ^ ^ ^ , MNN' M " cung vay suy mat ciia MNPQ.M"N"P"Q" deu la hinh vu6ng Vay MNPQM"N"P"Q" la hinh lap phuong Khi the tich ciia hinh lap phuong la V = MN^ = ^V2 Khoi 12 mat deu loai (5,3) a' ^2 don vi the tich 27 Ti so the tich hinh lap phuong va kh6'i mat d^u la: '6 _ 2V2a^ 27 Khoi 20 mat deu loai (3,5) Hinh 19 9• V2a^- V i du Cho hinh lap phuomg A B C D A ' B ' C ' D ' canh a, bang g6 Got kh6'i lap I phuong de lay khoi mat deu noi tiep no, nghia la dinh ciia khoi mat deu la tam cua mat cua khoi lap phuong n Tinh o the tich kh6'i mat Tinh the tich ph^n g6 bo t—i— tr di \ \ a Do tinh cha't cua hinh lap phuong ta dl C \ y \ \ dang \ chumg minh O M = O N = OP = OQ = O ' M = O ' N = / = QM "~ V2 • = OA A Hinh deu la tam giac deu canh V = 41 The tich kh6'i raV2 \ 21 b Th^ tich hinh lap phucfng la a^ c / ' ^/ = mat ciia khoi OMNPQO' / ' O'P = O'Q = M N = NP = PQ / 4a^ 24 mat diu canh a4i theo v i du se la Hinh 22 The tich g6 bo d i la C BAI T A P V i du Hay phan chia h6p ABCD.A'B'C'D' cac khoi t i i dien, thuc hien theo budc sau: Chia hop ABCD A ' B ' C ' D ' a Hay chiing minh kh6'i da dien c6 cac mat la nhirng hinh da giac c6 so canh la le thi tong s6' cac mat phai la s6' chSn lang tru tam giac ABC.A'B'C va b Trong khoi da dien ne'u m6i dinh la dinh chung ciia mot s6' le mat thi CBD.CD'B' tdng so cac dinh cua no phai la mot s6' chan Chia m6i lang tru t i i dien va m6t hinh chop t i i giac Chia kh6'i lap phuomg khoi tii dien bang Chia hinh chop t i i giac tii dien Vay se c6 hinh t i i dien Chirng minh tam ciia cac mat cua tir dien deu lai la dinh ciia mot t i i dien d^u T i m t i s6' the tich cua kh6'i tii dien mdi va cu 4 Cho khd'i tii dien ABCD, E va F iSn luot la trung di^m cua AB va CD Hai mat phang (ABF) va (CDE) chia kh6'i tii dien ABCD khoi tii dien Ke ten cac khoi tii dien va chiing minh th^ tich khd'i tii ditn bang nhau, neu ABCD la khoi tii dien deu thi kh6'i tu didn trdn c6 bang khong? Cho chop S.ABC c6 ducmg cao SA = a Day la tarn giac vu6ng can c6 AB = BC = a Goi B' la trung diim SB, C la chan duomg cao A C cua ASAC a Tinh the tich cua khoi chop S.ABC b Chiing minh SC vu6ng goc A B ' C I c Tinh the tich cua kh6'i chop S.AB'C Hay chi each chia mot khoi tii dien hai kh6'i tii dien cho th^ tich ciia hai khoi tii dien c6 ti so bang — > cho tnrdrc n Cho kh6'i lang tru ABC.A'B'C c6 day la tarn giac deu canh a, dinh A' each deu dinh A, B, C canh ben A A ' tao vdri mat day goc 60° a Tinh the tich khoi lang tru b Chiing minh mat ben BCC'B' la mdt hinh chu nhat c Tinh tong dien tich cac mat ben ciia lang tru (goi la dien tich xung quanh ciia lang tru) 12 Hay tim th^ tich kh6'i h6p n6u d6 dai canh ben la a, dien tich hai mat cheo la S, va Sj, goc giffa mat cheo la a 13 Cho S.ABCD la chop deu, khoang each tir A den mat phang (SBC) la 2a, goc giua mat ben va mat day la a Tinh the tich V cua khoi chop, v6i a bang bao nhieu thi V c6 gia tri nho nhat? 14 Cho tii dien ABCD, khoang each giCra AB va CD la a, a la goc giiia hai ducmg thang Chiing minh VABCD = - AB.CD.a.sir\ a 15 Tinh the tich kh6'i tii dien ABCD biet AB = CD = a, AC = BD = b va A D = BC = c 16 Cho khoi lap phucmg ABCD.A'B'C'D' Cac diem E va F Hn luot la trung diem cua C B ' va C D ' Dung thie't dien ciia lap phuong bi cat bcri (AEF) Tinh ti s6' the tich hai ph^n ciia kh6'i lap phucmg mat phang (AEF) cat 17 Cho chop SABCD c6 day la hinh binh hanh Goi B', D' lan luot la trung diem ciia SB, SD Mat phang (AB'D') cat SC tai C Tim ti s6' the tich hai khd'i chop SABCD' va SABCD 18 Cho tii dien ABCD c6 didm O nam tir dien va each deu mat cua tii dien m6t khoang d Goi