Bí quyết giải phương trình lượng giác

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác THẠC SĨ TRẦN MẠNH HÂN co m BÍ QUYẾT c GIẢI PHƯƠNG TRÌNH gb oc uo LƯNG GIÁC - CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC - CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC kh on - CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI HÀ NAM 8-2014 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  sin2 x   cos2 x  sin x  cos x    cos2 x   sin2 x    1 2   tan x  tan x  1  cos2 x cos2 x 1   cot2 x  cot2 x  1  sin x sin2 x  tan x cot x   cot x  tan x 4 sin x  cos x   sin x cos2 x ;   sin x  cos6 x   sin2 x cos2 x  sin3 x  cos x  (sin x  cos x )(1  sin x cos x )   sin x  cos3 x  (sin x  cos x )(1  sin x cos x )  co m uo c II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC on gb     Góc II     oc Góc I sin x cos x tan x cotx Góc III     Góc IV     III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT  Hai cung đối cos(x )  cos x tan(x )   tan x  Hai cung bù sin(  x )  sin x tan(  x )   tan x sin(x )   sin x cot(x )   cot x cos(  x )   cos x cot(  x )   cot x kh  Hai cung phụ  sin(  x )  cos x  tan(  x )  cot x  cos(  x )  sin x  cot(  x )  tan x sin(  x )   sin x tan(  x )  tan x cos(  x )   cos x cot(  x )  cot x  Hai cung   Hai cung  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  cos(  x )   sin x  cot(  x )   cot x  sin(  x )  cos x  tan(  x )   cot x  Với k số ngun ta có: sin(x  k 2)  sin x tan(x  k )  tan x m cos(x  k 2)  cos x cot(x  k )  cot x IV CƠNG THỨC CỘNG sin(x  y )  sin x cos y  cos x sin y cos(x  y )  cos x cos y  sin x sin y tan x  tan y tan(x  y )   tan x tan y cos(x  y )  cos x cos y  sin x sin y tan x  tan y tan(x  y )   tan x tan y c co sin(x  y )  sin x cos y  cos x sin y Đặc biệt: gb o cu o     sin 2x  sin x cos x   2 2 TH1: Cơng thức góc nhân đơi:  cos 2x  cos x  sin x  cos x    sin x   tan x   tan 2x     tan2 x   cos 2x  cos 2x ;cos2 x  Hệ quả: Cơng thức hạ bậc 2: sin x  2  sin 3x  sin x  sin x TH2: Cơng thức góc nhân ba:  cos 3x  cos x  cos x    V CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x y x y cos 2 x y x y cos x  cos y  2 sin cos 2 x y x y sin x  sin y  sin cos 2 x y x y sin x  sin y  cos sin 2 kh on cos x  cos y  cos 1 cos(x  y )  cos(x  y )  sin x sin y   cos(x  y )  cos(x  y ) sin x cos y   sin(x  y )  sin(x  y ) cos x sin y  sin(x  y )  sin(x  y ) cos x cos y  Chú ý:    sin x  cos x  sin x   sin x  cos x        cos x          sin x     cos x       Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN u  v  k 2 u  v  k 2  sin u  sin v   u    v  k 2  cos u  cos v   u  v  k 2 u  v  k    tan u  tan v    u    k    cot u  cot v      Đặc biệt:   k cos x   x  k 2 cos x  1  x    k 2 co sin x   x  k  m  u  v  k  u  k    cos x   x    k 2  sin x  1  x    k 2 c sin x   x  uo Chú ý:  Điều kiện có nghiệm phương trình sin x  m cos x  m là: 1  m   Sử dụng thành thạo câu thần " Cos đối - Sin bù - Phụ chéo" để đưa phương trình dạng sau phương trình bản:   cos u  sin v  cos u  cos   v    oc   sin u  cos v  sin u  sin   v    gb sin u   sin v  sin u  sin(v )  cos2 x   Đối với phương trình    sin x  cos u   cos v  cos u  cos(  v )   cos x  1 khơng nên giải trực tiếp phải giải  sin x  1  phương trình thành phần, việc kết hợp nghiệm khó khăn Ta nên dựa vào cơng  cos2 x  sin x   thức sin x  cos x  để biến đổi sau:     sin 2x   sin x  cos x    cos x  2 cos2 x       cos 2x   Tương tự phương trình   sin2 x  1  sin x    on kh Bài Giải phương trình sau    cos x          cos x     sin 2x          tan   x          Hướng dẫn giải:     3  cos x    cos  cos x         Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  3 ,v  , nên dựa vào cơng thức nghiệm ta có 4  3  3  k 2 x   k 2 x    4 4  Vậy nghiệm phương trình là: x    k 2 ; x    k 2 , (k  )          sin 2x      sin 2x      sin 2x    sin           m Ta xác định phương trình u  x  uo c co   2x       k 2 x     k    12   (k  )    2x     k 2  x   k            cos x    cos  cos x      cos x              x     k 2 x      k 2   12   (k  )   x     k 2 x     k 2   12           tan   x    tan   x    tan   x   tan     3   oc     x   k   x   k  , (k  ) 6 Chú ý: Đối với phương trình tan x  m ( tan x  m ), m số điều kiện  ng b cos x  ( sin x  ) khơng cần thiết Bài Giải phương trình sau    sin x  