các cách cơ bản để chứng minh hình học oxy. toàn bộ kiến thức nền tảng cho phép kiếm được 0.75 điểm trong câu hình học phẳng oxy trong đề thi đại học. được biên soạn theo chương trình mới nhất 2017. oxy trong những năm gần đây rất khó phần chứng minh nhưng phần này chỉ 0.25 điểm. học xong tài liệu này có thể lấy được 0.75 điểm còn lại một cách đơn giản
3 BÀI TẬP TAM GIÁC - CƠ BẢN - TỰ GIẢI - CÓ HÌNH MINH HOẠ Ở PHẦN SAU BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG BÀI TẬP TAM GIÁC - CƠ BẢN - TỰ GIẢI - CÓ HÌNH MINH HOẠ Ở PHẦN SAU Tam giác ABC có C(−4; −5, ) đường cao d1 : 5x + 3y − = 0; d2 : 3x + 8y + 13 = a) Viết phương trình cạnh tam giác b) Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B Cho tam giác ABC có AB : 5x − 2y + = 0, AC : 4x + 7y − 21 = Viết phương trình cạnh BC biết O(0; 0) trực tâm tam giác Tam giác ABC có B(2; −7), đường cao AH : 3x + y + 11 = 0, trung tuyến CM : x + 2y + = Viết phương trình cạnh tam giác Tam giác ABC có trọng tâm G(−2; −1), AB : 4x + y + 15 = 0, AC : 2x + 5y + = Xác định đỉnh tam giác Tam giác ABC có B(2; −1), đường cao AH : x − 2y + = 0, trung tuyến AM : x − = Viết phương trình cạnh tam giác Tam giác ABC có B(3; 5), đường cao AH : 2x − 5y + 3, trung tuyến CM : x + y − = Viết phương trình cạnh tam giác Tam giác ABC có A(2; −1) phân giác B, C d1 : x−2y+1, d2 : x+y+3 = Viết phương trình BC Tam giác ABC có A(−1; 3), đường cao BH : x − y = 0, phân giác CN : x + 3y + = Viết phương trình BC Tam giác ABC có C(4; 3), trung tuyến AM : 4x + 13y − 10 = 0, phân giác AN : x + 2y − = Tìm toạ độ B 10 Tam giác ABC có B(−4; 3), đường cao AH : x+3y −15 = 0, phân giác CN : x−y +3 = Viết phương trình cạnh tam giác 11 (D-2011) Tam giác ABC có B(−4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường phân giác góc A x − y − = Tìm toạ độ đỉnh A C 12 (B-2010) Tam giác ABC vuông A có C(−4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình BC biết diện tích tam giác 24 đỉnh A có hoành độ dương HÌNH HỌC PHẲNG OXY 13 Tam giác ABC có phân giác AD : x − y = 0, đường cao CH : 2x + y + = 0, điểm M(0; 1) nằm AC AB = 2AM Viết phương trình cạnh tam giác 14 Tam giác ABC có đường cao BH : x − 2y − = 0, đường phân giác góc A : x − y − 1, điểm M(0; 2) nằm cạnh AB AM = 2MC Tìm toạ độ đỉnh tam giác 15 Tam giác ABC có phân giác AN : x + y − = 0, trung tuyến BM : x − y + = 0, đường cao CH : 2x + y + = Tìm toạ độ đỉnh tam giác BÀI TẬP TAM GIÁC - CẦN LÀM ĐƯỢC Cho hai điểm A(2; 5) B(5; 1) Lập phương trình đường thẳng qua A để khoảng cách từ B đến đường thẳng Lập phương trình đường thẳng qua I(−2; 3) cách hai điểm A(5; −1) B(3; 4) Cho đường thẳng (d) có phương trình: 3x + 4y − 12 = Viết phương trìng đường thẳng (d1 ) đối xứng với đường thẳng (d) qua O Cho (d1 ) : x − 3y + = (d2 ) : 2x − y − = Tìm phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (d2 ) qua (d1 ) Lập phương trình đường thẳng qua A(3; 0) cắt đường thẳng 2x − y − = 0; x + y + = điểm I, J cho A trung điểm I, J Cho điểm I(−2; 0) hai đường thẳng (d1 ) : 2x − y + = 0; (d2 ) : x + y − = Viết phương trình đường thẳng qua điểm I cắt hai đường thẳng d1 , d2 