toanmath com 29 bài toán hình lăng trụ xiên trần đình cư

Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC  a 3, BC  3a , ACB  300 Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60 mặt phẳng  A 'BC  vng góc với mặt phẳng  ABC  Điểm H cạnh BC cho HC  3BH mặt phẳng  A'AH  vng góc với mặt phẳng  ABC  Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ B đến mặt phẳng  A 'AC  Giải  A 'BC    ABC    A 'H   ABC   A 'AH    ABC   A 'H   A 'BC    A 'AH  Suy A 'AH  60 A' C' B' AH  AC2  HC2  2AC.HC.cos300  a  AH  a A  A 'H  AH.tan 60  a VABC.A 'B'C '  SABC A 'H  3a 9a a  4 B Vì AH  AC2  HC2  HA  AC  AA '  AC 1 SA ' AC  AC.A 'A  a 3.2a  a 2 a 3VA ' ABC 3a  d  B;  A 'AC      SA ' AC a C H Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ΔABC có cạnh a, AA '  a đỉnh A’ cách A, B, C Gọi M, N trung điểm cạnh BC A’B Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AMN) Giải Gọi O tâm tam giác ABC  A 'O   ABC  Ta có AM  C' A' a a , AO  AM  3 A 'O  AA '2  AO  a  B' a2 a a2  ; SΔABC  3 N Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’: V  SΔABC A 'O  a a a3  4 Ta có: VNAMC E C A O 3V  SΔAMC d  N,  ABC    d  N,  ABC    NAMC SΔAMC M B a2 a a2 a a2 SAMC  SABC  ; d  N,  ABC    A 'O   VNAMC   8 48 Lại có: AM  AN  a , nên ΔAMN cân A Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Gọi E trung điểm MN, suy AE  MN, MN   AE  AN  NE   d  C,  AMN    A 'C a  2 3a a a 11 a 11   ; SAMN  MN.AE  16 16 3a 2 a 11 a 22 :  (đvđd) 48 16 11 Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB  a, ACB  300 ; M trung điểm cạnh AC Góc cạnh bên mặt đáy lăng trụ 60 Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H BM Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ điểm C’ đến mặt phẳng (BMB’) Giải A 'H   ABC   A 'H đường cao hình lăng trụ Q A' AH hình chiếu vng góc A A’ lên (ABC)  A 'AH  600 VABC.A 'B'C '  A 'H.SABC C' P B' a 3a AC  2a, MA  MB  AB  a  AH   A 'H  2 1 a2 SABC  BA.BC  a.a  2  VABC.A 'B'C '  3a a 3a 3  2 3V d  C',  BMB'    d  C,  BMB'    d  A,  BMB'    A.BMB' SBMB' VA.BMB'  VB'.AMB6 A a3  VABC.A 'B'C '  C M H B E Do BM   AHA ' nên BM  AA '  BM  BB'  Δ BMB' vng B 3a 3 a 2 3a 1 a2 :   SBMB'  BB'.BM  a 3.a  Suy d  C',  BMB'    2 (Cách 2: d  A,  BMB'    AE  AH.sin AHE  a 3a sin 600  ) Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm cạnh BC I trung điểm AM Biết hình chiếu điểm I lên mặt đáy A’B’C’ trọng tâm G ΔA'B'C' Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi M’ trung điểm B’C’; K  A'M' cho A 'K  KG  GM' Kẻ AH  A 'M '; H  A'M' C I A M B Ta có AHGI hình bình hành nên IG  AH Hơn AM'  A'M' , I trung điểm AM, G trọng tâm Δ A'B'C' nên H trung điểm A’K  A 'H  A 'M ' A' H K C' G M' B' Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Ta có: SA ' B'C '  a2 a a ; A 'M '   A 'H  12 AH  A 'H.tan 600  a a a a a3  Từ đó: VABC.A ' B'C'  AH.SA ' B'C '   12 4 16 a 10 , BAC  1200 Hình chiếu vng góc C’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a tính số đo góc hai mặt phẳng (ABC) (ACC’A’) Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB  2a, AC  a, AA '  Giải B' C' Gọi H trung điểm BC Từ giả thiết suy C'H   ABC  Trong ΔABC ta có: A' a SABC  AB.AC.sin1200  2 BC2  AC2  AB2  2AC.AB.cos1200  7a a a  C'H  C'C  CH   BC  a  