hA, hg, he, ho la khoang each tilt cac dinh den mat doi dien Chiing minh: Cho khoi chop SABC Tren canh SA, SB, SC lay diem A', B', C khac d \&v S Goi V la the tich chop SABC, V la thd tich chop S'A'B'C ^ V SA SB SC Chung minh — = — V SA' SB' SC Cho khoi lang tru diing ABC.A'B'C c6 day la tam giac vuong tai A, ACB = 60° AC = b BC tao v6i (AA'CC) goc 30° Tinh d6 dai A C va tinh the tich V cua khoi lang tru da cho: 10 Cho A ^ hop ABCD.A'B'C'D' c6 tat ca cac =BAD = A ^ canh la a, cac goc = a (a < 90°) Hay tinh th^ tich cua h6p I I Cho h6p ABCD.A'B'C'D' c6 day ABCD la hinh chii nhat canh la a, b, hai mat ben (ABB'A') va (ADD'A') tao vdi day ABCD goc 45° va 60° Tinh th^ rich ciia h6p n^u canh ben A A ' la c 1 1 + — hg + — hp + hp 19 Cho chop S.ABC, M la mot diem nam day ABC, cac du5ng thang qua M song song vdfi SA, SB, SC Mn luot cat (BCS), (CAS), (ABS) tai A', B', C Chung mmh —ALSCS Vs^c ^ ^ SA SA ^ SB khong doi SC 20 Cho khd'i chop S.ABCD c6 day ABCD la hinh binh hanh Mat phang (P) cat cac canh ben tai K, L, M , N Chiing minh VgABCD = SA SC SB SD va — + =— + — SK SM SL SN VSACD = ^SABD = VSBCD- 21 Cho khdi chop S.ABCD c6 day ABCD la hinh chff nhat, canh ben SA vu6ng goc vdi day, mat phang (a) qua A va vuong goc SC cat SB, SC, SDaB',C',D' a Chiing minh AB'C'D' c6 goc dd'i dien la vudng b Chiing minh S chay trfen du6ng thing vu6ng goc vol day tai A thi (AB'C'D') lu6n di qua mot du5ng thing cd dinh va cac di^m A, B, B', C, C, D, D cung each m6t d'dm c6 dinh m6t khoang kh6ng d6i c Gia sur goc giua SC va (SAB) la x Tinh th^ tich cua chop S.AB'C'D' va S.ABCD bid't AB = BC 22 Cho tii dien ABCD: a Chiing minh neu chSn ducmg cao H cua tur dien xua't phat tiif A triing vdfi true tarn tam giac BCD va AB vuOng goc AC thi AC vu6ng goc AD va AD vuong goc vdfi AB b Gia sit BC = CD = DB, AB = AC = AD H la chdn duomg vudng goc tir A de'n (BCD), J la chan ducmg vu6ng goc tiir H xudng AD Dat AH = h, HJ = d Tinh th^ tich tii dien theo d va h c Chiing minh neu AABC va AABD c6 dien tich bang thi ducmg vu6ng goc Chung cua AB va CD di qua trung di^m cua CD 23 Cho hinh chop diu day la da giac diu n canh, canh day Ik a a Tinh th^ tich va didn tich xung quanh neu goc giiia canh bSn va day la a b tinh th^ tich va dien tich xung quanh n^u g6c gitta mat ben wk diy la]3 24 Cho hinh chop cut d6u day la da giac d^u n canh, canh day la a, b (a > b) a Tinh the tich va dien tich xung quanh chop cut ne'u goc giiia canh ben va day la a b Tinh th^ tich va dien tich xung quanh chop cut n^u goc giiia mat ben va day la p 25 Day hinh chop SABCD la hinh chff nhat, c6 AB = a, AD = b, SA vu6ng goc day va SA = 2a La'y M e SA vdi AM = x (0 < x < 2a) a (MBC) cat hinh chop theo thie't dien gi? Tun dien tich thiet dien a'y b Xac dinh x d^ (MBC) chia hinh chop hai phdn c6 th^ tich bang (DH Y Duoc Thanh ph6' H6 Chi Minh, nam hoc 1996, chucmg tiinh phan ban; 26 Cho tii dien ABCD, chiing minh: a Cac ducmg thang noi m6i dinh vdi tam mat doi diien dong quy tai m6t die'm G b Cac hinh chop dinh G c6 day la cac mat ciia tii dien c6 the tich bang 27 Cho tii dien SABC c6 cac goc phang d dinh S deu vuong a Chiing minh V3 SABC ^ SSAB + SSBC + ^SACb Cho SA = a, SB + SC = k, SB = x Tinh the tich tii dien theo a, k, x va xac dinh SB, SC de the tich tii dien SABC lorn nhat (DH Quoc gia Thanh ph6' Ho Chi Minh, nam hoc 1996) 28 Cho hinh chop tii giac d^u SABCD c6 tat ca cac canh bang a a Tinh the tich cua no b Tinh khoang each tii tam day de'n cac mat ben (DH Da Nang, khdi D, nam 1997) 29 Cho hinh chop OABC vdi OA, OB, OC vu6ng goc vdi tutng doi m6t va OA = a, OB = b, OC = c a Ke OH vu6ng goc