A, B − → −→ cho IA = 2IB Viết phương trình đường thẳng (d) qua giao điểm hai đường thẳng (d1 ) : 2x + 3y − = (d2 ) : x − 2y + = đồng thời chắn hai trục đoạn thẳng Viết phương trình đường thẳng qua A(8; 6) tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 12 Cho hai đường thẳng: (d1 ) : 2x − y + = (d2 ) : 3x + 6y − = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P (2; −1) cho đường thẳng với hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) 10 Cho △ABC có phương trình cạnh là: (AB) : x − y + = 0; (AC) : 7x + y − 12 = (BC) : 3x + 6y + = Lập phương trình đường phân giác góc A cho biết điểm O(0; 0) nằm hay tam giác TAM GIÁC NÂNG CAO - XEM PHẦN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TAM GIÁC NÂNG CAO - XEM PHẦN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có: A(2, 6), chân đường phân giác góc A D 2, − tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O − , Xác định tọa độ đỉnh B C ABC nội tiếp đường tròn tâm O(6, 6) ngoại tiếp đường tròn tâm I(4, 5) Biết đỉnh A(2, 3), tìm tọa độ đỉnh B C Phân giác (AD) : x − y + = Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O(3, 0) hình chiếu A lên cạnh BC H(−1, 1) Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC , ,N , trung điểm BC AC Phương trình đường phân giác 2 2 kẻ từ A x − = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M Trực tâm H(1, 3), tâm đường tròn ngoại tiếp O(2, 0) đỉnh A(3, 4) Tìm tọa độ B C Cả ba góc nhọn Biết tọa độ chân ba đường cao hạ từ đỉnh A, B, C xuống ba cạnh BC, CA, AB D(−1, −2), E(2, 2, ), F (−1, 2) Tìm tọa độ ba đỉnh A, B, C A(2, −14), tọa độ trực tâm H(−26, −10), tọa độ trọng tâm G − , − Tìm tọa độ B, C 3 Trực tâm H(1; 0), chân đường cao hạ từ đỉnh B K (0; 2), trung điểm AB M (3; 1) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 10 Cho tam giác ABC Gọi BE, CF hai đường cao tam giác Biết E(6, 4), 42 28 , tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp O(6, 3) Tìm tọa độ hai điểm B C F 13 13 biết A thuộc đường thẳng x − y + = , hai đỉnh A(2; −3), B(3; −2) trọng tâm tam giác thuộc đường thẳng (d) : 3x − y − = Tìm tọa độ đỉnh C 11 Diện tích tam giác ABC 12 B(−12, 1), phương trình đường phân giác góc A x + 2y − = 0, tọa độ trọng tâm Viết phương trình đường thẳng BC , G 3 HÌNH HỌC PHẲNG OXY 13 Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + = A(−4, 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vuông góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ B C, biết N(5, −4) 11 17 , hình chiếu 5 D AC Đỉnh B(4, 4) phương trình đường thẳng DM x − 3y + = Tìm tọa độ A, C, D 14 Cho hình thang vuông ABCD, A = D = 900 , DC = 2AB Gọi H TỨ GIÁC 6.1 TỨ GIÁC - CƠ BẢN - CẦN LÀM ĐƯỢC Cho hình bình hành ABCD có A(1; 1), B(2; 2), C(3; 4) Tìm điểm D để ABCD hình bình hành Lưu ý: Kiểm tra tính không thẳng hàng điểm A(1; 1), B(2; 2), C(3; 4), D(4; 5) Cho hình bình hành ABCD có A(1; 1), B(2; 2), C ∈ d1 : x − y + = 0; D ∈ d2 : 2x + y − = Tìm C, D Cho hình bình hành ABCD có A(1; 1) B ∈ d1 : y = 2x − 2; CD : x − y + = 0, I 2; trung điểm AC BD Tìm B, C, D , A(1; 1), đường thẳng AB qua gốc toạ độ, điểm M(0; −1) nằm