CH  C B H K A Suy thể tích lăng trụ V  C'H.SABC  3a Hạ HK  AC Vì C'H   ABC   đường xiên C'K  AC    ABC  ,  ACC'A'   C'KH (1) ( ΔC'HK vng H nên C 'KH  900 ) Trong ΔHAC ta có HK  Từ (1) (2) suy 2SHAC SABC a C'H  tan C'KH    C'KH  450   AC AC HK (2)   ABC ,  ACC'A'   450 Ghi chú: Có thể tính độ dài AH suy ΔHAC vng A để suy K  A ) Bài Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A’ mặt phẳng ABCD trung điểm I cạnh AB Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy góc α với tan α  Tính theo a thể tích khối chóp A’.ICD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (A’AC) Giải Theo ta có IC hình chiếu vng góc A’C mặt phẳng B' C' (ABCD) Suy  A'C,  ABCD     A'C,CI   A'CI  α A 'I  IC.tan A 'CI  IC.tan α  a a H Thể tích khối chóp A’.ICD là: VA '.ICD D' A' Xét ta giác vng A’IC: B 1 a a3  A 'I.SΔICD  a  (đvtt) 3 C I K A D Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Ta có BI   A 'AC   A I trung điểm AB nên d  B;  A 'AC    2d  I;  A 'AC   Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ IK / /BD  IK  AC , mà A 'I  AC (do A 'I   ABCD  ) nên AC   A'IK  Kẻ IH  A 'K  IH   A 'AC   d  I;  A 'AC    IH Xét tam giác vng A’IK có A 'I  a, IK  IH  IK  IA'  a    IH  BD a  4 a a a 2a Suy d  B;  A 'AC    Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt bên AA’D’D hình thoi cạnh a nằm mặt a phẳng vng góc với mặt đáy (ABCD) cách BC khoảng Biết cạnh AA’ hợp với mặt đáy (ABCD) góc 60 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Giải Ta có:  AA 'D'D    ABCD  theo giao tuyến AD A' (1) D' Vẽ A'H  AD BK  AD; H, K  AD B' C' (2) Từ (1) (2)  A'H   ABCD  BK   AA 'D'D   A 'H  d   A 'B'C'D'  ,  ABCD   A K 600 BK  d  B,  AA 'D'D   a  d  BC,  AA 'D 'D    D H C B (vì BC / /  AA'D'D  ) Vì A 'H   ABCD  nên góc hợp AA’ (ABCD) A 'AH  600 Tam giác A’AH vng H  A 'H  AA 'sin A 'AH  a sin 600  a Vậy thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: a a a3 V  SABCD A 'H  AD.BK.A'H  a  2 Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  2a Biết tam giác A’AB tam giác nằm mặt phẳng hợp với đáy (ABCD) góc α Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a α Giải A' D' Gọi M, N trung điểm AB CD, ta có:  MN  AB (vì MN đường trung bình hình chữ nhật ABCD)   A'M  AB (vì tam giác A'AB tam giác đều)  A'MN  α (góc hợp (A’AB) đáy (ABCD)) Ta có AB   A'MN  (vì AB  MN AB  A'M ) B' A C' D α B C Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30   ABCD    A'MN  theo giao tuyến MN (1) Vẽ A'H  MN, H  MN (2)  Từ (1) (2)  A'H   ABCD   A 'H  d  A 'B'C'D'  ,  ABCD  Tam giác A’AB tam giác có cạnh AB  a  A'M  Tam giác A’HM vng H  A'H  A'Msin A'MH   a a sin α Vậy thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: a sin α  a3 sin α Bài Cho hai đoạn thẳng AB CD chéo nhau, AC đường vng góc chung chúng Biết V  SABCD A'H  AB.AD.A'H  a.2a AC  h, AB  a, CD  b góc hai đường thẳng AB CD 60 Hãy tính thể tích tứ diện ABCD Giải Dựng hình lăng trụ ABE.FDC (BE song song DC, DF song song AB) B E 600 a A AC  AB  gt    Ta có: AC  CD  gt   CD / /BE  AC  BE   h  AC   ABE   AC  h chiều cao hình chóp C.ABE Tam giác ABE có AB  a, BE  CD  b ABE   AB,CD   60  SΔABE b C D 600 F 1 ab  AB.BE.sin ABE  a.b.sin 600  2 1 ab abh Ta có VABCD  VC.ABD  VC.AFD  VA.CDF  VC.ABE  