vdi mat phang ABC Chiing minh H la true tam tam giac ABC b Cho H la true tam tam giac ABC Chiing minh OH vuong goc mat phang ABC c Tinh dien tich tam giac ABC theo a, b, c d Chiing minh: a^ tgA = b^tgB = e^tgC '' (DH Ngoai Ngfl Ha N6i, 1997, theo phan ban) 30 Cho hinh h6p ehff nhat ABCD.A'B'C'D' c6 A'A = a, AB = b, AD = e Tinh thd tich tii dien ACB'D theo a, b, c (Hoc vien Quan he qu6c te' nam 1997) 31 AB la du5ng vuong goc chung ciia hai dudfng thing cheo x, y Lay A e X, B e y, AB c6' dinh va AB = d Me x, N e y, M, N thay d6i va AM = m, BN = n (m, n > 0) Gia sir c6 m^+ n^ = k > 0, k khong doi a Xac dinh m, n d^ d6 dai doan thang MN dat gia tri Idn nhat, nho nhat b Trong trilcmg x vu6ng y va mn ^ 0, hay xac dinh m, n theo k va d d^ the tich tii dien A D M N dat gia tri iom nha't va tinh gia tri (DH Qudc gia Ha N6i, nam 1997, khoi A) 32 Cho tarn giac ABC can dinh A Mot dilm M thay ddi tren duofng thang vu6ng goc v6i mp (ABC) tai A (M Chuang II A) M A T NON;M A T T R U ,M A T C A U a Tim quy tich tarn G va true tam H cua tam giac MBC b Goi O la true tam tam giac ABC Hay xac dinh vi tri cua M de the tich tur dien OHBC dat gia tri Idn nha't I M A T NON, HINH NON, K H O I NON (DH Quoe gia Ha Noi, nam 1997, kh6'i B) 33 Cho hinh chop tii giac d6u S.ABCD c6 day ABCD la hinh vu6ng canh a va SA = SB = SC = SD = a a Tinh dien tich toan ph^n va the tich ciia hinh chop theo a A LY T H U Y E T C A N NH6 Su tao m^t tron xoay Trong khong gian cho mat phang a, chiia ducmg thang A va dudng r b Tinh cosin cua goc nhi diSn [(&45), (&4Z)) Khi quay mat phang a xung quanh ducmg thang A thi tap hop cac diem cua (DH Su pham TP Ho Chi Minh, khoi D - E - 2000) duofng r tao nen mot mat tron xoay nhan ducmg thang A lam true Ducmg 34 Cho hinh chop d^u SABCD Day ABCD la hinh vu6ng c6 canh bang 2a Canh ben SA = aVs Mat phang (P) di qua AB va vuong goc v6i mat phang (SCD) (P) Ian lugft cat SC va SD tai C va D' a Tinh dien tich ciia tii giac ABCD' b Tinh the tich ciia hinh da dien A B C D O ' C (Dai hoc Nong nghiep I - Kh6'i A - 2000) r sinh mat tron xoay nen dugfc goi la ducmg sinh cua mat tron xoay Tinh chat ciia mdt tron xoay * Ne'u cat mat tron xoay bed mot mat phang vuong goc vdi true A thi giao tuyen la m6t ducmg tron c6 tam nam tren true A * M6i diem M thu6c mat tron xoay d^u nam tren mot ducmg tron thu6c mat tron xoay va c6 tam tren true A (Cho nen ngudi ta noi mat tron xoay la tap hgfp cac ducmg tron nam tren cac mat phang vuong goc vdfi ducmg thang A c6' dinh va c6 tam nam tren ducmg thang A ) Mat non tron xoay Dinh nghia: Cho ducmg thang d va A cat tai O tao goc cp vdfi < < 90" Khi quay ducmg thang d xung quanh true A cho goc cp khOng thay ddi thi tao mat non tron xoay (goi tat la mat non) (h.23) O goi la dinh ciia mat non va goc is dinh bang 2(p, d goi la ducmg sinh cua mat non B Vf DU Hinh non Vi du 1: Mot hinh vuong canh a noi tiep day hinh non Mat phang qua dinh hinh non va canh hinh vuong cat hinh non theo m6t thiet dien la tam giac can c6 goc a dinh bang a Tim dien tich xung quanh ciia hinh non Giai Ta CO = ml day r = AH, / = SA ABCD la hinh vuong canh a suy AC=aV5,AH=^ = 2 ^ Goi I la trung di^m cua AB suy Hinh 23 Hinh 24 lA = IB = I va SI vuong goc AB, (do Cho tam giac vuong OAB vuong a A Khi quay tam giac quanh canh OA thi ducmg gS'p khiic OBA tao Hinh 25 tam giac SAB la tam giac can); ASI = ^ mot hinh tron xoay (con goi tk la hinh non) Hinh tron tam A canh AB tao quay goi la mat day ciia hinh non Trong tam giac vuong SI A ta c6: SA = O goi la dinh ciia hinh non, d6 dai doan OA goi la chieu cao, 66 dai AI sin a 2sin — doan OB goi