AD Tìm toạ độ đỉnh B, C, D Cho hình bình hành ABCD có tâm I 2; Cho hình bình hành ABCD có A(1; 1), B(2; 2), C ∈ dy = 2x − 2, SABCD = Tìm toạ độ đỉnh C, D Cho hình bình hành ABCD có A(−3; −1), B(2; 2), giao điểm hai đường chéo thuộc đường thẳng x − 6y − = 0, SABCD = 26 Tìm toạ độ đỉnh C, D C(−15; −3), D(−20; −6) C(9; 1), D(4; −2) Cho hình bình hành ABCD có A(2; 0), B(3; 2), tâm I ∈ d : x − y = 0, SABCD = Tìm toạ độ đỉnh C, D C(3; 4), D(2; 4) C(−5; −4), D(−6; −4) Cho hình bình hành ABCD có B(1; 5), đường cao AH : x + 2y − = 0, phân giác góc ACB : x − y − = Tìm toạ độ đỉnh lại Cho ABCD có A(1; 2), B(3; 4), C(4; 3), D(2; 1) CMR: ABCD HCN 10 Cho hình chữ nhật ABCD có A(1; 2), B(3; 4), C ∈ d : y = x − Tìm toạ độ C, D 11 Cho hình chữ nhật ABCD có A(1; 2), C(4; 3), B ∈ y = x + Tìm toạ độ B, D TỨ GIÁC 12 Cho hình chữ nhật ABCD có A(1; 2), B(3; 4), CD qua M(1; 0) Tìm toạ độ C, D 13 Cho hình chữ nhật ABCD có A(1; 2), B(3; 4), SABCD = Tìm toạ độ điểm C, D 14 Cho hình chữ nhật ABCD có A(1; 2), BD : y = 3x − 5, C ∈ d : y = x − Tìm toạ độ B, C, D 15 Cho hình chữ nhật ABCD có A(1; 2), BD : y = 3x − 5, CD qua M(1; 0) Tìm toạ độ B, C, D 16 Cho hình chữ nhật ABCD có A(1; 2), BD : y = 3x − 5, AB qua M(0; 1) Tìm toạ độ B, C, D 17 Cho hình vuông ABCD có A(1; 2), B(2; 3) Tìm toạ độ C, D 18 Cho hình vuông ABCD có A(1; 2), BC : x + y − = Tìm toạ độ B, C, D 19 Cho hình vuông ABCD có A(1; 2), BD : x + y + = Tìm toạ độ B, C, D 20 Cho hình vuông ABCD có A(1; 2), I(2; 2) tâm hình vuông Tìm toạ độ B, C, D 21 Cho hình vuông ABCD có A(1; 2), M(2; 0) nằm BC, N(0; 1) nằm CD Tìm toạ độ B, C, D HÌNH HỌC PHẲNG OXY 10 HÌNH VẼ - BÀI TẬP TAM GIÁC CƠ BẢN BC? trung tuyến BM? A M B C BC? A H B C HÌNH VẼ - BÀI TẬP TAM GIÁC CƠ BẢN AB, BC, CA? A M B C H A, B, C? A E G B M C AB, BC, CA? A B H M C 11 HÌNH HỌC PHẲNG OXY 12 AB, BC, CA? A M B C H BC? A D E B C BC? A H N B C HÌNH VẼ - BÀI TẬP TAM GIÁC CƠ BẢN 13 B? A B D C M AB, BC, CA? A M C B H A, C? A E G B F D BC? biết S△ABC = 24, xA > C HÌNH HỌC PHẲNG OXY 14 A B C AB, BC, CA? A M B E C HÌNH HỌC PHẲNG OXY 22 Lời giải tóm tắt: Ta có SGAB = 13 SABC = 12 Gọi G(a, 3a − 8), sử dụng SGAB = 12 AB.d(G, AB) tìm a = 2, a = Từ ta có G(2, −2) G(1, −5) Từ tìm C(1, −1) C(−2, −10) −−→ −−→ Tính chất 8.3.2 Cho tam giác ABC, có trọng tâm G trung điểm M BC Khi BG = 2GM B G M A C Phân tích gắn tọa độ: Tính chất biết tọa độ hai ba điểm B, G, M tìm tọa độ điểm lại Từ ta thao tác toán biết ba đỉnh Bài 8.3.2 Cho tam giác ABC với B(−12, 1), phương trình đường phân giác góc A x+2y−5 = , Viết phương trình đường thẳng BC 0, tọa độ trọng tâm G 3 −−→ −−→ , Gọi N Lời giải tóm tắt: Gọi M trung điểm AC, sử dụng BG = 2GM , tìm M 13 2 điểm đối xứng M qua đường phân giác góc A N 11 , − 32 Đường thẳng AB qua N B x + 7y + = Từ tìm A(9, −2), C(4, 3) Khi phương trình BC : x − 8y + 20 = 8.4 Tính chất hình thang vuông Tính chất 8.4.1 Cho hình thang vuông ABMD A B có A = B = 900 , BM = 2AD Gọi N hình chiếu B DM C trung điểm BM Khi ANC = 900 B, N đối xứng qua AC A D N B C M Phân tích gắn tọa độ: Từ tính chất trên, ta cho tọa độ điểm A, N thông tin điểm C thuộc −−→ −−→ − → đường thẳng Sử dụng AN NC = ta tìm tọa độ C Dẫn đến đường thẳng AC viết B đối xứng với N qua AC tìm Từ ta tìm tọa độ M D TÍNH CHẤT HÌNH HỌC-DÙNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO 23 Bài 8.4.1 (Khối A 2013) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x+y+5 = A(−4, 8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vuông góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ B C, biết N(5, −4) −−→ −−→ Lời giải tóm tắt: Gọi C(c, −2c − 5) Sử dụng AN.NC = tìm C(1, −7) B đối xứng với N qua AC nên B(−5, −7) Tính chất 8.4.2 Cho hình thang vuông ABCD, A = D = 900 DC = 2AB Gọi H hình chiếu D AC Điểm M, N tương ứng trung điểm HC DH Khi ABMN hình bình hành BMD = 900 A B H N M C D Phân tích gắn tọa độ: Với tính chất trên, cho hình thang vuông thỏa mãn yêu cầu toán, ta cho tọa độ điểm B, H phương trình đường thẳng DM Khi M hình chiếu B DM nên tìm Từ ta có tọa độ điểm C Đường thẳng DH qua H vuông góc với AC viết −−→ −→ Từ D = DH DM tìm Sử dụng CD = 2BA tìm tọa độ điểm A , 17 hình chiếu Bài 8.4.2 Cho hình thang vuông ABCD, A = D = 900 , DC = 2AB Gọi H 11 5 D AC Đỉnh B(4, 4) phương trình đường thẳng DM x − 3y + = Tìm tọa độ A, C, D Lời giải tóm tắt: M hình chiếu B DM nên M 23 , 11 , M trung điểm HC 5 nên C(7, 1) Đường thẳng AC qua H, M có phương trình x + 2y − = Đường thẳng DH qua H, vuông góc với AC có phương trình 2x − y − = Từ tìm D(1, 1) Gọi A(9 − 2a, a), sử dụng −→ −−→ BA.DA = tìm A(1, 4) 8.5 Tính chất hình chữ nhật Tính chất 8.5.1 Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H hình chiếu B lên đường thẳng AC Gọi M K trung điểm AH CD Khi BMK = 900 B C K H A M D HÌNH HỌC PHẲNG OXY 24 Phân tích gắn tọa độ: Tính chất cho ta thông tin điểm B biết tọa độ H K Do cần cho thêm điểm B thuộc vào đường thẳng tìm B Bài 8.5.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2x − y + = 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x − y − = Gọi H hình chiếu vuông góc B , , K(9, 2) trung điểm AH CD Tìm tọa độ xuống đường chéo AC Biết M 5 đỉnh hình chữ nhật ABCD biết hoành độ C lớn −−→ −−→ Lời giải tóm tắt: Gọi B(b, 2b + 2) Sử dụng BM MK = tìm B(1, 4) Gọi C(c, c − 5), sử −−→ −−→ dụng BC.CK = tìm C(9, 4) Từ tìm D(9, 0), A(1, 0) Tính chất 8.5.2 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm AB I giao điểm −→ − → AC DM Khi ta có CI = 2IA B C M I A D Phân tích gắn tọa độ: Tính chất cho ta thông tin, có tọa độ hai ba điểm A, I, C biết tọa độ điểm lại Bài 8.5.2 (Học sinh giỏi tỉnh Bình Phước 2013) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(5, −7), điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x − y + = Đường thẳng qua D trung điểm M đoạn AB có phương trình: 3x − 4y − 23 = Tìm tọa độ B C, biết điểm B có hoành độ dương −→ − → Lời giải tóm tắt: Gọi I giao điểm AC DM C(c, c + 4), sử dụng CI = 2IA suy I( c+10 , c−10 ) Cho I thuộc DM tìm c = Vậy C(1, 5) Gọi M(4m + 1, 3m − 5) Vì M trung 3 , 21 ) điểm AB nên B(8m − 3, 6m − 3) Sử dụng AB ⊥ BC tìm B( 33 5 Tính chất 8.5.3 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Gọi I trung điểm AB Khi DIC = 900 A D I B C Phân tích gắn tọa độ: Với kiện