SΔABE CA  h  3 12 Chú ý: VABCD  VABE.FDC Bài 10 Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a,   A'AB  BAD  A'AD  α 00  α  900 Hãy tính thể tích khối hộp Giải Ta có ΔAA'B  ΔAA'D (vì B' có cạnh chung C' AA’, A'AB  A'AD  α AB  AD  a ) A' D'  A'B  A'D Vẽ A'H  AC  H  AC  (1) φ Tam giác A’BD cân A’ (do A'B  A'D )  BD  A'O (O trung điểm BD, O tâm hình thoi ABCD) Ta có BD  AC α A B H C O K D Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30  BD   A'AO   BD  A'H 2 Từ (1) (2)  A'H   ABCD  Đặt A'AO  φ Vẽ A'K  AD  K  AD   HK  AK (định lý ba đường vng góc) Ta có: cos φ  AH (tam giác vng AA’H) AA' cos α  AK (tam giác vng AA’K) AA' BAD α α AK  ) cos  (tam giác AHK vng K HAK  2 AH α AH AK AK cos α  cos φ.cos    cos α  cos φ  α AA' AH AA' cos Tam giác AA’H vng H có A'AH  φ nên A 'H  AA '.sin φ  a sin φ  a  cos φ  a  cos α a α  cos  cos α α α cos cos 2  VABCD.A 'B'C'D'  SABCD A 'H  AB.AD.sin BAD.A 'H  a sin α a cos α cos α  cos α α α a α α α  a 2sin cos cos  cos α  2a sin cos  cos α 2 cos α 2 2 Bài 11 Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB  , AD  Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 60 Hãy tính thể tích khối hộp biết cạnh bên Giải B' C' B A' C D' H K B A H K A C M M D D Vẽ A 'H   ABCD   H   ABCD   , HM  AD  M  AD  , HK  AB  K  AB  Theo định lý ba đường vng góc, ta có: AD  A 'M, AB  A 'K  A'MH  600 , A'KH  450 Đặt A'H  x Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Tam giác A’HM vng H có A 'MH  600 nên A 'M  A 'H sin 60  2x Tam giác A’AM vng M nên AM  AA '2  A 'M   4a  4x  3 (1) AKHM hình chữ nhật tam giác A’AH vng H nên AM  HK HK  A 'H.cot A 'KH  AM  HK  x.cot 450  x Từ (1) (2)  x  (2)  4x 3 x hay A'H  7 Vậy VABCD.A ' B'C ' D '  S ABCD.A 'H  AB.AD.A'H  3 3 Bài 12 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích Khoảng cách cạnh CC’ mặt (ABB’A’) Hãy tính thể tích khối lăng trụ Giải Dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ VABC.A 'B'C '  VABCD.A 'B'C 'D ' ta có: A' Xem khối hộp ABCD.A’B’C’D’ khối lăng trụ có hai D' B' C' đáy ABB’A’ DCC’D’ Vậy VABCD.A ' B'C' D'  S ABB' A '.h h  d   CDD 'C'  ,  ABB'A '   A D  d  CC',  ABB'A '    B C SABB'A '   VABC.A 'B'C '  4.7  14 Bài 13 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân với cạnh huyền AB  Cho biết mặt phẳng (AA’B) vng góc với với mặt phẳng (ABC), AA '  , góc A'AB nhọn, góc hai mặt phẳng (A’AC) mặt phẳng (ABC) 60 Giải  AA 'B   ABC  theo giao tuyến AB Vẽ A'K  AB (với K  AB ) (1) A' B' (2) Từ (1) (2)  A 'K   ABC  Góc A'AB nhọn nên K thuộc tia AB C' Vẽ KM  AC  M  AC   A 'M  AC (định lý ba đường vng góc) A  Góc hai mặt phẳng (A’AC) (ABC) A 'MK  600 B K M C Đặt A'K  x , ta có: Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30  AK  A 'A  A 'K   x    x2 MK  AK sin KAM   x sin 45   x  MK  A 'K cot A 'MK  A 'K.cot 60   Từ (3) (4)    x x   3 4 x hay A 'K  Tam giác ABC vng cân với cạnh huyền AB  nên AC  CB  Vậy VABC.A ' B 'C '  S ABC.A 'K  1 3 AC.CB.A 'K  1.1  2 10 Bài 14 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  b , cạnh bên AA’ hợp với mặt đáy (ABCD) góc 60 , mặt bên AA’D’D hình thoi có góc A’AD nhọn nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) a Tính thể tích khối tứ diện ACDD’ b Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung AA’ CD Giải a Ta có  AA 'D'D    ABCD  theo giao tuyến AD A' D' (1) Vẽ A 'H  AD, H  AD B' C' K (2) Từ (1) (2)  A'H   ABCD   Góc hợp AA’ (ABCD) A 'AH  600 Tam giác AA’H vng H, AA '  AD  b (AA’D’D A 600 D H B C b hình thoi) A 'AH  60  A 'H  Ta có: VA 'CDD '  VA '.CDD '  VA '.CC 'D '  VA '.CC 'D 'D  1  VACD.A 'C 'D '  VA '.ACD    VACD.A 'C'D'  VACD.A 'C 'D '  2  1 1 1 b  VACD.A 'C 'D '  VABCD.A 'B'C 'D '  SABCD A 'H  AB.AD.A 'H  ab 3 6 hay VA 'CDD '  ab 12 Chú ý: ta tính VABCD.A 'B'C'D' cách khác Ta có  AA 'D'D    ABCD  theo giao tuyến AD AB  AD Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30  AB   AA 'D'D   VABCD.A 'B'C 'D '  SAA 'D 'D AB  AD.AA '.sin A 'AD.AB  a.b.b.sin 600  ab b Ta có  AA 'D'D    ABCD  theo giao tuyến AD CD  AD  CD   AA'D'D  (1) Trong mặt phẳng (AA’D’D), vẽ DK  AA ', K  AA ' (2) Từ (1) (2)  DK đoạn vng góc chung AA’ CD Tính DK: AA’D’D hình thoi có cạnh b A 'AD  600 b Bài 15 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất mặt hình thoi cạnh a, góc  Tam giác AA’D tam giác có cạnh b  DK  BAA '  BAD  DAA '  600 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a Giải Gọi H, I, J hình chiếu A’ lên (ABCD), AB, AD D' Ta có: C' A' A 'H  AB  AB   A 'HI   A 'I  AB  AB  HI Tương tự: HJ  AD Hai tam giác vng A’AI A’AJ có AA’ chung A 'AI  A 'AJ  600 B' D C J H A I B a  ΔA 'AI  ΔA 'AJ , AI  AJ  AA 'cos 600   HI  HJ Vậy H cách AB AD nên nằm đường phân giác góc BAD  H  AC a 2 AI  a ; A 'H  AA '2  AH  a  a  2a Ta có: AH   3 3 cos300  A 'H  a a2  SABCD  AB.AD.sin 600   VABCD.A 'B'C'D '  A 'H.SABCD  a a a3 (đvtt)  2 Bài 16 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AB  a, BC  2a Mặt bên ABB’A’ hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm mặt phẳng vng góc với đáy, hai mặt hợp với góc α Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’) Xác định góc α Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải Tính d  A,  BCC'B'   Xác định α Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Dựng AH  BC  H  BC  B'  BCC'B'   ABC    BCC'B'   ABC   BC  AH   ABC  , AH  BC  AH   BCC'B' C' A' E Dựng HE  BB'  E  BB'  ta có: H B  BB'  AH  BB'   AHE    BB'  HE 2a O C a  ABB'A '   BCC'B'   BB'   AHE   BB'   AHE    ABB'A '   AE  AHE  BCC'B'  HE     A    ABB'A '  ,  BCC'B'     AE, HE  Mặt khác tam giác AHE vng H (do AH  HE ) nên AEH góc nhọn Do  ABB'A' ,  BCC'B'   AE,HE   AEH  α Tính VABC.A 'B'C' Trong tam giác vng ABC: AC  BC2  AB2  a AH.BC  AB.AC  AH  AB2  BH.BC  BH  AB.AC a a   BC 2a AB2 a a   BC 2a Trong tam giác vng AHE: HE  AH cot AEH  a cot α Tứ giác ABB’A’ hình thoi AABB'  AB  a Gọi O hình chiếu vng góc B’ lên BC B'O   ABC  (chứng minh tương tự chứng minh AH   BCC'B' ) Hai tam giác vng BEH BOB’ có chung góc nhọn B nên chúng đồng dạng a2 cot α B'O BB' EH.BB'   B'O    a cot α Suy a EH BH BH Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 1 3a cot α V  SABC B'O  AB.AC.B'O  a.a 3.a cot a  2 Bài 17 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, A 'A  A 'B  A 'C  a 12 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ABC) Giải 10 Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Gọi H hình chiếu A (ABC) B' Vì A'A  A'B  A'C nên HA  HB  HC , suy H tâm tam giác ABC