la dudng sinh ciia hinh non Canh OB quay tao mat xung quanh ciia hinh non VayS, =7t tron xoay (goi tk la khd'i non) Dinh, chi^u cao, ducmg sinh cua hinh non cung la dinh, chi^u cao, dircmg sinh ciia khoi non Dien tich xung quanh ciia hmh non, the tich cua khoi non = u r/ (Sxq la dien tich xung quanh, r la ban kinh hinh tron day, / la duomg sinh) V = - 7t r'h (V la the tich, h la chieu cao, r la ban kinh hinh tron day) a 2sin^ Khoi non tron xoay Ph^n khong gian gidi han bdi hinh non va ca hinh non gpi la khoi non aV2 4sin — Vi du Thiet dien qua true ciia hinh non la mot tam giac deu canh a Tim dien tich xung quanh ciia hinh non va the tich ciia khoi non Giai: Cat hinh non dinh S, day la hinh tron (O) bang mot mat phang qua true SO, thiet dien la A SAB deu canh a (h.26) Hinh 26 T1 R6 rang ducmg sinh SB = / = a, ban kinh day r = ^ = ^ Theo cong thiic tinh dien tich xung quanh hinh non: S,^ = ml suy S^^ = TI ^ a = ^ c Tinh ti s6' th^ tich ciia hinh chop va hinh non 40 Cho hinh chop tam giac deu SABC canh ben nghieng v6i day goc (p, canh day AB = a Mot hinh non dinh S c6 day la hinh tron noi tiep tam giac ABC ^.a^ a Tinh dien tich xung quanh ciia hinh non theo a va SO la ducmg cao ciia tam giac deu canh a, nen SO = — y Theo cong thiic tinh the tich khS'i n6n: b Tinh ti s6' the tich cua khoi non va kh6'i chop da cho theo a va cp I I MAT T R U , HINH T R U , K H I T R U V=-7tr'h A LY THUYET CAN NHCl dday r = -a, h = SO= flV3 Vay V = _ -n raV ^/3 24 Mat tru tron xoay * Dinh nghia: Cho hai ducmg thang A va £ song song vdi va each mot khoang r thi mat tron xoay sinh bcfi ducmg thang £ quay quanh C BAI TAP 35 Trong mat phang (P) cho O co dinh Mot ducmg thang / thay doi lu6n di qua O cho goc giiJa / va mat phing (P) luon bang cp kh6ng d6i Chiing minh rang / luon nam tren m6t mat tron xoay xac dinh 36 Ducmg sinh cua hinh non c6 dai 5m va tao v6i mat day mot goc bang 30° Tinh dien tich thiet dien qua true cua hinh non a'y Agoi la mat tru tron xoay (goi tat la mat tru) A goi la true ciia mat tru, £ goi la ducmg sinh cua mat tru (h.27) 1||||P * cat mat tru boi m6t mat phang vuong goc vod A thi thiet dien la m6t du5ng tron c6 tam nam tren A va c6 ban kinh r Hinh tru 37 Cho hinh non c6 thiet dien qua true la mot tam giac deu, ban kinh day la R; tinh dien tich ciia thiS't dien qua hai dudng sinh tao m6t goc a 38 Ban kinh day cua hinh non bang 3m, chieu cao bang 4m a Tinh dai ducmg sinh va goc tao hbi ducmg sinhvoi mat day b Tinh dien tich xung quanh c Tinh the tich cua khoi non 39 Cho hinh vuong ABCD canh a noi tiep day hinh non c6 dinh S cho goc SAB = 60° a Chung minh rang SABCD la hinh chop tu: giac deu Hinh 27 Hinh 28 b Tinh the tich hmh chop SABCD theo a 23 Cho hinh chO nhat A B C D , k h i quay hinh chff nhat quanh canh A B thi ducmg gap kJuic A D C B tao mot hinh tru tron xoay (goi tat la hinh tru) (hinh 28) K h i quay canh A D va EC se sinh hai ducmg tron bang goi la hai mat day cua hinh tru K h i quay canh DC sinh mot mat tru tron xoay goi la mat xung quanh Giai a Ke M M ' vuong goc vdi day dudi thi OO' song song M M ' nen goc tao bdi M N va OO' la goc N M M ' = or va mp ( M N M ' ) vudng goc day Ke O I vudng goc M ' N suy vudng goc ( M N M ' ) ne'u O I la khoang each tur true den dudng thang M N Trong tam giae vuong M M ' N ta cd t a n a = cua hinh tru A D = BC goi la Mn kinh day cua hinh tru A B la true cua hinh tru, d6 dai doan DC la d6 dai ducmg sinh cua hinh Suy MM' M ' N = M M ' = M M ' tan a M'N = atan« tru, cung la c h i l u cao cua hinh tru Khoi tru trrjn xoay Tam giae M ' O N can dinh O nen I la trung d i ^ m M ' N Phan