sin 2x           tan 3x    tan x    kh o         sin x    cos 2x            cot 2x    tan   x     6 4     Hướng dẫn giải:   x  2x    k 2 x     k 2   4  , (k  )    x    2x   k 2 x   k 2   4     2x    2  x  k 2 x  5  k 2         36  x      PT  cos 2x    cos        11  4 3  2x    x    x  k 2  k 2   12    Do PT có dạng tan u  tan v nên ta cần điều kiện cos u  cos v  Để đơn      giản ta chọn điều kiện: cos x     x    k   x   k  Khi đó:      sin x  sin 2x      Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1       5   k , (k  ) tan 3x    tan x    3x   x   k   x    24   5   k , (k  ) 24  Do biến đổi PT dạng tan u  tan v nên ta cần điều kiện cos u  cos v  Để đơn giản ta chọn điều kiện:      cos   x     x   k   x    k      3        2x  PT  cot 2x    tan x    tan x    tan             11   3  k (k  )   2x  k   x  36 c c x  Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: x  Bài Giải phương trình sau  11   k , (k  ) 36  cos2 x  sin x       2  sin x    cos x oc uo  cos2 x  2(  1) cos x   om Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: x  tan2 x  (1  3) tan x    Hướng dẫn giải:    cos x  x     k 2   (k  )  PT      x    k 2  cos x     kh on gb sin x  (lo¹i)   PT  2(1  sin2 x )  sin x    sin2 x  sin x     sin x  (t/m)  5  Vậy phương trình có nghiệm: x   k 2 x   k 2 , (k  ) 6  tan x    sin x  (lo¹i)   PT    tan x   sin x  sin x    sin x      5 Vậy phương trình có nghiệm: x   k 2 x   k 2 , (k  ) 6    cos 2x        cos 2x  PT   sin 2x   cos 2x  tan 2x  1  x    k  2 Bài Giải phương trình sau  sin x  cos x  sin 2x   sin Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam x x  cos4   sin x 2 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)   FB: thayHanSP1  4  2(sin x  cos x )  cos   2x     sin6 x  cos6 x  cos 4x Hướng dẫn giải: 1   sin2 2x  sin 2x  2  sin 2x  1    2x    k 2  x    k,(k  )  sin2 2x  sin 2x      sin 2x  (lo¹i) sin x   PT   sin2 x   sin x  sin2 x  sin x     x  k  (k  )  (lo¹i) sin x   sin 2x       x x   sin  sin   PT  sin 2x  sin 2x          sin 2x  2 (lo¹i)    2x   k 2  x   k ,(k  )  PT   sin2 x cos2 x   sin2 2x   sin2 2x   sin2 2x   sin 2x   2x  k   x  k ,(k  ) uo c co m  PT   sin2 x cos2 x  sin 2x  Bài Giải phương trình sau 4  sin x  cos x  sin x cos x  oc  sin x  (A06) x  (2  3) cos x  sin2 (  ) 1  cos x  gb  cos x  sin x   2(sin6 x  cos6 x )  sin x cos x Hướng dẫn giải: 1  PT   sin2 2x  sin 2x   sin2 2x  sin 2x    2   k ,(k  ) on x    sin 2x  1  sin 2x  (lo¹i)  kh  x    k     (A-2006) Điều kiện:  sin x   sin x   x    k 2     PT  2(sin6 x  cos6 x )  sin x cos x   1  sin2 2x   sin 2x     sin 2x     x   k  , (k  )  sin 2x  sin 2x      sin 2x   (lo¹i)  5 Kết hợp nghiệm ta thu nghiệm phương trình x   k 2 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 om   cos x  1   PT  cos4 x   cos2 x   cos4 x  cos2 x      cos2 x   (lo¹i)       cos2 x    cos 2x   2x   k   x   k , (k  )   Điều kiện: cos x   x    k 2   x    PT  (2  3)cos x  sin2 (  )  cos x    cos x  1  cos x    1    c     cos x  cos   x    cos x  sin x   tan x   x   k ,(k  )   oc Bài Giải phương trình sau  sin 3x  cos 2x  sin x  (D-2013)  sin 5x  cos2 x  (B-2013)  sin x  cos x   sin 2x (A-2014)  cos 3x  cos 2x  cos x   (D-2006) Hướng dẫn giải:  PT  sin 3x  sin x  cos 2x   cos 2x sin x  cos 2x   cos 2x (2 sin x  1)  on gb o cu  x    k    cos 2x        x    k 2  sin x      7  k 2 x    PT  sin 5x   cos 2x   cos 2x   sin 5x  cos 2x  sin 5x     x     k 2  x x k         (k  )   cos 2x  cos   5x     2  x     k 2 2x     5x  k 2   14    PT  sin x  cos x   sin x cos x  sin x (1  cos x )  2(2 cos x  1)    sin x  (lo¹i)   (sin x  2)(1  cos x )     x    k 2  cos x   kh  PT  cos 3x  cos x  cos 2x    2 sin 2x sin x  sin2 x   sin x    sin x (sin 2x  sin x )    sin  sin  x x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam   x  k   sin x  2 2 cos x        k 2 x   Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho sin x  a2  b2 C1: Đặt C2: Đặt a a2  b2 a a2  b2 b a  b2  cos ,  sin , cos x  b a  b2 b a  b2 c a  b2 om a  sin  Khi PT  sin(x  )   cos  Khi PT  cos(x   )  c a  b2 c a  b2 x ? x ? oc c  a  b2  Điều kiện có nghiệm phương trình: a  b  c  Chú ý: Khi phương trình có a  c b  c dùng cơng thức góc nhân đơi sử dụng phép nhóm nhân tử chung Bài Giải phương trình sau  cos x  sin x  cos 3x  sin 3x   sin x  cos x  