hình chữ nhật trên, cần có tọa độ điểm D, I cho thông tin tọa độ điểm C Khi sử dụng IC ⊥ ID tìm C Lúc đường thẳng AD viết qua D vuông góc với DC Sử dụng IA ⊥ AD tìm A Từ tìm điểm B TÍNH CHẤT HÌNH HỌC-DÙNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO 25 Bài 8.5.3 Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 2BC, điểm D(2, 2) I(4, 4) trung điểm AB Điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình x − 3y = Tìm tọa độ A, B, C −→ −→ Lời giải tóm tắt: Gọi C(3c, c), sử dụng DI.IC = tìm C(6, 2) Đường thẳng BC qua C, −→ −−→ vuông góc với DC x − = Sử dụng IB.CB = tìm B(6, 4) Khi A(2, 4) 8.6 Tính chất hình vuông Tính chất 8.6.1 Cho hình vuông ABCD có M trung điểm BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Khi MAN = 450 A B 45 M D C N Phân tích gắn tọa độ: Thông tin có giá trị biết đường thẳng AN điểm M Khi đường thẳng AM viết từ tìm tọa độ A Bài 8.6.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, 11 , đường thẳng AN có phương trình N điểm CD cho CN = 2ND Giả sử M 2 2x − y − = Tìm tọa độ điểm A → − → Lời giải tóm tắt: Gọi vector pháp tuyến đường AM − n = (a, b) ̸= Sử dụng (AM, AN) = 45 tìm a = 3b a = − 31 b Từ ta có hai trường hợp đường AM x − 3y − = 3x + y − 17 = Do A(4, 5) A(1, −1) Tính chất 8.6.2 Cho hình vuông ABCD, gọi M trung điểm BC N trung điểm CD Khi ta có AM ⊥ BN Tính chất giả thiết cần BM = CN A B M D N C Phân tích gắn tọa độ: Nếu ta có phương trình đường thẳng BN, tọa độ điểm M có đường thẳng AM Đến cần cho điểm A thuộc vào đường thẳng tìm tọa độ điểm A, từ ta có tọa độ đỉnh hình vuông HÌNH HỌC PHẲNG OXY 26 trung điểm BC Đường thẳng BN, với N trung điểm CD, có phương trình 2x − y − = Đỉnh A thuộc đường thẳng d : x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD Bài 8.6.2 Cho hình vuông ABCD M 5, Lời giải tóm tắt: Gọi A(a, − a), sử dụng AM ⊥ BN tìm a = hay A(2, 4) Lại gọi B(b, 2b − 6), sử dụng AB ⊥ BM tìm B(5, 4) Từ có C(5, 1) D(2, 1) Tính chất 8.6.3 Cho hình vuông ABCD, M điểm nằm hình vuông cho tam giác MCD cân, với DMC = 1500 Khi tam giác ABM A B 60 60 M C D Phân tích gắn tọa độ: Nếu ta cho tọa độ điểm B, M, thêm thông tin điểm A thuộc đường thẳng Khi độ dài AB = BM cho ta tọa độ điểm A, từ tìm tọa độ hình vuông √ 8−3 , điểm nằm hình Bài 8.6.3 Cho hình vuông ABCD có điểm B(5, 4) M 2 vuông ABCD cho tam giác MDC cân có M MDC = 150 Biết điểm A thuộc đường thẳng 2x − y = hoành độ điểm A nhỏ Tìm tọa độ đỉnh A, C, D Lời giải tóm tắt: Gọi A(a, 2a), sử dụng quan hệ BM = BA ta có A(2, 4) Từ tìm C(5, 1) D(2, 1) Tính chất 8.6.4 Cho hình vuông ABCD, M, N trung điểm AM CN Khi d(B, AM) = d(B, CN) A N B M D C Bài 8.6.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M N trung điểm AB BC tương ứng Phương trình đường thẳng AN 3x − 4y + = 0, phương trình đường thẳng CM y − = Biết điểm B thuộc đường thẳng 2x − y − = hoành độ B thỏa xB ≥ Tìm tọa độ bốn đỉnh hình vuông Lời giải tóm tắt: Gọi điểm B(b, 2b − 2) Sử dụng tính chất d(B, AM) = d(B, CN) tìm b = hay B(5, 8) Gọi điểm N(4n − 1, 3n + 1) N trung điểm AB nên A(8n − 7, 6n − 6) Cho A ∈ (AM) tìm A(3, 4) Từ tìm C(9, 6), D(7, 2) TÍNH CHẤT HÌNH