khong giain gidi han boi hinh tru va ca hinh tru goi la khoi tru trdn S u y r a N I = — M ' N =—atana 2 xoay (goi tat la khoi tru) Ban kinh day, dttdng sinh, chieu cao, mat xung quanh ctia hinh tru cung A p dung dinh ly Pitago tam giae vudng N O I ta cd: la ban kinh day, ducmg sinh, chieu cao, mat xung quanh cua kh6'i tru 01= Dien tich xung quanh hinh tru, the tich khoi tru = ;T rh (S^^, la dien tich xung quanh, r la ban kinh day, h la c h i l u V = ;r r'h (V thd tich kh6'i tru) ^ B V I DU: A B O K la dudng cao cua tam giae d^u BAO canh a nen K O = c Ke ir vudng day dudi thi 11' song ducmg song va bang O'O, I'F la hinh chie'u cua IF cao tren day dirdi ma IF vudng gdc FE (gt) nen bang ban kinh day va bang a La'y I'F vudng gdc FE theo dinh l i ba dudng M , N la diem thupc ducmg tron hai vudng gdc: day cho M N tao vdi true hinh tru goc b Theo ddu bai thi A B C D la hinh vudng nen A B = a Lap luan gidng cau a thi O K la khoang each tuf true hinh tru den mp (P), vdi K la trung diem cao cua hinh tru) Mot hinh tru c6 -aV4-tan2a a a Tinh khoang each tiif true PFE Hinh 29 hinh tru den du&ng thang M N b Mat phang (P) song song true, cat hinh tru theo m6t thie't dien la hinh vuong Ti'nh khoang each tOr true hinh tru den mp (P) e Mat phang (Q) khong song song vdi true hinh tru, cat no theo mot thie't dien la hinh vu6ng Tinh goc tao bcri true hinh tru va mp (Q) = I v suy I'E la dudng kinh Do EF vudng gdc IF va I'F nen EF mp (H'F) suy mp (UEF) m p d l ' F ) Ke I ' K IF t h i I ' K l mp (UEF) K I la hinh chie'u cua 11' tren Q nen gdc tao bdi n' va Q la gdc FFE tao bdi true O'O va Q => nd cung la gdc J' 0\ Tilr hai tarn giac vudng IFF va EFI' c6 cung canh goc vuong I' F, cho: IF' - ir' = I'E' - EF' suy IF' - a' = 4a' - IF' » IF = Suy cos I'FE = :— TF = aVio C BAI T A P 41 Cho mat phang (P), mot di^m A nSm tren (P), m6t diem B nSm ngoai (P) cho hinh chieu B' cia B tren (P) khOng triing v6i A Mot di^m M chay (P) cho luon c6 ABM = BMB' Chiing minh rang diem M luon nam tren m6t mat tru tron xoay c6 true la AB 42 Mot hinh tru c6 chieu cao bang ban kfnh day, ngucri ta ke trdn hai day ban kfnh lam m6t goc 30" Tinh goc giua true ciia hinh tru va ducmg thang n6'i hai diem miit cua hai ban kinh tren 43 Chieu cao cua hinh tru bang 2m, ban kinh day bang 7m, mot hinh vuong ndi ti6p hinh tru cho b6'n dinh cua no deu nam tren hai ducmg tron day, tinh canh ciia hinh vuong 44 Chiing minh rang hai tiep dien ciia hinh tru hoac song song hoac cat theo mot giao tuy6'n song song vdi true hinh tru 45 Trong hinh chop tii giac deu, canh day bang a va goc nhi dien thu6c day bang a, CO mot hinh tru noi tiep ma ducmg cao va ban kfnh ciia no bang Chiing minh the tich hinh tru bang Tia^ sin' a 16V2sin' (a + 45°)* III MAT CAU A L Y T H U Y E T C A N NH6 Mat c^u Tap hgrp tat ca cac di^m M kh6ng gian each diem O m6t Ichoang bang r (r > 0) goi la mat ciu tam O ban kinh r Ki hi6u la (O; r), CO viet la (O) Nhu vay ( O ; r) = {M| O M = r' Hinh 31 Diem ndm tren, ndm trong, n^m ngoai mdt cau Cho di^m M va mat c^u ( O ; r) * N6'u OM = r thi M nam trdn mat cdu * Neu OM < r thi M nam mat c^u * Neu OM > r thi M nam ngoai mat cSu Vi tri tuong doi gi&a mat c^u va mat phang Cho mat ciu (O; r) va mat phang (P) Goi h la khoang each tir O den (P) (OH ± (P), H e (P) va dat OH = h) * Neu h > r thi (P) khdng cat mat cSu * Ne'u h = r thi (P) va mat cdu c6 mot diem chung nha't H Khi ta n6i (P) tie'p xuc vdi mat cau (O, r) tai H Die'm H goi la tie'p di^m, (P) goi la tie'p dien ciia mat c^u * Neu h < r thi (P) cat mat ciu theo m6t ducmg tron tarn H ban kinh r= V P ^ Truomg hop dac biet