sin 5x Hướng dẫn giải: on gb oc u   sin x  cos x   Nhận xét: Trong PT ta xác định hệ số a  1, b  3, c  thỏa mãn điều kiện a  b  c phương trình có nghiệm Để giải PT ta cần chia hai vế cho a  b  12  ( 3)2  kh  x    k      12 sin x   sin x     PT  cos x    2 6 x    k 2  12   x    k 2   1 3   12  sin x    cos x  sin x    PT    4  x  5  k 2 2  12     3x    k     2  cos 3x  sin 3x   sin   3x    3  PT     2 2   3x    k 2 3   x    k   36 , (k  )   2 x   k  36   1   PT  sin x  cos x  sin 5x  sin x    sin 5x   2 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1   5x  x    k 2 x    k    16      5x  x   k  x  k 2     Bài Giải phương trình sau   sin 2x  sin   2x      (  1)sin x  (  1)cos x     sin x  cos 3x   sin x  2 6  ;     cos 7x  sin 7x   0, x   m  Hướng dẫn giải:  1  sin 2x  cos 2x   sin 2x     2  uo   2x      k 2 x  k   6  (k  )  x    k   2x     k 2   6  1 1 1 sin x  cos x   PT  8 co sin 2x  cos 2x   c  PT  1 sin 5  12 1 bo c Nhận xét: Sử dụng máy tính 570ES PLUS ta bấm SHIFT SIN Vậy ta có nên đưa phương trình dạng cos hay chưa? Câu trả lời chưa Bởi kết thu 5 , tức 12 5 5 1 sin x  sin cos x  12 12 5 khơng phải giá trị cung lượng giác đặc 12 biệt có mặt SGK?Vì ta nên làm sau cho thuyết phục:   5     3 1  sin     sin cos  cos sin    12 6 2 2     5  5  5 5 1  sin x     cos   sin x  sin cos x   Nên PT  cos  12  12 12  12   x  5     k 2         5 7 5   12 12  sin x    cos    sin x    sin       12    12    13 12  12  x    k 2  12 12   2  k 2 , (k  ) Vậy phương trình có nghiệm: x    k 2 x  kh on g Ta có sin sin 3x  cos 3x  2   x     k    k 2  18  5  2    k 2 x   k   PT  sin 3x  cos 3x     3x        sin 3x         3x     Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) Bài Giải phương trình sau   1     sin x cos x  tan x  cot x    tan x  cot2x  tan 2x  cot x  cos2 x sin 2x 2(cos x  sin x ) cot x   cos 2x  cos x (2 tan2 x  1)  3  cot x   cos 2x  sin2 x  sin 2x  tan x Hướng dẫn giải   sin x  cos x  sin x  cos x    PT  2(sin x  cos x )   sin x sin x cos x   (ĐHQGHN1997) Điều kiện: sin 2x   x  k  Điều kiện: cos 2x  0, sin x  co      k , x   k  hay x   k 4 c Giải kết hợp với điều kiện thu được: x    tan x  1  sin 2x   m    2 sin x  FB: thayHanSP1 sin 2x sin x  cos 2x cos x sin 2x sin x  cos2 x   cos2 x  cos 2x sin x cos 2x cos x cos x    cos x (1  cos x cos 2x sin x )     sin 4x     5  k x  k ĐS: x   k   x  24 24  (ĐHNT1997) Điều kiện: sin x  0, cos x  oc uo PT  kh on gb sin x cos x   3  sin2 x  cos2 x  sin x cos x  cos x sin x sin x cos x sin x  (lo¹i)   sin x  sin x cos x   sin x (sin x  cos x )    sin x  cos x   tan x  x   k   (DB2003) Điều kiện: cos x  sin2 x sin2 x  cos 2x   cos x    cos 2x    cos x cos x cos x    sin2 x   1   cos x  (1  cos x ) 2(1  cos x )2  cos x      cos x     k 2  cos x sin 2x sin x (tan x  cot2x )   Điều kiện:    cot x    ĐS: x    k 2, x   Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 35 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) PT  sin x cos 2x  cos x sin 2x  FB: thayHanSP1 2(cos x  sin x ) cos x sin 2x   sin x cos x cos x 1 sin x  sin x (2 cos x  2)   (A2003) Điều kiện: cos x  0, sin x  0, tan x  1   k 2,(k  ) Bài Giải phương trình sau  sin x  cos3 x  2(sin x  cos5 x ) oc c o cos x  sin x cos x (cos2 x  sin2 x )    sin2 x  sin x cos x sin x cos x  sin x  cos x  sin x       (cos x  sin x )   cos x  sin x      sin x   sin x  sin x cos x    tan x      x   k (t/m) 2 tan x  tan x   m Kết hợp với điều kiện thu nghiệm phương trình là: x    sin x  cos6 x  2(sin x  cos8 x ) cos 2x (ĐHNT HCM2000) cu  sin x  cos x  2(sin10 x  cos10 x )  Hướng dẫn giải  cos 2x    sin x (1  sin2 x )  cos3 x (2 cos2 x  1)  cos 2x (sin x  cos3 x )     tan x  on gb o  (QGHN99) PT  sin x (1  sin2 x )  cos6 x (2 cos2 x  1)   cos 2x   cos 2x (sin x  cos x )     tan x  1 6  PT  sin x (1  sin2 x )  cos8 x (1  cos2 x )  cos 2x   5  cos 2x cos8 x  sin8 x      Bài Giải phương trình sau   tan x (tan x  sin x )  cos x  (DB2003) sin 4x cos x  cos x (2 sin x  1)  sin 2x  2(sin x  cos x ) 0  sin2 x   sin 2x cos x  3  cos x  3 cos 2x  8( cos x  sin x )  3  kh  tan 3x  cot2x  tan x   cos6 x  2 sin x sin 3x  cos4 x    3(cot x  cos x )  5(tan x  sin x )   (DB2003) Điều kiện: cos x  Hướng dẫn giải Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 36 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) PT   