C' A' Gọi I, J trung điểm BC, AB A 'J  AA '2  AJ  7a a a   12 1 a a HJ  CJ   3  A 'H  A 'J  HJ  I a B C H J Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: a a a3 V  A 'H.SΔABC   A A 'J  AB   A 'JC   AB  A 'JC góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ABC) Khi Vì  CJ  AB a A 'H tan A 'JC     A 'JC  600 JH a Vậy góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ABC) 60 Bài 18 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng A, AB  a, AC  a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’ Giải Gọi H trung điểm BC  A 'H   ABC  B' C' 1 AH  BC  a  3a  a 2 Do đó: A'H2  A'A2  AH2  3a  A'H  a A' 2a a3 V  A 'H.S  Vậy A '.ABC (đvtt) ΔABC 3 Trong tam giác vng A’B’H có HB'  A'B'2  A'H2  2a nên B tam giác B’BH cân B’ Đặt φ góc hai đường thẳng AA’ B’C’ φ  B'BH Vậy cos φ  C H a a A a  2.2a Bài 19 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  a Hình chiếu vng góc điểm A’ mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 60 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a 11 Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Giải Gọi O  AC  BD , I trung điểm cạnh AD Ta có D' C' AD   AOI  A' a nên ta  A'IO    ADD'A' ,  ABCD    60 Vì OI  B' suy A 'I  2OI  a  A 'O  OI.tan 600  a Do VABCD.A 'B'C'D'  A'O.SABCD  a.a D I a 3a  2 C 600 H O A B Do B'C∥ A 'D  B'C∥  A 'BD   d  B',  A 'BD    d  C,  A 'BD    CH CH đường cao tam giác vng BCD Ta có CH  CD.CB CD2  CB2  a a Vậy d  B',  A 'BD    2 Bài 20 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân AB  AC  a , BAC  1200 AB’ vng góc với đáy (A’B’C’) Gọi M, N trung điểm cạnh CC’ A’B’, mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ cosin góc hai đường thẳng AM C’N Giải Ta có: K BC  AB  AC  2AB.ACcos A 2  3a 2  BC  a B' A' N C' Gọi K hình chiếu B’ lên A’C’, suy A'C'   AB'K  Do đó: E AKB'    A'B'C' ,  AA'C'    30 Trong tam giác A’KB’ có KA 'B'  600 , A 'B'  a nên B'K  A 'B'sin 600  Suy AB'  B'K.tan 300  a M a A B Thể tích khối lăng trụ: V  AB'.SΔABC  C a3 Gọi E trung điểm AB’, suy ME∥ C' N nên  C' N,AM    EM,AM  Vì AB'  C' N  AE  EM   C' N, AM   AME   C'B'2  C'A '2  A 'B'2 a a AE  AB'  ; EM  C' N   EM  4 AM  AE  EM  Vậy cos AME  29a a 29  AM  16 ME 2 MA 29 12 Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Bài 21 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đoạn thẳng B’C’ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AA’ B’C’ theo a Giải Ta có A’H hình chiếu AA’ lên mặt phẳng (A’B’C’) A C nên AA 'H  300 B Xét tam giác vng AHA’ ta có: a AH  AA 'sin 300  , a A 'H  AA 'cos300  K 300 Mà tam giác A’B’C’ nên H trung điểm B’C’ A' C' H Thể tích khối lăng trụ là: B' a a a3 V  AH.SΔABC   Vẽ đường cao HK tam giác AHA’ Ta có B'C'   AHA' nên B'C'  HK Suy d  AA ', B'C'   HK  AH.A 'H a  AA ' Bài 22 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân A, AB  AC  a, BAC  1200 , hình chiếu A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bên AA '  2a Giải Gọi H tâm đáy, M trung điểm cạnh BC, SH   ABC  AM  ABsin 600  B' C' a  BC  a A' Áp dụng định lý sin ta có: HA  R  BC 2sin1200  a, A 'H  A 'A  AH  a a2 SΔABC  AB.ACsin1200  Vậy VABC.A ' B 'C '  A 'H.SΔABC H M B C 3a  Bài 23 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB'  a , góc A đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 60 , tam giác ABC vng C BAC  600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC Giải Gọi D trung điểm AC, G trọng tâm tam giác ABC 13 Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30  B'G   ABC   B'BG  600 B' C' a  B'G  BB'sin B'BG  ; a 3a BG   BD  Trong ΔABC ta có: BC  A' AB AB AB  CD  , AC  2 3AB2 AB2 9a BC  BD  BD    16 16 2 600 B C G 3a 13 3a 13 9a  AB  , AC  , SΔABC  13 26 104 D A 9a Thể tích khối tứ diện A’.ABC là: VA '.ABC  B'G.SΔABC  208 Bài 24 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên a hình chiếu A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ Giải A' Gọi H trung điểm cạnh BC C'  A 'H   ABC  B' Tam giác vng A’HA: AH  A 'A  AH  3a  3a 3a a2  SΔABC  nên 4 VABC.A 'B'C'  A'H.SΔABC A 3a a 3a 3   C H B Bài 25 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài tất cạnh a hình chiếu đỉnh C mặt phẳng (ABB’A’) tâm hình bình hành ABB’A’ Tính thể tích khối lăng trụ Giải Gọi O tâm hình bình hành ABB’A’ Ta có CO   ABB'A ' C' Vì CA  CB nên OA  OB , suy hình thoi ABB’A’ hình vng Do OA   OC  AB  a Suy ra: OC2  AC2  AO2  A' a2 B' a O C Vậy thể tích khối chóp: a3 VC.ABA '  CO.SABA '  12 A Mà VABC.A 'B'C'  3VC.ABA ' nên thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: VABC.A 'B'C '  a3 B 14 Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Bài 26 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, BAD  600 , BAA '  900 , DAA '  1200 Tính thể tích khối hộp Giải Từ giả thiết ta tính BD  a , A 'B  a , A 'D  a D' C' nên tam giác A’BD vng B Vì AB  AD  AA' nên hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (A’BD) trung với tâm H đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD (do tam giác vng nên H trung điểm A’D) A' B' H a Ta có AH  AA 'cos 600  , C D a2 SA 'BD  BA '.BD  , thể tích khối tứ diện A 2 A’.ABD VA '.ABD  B a3 12 Ta biết VABCD.A 'B'C'D'  6VA '.ABD nên VABCD.A 'B'C'D'  a3 2 Bài 27 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc A  600 Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm hai đường chéo đáy ABCD Cho BB'  a Tính góc cạnh bên đáy Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp Giải Tính góc cạnh bên mặt phẳng đáy D' Gọi O  AC  BD Theo giả thiết ta có B'O   ABCD   B'B   ABCD   B   B'O   ABCD  , O   ABCD  C' A' B'  Hình chiếu B’B (ABCD) OB   B'B,  ABCD     B'B,BO   B'BO Tam giác ABD có AB  AD  a , BAD  600  ΔABD tam giác a  OB  Trong tam giác vng B’OB: a OB cos B'OB     B'OB  600 BB' a D C O A H K B Vậy góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60 Tính VABCD.A 'B'C'D' VABCD.A ' B'C ' D '  SABCD B'O; SABCD  AB.AD.sin BAD  a sin 600  a2 15 Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Trong tam giác vng B’OB: B'O  BB'sin 600  a 3a Suy VABCD.A ' B 'C ' D '  Tính Sxq hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Vì hai mặt đối diện hình hộp hai hình bình hành nhau, Sxq  SABB'A'  SBCC'B'  Gọi H, K hình chiếu vng góc O lên cạnh BC B Theo tính chất hình thoi ta có OH  OK Hai tam giác vng B’OH B’OK (vng O) có cạnh B’O chung, OH  OK nên chúng  B'H  B'K  SBCC'B'  B'H.BC  B'K.AB  SABB'A ' Trong tam giác vng AKO: OK  AOsin OAK  a a sin 300  Trong tam giác vng B’OK: 2 a 3 a 3 3a 3a 