h = 0, d6 (P) di qua O, mat phang (P) cat mat ciu (O, r) theo ducmg tron tam O ban kinh r Dircmg tron goi la r thi A khong c6 diem chung vdi C suy A khong c6 diem Giai: chung vdi mat c5u (O; r) * Neu d = r thi A tiep xiic vdi C tai H va H la di^m chung nha't cua mat c^u va A K h i ta noi A la tiep tuyen cua mat cau, H la tiep diem * Neu d < r, A c i t C tai M va N thi hai diem chinh la giao diem cua A va mat cSu (O; r) A Thiet dien qua true ciia hinh non la tam giac can A B C va c i t hinh ciu tam I theo dudng tron tam I ban kinh 10 = R tiep xiic vdi canh ciia AABC H i ^ n nhien I la giao ciia cac dudng phan giac ciia AABC Dac biet neu A d i qua tam ciia C va c i t C tai hai diem A , B thi A B la ducmg kinh ciia mat cau (O; r) Nhan xet: Qua mot diem M bat ky tren mat c^u c6 v6 s6' tiep tuyen ciia mat cau, cac tiep tuyen deu vu6ng goc v6i O M Cac tiep tuyen deu thuoc mot tiep dien vuong goc v6i O M tai M Qua mat diem M n i m ngoai mat c^u (O; r) c6 v6 so tiep tuyen vdi mat Trong tam giac vudng OIC, C I la dudng phan Cong thijfc tinh dien tich mat cau va the tich khoi cau S = 47tr' cua goc C Hinh 32 nen ICO = - C ma goc C la goc tao bdi dudng sinh va day nen C = a a ICO = -a , O C = r n e n I O = R = r t a n — ' 2 Theo cdng thiic tinh dien tich mat cSu S = 4TtR^ ciu da cho cac tiep tuyen tao mot mat non tron xoay dinh M , do dai doan t h i n g n6'i tCr A den tiep diem deu bang giac \ Vay S = 47t a rtan — = 47:r^tan^- rtan — = — Tir , a tan — V i du 2: Cho tam giac ABC thuoc mat phing (P) va A x ± (P) La'y S tren A x Goi H , K la hinh chieu vudng goc ciia A tren SB va SC a) Chiing minh cac diem A , B, C, H , K ciing nam tren mot mat c^u b) Tinh ban kinh mat c i u biet A B = 2, A C = 3, B A C = 60° 48 Trong mat phSng (P), cho hinh vu6ng ABCD Tren ducmg thang Ax vuong goc vdi mat phang (P) lay diem S bat ky, dung mat phang (Q) di qua A va vuong goc vdi SC Mat phang (Q) cat SB, SC, SD lin luot tai B', C , D' Chiing minh rang cac diem A, B, C, D, B', C , D' cung nam tren mot mat cau Giai a) Gpi O la tarn ducmg tron ngoai tiep tam giac ABC Ke ducmg kinh AD ta c6: BD ± AB ma SA ± (P) suy (SAB) (P), BD c (P) va BD AB => 49 Trong mp (P) c6 ducmg thang d c6 dinh va mot diem co dinh A g d Goc BD (SAB) => BD ± A H , ta lai c6 A H SB (-t) suy A H ± xOy = Iv thuoc (P) quay quanh A, Ax va Ay cat d tai B, C Cho d' (SBD) A H HD Chiing minh tuofng tu ta c6 Hinh 33 A K ± KD Nhu vay cac diem A, B, C, H , K each O C O dinh m6t khoang bang AD (P) tai A Lay S e d' Goi H va K la cac hinh chie'u vuong goc cua A tren SB va SC a) Chiing minh cac die'm A, B, C, H, K cCing nam tren m6t mat c^u khong doi Vay chiing nSm tren mat c^u tam O bdn kinh AD b) Tinh ban kinh mat ciu bie't AB = 2, AC = 3, BAC = 60° (AD la ducmg kinh ciia dudng tron ngoai tiep AABC) c) Cho AABC vuong tai A Chiing minh mat c^u ngoai tiep kh6'i da dien ABCKH luon di qua m6t ducmg tron c6' dinh S chay tren d' b) Ap dung dinh ly ham s6' cosin va han s6' sin vao AABC ta c6: d) Tim quy tich tam I (tam mat c^u ngoai tiep tii dien SOAB goc B C = A B ' + A C ' - 2AB ACcosA vuong xOy quay quanh O) Chiing minh mat c^u (I) luon lu6n di qua ? m6t dudng tron cd dinh = 2'.