FB: thayHanSP1 sin x  sin x  sin x cos x     cos x  cos x  cos x   cos2 x  sin2 x (1  cos x )  cos3 x   cos2 x (1  cos x )  sin2 x (1  cos x )   (1  cos x )(3 cos2 x  sin2 x )    k ,(k  )   cos 3x        cos x   x   k ,x  k * Điều kiện:    sin 4x     sin 2x     PT  2(tan 3x  tan x )  (tan 3x  cot 2x )  sin 4x sin 2x cos x    cos 3x cos x cos 3x sin 2x sin 4x  sin 4x sin x  cos 2x cos x  cos 3x  sin 4x sin x  cos 3x  cos x  cos 3x  sin 4x sin x  cos 3x  cos x  sin 2x cos 2x sin x  2 sin 2x sin x  sin 2x sin x (4 cos x  1)   cos 2x   (t/m)    Cách (Bạn Hồng& Thanh Tùng A1) Điều kiện: x   k , x  k PT  tan 3x  cot 2x  tan x  tan 2x  cot 2x  tan 3x  tan x  tan 2x  sin 2x sin x  0  2(tan 3x  tan x )  tan 3x  tan 2x   cos 3x cos x cos 3x cos 2x  sin 2x  (lo¹i) sin 2x cos 2x  sin x cos x     sin 2x 4 cos 2x  1    cos 3x cos x cos 2x  cos 2x    cos 2x   (t/m)  1 Vậy phương trình có nghiệm x   arccos    k   on gb o cu oc c om ĐS: x     k 2 PT  cos x (cos x  sin x )  cos x (cos x  sin x )  2(sin x  cos x )   2(sin x  cos x )(cos x  1)(2 cos x  1) kh  Điều kiện: sin2 x    cos 2x   x  Kết hợp với điều kiện thu nghiệm phương trình: x  k 2 , k     PT  sin x cos2 x  sin x cos x  cos3 x  cos2 x  8( cos x  sin x )   cos2 x (sin x  cos x )  cos x (sin x  cos x )  8( cos x  sin x )   (sin x  cos x )(2 cos2 x  cos x  8)   PT  2 cos3 x (4 cos3 x  cos x )  2 sin x sin 3x   Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 37 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  cos2 x 2 cos x cos 3x   sin x (2 sin x sin 3x )   (1  cos 2x )(cos 2x  cos 4x )  (1  cos 2x )(cos 2x  cos 4x )   2(cos 2x  cos 2x cos 4x )   cos 2x cos2 2x    x    k   Điều kiện: sin x  0, cos x  PT  3(cot x  cos x  1)  5(tan x  sin x  1)   cos x  sin x cos x  sin x   sin x  sin x cos x  cos x            sin x cos x  co m  cos 2x  KĨ THUẬT 3: ĐẶT ẨN PHỤ Chọn góc để đặt ẩn phụ oc uo c cos x  sin x cos x  sin x      sin x  cos x 2 t  2t   (víi t  sin x  cos x  cos(x   ))    tan x     1  k 2 , x  arctan  k Đối chiếu với điều kiện thu được: x   arccos Bài Giải phương trình sau gb  3 x   x     sin     10  10       sin 3x    sin 2x sin x        sin   3 x      2   cos x  sin   5x   x   3x    cos     cos      sin  on Hướng dẫn giải  Nhận xét: Nhìn vào phương trình ta nghĩ dùng cơng thức biến đổi sin tổng  3 x    3x       có  10   10  đừng vội làm khó lắm, ta xem mối quan hệ hai cung  kh quan hệ với nào? Thật ta đặt t   3 x 9 3x 3x    3t         sử dụng cơng thức 10 10 10 2  góc nhân ba biến đổi dễ dàng PT  sin t  1 sin 3t  sin t  sin t  sin t  sin t (1  sin2 t )   2  Vậy nghiệm phương trình là: x   sin t   cos t   3 3   k 2, x    k 4, k    5 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 38 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) Chú ý: Nếu khơng quen với cách biến đổi trên, ta làm sau: FB: thayHanSP1 3 x 3  3x  x   2t     t 10 10 3 x   x  3  2t PT  cos(3  2t )  sin t   sin2 t  sin t    Đặt t  2  k   Đặt t  x  ĐS: x    4 x  3x 3 5x   Đặt t     3t  ,   5t   4  3    sin 5t  cos t  cos 3t  sin 3t PT  sin(5 t )  cos t  cos 3t    co m t c  sin 5t  sin 3t  cos 3t  cos t  sin t (cos 4t  sin 2t )  x    3 x    áp dụng cơng thức tổng sang tích cho vế trái Chú ý: Có thể chuyển cos     sin      Bài Giải phương trình sau      cos 3x     tan x      tan x   cu o    cos3 x  x x  x 2   3x     cos     sin     sin     sin     12   12      Hướng dẫn giải  2  ĐS: x   k , x    k , x  k  3  tan t    (1  tan t ) tan t  tan t  Đặt t  x  PT  tan t   tan t 5 5 5  k 5, x    k 5, x    k 5  (ĐHYTB1997) ĐS: x  12 gb o  Đặt t  x  Chọn biểu thức để đặt ẩn phụ on Bài Giải phương trình sau   sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  1  cos2 x   cos2 2x  cos 2x  sin2 2x cos2 x  cos x  cos x cos x   tan x  sin 2x  cot2 x  2 sin2 x  (3  2) cos x kh  sin x  cos x  Hướng dẫn giải t   Đặt t  sin x  cos x  ( t  ) Từ phương trình ta có t  7t     t  sin x  cos x ,(t  0) Từ phương trình ta có t  1, t  2 (loại)    Vậy sin x  cos x   sin x    sin    Đặt t  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 39 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 1  cos2 x   t  Từ phương trình ta có t  1, t  cos x cos x 2   cos 2x  cos 2x  2(1  cos 2x )(1  cos 2x ) Do ta đặt t  cos 2x , t   Đặt t  cos x   Đặt t  tan x  