15a B'K  B'O  OK          16 16      B'K  2 a 15 a 15  SABB' A '  B'K.AB   Sxq  4SABB' A '  a 15 4 Bài 28 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho BAA '  450 Tính thể tích khối lăng trụ cho Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải Tính VABC.A 'B'C' A' C' Gọi E trung điểm AB, ta có: OE  AB  A 'O  AB  A 'O   ABC    AB   A 'OE   AB  A 'E B' Tam giác vng A’EA có A  450 nên tam giác vng cân E F A C E a a Suy A 'E  EA  , AA '  2 O B Tam giác vng A’OE (vng O) có: a2  a  a 3a 6a a A 'O  A 'E  OE       A 'O    3  36 36 2 Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’: V  SABC A 'O  a a a3  Tính Sxq hình lăng trụ ABC.A’B’C’ SABB'A '  AB.A 'E  a2 16 Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 AC  A 'O Gọi F trung điểm AC:   AC   A 'OF   AC  A 'F AC  OF  SACC'A '  AC.A'F Hai tam giác vng A’OE A’OF có A’O cạnh chung, OE  OF nên chúng  A 'F  A 'E  SACC ' A '  a2 BC  A 'O  BC   A 'OA   BC  AA '  BC  BB'  BC  AO Mặt khác theo tính chất hình lăng trụ BCC’B’ hình bình hành, lại có BC  BB' nên BCC’B’ hình chữ nhật, suy ra: SBCC ' B'  BB'.BC  AA '.BC  a a2 a  2 Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là: Sxq  SABB' A '  SACC ' A '  SBCC ' B' a2 a a   2 2   Bài 29 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD có BD  a khơng đổi BAD  DCB  90 , ABD  α, CBD  β Mặt phẳng (AA’C’C) hình thoi, vng góc với đáy A 'AC  600 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ tìm α, β để thể tích lớn Giải Tam giác vng ABD có ABD  α nên AB  a cosα , AD  a sin α , suy diện tích tam giác ABD 1 SABD  AB.AD  a sin 2α Tương tự ta có SCBD  a sin 2β D' C' H B' A' Diện tích đáy khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là: SABCD  SABD  SCBD  a  sin 2α  sin 2β   a sin  α  β  cos  α  β  Vì  AA 'C'C    A 'B'C'D' nên hạ CH  A 'C' 600 A C D α β B CH đường cao lăng trụ Mặt khác AA’C’C hình thoi có A 'AC  600 CC 'A '  600 Nên CH  CC'sin 600  AC Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ABC ta có: 17 Lớp Tốn Thầy Cư-TP Huế SĐT: 01234332133 Tốn 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Tốn 122: Thứ 3,5,7: 17h30 AC2  AB2  BC2  2AB.BC.cos B  a cos α  cos β  2cos α cosβ cos  α  β      a 1  cos  α  β  cos  α  β   2cos α cosβ cos  α  β    a 1  cos  α  β   cos  α  β   2cos α cosβ    a 1  cos  α  β    a sin  α  β     AC  a sin  α  β  Do CH  a sin  α  β  , nên thể tích cần tìm là: V  SABCD CH  a sin  α  β  cos  α  β  a sin  α  β  2  3a sin  α  β  cos  α  β  Tìm giá trị lớn V: 0  sin  α  β   Ta có  nên sin  α  β  cos  α  β   , đó: cos  α  β   V 3a Dấu đẳng thức xảy α  β  450 3a đạt α  β  450 THẦY CHÚC CÁC EM HỌC SINH 12 ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG KỲ THI SẮP TỚI Vậy giá trị lớn V 18 [...]... '  BC  BB'  BC  AO Mặt khác theo tính chất của hình lăng trụ thì BCC’B’ là hình bình hành, lại có BC  BB' nên BCC’B’ là hình chữ nhật, suy ra: SBCC ' B'  BB'.BC  AA '.BC  a 2 a2 2 a  2 2 Vậy diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là: Sxq  SABB' A '  SACC ' A '  SBCC ' B' a2 2 a a   2 2 2 2  2  2 Bài 29 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD có BD  a không đổi và BAD...  2.2a 4 Bài 19 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 60 0 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a 11 Lớp Toán Thầy Cư- TP Huế SĐT: 01234332133 Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Toán 122:... a 15 a 2 15  SABB' A '  B'K.AB   Sxq  4SABB' A '  a 2 15 4 4 Bài 28 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho BAA '  450 1 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho 2 Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Giải 1 Tính VABC.A 'B'C' A' C' Gọi E là trung điểm của... 2 3a 2 6a 2 a 6 A 'O  A 'E  OE       A 'O    4 3 2  4 36 36 6 2 2 2 Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’: V  SABC A 'O  2 a 2 3 a 6 a3 2  4 6 8 Tính Sxq của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ SABB'A '  AB.A 'E  a2 2 16 Lớp Toán Thầy Cư- TP Huế SĐT: 01234332133 Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 AC  A 'O Gọi F là trung điểm của AC:   AC   A 'OF   AC  A 'F AC ... Thể tích khối lăng trụ: V  AB'.SΔABC  C a3 3 8 Gọi E là trung điểm của AB’, suy ra ME∥ C' N nên  C' N,AM    EM,AM  Vì AB'  C' N  AE  EM   C' N, AM   AME   2 C'B'2  C'A '2  A 'B'2 1 a a 7 AE  AB'  ; EM 2  C' N 2   EM  2 4 4 2 AM 2  AE 2  EM 2  Vậy cos AME  29a 2 a 29  AM  16 4 ME 7 2 MA 29 12 Lớp Toán Thầy Cư- TP Huế SĐT: 01234332133 Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Toán 122: Thứ... là tâm của hình bình hành ABB’A’ Tính thể tích của khối lăng trụ Giải Gọi O là tâm hình bình hành ABB’A’ Ta có CO   ABB'A ' C' Vì CA  CB nên OA  OB , suy ra hình thoi ABB’A’ là hình vuông Do OA  đó  OC  AB 2  a 2 Suy ra: OC2  AC2  AO2  A' a2 2 B' a 2 O C Vậy thể tích của khối chóp: 1 a3 2 VC.ABA '  CO.SABA '  3 12 A Mà VABC.A 'B'C'  3VC.ABA ' nên thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’... Thể tích của khối lăng trụ là: B' a a 2 3 a3 3 V  AH.SΔABC   2 4 8 Vẽ đường cao HK của tam giác AHA’ Ta có B'C'   AHA' nên B'C'  HK Suy ra d  AA ', B'C'   HK  AH.A 'H a 3  AA ' 4 Bài 22 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB  AC  a, BAC  1200 , hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích của khối lăng trụ biết cạnh bên AA... C 3a 3  4 Bài 23 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB'  a , góc A giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 , tam giác ABC vuông tại C và BAC  600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC Giải Gọi D là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ABC 13 Lớp Toán Thầy Cư- TP Huế SĐT: 01234332133 Toán 121: Thứ... bằng a 3 và hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích của khối lăng trụ đó Giải A' Gọi H là trung điểm của cạnh BC C'  A 'H   ABC  B' Tam giác vuông A’HA: AH  A 'A 2  AH 2  3a 2  3a 2 3a a2 3  SΔABC  nên 4 2 4 VABC.A 'B'C'  A'H.SΔABC A 3a a 2 3 3a 3 3   2 4 8 C H B Bài 25 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của... SĐT: 01234332133 Toán 121: Thứ 2,4,6: 17h15 Toán 122: Thứ 3,5,7: 17h30 Trong tam giác vuông B’OB: B'O  BB'sin 600  a 3 3a 3 Suy ra VABCD.A ' B 'C ' D '  4 2 Tính Sxq của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Vì hai mặt đối diện của hình hộp là hai hình bình hành bằng nhau, do đó Sxq  2 SABB'A'  SBCC'B'  Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các cạnh BC và B Theo tính chất của hình thoi ta có