+ ' - c o s ° = Cho tii dien ABCD vdi AB = AC = a, BC = b Hai mat phang (BCD) va EC = V? va — = AD sin A (ABC) vuong goc vdi va BDC = 90° Xac dinh tam va ban kinh VT" V3 _ 2V2T = AD=> AD = vay ban kinh hinh c^u la: OA = AD V2T C BAI TAP mat c^u ngoai tie'p tii dien ABCD theo a va b Cho hai hinh chu nhat ABCD (AC la dudng cheo) va ABEF (AE la "t; dudng cheo) khdng ciing nam mot mat phang va thoa man cac I dieu kien AB = a, A D = AF = ayfl; dudng thang AC vudng goc vdi dudng thang BP Goi HK la dudng vudng goc chung cua AC va BF (H thuoc AC, K thudc BF) a) Goi I la giao diem ciia dudng thang DF vdi mat phang chiia AC va song song vdi BF Tinh ty so' — 46 Tim the tich ciia m6t hinh lang tru diing c6 day la hinh thoi ma goc nhon bang a, ngoai tie'p hinh cSu c6 th^ tich V 47 Cho m6t tii dien c6 cac canh bang a Tim ban kinh hinh c5u ti^p xiic vdd tat c^ cac ranh ciia tii dien DF 2) Tinh dai doan HK 3) Tinh ban kinh mat cau ndi tiep tii dien ABHK (DHSP Ha Ndi - Khd'i A, 2001) b) S chay tran Ax J- day tai A Chiing minh mp AB'C'D' lu6n di qua mo; ducmg thang cd dinh va bay di^m A, B, B', C, C, D, D' cung thupc mot mat c^u cd dinh O N T A P cHiroNG i i c) Goi a < Iv la goc tao boi SC va mp (SAB) Cho ABCD la hinh vu6ng, hay tinh ti so the tich giua hai khdi chop SAB'C'D' va SABCD I CAU H O I T R A C N G H I $ M Cho hinh non dinh S, day la hinh tron (O; r), duomg sinh AB tao vdi day m6t goc a cos a b) Qua A dung mat phang (a) vudng goc vdi SC Tinh den tich thiet B ^ cos a C ^ sin a D ^ sin a 53 The tich cua khdi non tao bcri hinh non tren la: Tir^tana 7ir^ 3sina n day nam tren (P) cd chieu cao h va ban kinh cung la R, (h < 2R), r» 3cosa 3cotga C 37n-h (x < 2R, X < h) Hay tinh tdng dien tich cua hai thidt dien theo R, h va x D 27rrh B Tir'h C 27n-'h Cho tur dien ABCD cd AB = BC = CA = AD = BD = aV2 , CD = 2a D -Tir^h 56 Mot hinh tru c6 ban kinh bang a, chieu cao bang b M6t mat phang song song vdi true each true mot khoang la c cat hinh tru theo m6t thi^t dien CO dien tich bang bao nhieu? A.b7c' - a' B ab Bieu thu-c a'y thich hop cho trudng hop h < x < 2R, neu ta keo dai cac dudng sinh ciia hinh non de chiing cat mat phang (Q) 55 The tich khdi tru cho hai hinh tru or CSLU 54 bang: A.-7tr'h Ngudi ta cat hai hinh bang mat phang (Q) song song vdi (P) dugc hai thiet dien va goi x la khoang each giiia hai mat phang (P) va (Q) Dien tich xung quanh ciia hinh non tr6n la: B -Trrh dien tao bdi mat phang (a) va hinh chop 59 Mot hinh cSu ban kinh R tiep xuc vdi mat phang (P) Mdt hinh non c6 54 M6t hinh tru c6 ban kinh day la r, chi6u cao la h A Tirh tam giac d^u a) Tim tam va ban kinh cua mat cSu ngoai tiep hinh chop 52 Dien tfch xung quanh cua hinh non la: A.JE1 58 Cho hinh chop deu S.ABCD c6 cac canh ben bang a va mat cheo SAC la C be D 2h^a^ - c' a) Chiing minh AB CD Xac dinh dudng vudng goc chung ciia AB va CD b) Tinh the tich tir dien ABCD c) Xac dinh tam I mat c^u ngoai tiep tii dien ABCD d) H la hinh chie'u vudng gdc ciia I tren mp ABC Chimg minh H la true tam AABC (Trfch de thi vao trudng DH Su pham Quy Nhon nam 1979, khong phan ban) I I BAI T A P 57 Day hinh chop SABCD la hinh chfi nhat, canh ben SA vu6ng goc vdi day Mat phdng qua A vuong goc SC, cat SB, SC, SD tai B', C, D' a) Chiing minh tii giac AB'C'D' eo hai goc ddi dien la goc vu6ng 61 Cho hinh chop tam giac deu S.ABC cd canh day bang 2^6 va dudng cao SO = Goi M, N Ian lugt la trung diem ciia AC, AB Tinh the tich hinh chop SAMN va ban kinh hinh cau ndi tiep hinh chop (Trich de thi vao DH Kinh te qudc dan, 1979) 33 [...]