sin 2x  2t  t2 Ngồi ta khai triển đưa phương trình đẳng cấp bậc theo sin cos (1  cos2 x )  2(1  cos2 x )  (3  2) cos x Do đặt t  cos x , t  cos x Chú ý: Có thể đưa phương trình dạng tích (sin2 x  cos x )(3 cos x  2 sin2 x )  KĨ THUẬT 4: NHĨM BÌNH PHƯƠNG Biến đổi phương trình dạng A2 + B2 = Bài Giải phương trình sau  cos2 x  tan2 x  cos x  tan x   oc   sin2 2x  sin 2x  cos 2x  2 sin x c o m 3  cos2 2x  cos 2x   sin x Hướng dẫn giải  PT  (4 cos x  cos x  1)  (3 tan2 x  tan x  1)  cu   2 cos x     cos x   tan x      x    k 2   tan x       Nhận xét: Vì xuất sin2 2x sin 2x ta nghĩ đến việc đưa (sin 2x  1)2 ta biến    on gb o  đổi sau: PT  sin2 2x  sin 2x   (1  cos 2x )  2 sin x    x    k 2 2   sin 2x  1  sin x    sin x   x    k 2    Nhận xét: Vì xuất cos 2x cos 2x ta nghĩ đến việc đưa (2 cos 2x  1)2 , phần lại   ta biến đổi sin x kh PT  cos2 2x  cos 2x   sin2 x  sin x     2 cos 2x  1  sin x       x    k 2   sin x    sin x          cos 2x    x   k 2     Biến đổi phương trình dạng A2 = B2 Bài Giải phương trình sau  sin 2x  tan x  tan2 x   tan x  tan2 x  2 sin x  tan2 x  sin2 2x  cos2 x  cot x  cot x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam cos 2x  cos 2x 40 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  sin2 2x  cos 2x  cos 3x  cos x  32 cos6  cos2 3x  cos2 x  cos2 2x  cos 2x  x  sin 3x  sin x Hướng dẫn giải  PT   sin x cos x   tan x  tan2 x  (sin x  cos x )2  (1  tan x )2 m 2  Nhận xét: Ta nhận thấy tan x sin 2x  sin x ta cộng vào vế lượng sin x PT  tan2 x  tan x sin 2x  sin2 2x  cos2 x  sin2 x  (tan x  sin 2x )2  co  Nhận xét: Vì nhận thấy xuất tan x tan x nên ta chuyển vế để đưa dạng đẳng thức (2 tan x  1)2   tan2 x  tan x   cot2 x  (2 tan x  1)2  tan x    cot x sin x  Nhận xét: Vì nhìn thấy xuất cot x cot x nên ta chuyển vế để xuất (2 cot x  1)2 PT   2 cot x  1  tan2 x  cot x    tan x c cos 2x  sin2 x PT  cot x  cot x     2 cot x  1  0  cos 2x cos2 x gb oc uo  Nhận xét: Do xuất nhiều góc khác nên ta biến đổi cos 3x  cos x  2 sin 2x sin x , sau vế trái có sin2 2x nên ta đưa (sin 2x  sin x )2 PT  sin2 2x  cos 2x  sin 2x sin x  (sin 2x  sin x )2  cos 2x  sin2 x  (sin 2x  sin x )2  cos2 x  Nhận xét: Do xuất cos2 3x  cos2 x nên ta nghĩ đến đẳng thức (cos 3x  cos x )2 Vì ta cộng thêm hai vế với cos 3x cos x vế phải ta dùng cơng thức biến đổi tích sang tổng cos 3x cos x  cos 4x  cos 2x PT  cos2 3x  cos 3x cos x  cos2 x   cos2 2x  cos 2x  cos 3x cos x  (cos 3x  cos x )2   cos2 2x  cos 4x  (cos 3x  cos x )2  sin2 2x  x x x  32 cos  sin 3x  sin x  32 cos6  sin x  sin 3x  2 cos2   sin x  2      cos x  sin x  sin x      on KĨ THUẬT 5: XỬ LÍ PHƯƠNG TRÌNH CĨ ĐIỀU KIỆN kh Biểu diễn nghiệm điều kiện qua hàm số lượng giác Trong phần cần sử dụng tốt kết sau: sin x   cos2 x  1; cos2 x  1  sin x  0; cos x   sin x  1 sin x  1  cos x  sin x  cos x  1    sin 2x    cos x  sin x  1     cos x  1   sin x  1   sin x   sin 2x   cos x   Bài Giải phương trình sau Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 41 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)  FB: thayHanSP1 1 (THTT09)   cos x sin 2x sin 4x  x   cot x  sin x 1  tan x tan   (B06)  2  sin2 2x  cos4 2x   sin x cos x 0   (1  sin x  cos 2x ) sin x      cos x   tan x sin 2x  cos4 2x  cos4 4x      tan   x  tan   x      Hướng dẫn giải  c co   cos x  0, sin x  1,      (THTT09) Điều kiện: sin 2x  0,  sin x  0,   sin 4x    sin x    Khi PT  sin x cos 2x  cos 2x   sin x sin2 x  sin x   m  gb o cu o  x    k 2  Giải nghiệm sin x kết hợp điều kiện ta được: sin x    x    k 2    Điều kiện: sin 2x  Khi phương trình cho trở thành cos2 2x  sin 2x  1 4 sin 2x  cos 2x    cos 2x  cos 2x      cos 2x  sin 2x   Đối chiếu với điều kiện ta được: sin 2x   x   k   x  (B2006) Điều kiện: sin x  0, cos x  0, cos   sin 2x     cos x cos x  sin x sin x    cos x  sin x  2  x  sin x cos x cos x cos  x    k 2,  12    sin 2x  (t/m)   (k  ) sin 2x x  5  k   12     sin x  1 cos x     (A2010) Điều kiện:     tan x  1 tan x  1     (1  sin x  cos 2x ) sin x  cos x  cos x cos x  Khi PT  2(cos x  sin x ) cos x  sin x sin x kh on PT    sin x  cos 2x   sin x   sin2 x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 42 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  x     k 2    x   k 2                      x x x x sin   0, cos   0, sin   0, cos   Điều