HỌC-DÙNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO 27 8.7 Tính chất hình thang cân Tính chất 8.7.1 Cho hình thang cân ABCD(AB ∥ CD) Khi hình thang có trục đối xứng đường trung trực chung AB CD A B C D Phân tích gắn tọa độ: Từ tính chất trên, có tọa độ ba bốn đỉnh A, B, C, D tìm tọa độ đỉnh lại trục đối xứng ta viết Bài 8.7.1 Cho A(10, 5), B(15; −5), D(−20; 0) ba đỉnh hình thang cân ABCD Tìm tọa độ đỉnh C biết AB//CD Lời giải tóm tắt: Phương trình đường trung trực AB 2x − 4y − 25 = Khi C đối xứng với D qua đường trung trực có tọa độ C(−7, −29) Tính chất 8.7.2 Cho hình thang cân ABCD(AB ∥ CD) có đường cao AH Giả sử AH = √ AB + CD Khi AC ⊥ BD BD = AC = AH 2 A D H B C Phân tích gắn tọa độ: Với kiện trên, ta thấy cần cho tọa độ điểm A, phương trình cạnh CD tính độ dài AH Từ tính tiếp độ dài AC nên suy tọa độ điểm C Cho trung điểm cạnh BC để có C suy B Lại dựa vào độ dài BD tìm tọa độ điểm D Bài 8.7.2 Cho hình thang cân ABCD có độ dài đường cao trung bình cộng hai đáy Đỉnh A(2, 4) đường thẳng CD : y = Điểm M , trung điểm BC Tìm tọa độ B, C, D, 2 biết điểm C có hoành độ lớn hoành độ điểm A √ Lời giải tóm tắt: Điểm C(c, 1), tính AC = nên c = hay C(5, 1) Vì M trung điểm BC nên giải B(4, 4) Đường thẳng DB qua B vuông góc với AC x − y = 0, D = DB ∩ DC nên D(1, 1) HÌNH HỌC PHẲNG OXY 28 8.8 Tính chất tam giác cân Tính chất 8.8.1 Cho tam giác cân ABC, đường cao AD Gọi E hình chiếu D lên AC M trung điểm DE Khi AM ⊥ BE A B H M D E C Phân tích gắn tọa độ: Từ tính chất trên, cho tọa độ A, B, M thêm thông tin điểm E thuộc đường thẳng cố định, ta tìm E Từ tìm điểm C Bài 8.8.1 Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD E hình chiếu D AC 88 31 , trung điểm DE Biết điểm B(1, 1) A(3, 6), điểm E thuộc đường thẳng 5x + M 21 21 2y − 27 = Tìm tọa độ đỉnh C Lời giải tóm tắt: Dạng tọa độ E(−2a + 5, 5a + 1) Sử dụng BE ⊥ AM tìm E M trung điểm DE nên D(3, 1) Từ giải C(5, 1) 113 41 , 21 21 Vì Tính chất 8.8.2 Cho tam giác ABC cân A D trung điểm AC Gọi O tâm ngoại tiếp tam giác ABC G trọng tâm tam giác ADC Khi OG ⊥ DC A D G O N B M C Phân tích gắn tọa độ: Từ tính chất trên, cho tọa độ điểm O, G điểm DC đường thẳng DC viết Lại sử dụng tính chất OD ⊥ AB nên cho thông tin đường thẳng AB qua điểm cố định ta tìm D Khi A giao AB OA nên giải Có D, G tìm trung điểm AC, từ có tọa độ điểm C TÍNH CHẤT HÌNH HỌC-DÙNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO 29 Bài 8.8.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A, D trung điểm AB Biết 11 13 O , ,G , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trọng tâm tam giác 3 3 ADC Các điểm M(3 − 1), N(−3, 0) thuộc đường thẳng DC, AB Tìm tọa độ A, B, C biết D có tung độ dương Lời giải tóm tắt: Đường thẳng DC qua M, vuông góc OG có phương trình x−3 = Gọi D(3, d), −−→ −−→ sử dụng OD.ND = tìm D(3, 3) Đường thẳng AB qua D, N có phương trình x − 2y + = Đường thẳng OA qua O vuông góc DG x − y − = Từ tìm A(7, 5) Gọi J trung −−→ −→ điểm AC Sử dụng DG = 2GJ tìm J(5, 1) Do J trung điểm AC nên C(9, 3) Từ tìm B(7, 5) Tính chất 8.8.3 Cho tam giác ABC cân A Khi đường cao AH vừa đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực kẻ từ A Phân tích gắn tọa độ: Từ tính chất trên, cần cho phương trình hai cạnh bên AB, AC đường phân giác góc A ta viết Sử dụng đường phân giác đường cao ta viết cạnh BC cho đường thẳng BC qua điểm cố định Bài 8.8.3 Lập phương trình đường thẳng qua điểm P (2, −1) cho đường thẳng với đường thẳng (d1 ) : 2x − y + = (d2 ) : 3x + 6y − = tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng (d1 ) (d2 ) Lời giải tóm tắt: Đường phân giác hai đường d1 , d2 3x − 9y + 16 = 0, 9x + 3y + 14 = Từ đường thẳng cần tìm qua P vuông góc với hai đường có phương trình 3x + y − = 0, x − 3y − = 8.9 Tính chất tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc Tính chất 8.9.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp có hai đường chéo vuông góc với O Gọi M trung điểm AD Khi OM ⊥ BC A M B O D C Phân tích gắn tọa độ: Từ tính chất trên, cho tọa độ O, M thông tin điểm nằm BC đường thẳng BC viết Sử dụng OM = MD, nên cho thông tin điểm D thuộc đường thẳng cố định tìm D Khi toàn bốn đỉnh A, B, C, D giải 30 HÌNH HỌC PHẲNG OXY ,5 Bài 8.9.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp có hai đường chéo vuông góc với O(7, 1) M 17 2 trung điểm AD Điểm D thuộc đường thẳng có phương trình x − 2y − = điểm D có hoành độ lớn Đường thẳng BC qua điểm N(5, 2) Tìm tọa độ bốn đỉnh A, B, C, D Lời giải tóm tắt: Gọi D(2d + 8, d) Sử dụng OM = MD tìm D(10, 1) Đường thẳng BD qua O, D y = Đường thẳng BC qua N vuông góc với OD có phương trình x + y − = Từ tìm B(6, 1), C(7, 0), A(7, 4) NHỮNG BÀI OXY HAY 31 NHỮNG BÀI OXY HAY Bài toán 1.3 (A − 2014) Cho hình vuông ABCD có M(1; 2) trung điểm AB, điểm N(2; −1) nằm AC cho AN = 3NC Hãy tìm phương trình đường thẳng CD Hướng dẫn • ABCD hình vuông nên tính độ dài tất đoạn thẳng theo a góc, với a độ dài cạnh hình vuông Trong cạnh có MN mà M, N biết toạ độ suy ẩn a, từ có độ dài tất đoạn thẳng • Muốn tìm điểm ta cần tìm phương trình liên quan đến điểm (ở độ dài) Chẳng hạn muốn tìm điểm A ta dùng AM =?, AN =? có điểm A • Có hai đường thẳng song song bị cắt đường ta có tam giác đồng dạng Ở có M, N ta tìm giao điểm MN với CD Lược giải A M D I N B E C −−→ −−→ • △MNA ∼ △ENC ⇒ MN = 3NE ⇒ E √ • Gọi a độ dài cạnh hình vuông suy MN = a mà MN = 10 ⇒ a = ⎧ ⎨AM = A1 CD1 • Suy ⇒ ⇒ (tại dùng AM, AN mà không dùng DM, DN ⎩AN =? A2 CD2 AM, AN dễ tính hơn) Một số hướng khác Hướng Thấy MN⊥DN MN = DN (sao thấy? Dựa vào ô ly vở, compa, dự đoán ) yếu tố vuông cân cho ta toạ độ điểm D Kết hợp với điểm E ta có CD Hướng Biết E rồi, tính d(M, CD) d(N, CD) =? ta có CD Hướng Biết E rồi, không cần biết cụ thể d(M, CD) =? d(N, CD) =? dựa vào d(M, CD) = 4d(N, CD) ⇒ CD Hướng Biết E rồi, xác định góc CD MN suy CD Rõ ràng mấu chốt toán nằm việc có độ dài đoạn theo ẩn cho số độ dài điểm biết trước tính toạ độ điểm lại Với ý tưởng ta chế vài ví dụ tương tự HÌNH HỌC PHẲNG OXY 32 CD, điểm M(7; 7) 2 nằm đoạn AB cho BM = 2AM N(15; 3) nằm đoạn BC cho BN = BC Hãy tìm toạ độ đỉnh hình thang biết điểm B có hoành độ nguyên Ví dụ 1.1 Cho hình thang vuông ABCD, vuông A D có AB = AD = Hướng dẫn Tương tự đề khối A-2014 A M B K N I D