Bao cao toan hoc phuong tinh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHOA TOÁN HỌC Nguyễn Văn Quyên BÀI TẬP ĐIỀU KIỆN PHƯƠNG TRÌNH HÀM HỆ CAO HỌC CHÍNH QUY Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Người hướng dẫn: GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu Thái Nguyên - 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung tập, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa học Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể bạn lớp giúp đỡ em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa học Thái Nguyên, ngày 06 tháng 04 năm 2016 Học viên Nguyễn Văn Quyên Mục lục Chương Phương trình hàm lớp hàm lượng giác 1.1 Phương trình D’Alembert lớp hàm số liên tục LỜI MỞ ĐẦU Phương trình hàm chuyên đề quan trọng giải tích, đặc biệt chương trình chuyên toán bậc THPT Các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc gia, thi Olimpic khu vực, Olimpic Quốc tế thường xuất toán phương trình hàm, toán khó, mẻ học sinh THPT.Những sách tham khảo dành cho học sinh lĩnh vực không nhiều Đặc biệt tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT phương trình hàm lớp hàm số lượng giác chưa trình bày cách hệ thống đầy đủ Xuất phát từ thực tế đó, tiểu luận em trình bày mottj phần ngắn để cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học khá, giỏi, có khiếu yêu thích môn toán tài liệu tham khảo Do thời gian thực tiểu luận không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm tiểu luận không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 06 tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Văn Quyên Chương Phương trình hàm lớp hàm lượng giác 1.1 Phương trình D’Alembert lớp hàm số liên tục Bài toán 1.1 Xác định hàm số f : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện f (x + y) + f (x − y) = f (x) f (y)∀x, y ∈ R | f (x)| ≤ 1∀x, y ∈ R Giải Thay x = 0, y = 0, ta f (0) = 0; f (0) = Nếu f (0) = 0, thay y = ta f (x) ≡ 0, hàm thỏa mãn Nếu f (0) = 1, thay x = ta f (y) = f (−y), ∀y ∈ R Chứng tỏ y hàm chẵn + f (x) = thỏa mãn điều kiện đề + f (x) = Vì f liên tục, f = 1, | f (x)| ≤ nên tồn x0 để < f (x0 ) < Đặt f (x0 ) = cosα, < α < π2 Cho x = x0 , y = x0 ta f (2x0 ) = cos2α x = 2x0 , y = x0 , ta f (3x0 ) = cos3α x = mx0 , y = x0 ta f (mx0 ) = cosmα, m ∈ N (3) Cho x = 12 x0 , y = 12 x0 , ta f ( x20 ) = cos α2 Cho x = 2x02 , y = 2x02 ta f ( 2x02 ) = cos 2α2 f ( x20 ) = cos 2αn , n ∈ N (4) Từ (3) (4) suy f ( 2mn x0 ) = cos( 2mn α), m, n ∈ N(5) Vì 2mn ; m.n ∈ N trù mật R+ nên ∀x ∈ R+ nên tồn dãy xk ∈ R+ : xk → x, k → ∞ Từ (5) suy f (xk x0 ) = cos(xk α), k = 1, 2, 3, suy lim f (xk x0 ) = lim f (xk α) = f (lim xk α) = cos( lim xk )α k→∞ k→∞ k→∞ k→∞ Vì f ; cos hàm liên tục f (x0 x) = cos(αx) hay f (t) = cos( xα0 t), ∀t ∈ R+ Vì f hàm cos hàm chẵn nên ta f (t) = cos(at), ∀t ∈ R Bài toán 1.2 Cho a ∈ R, (a = 0)tìm hàm f(x) liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x − y + a) − f (x + y + a) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R(1) Giải Dễ kiểm tra thấy f ≡ thỏa mãn yêu cầu toán Xét f = khí đó, thay y -y vào (1), ta có f (x + y − a) − f (x − y + a) = f (x) f (y) (2) Từ (1) (2) ta có f (x) f (y) = − f (x) f (y), x, y ∈ R, suy f (y) = − f (y), ∀y ∈ R f = Suy f (x) hàm lẻ Đổi vai trò x y (1) ta f (y − x + a) − f (x + y + a) = f (x) f (y), x, y ∈ R (3) Từ (1) (3), ta có f (x − y + a) = f (y − x + a) = f (−(x − y) + a) = − f (x − y − a) f hàm lẻ Suy f (x − y + a) = − f (x − y − a) (4) Cho y = thay vào (4) ta có f (x + 4a) = f (x), ∀x ∈ R Ta thay x x + a vaò (1) ta f (x − y + a) + f (x + y + a) = f (x + a) f (y + a), ∀x, y ∈ R Đặt g(x) = f (x + a), suy g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y) Từ tính liên tục hàm f (x) R suy hàm g(x) liên tục R Từ g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R ta có g(x) bốn hàm sau g ≡ 0, g ≡ 1, g = cosh(kx), g = cos(kx), ∀x ∈ R Trường hợp 1: Nếu g ≡ 0, ∀x ∈ R, suy f (x) = 0, ∀x ∈ R không thỏa mãn Trường hợp 2: Nếu g(x) = 1, ∀x ∈ R suy f (x) = 1, ∀x ∈ R không thỏa mãn (1) nên không nghiệm toán Trường hợp 3: Nếu g(x) = cos(kx), ∀x ∈ R, suy f (x) = cos[k(x−a)], ∀x ∈ R không thỏa mãn cos[k(x − a) không hàm tuần hoàn Trường hợp 4: Nếu g(x) = cos(kx), ∀x ∈ R suy f (x) = cos[k(x − a)], ∀x ∈ R Mà f (x + 4a) = f (x)nên ta có f (x + 4a) = cos(k(x + 4a − a)) = f (x) = cos(k(x − a)) Suy cos(k(x + 3a)) = cos(k(x − a)),( chọn x=x+a) π Suy cos(k(x + 4a)) = cos(kx) hay k = 2a π Suy f (x) = cos 2a (x − a) , ∀x ∈ R π (x − a) , ∀x ∈ R thỏa mãn yêu cầu toán Thử lại ta thấy hàm f (x) = cos 2a π Kết luận: f (x) ≡ 0; f (x) = cos 2a (x − a) Bài toán 1.3 Giải phương trình 4x3 − 3x = Giải Ta có √ √ = 12 (u3 + u13 ) ⇔ u3 = ± ⇔ u = ± Mặt khác ta có u3 + u13 = 4[ 21 (u + 1u )]3 − 3[ 12 (u + 1u )] √ √ 3 Suy x1 = 21 (u + 1u ) = 21 ( + + − 3) nghiệm Ta chứng minh x1 nghiệm nhất, ta có 4x3 − 3x = 4x13 − 3x1 ⇔ 4(x3 − x13 ) − 3(x − x1 ) = ⇔ (x − x1 )(4x2 + 4xx1 + 4x12 − 3) = Xét phương trình 4x2 + 4xx1 + 4x12 − 3) = có ∆ = (2x1 )2 − 16x12 + 12 = 12 − 12x12 < 0, suy phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = x1 Bài toán 1.4 Giải phương trình 4x3 + 3x = m, m ∈ R Giải Ta thấy vế trái hàm số đồng biến nên phương trình bậc có nghiệm √ √ Đặt m = 12 (u3 − u13 ) ⇔ u3 = m ± m2 + ⇔ u = m ± m2 + Do theo trước phương trình có nghiệm x1 = ( m + m2 + + m− m2 + 1) Bài toán 1.5 Giải phương trình t + pt + q = Giải √ + Nếu p = 0, có nghiệm t = −q + Nếu p > Đặt t = 3p x ta 4x3 + 3x = m toán trước + Nếu p < Đặt t = −p x ta phương trình 4x3 − 3x = m Bài toán 1.6 Giải phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0(a = 0) Giải Đặt x = −b 3a + t ta phương trình t + pt + q = Do ta giải tất phương trình bậc ba s KẾT LUẬN Qua tiểu luận gúp em hiểu biết phương trình hàm ứng dụng phương trình hàm việc giải toán khó cấp THPT Từ góc nhìn toán cao cấp giúp em hiểu rõ, sâu hơn, xâu chuỗi kiến thức sở Phương trình hàm giúp em giải phương trình bậc ba cách đơn giản Tuy nhiên thời gian thực tiểu luận không nhiều nên có sai sót em mong nhận góp ý bạn thầy Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu , Phương trình hàm với đối số biến đổi, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội (2014) 507 trang ——————————————-