kiện:                4 4                 sin   2x   0, cos   2x    cos 2x   sin 2x  1        2     Nhận thấy tan   x  tan   x   , phương trình cho trở thành     co m  sin x  (lo¹i)     sin x   (t/m)  Biểu diễn đường tròn lượng giác uo c sin4 2x  cos4 2x  cos4 4x   sin 4x  cos4 4x  cos4 4x  cos2 4x    sin 2x   cos2 4x   sin 4x    cos  x   Đối chiếu với điều kiện ta sin 2x   x  k ,(k  )  Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác: x    k 2 biểu diễn ĐTLG điểm xác định cung  oc x    k  biểu diễn ĐTLG điểm đối xứng qua tâm O 2 biểu diễn ĐTLG điểm cách nhau, tạo thành đỉnh tam giác x   k 2 biểu diễn ĐTLG n điểm cách nhau, tạo thành đa giác nội tiếp n gb x   k đường tròn lượng giác on  Ta biểu diễn ĐTLG điểm khơng thỏa mãn điều kiện (đánh dấu  ) điểm nghiệm tìm (đánh dấu  ) Những điểm đánh dấu "  " mà khơng trùng với điểm đánh dấu " " điểm thỏa mãn điều kiện Bài Giải phương trình sau kh sin 2x  cos x  sin x   tan x  sin x  sin 2x   1 sin 3x  (D2011) 2(sin x  cos6 x )  sin x cos x  (A06)  sin x (1  sin x ) cos x  (A2009)  (1  sin x )(1  sin x )  Hướng dẫn giải Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 43 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  x     k  tan x       Điều kiện:   cos x    x   k   sin2x  cos x  sin x    cos x(sin x  1)  (sin x  1)     sin x  1  x    k 2    (sin x  1)(2 cos x  1)      cos x  x     k 2      k 2, (k  ) co Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác ta nghiệm PT x  m Khi phương trình cho trở thành: uo c     x   k 2    Điều kiện: sin x  Khi phương trình trở thành:     x  k 2       2(sin6 x  cos6 x )  sin x cos x   1  sin2 2x   sin 2x     sin2 2x  sin 2x    sin 2x  x    k oc Kết hợp với điều kiện đường tròn LG ta nghiệm PT là: x   Điều kiện: sin 3x   x  k 5  k 2 ( k   )  Khi phương trình trở thành kh on gb   sin 2x  x  k     sin x  sin 2x  sin 3x   sin 2x (2 cos x  1)     cos x   x   2  k 2     Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác, ta có nghiệm PT là: x   k   Điều kiện: sin x  sin x   (*) Với điều kiện phương trình cho tương đương: (1  sin x ) cos x  3(1  sin x )(1  sin x )      cos x  sin x  sin 2x  cos 2x  cos x    cos 2x       x    2  k 2 x    k 18 Kết hợp điều kiện (*) ta nghiệm: x    2 k (k  ) 18 3 Thử trực tiếp (dùng mệnh đề phủ định) Chúng ta cần lưu ý kết tính chu kì hàm số lượng giác sau đây: Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 44 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) sin(x  k 2)  sin x , x   tan(x  k )  tan x , x    k FB: thayHanSP1 cos(x  k 2)  cos x , x   cot(x  k )  cot x , x  k  Bài Giải phương trình sau  sin 2x  cos 2x  sin x sin 2x  cot2 x  cos 3x tan 5x  sin 7x   sin x  cos x  3(1  tan x )  om  tan 5x tan 2x  Hướng dẫn giải  Điều kiện: sin x   cos x  1 Khi phương trình cho trở thành cos x c c sin2 x (1  sin 2x  cos 2x )  2 sin2 x cos x   sin x cos x  cos2 x   2 cos x  cos x  (t/m)  x    k   cos x (sin x  cos x  2)     sin cos (*) x x    Dùng mệnh đề phủ định: Giả sử sin x   cos x  1 , (*)    (vơ lí) Tức    nghiệm (*) thỏa mãn Giải (*) ta được: cos x     x   k 2  oc uo     k , x   k 2  Điều kiện: cos x   sin x  1 Khi phương trình cho trở thành  cos x (3 sin x  cos x )  3(sin x  cos x )   cos x (3 sin x  cos x )  cos x  sin x  cos x   cos x  (t/m)  x  k 2   (3 sin x  cos x  1)(cos x  1)     sin x  cos x  (*) Xét (*): Giả sử cos x   sin x  1 , (*)  3   (vơ lí) Tức nghiệm gb Vậy phương trình có nghiệm: x  (*) thỏa mãn Giải (*) ta được: x    arccos ; sin   on cos   13 13  13  k 2 (với ) Vậy phương trình có nghiệm: x  k 2, x    arccos 13  k     m , (m  ) Khi phương trình trở thành 10  x  k   (k  ) sin 5x cos 3x  sin 7x cos 5x  sin 8x  sin 12x     x  k  20 10     k 1 + Giả sử k   m  5k   2m (*) Suy m  2k  10 k 1 Mặt khác, k, m   nên tồn s   cho: s   k  2s  (tức k số lẻ) kh  Điều kiện: cos 5x   x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 45 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  nghiệm PT k  2s  Chọn k  2s thu nghiệm x  s (s  )     k   m  2k  4m   k  2m  (**) + Giả sử 20 10 10 Ta nhận thấy k  2m   ,   nên khơng tồn k, m   thỏa mãn (**)   nghiệm PT với k   Do x  k 20 10   k (k, s  ) Vậy phương trình có nghiệm: x  s x  20 10      x (1) m cos 5x     10   Điều kiện:  ( m, n   )   cos 2x     x   n  (2)         tan 5x  cot 2x  tan 5x  