E C Gợi ý • I(19; 1), ∠MBN = 1350 ⇒ a = ⇒ B(11; 7) ⇒ C(17; 1), A(5; 7) ⇒ DC ⇒ D(5; 1) Đưa hình thang vuông vào tam giác ta có ví dụ Ví dụ 1.2 Cho tam giác ABC vuông cân A, M, N trung điểm AB BC Điểm E(7; 7) nằm đoạn MN cho EN = 2EM F (15; 3) nằm đoạn BC cho BF = 5F C Hãy tìm toạ độ đỉnh tam giác biết điểm C có hoành độ nguyên B M E N K A F J C I NHỮNG BÀI OXY HAY 33 Đưa vào tam giác - Dùng làm ví dụ minh hoạ cho học sinh Ví dụ 1.3 Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm M nằm cạnh AB cho 5AM = 7MB, N(15; 3) nằm cạnh BC thoả BN = BC P (9; 6) nằm đoạn MN cho MP = MN Biết điểm B có toạ độ nguyên, tìm toạ độ đỉnh tam giác B M P N C A Hướng dẫn M(5; 8), ∠ABC = 450 ⇒ B(5; 13), A(5; 1), C(17; 1) Tam giác có góc cho trước có tỷ lệ cạnh - Ví dụ giới thiệu cho học sinh khoảng cách Ví dụ 1.4 Cho tam giác ABC có AC = 2AB, ∠BAC = 1200 , trọng tâm G tam giác M −2; −2 34 ; , điểm 15 15 nằm AB thoả mãn BM = 2AM Biết B có xB < −3, tìm toạ độ đỉnh Hướng dẫn ∠ABG = ∠AKB = 300 ⇒ B −4; , A(−1; 4), C 23 ; 10 A M B G K N C Đơn giản - Ví dụ giới thiệu cho học sinh khoảng cách HÌNH HỌC PHẲNG OXY 34 Ví dụ 1.5 Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm M(3; 3), N(7; 1) điểm nằm cạnh AB BC cho AM = 2MB, BN = 2NC Hãy tìm toạ độ đỉnh tam giác biết điểm C có hoành độ nguyên B M N C A Hướng dẫn ∠ABC = 450 ⇒ A(3; −1), B(3; 5), C(9; −1) Bài toán 1.4 (B − 2014) Cho hình bình hành ABCD có M(−3; 0) trung điểm AB, điểm ; trọng tâm tam giác BCD Tìm toạ H(0; −1) hình chiếu B AD điểm G độ điểm B, D Hướng dẫn H A D I M G B E C J −−→ −−→ • Có H, M suy E : △HMA ∼ △EMB ⇒ HM = ME ⇒ E −−→ −→ • Có H, G suy J : △HGA ∼ △JGC ⇒ HG = 2GJ ⇒ J • Có BC, H suy B hình chiếu H Có B ⇒ A ⇒ I ⇒ C, D Đây đặc trưng cho việc có cặp cạnh song song bị cắt hai đường cho ta tam giác đồng dạng, dùng tỷ lệ để có đẳng thức vector suy điểm cần tìm mối quan hệ điểm NHỮNG BÀI OXY HAY 35 Bài toán 1.5 (Vũ môn lần 1-A.Hiền) Trong mặt phẳng OXY cho tam giác ABC cân A với hai đường cao AD BE cắt H Biết D(5; 1) phương trình đường tròn ngoại tiếp = Hãy tìm toạ độ đỉnh A, B, C tam giác AHE (x − 5)2 + y − A I E H B • AD : x = 5, A ∈ AD ⇒ A(5; a), mà AI = D ⇒ C a=5 a = (loại I nằm A&D) Suy A(5; 5), H(5; 2) −−→ −→ • BC : y = 1, C ∈ BC ⇒ C(c; 1) ⇒ B(10 − c; 1) Ta có CH.AB = ⇒ c=7 c=3 • c = ⇒ B(7; 1), C(3; 1), A(5; 5) Với c = ⇒ B(3; 1), C(7; 1), A(5; 5) Bài toán 1.6 (Từ ĐH Vinh - Vũ môn lần 3-129) Trong mặt phẳng OXY cho tam giác ABC có trọng tâm G 4; đường thẳng BC qua điểm E(8; −2) Điểm N(6; 2) điểm đối xứng với I qua AC Biết AIBM hình vuông với I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M(−2; 2) Hãy tìm toạ độ đỉnh tam giác HÌNH HỌC PHẲNG OXY 36 A M K N Q P I G O B H J E C • Gọi P, Q trung điểm AB AC ta có AM = AI = AN P Q đường trung bình △ABC △IMN suy MN ∥ BC △AMN cân A • Kẻ đường cao AH △ABC với H = AH ∩ BC, gọi K = AH ∩ MN Khi MN ∥ BC ⇒ AH⊥MN Mà △AMN cân suy K trung điểm MN ⇒ K(2; 2) ⇒ AH : x = −→ −→ 1−a • BC : y = −2 Ta có A ∈ AH ⇒ A(2; a) Gọi J trung điểm BC AG = 2GJ ⇒ J 5; mà J ∈ BC ⇒ a = ⇒ A(2; 5); J(5; −2) ; tâm HBH MNCB ⇒ B(1; −2), C(9; −2) • Gọi O trung điểm KJ O