... va I'F nen EF 1 mp (H'F) suy ra mp (UEF) 1 m p d l ' F ) Ke I ' K 1 IF t h i I ' K l mp (UEF) K I la hinh chie'u cua 11 ' tren Q nen gdc tao bdi n' va Q la gdc FFE tao bdi true O'O va Q => nd cung la gdc J' 0\ Tilr hai tarn giac vudng IFF va EFI' c6 cung canh goc vuong I' F, cho: IF' - ir' = I'E' - EF' suy ra IF' - a' = 4a' - IF' » IF = Suy ra cos I'FE = :— TF = aVio 2 5 C BAI T A P 41 Cho mat phang... ngoai tiep tam giac ABC Ke ducmg kinh AD ta c6: BD ± AB ma SA ± (P) suy ra (SAB) 1 (P), BD c (P) va BD 1 AB => 49 Trong mp (P) c6 ducmg thang d c6 dinh va mot diem co dinh A g d Goc BD 1 (SAB) => BD ± A H , ta lai c6 A H 1 SB (-t) suy ra A H ± xOy = Iv thuoc (P) quay quanh A, Ax va Ay cat d tai B, C Cho d' 1 (SBD) A H 1 HD Chiing minh tuofng tu ta c6 Hinh 33 A K ± KD Nhu vay cac diem A, B, C, H , K... mot hinh tru noi tiep ma ducmg cao va ban kfnh ciia no bang nhau Chiing minh the tich hinh tru bang Tia^ sin' a 16 V2sin' (a + 45°)* III MAT CAU A L Y T H U Y E T C A N NH6 1 Mat c^u Tap hgrp tat ca cac di^m M trong kh6ng gian each diem O m6t Ichoang bang r (r > 0) goi la mat ciu tam O ban kinh r Ki hi6u la (O; r), CO khi viet la (O) Nhu vay ( O ; r) = {M| O M = r' Hinh 31 2 Diem ndm tren, ndm trong,... day, dttdng sinh, chieu cao, mat xung quanh ctia hinh tru cung A p dung dinh ly Pitago trong tam giae vudng N O I ta cd: la ban kinh day, ducmg sinh, chieu cao, mat xung quanh cua kh6'i tru 01= 4 Dien tich xung quanh hinh tru, the tich khoi tru = 2 ;T rh (S^^, la dien tich xung quanh, r la ban kinh day, h la c h i l u V = ;r r'h (V thd tich kh6'i tru) ^ B V I DU: A B O K la dudng cao cua tam giae d^u... (Trfch de thi vao trudng DH Su pham Quy Nhon nam 19 79, khong phan ban) I I BAI T A P 57 Day hinh chop SABCD la hinh chfi nhat, canh ben SA vu6ng goc vdi day Mat phdng qua A vuong goc SC, cat SB, SC, SD tai B', C, D' a) Chiing minh tii giac AB'C'D' eo hai goc ddi dien la goc vu6ng 61 Cho hinh chop tam giac deu S.ABC cd canh day bang 2^6 va dudng cao SO = 1 Goi M, N Ian lugt la trung diem ciia AC, AB... giac vuong SI A ta c6: SA = O goi la dinh ciia hinh non, d6 dai doan OA goi la chieu cao, 66 dai AI sin a 2sin — doan OB goi la dudng sinh ciia hinh non Canh OB trong khi quay tao thanh mat xung quanh ciia hinh non VayS, =7t tron xoay (goi tk la khd'i non) Dinh, chi^u cao, ducmg sinh cua hinh non cung la dinh, chi^u cao, dircmg sinh ciia khoi non do 6 Dien tich xung quanh ciia hmh non, the tich cua... quanh, r la ban kinh day, h la c h i l u V = ;r r'h (V thd tich kh6'i tru) ^ B V I DU: A B O K la dudng cao cua tam giae d^u BAO canh a nen K O = c Ke ir vudng day dudi thi 11 ' song ducmg song va bang O'O, I'F la hinh chie'u cua IF cao tren day dirdi ma IF vudng gdc FE (gt) nen bang ban kinh day va bang a La'y I'F vudng gdc FE theo dinh l i ba dudng M , N la diem thupc ducmg tron hai vudng gdc: day sao... xuc vdi mat phang (P) Mdt hinh non c6 54 M6t hinh tru c6 ban kinh day la r, chi6u cao la h A Tirh tam giac d^u a) Tim tam va ban kinh cua mat cSu ngoai tiep hinh chop 52 Dien tfch xung quanh cua hinh non la: A.JE1 58 Cho hinh chop deu S.ABCD c6 cac canh ben bang a va mat cheo SAC la C be D 2h^a^ - c' a) Chiing minh AB 1 CD Xac dinh dudng vudng goc chung ciia AB va CD b) Tinh the tich tir dien ABCD c)... dien tich xung quanh ciia hinh non theo a va 9 SO la ducmg cao ciia tam giac deu canh a, nen SO = — y Theo cong thiic tinh the tich khS'i n6n: b Tinh ti s6' the tich cua khoi non va kh6'i chop da cho theo a va cp I I MAT T R U , HINH T R U , K H 6 I T R U V=-7tr'h A LY THUYET CAN NHCl 3 dday r = -a, h = SO= 2 flV3 Vay V = 2 _ 1 -n 3 raV ^/3 24 1 Mat tru tron xoay * Dinh nghia: Cho hai ducmg thang A va... la ducmg sinh cua mat tru do (h.27) 1| |||P * cat mat tru boi m6t mat phang vuong goc vod A thi thiet dien la m6t du5ng tron c6 tam nam tren A va c6 ban kinh r 2 Hinh tru 37 Cho hinh non c6 thiet dien qua true la mot tam giac deu, ban kinh day la R; tinh dien tich ciia thiS't dien qua hai dudng sinh tao thanh m6t goc a 38 Ban kinh day cua hinh non bang 3m, chieu cao bang 4m a Tinh do dai ducmg sinh