tan   2x   x  PT  tan 5x  k  tan 2x 14  c co m Suy x  k uo + Đối chiếu điều kiện (1):      2m (*) k  m  k  m  14 10 5  2m t 1 Do k, m   nên tồn t   cho: t   m  2t  t 1  t  2s  Mặt khác, t, m   nên tồn s   cho: s     k thỏa mãn điều kiện (*) với k  7s  Thay vào (*) ta được: k  7s  Do x  14 gb oc Giả sử + Đối chiếu điều kiện (2): Giả sử      k   n  4k  14n  (**) 14 kh on Ta nhận thấy vế trái (**) số chẵn, vế phải (**) số lẻ nên khơng tồn k , n   thỏa mãn điều    k ln thỏa mãn điều kiện (**) 14   Vậy phương trình có nghiệm: x   k với k  7s  14 kiện (**) Do x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 46 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI 2002 - 2014 Bài (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) phương trình : ĐS : x   5 ;x  3 ĐS : x  k k ;x  (k   ) Bài (ĐH B2002) Giải phương trình : sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x   cos 3x  cos 2x  cos x   ĐS : x  cot x   cos 2x  sin2 x  sin 2x  tan x cot x  tan x  sin 2x  sin 2x Bài (ĐH D2003) Giải phương trình: oc x   x sin2    tan2 x  cot2    ĐS : x    k (k   ) uo Bài (ĐH B2003) Giải phương trình :  3 5 7 ;x  ;x  ;x  2 2 c Bài (ĐH A2003) Giải phương trình : co Bài (ĐH D2002)Tìm x thuộc đoạn  0;14 nghiệm đũng phương trình : m  cos 3x  sin 3x    cos 2x  sin x    sin 2x  ĐS : x     k (k   ) ĐS : x    k 2; x     k Bài (ĐH A2004) Cho tam giác ABC khơng tù, thỏa mãn điều kiện cos 2A  2 cos B  2 cosC  on gb Tính ba góc tam giác ABC Bài (ĐH B2004) Giải phương trình: sin x   3(1  sin x ) tan2 x ĐS : A  900 ; B  C  450 ĐS : x   5  k 2; x   k 2 6 Bài (ĐH D2004) Giải phương trình: (2 cos x  1)(2 sin x  cos x )  sin 2x  sin x ĐS : x      k 2; x    k  Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình: kh cos2 3x cos 2x  cos2 x  ĐS : x  k (k   ) Bài 11 (ĐH B2005) Giải phương trình:  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  ĐS : x   2   k 2; x    k  Bài 12 (ĐH D2005) Giải phương trình:      cos4 x  sin4 x  cos x   sin 3x     ĐS : x   k  ( k   )     Bài 13 (ĐH A2006) Giải phương trình: 2(cos6 x  sin x )  sin x cos x  sin x 0 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam ĐS : x  5  k 2 ( k   ) 47 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình: FB: thayHanSP1  x cot x  sin x 1  tan x tan     ĐS : x   5  k ; x   k 12 12 Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình: ĐS : x  k ; x   cos 3x  cos 2x  cos x   2  k 2 Bài 16 (ĐH A2007) Giải phương trình: 2 ĐS: x  k 2; x     k 2; x    k  Bài 17 (ĐH B2007) Giải phương trình ĐS : x   k  k 2 5 k 2  ;x   ;x   18 18 co sin2 2x  sin 7x   sin x Bài 18 (ĐH D2007) Giải phương trình :  x  sin  cos x   cos x   2   7   sin   x     3  sin x     ĐS: x     5  k ; x    k ; x   k 8 uo Bài 20 (ĐH B2008) Giải phương trình:    k 2; x    k 2 c ĐS : x  Bài 19 (ĐH A2008) Giải hệ phương trình:  sin x m 1  sin x  cos x  1  cos x  sin x   sin 2x oc sin3 x  cos3 x  sin x cos2 x  sin2 x cos x ĐS: x   k   ;x    k Bài 21 (ĐH D2008) Giải phương trình: 2sinx 1  cos2x   sin2x   2cosx ĐS: x   2   k 2; x   k  ĐS: x    k 2 (k   )  18 ĐS: x     k 2  k 2; x   42 gb Bài 22 (ĐH A2009) Giải phương trình: 1  sin x  cos x  1  sin x 1  sin x  on Bài 23 (ĐH B2009) Giải phương trình:  sin x  cos x sin 2x  cos 3x  cos 4x  sin3 x  Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình: kh cos 5x  sin 3x cos 2x  sin x  ĐS: x   k  k  ;x    18 Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình :  (1  sin x  cos 2x )s in(x  )  cos x  tan x ĐS: x    7  k 2; x   k 2 6 Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình: (sin 2x  cos 2x )cos x  cos 2x  sin x  ĐS : x   k (k   )  Bài 27 (ĐH D2010) Giải phương trình: Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 48 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 sin 2x  cos 2x  sin x  cos x   ĐS: x   5  k 2; x   k 2 6 ĐS: x     k ; x   k 2 ĐS : x    k 2  k 2; x   3 ĐS: x    k 2 ( k   ) Bài 28 (ĐH A2011) Giải phương trình:  sin 2x  cos 2x  sin x sin 2x  cot2 x sin 2x cos x  sin x cos x  cos 2x  sin x  cos x m Bài 29 (ĐH B2011) Giải phương trình: sin 2x  cos x  s in x   tan x 0 Bài 31 (ĐH A2012) Giải phương trình : Bài 32 (ĐH B2012) Giải phương trình: Bài 33 (ĐH D2012) Giải phương trình: sin 3x  cos 3x  sin x  cos x  cos 2x Bài 34 (ĐH A2013) Giải phương trình: ĐS: x  oc    tan x  2 sin x     ĐS: x  uo 2(cos x  sin x ) cos x  cos x  sin x   2  k ; x  k 2; x   k 2 c ĐS: x  sin 2x  cos 2x  cos x  co Bài 30 (ĐH D2011) Giải phương trình :   k 2 k 2 (k   )  k 2; x  3 ;x  ĐS: x   7 12  k 2; x    12  k 2    k ; x    k 2 Bài 35 (ĐH B2013) Giải phương trình: gb sin 5x  cos2 x  ĐS: x    k 2  k 2  ;x    14 Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình sin 3x  cos 2x  sin x  ĐS: x   k  7  ; x    k 2; x   k 2 6 kh on Bài 37 (ĐH A2014) Giải phương trình sin x  cos x   sin 2x ĐS : x     k 2 ( k   ) Bài 38 (ĐH B2014) Giải phương trình 2(sin x  cos x )   sin 2x ĐS : x   3  k 2 ( k   ) -Hết - Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 49 [...]... điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x   oc KĨ THUẬT 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH gb Xu hướng trong đề thi đại học những năm gần đây việc giải phương trình lượng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách, nhóm các số hạng hợp lý để tạo ra nhân tử chung Bài 1 Giải các phương trình sau  1  sin x  cos x... x    1  2 sin x 2  2   c c  om Khi việc giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác để đưa về dạng góc cơ bản là một vấn đề rất then chốt trong việc giải phương trình lượng giác Bài 1 Giải các phương trình sau  Hướng dẫn giải    x mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa 2 và... x  3  x  Vậy phương trình có nghiệm: x    k  (k  ) 3    k , x   k  2 3 kh DẠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin 3 x  b cos 3 x  c sin2 x cos x  d cos2 x sin x  e sin x  f cos x  0  Cách giải: + Xét cos x  0 có là nghiệm phương trình không? 3 + Xét cos x  0 , chia hai vế phương trình cho cos x với chú ý: Bài 1 Giải các phương trình sau  sin... DẠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH  Dạng phương trình: gb   k2  k    C  0 , với f (x )  sin x , cos x (1) A  f 2 (x )  2   B  f (x )    f (x ) f (x )     hoặc A a 2 tan2 x  b 2 cot2 x  B a tan x  b cot x  C  0 (2) on k f (x )  Đối với phương trình (2): Đặt t  a tan x  b cot x  Cách giải:  Đối với phương trình (1): Đặt t  f (x )  Bài 1 Giải các phương trình. ..  3 cos 3x  2 cos 4x  3 Sử dụng công thức hạ bậc Khi giải các phương trình lượng giác mà bậc của sin và cos là bậc chẵn ta thường hạ bậc từ đó đưa về phương trình cơ bản Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 29 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) Bài 4 Giải các phương trình sau 2 2 2  sin x  sin 2x  sin 3x  x  FB:... DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: FB: thayHanSP1 f (sin x  cos x , sin x cos x )  0 Bài 1 Giải các phương trình sau  2(sin x  cos x )  sin 2x  1  0 co t2 1 + Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  2 1t2 Đưa về phương trình ẩn t + Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  2   Chú ý: Nếu t  sin x  cos x  2 sin x   thì  2  t  2  4  m  Cách giải: ... ta quan sát lời giải sau: 3 cos 5x  sin 5x  sin x  sin x  0  3 1 cos 5x  sin 5x  sin x 2 2 on gb  x    k     12 3  sin   5x   sin x     3  x    k   6 2      k ;x   k Vậy phương trình có nghiệm: x  12 3 6 2 Chú ý: Đối với dạng phương trình a sin x  b cos x  a ' sin kx  b 'cos kx , k  0,1 ta coi như 2 về của phương trình là 2 phương trình bậc nhất với... x   Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: x   Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam   k  4   k  (k  ) 4 26 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PT LƯỢNG GIÁC KĨ THUẬT 1: LỰA CHỌN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1 Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác  1  sin x  7   4 sin...  2  1   Giải phương trình này được x   arccos    k 2, k    4  2  1 x  c TH1: tan x   Bài 6 Giải các phương trình sau 2 uo 4 Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức)  tan x  cot x  2 cot3 2x  cot x  tan x  4 sin 2x  2 (B03) sin 2x oc  x x  sin  cos   3 cos x  2 (D07)  2 2   tan x  cot x  2(sin 2x  cos 2x ) Hướng dẫn giải x x cos... cos  sin x  sin  cos x  1  sin x     1  x    Vậy phương trình có nghiệm: x    k 2; x      k 2 2  3   k 2 trong đó sin   và cos   2 5 5 DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin2 x  b sin x cos x  c.cos2 x  d  0  Cách giải: Cách 1: + Xét cos x  0 có là nghiệm phương trình không? Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam