LTDH_Logarit_trongdethidaihoc

GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013 PT-BPT MŨ LÔGARIT CÓ LỜI GIẢI *** ⎧⎪log ( x + y ) = + log ( xy ) ĐH- Khối A-2009 Giải hệ phương trình: ⎨ 2 ⎪⎩3x + y − xy = 81 HD: HPT tương đương ⎧ xy > ⎧ xy > ⎧ x = ⎧ x = −2 ⎪ ⎪ 2 ⇔⎨ ∨⎨ ⎨ x + y = xy ⇔ ⎨ x = y ⎩ y = ⎩ y = −2 ⎪ x + y − xy = ⎪ x + y − xy = ⎩ ⎩ *CĐ-2009 Cho 0 >0 ⎪⎪ x − 3x + ⎪ ⎪ x ≥0 ⇔⎨ log ⇔ ⎨ x − 4x + ⇔ ⎨ x2 − 4x + x ≤0 ≤0 ⎪ ⎪ ⎪ x − 3x + ≤ x x ⎩ ⎩ ⎪⎩ x ⎧⎪0 < x < ∨ x > ⇔⎨ ⇔ 2− ≤ x ⎪ HD: BPT tương đương ⎨ ⎪log (4 x − 3)2 − log (2 x + 3) ≤ ⎩ 3 ⎧ ⎧ ⎧ ⎧ x> ⎪⎪ x > ⎪⎪ x > ⎪ > x ⎪ ⎪ ⇔ < x≤3 ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ 2 ⎪ ⎪log (4 x − 3) ≤ ⎪ (4 x − 3) ≤ ⎩8 x − 21x − ≤ ⎪⎪− ≤ x ≤ ⎪⎩ x + ⎪⎩ x + ⎩ *ĐH-B-07 Giải phương trình: HD: Đặt t = ( ) ( ) ( x −1 + ) x +1 − 2 = x + ta PT: t + = 2 ⇔ t − 2t + = ⇔ t = − ∨ t = + ⇔ x = −1 ∨ x = t *ĐH-D-07 Giải phương trình: log (4 x + 15.2 x + 27) + log 2 4.2 x − =0 HD: Đặt t=2x, t>0 ta được: ⎧ ⎧ t> ⎪t > = ⇔ ⎪⎨ ⇔⎨ 4t − ⎪t + 15t + 27 = 4t − ⎪2 ⎩ ⎩t + 11t + 30 = Phương trình vơ nghiệm t nên phương trình cho vơ nghiệm x log (t + 15t + 27) + log ( ) *Tham khảo 2007 Giải BPT: log + log x log x ≥ x HD: ĐK: x>0, x≠1 Đưa 3log x + log x = 1 + log x ⇔ + 2t = + t 2 t ⇔ t − t + = ⇔ t = ∨ t = −2 ⇔ x = ∨ t = 10 *Tham khảo 2007 Giải PT: log ( x − 1) + log x +1 = (t = log x) + log x + 1 1 = + log ( x + 2) log ( x − 1) + 2 log x +1 2 ⇔ log ( x − 1) + log (2 x + 1) = + log ( x + 2) ⇔ log ( x − 1)(2 x + 1) = log 2( x + 2) 5 Do ĐK, nhận nghiệm x = ⇔ x − 3x − = ⇔ x = −1 ∨ x = 2 HD: ĐK: x>1 Đưa 11 Tham khảo 2007 Giải PT: log ( x − 1) + log (2 x − 1) = HD: ĐK x>1 Đưa 2log ( x − 1) + 2log (2 x − 1) = Email : ngvuminh249@yahoo.com Đt : 0914449230 GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013 ⇔ log ( x − 1)(2 x − 1) = ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) = ⇔ x − x − = ⇔ x = ∨ x = − Do ĐK nhận x = 2 12 *Tham khảo 2007 Giải PT: (2 − log x)log x − =1 − log x HD: ĐK x>0, x≠ − log x 4 Đưa (2 − log x ) − =1 ⇔ − =1 log x − log x + log x − log x 2−t ⇔ − = (t = log3 x) + t 1− t ⇔ (2 − t )(1 − t ) − 4(2 − t ) = (2 + t )(1 − t ) ⇔ t2 + t − = ⇔ t = −1 − 17 −1 + 17 Do ĐK nhận −1 + 17 ∨t = t= 2 13 Tham khảo 2007 Giải BPT: log HD: ĐK x < 1 2 x − 3x + + log ( x − 1) ≥ 2 ∨ x >1 2 x − 1) ( 1 x − 1) ( ≥1 ⇔ Đưa − log ( x − 1)(2 x − 1) + log ( x − 1) ≥ ⇔ log ≥2 ( x − 1)(2 x − 1) 2 ( x − 1)(2 x − 1) ( x − 1)(−3x + 1) −3 x + 1 −3 x + x − ≥0 ⇔ ≥0 ⇔ ≤x< ⇔ ≥0⇔ ( x − 1)(2 x − 1) 2x −1 ( x − 1)(2 x − 1) ⎧ ⎪⎪ x < ∨ x > 1 Kết hợp ĐK: ⎨ ⇔ ≤x< ⎪1 ≤ x < ⎪⎩ 14 Tham khảo 2007 Giải BPT: 23x +1 − 7.22x + 7.2x − = HD: 2t − 7t + 7t − = (t = x , t > 0) ⇔ x = ∨ x = ∨ x = −1 15 *ĐH-A-2006 Giải phương trình 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = HD: 3.23 x + 4.3x 22 x − 32 x x − 2.33 x = ⇔ (t − 1)(2t − 5t + 2) = ⇔ t = ∨ t = ∨ t = 3x 2x x ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ Chia vế PT cho ta đươc: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − = ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ 3x x ⎛2⎞ Đặt t = ⎜ ⎟ , t>0 ta có: 3t + 4t − t − = ⇔ t = −1 ∨ t = ⎝3⎠ 16 Tham khảo 2006 Giải PT: log x + 2log x = log x Do ĐK ta nhận t = ⇔ x=1 PT tương đương với: + = log x log x log8 x ⇔ + log x = 2log x ⇔ + = ⇔ = log x + log x + log x log x + log x HD: ĐK x>0, x≠1, x≠ ⇔ 2x = x ⇔ x = Email : ngvuminh249@yahoo.com Đt : 0914449230 GV : Nguyễn Vũ Minh ( ) ( 17 ĐH-B-2006 Giải BPT: log + 144 − 4log < + log x x −2 LTĐH 2013 ) + HD: Biến đổi BPT ⎛ x + 144 ⎞ x + 144 x −2 < 5.2 x − + ⇔ 4x -20.2x + 64 < + 5) ⇔ log ⎜ ⎟ < log ( 5.2 16 ⎝ 16 ⎠ ⇔ t -20.t + 64 < 0(t=2 x > 0) ⇔ (t − 4)(t − 16) < ⇔ < t < 16 ⇔ < x < 18 Tham khảo 2006: log x + − log (3 − x) − log8 ( x − 1)3 = HD: ĐK 10,v>0) ⎪⎩v = x2 − x Phương trình thành: u − 4v − uv + = ⇔ u(1-v)+4(1-v)=0 ⇔ (u+4)(1-v)=0 ⇔ v=1 ⇔ x − x = ⇔ x = ∨ x = ( ) ( ) 21 Tham khảo 2006 Giải PT: log 3x − log 3x +1 − = HD: Đưa về: log 3x − log 3(3x − 1) = ⇔ log ( 3x − 1) ⎡⎣1+log ( 3x − 1) ⎤⎦ = ( ) ⇔ t (1 + t ) = ( ) (t = log (3 − 1)) ⇔ t x + t − = ⇔ t = ∨ t = −3 ⇔ log ( 3x − 1) = ∨ log ( 3x − 1) = −3 ⇔ 3x − = ∨ 3x − = ⇔ 3x = 10 ∨ 3x = 27 28 28 ⇔ x = log 10 ∨ x = log 27 27 22 Tham khảo 2006 Giải: ( log x + 1) log x + log HD: Đưa ( log x + 1) log x − = Đặt t=log2x t +t − = ⇔ t=1 ∨ t= − ⇔ x=2 ∨ x= =0 4 ⎧⎪ x − + − y = 23 *ĐH-B-2005 Giải hệ: ⎨ ⎩⎪3 log (9 x ) − log3 y = HD: Với điều kiện Email : ngvuminh249@yahoo.com x≥1, 0 ta có t2−2t−3≤0 ⇔ −1≤t≤3 ≤ ⇔ x2 − 2x ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⎧ ⎪log (y − x) − log y = 26 ĐH-A-2004 Giải HPT: ⎨ ⎪ x + y = 25 ⎩ HD: ⎧ y > 0, y > x ⎧ y > 0, y > x ⎧ ⎪ ⎪ ⎧− log (y − x) + log y = ⎪ y ⎪log (y − x) − log y = ⎪ y =1 ⇔ ⎨ =4 ⇔ ⎨log ⇔⎨ ⎨ y−x ⎩ x + y = 25 ⎪ ⎪y − x ⎪ x + y = 25 ⎩ ⎪ x + y = 25 ⎪ x + y = 25 ⎩ ⎩ ⎧ y > 0, y > x ⎧ y > 0, y > x ⎧ y > 0, y > x ⎧ y > 0, y > x ⎪ ⎪ ⎧x = 4x 4x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨y = ∨ ⎨ y = −4 ⇔⎨ ⇔ ⎨y = ⇔ ⎨y = 3 ⎩y = ⎪x = ⎪ x = −3 ⎪ ⎪ 2 ⎩ ⎩ ⎪⎩ x = ⎪⎩ x + y = 25 ) ( 27 Tham khảo-2004 Giải BPT: log π ⎡log x + x − x ⎤ < ⎢⎣ ⎥⎦ HD: ) ) ( ( ⎧log x + x − x > ⎪ 2 ⎡ ⎤ ⇔ log x + x − x > log π log x + x − x < ⇔ ⎨ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪log x + x − x > ⎩ ( ) Email : ngvuminh249@yahoo.com ( ) Đt : 0914449230 GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013 ⎧⎪ x + x − x > ⎧2 − x < ⎧2 − x ≥ ⇔ x + 2x − x > ⇔ 2x − x > − x ⇔ ⎨ ∨⎨ ⇔⎨ ⎩2 x − x ≥ ⎩2 x − x > x − x + ⎪⎩ x + x − x > ⎧x ≤ ⎧x ≤ ⎧x > ⇔ ( x < −4 ) ∨ (1 < x ) ⇔ x >2∨⎨ ⇔⎨ ∨⎨ x x < − ∨ > ≤ ∨ ≥ x x + − > x x ⎩ ⎩ ⎩ 28 Tham khảo-2004 Giải BPT: 2.x 2 HD: 2.x log x ≥ 22 log x log x ≥ 22 log x log x ⎛ log2 x ⎞ 2 ⇔ log ⎜ 2.x ≥ log ⇔ + log x ≥ log x ⇔ ≥ log x ⇔ < x ≤ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 29 ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm nhất: x x +1 = ( x + 1) x ( x > 0) HD: x x +1 = ( x + 1) ⇔ ln x x +1 = ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x = x ln ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ln x − x ln( x + 1) = x x Đặt f ( x) = ( x + 1) ln x − x ln( x + 1) − x2 − x −1 1 f ′′( x) = < Suy f’(x) nghịch biến R+ + x ( x + 1) x x +1 x 1 ⎞ ⎛ + + + Mà: lim f ′( x) = lim ⎜ ln ⎟ = ⇒ f’(x)>0 với x>0 ⇒ f(x) đồng biến R x →+∞ x →+∞ ⎝ x +1 x x +1 ⎠ lim f ( x) = −∞ f(e)=e+1−eln(e+1)>0 f ′( x) = ln x − ln( x + 1) + x → 0+ Vậy có x0 thuộc (0;e) để f(x0)=0 x0 nghiệm ln x 30 ĐH-B-2004 Tìm GTNN hàm số: y = x HD: y = f (x) = ln x x f(1)=0; f (e ) = ; f (e3 ) = e e x ∈ ⎡⎣1;e3 ⎤⎦ f ′(x) = x ∈ ⎡⎣1;e3 ⎤⎦ ln x(2 − ln x) f ′(x) = ⇔ x = ∨ x = e2 x GTNN f(1)=0; GTLN f (e ) = 31 Tham khảo 2003 Giải BPT e2 15.2 x +1 + ≥ x − + x +1 HD: Đặt t=2x ta 30t + ≥ t − + 2t ƒ t=1 thỏa BPT ⎧t > ⎧t > ⇔1< t ≤ ⇔⎨ ⎩30t + ≥ 9t − 6t + ⎩t − 4t ≤ ƒ t>1 ta 30t + ≥ 3t − ⇔ ⎨ ƒ t0 ta có < t ≤ ⇔ < x ≤ ⇔ x ≤ 32 ĐH-D-2003 Giải PT: x HD: 2−x − 22+ x − x = Email : ngvuminh249@yahoo.com Đt : 0914449230 GV : Nguyễn Vũ Minh 2x −x LTĐH 2013 − 22+ x − x = ⇔ x −x − 2x ⎧⎪ t = 2x −x =3 ⇔⎨ ⇔ x − x = ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 ∨ x = ⎪⎩t − 3t − = −x ( ) 33 Tham khảo 2003 Giải PT: log 5x − = − x ( ⎧t = x ⎧⎪t = x ⎧t = x ⎪ ⇔ x =1 ⇔ ⇔⎨ ⇔ ⎨2 ⎨ = t t − = t t − − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ t ⎩ ) HD: log 5x − = − x ⇔ x − = 51− x 34 Tham khảo 2002 Giải PT: 16 log 27 x x − 3log x x = 1 HD: Với ĐK x > 0, x ≠ , x ≠ 3 8log x 3log x ƒ Đưa dạng = + log x + log x ƒ Hoặc log x = ⇔ x = = ⇔ log x = ⇔ x = ƒ Hoặc + log x + log x ƒ ( )) ( 35 ĐH- Khối B-2002 Giải BPT : log x log x − 72 ≤ ⎧0 < x < ⎧x > ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x x HD: log x log ( − 72 ) ≤ ⇔ ⎨log ( − 72 ) > ∨ ⎨log ( x − 72 ) > ⎪ ⎪ x x ⎪⎩log ( − 72 ) ≥ x ⎪⎩log ( − 72 ) ≤ x ⎧x > ⎧x > ⎧⎪0 < x < ⎧0 < x < ⎪ ⎪ x ⇔⎨ ∨ ⎨9 − 72 > ⇔ ⎨ x ∨ ⎨3x > x x ⎩9 − 72 ≥ ⎪ x x ⎪⎩log ( − 72 ) ≥ x ⎪ x x ⎩9 − 72 ≤ ⎩9 − − 72 ≤ ( ) ⎧⎪ x > ⎧0 < x < ⇔ log < x ≤ ⇔⎨ x ∨ ⎨ x x ⎩3 ≤ −8 ∨ ≥ ⎩⎪6 ≤ ≤ ( ) ⎧x − y + = 36 Tham khảo 2002 Giải HPT ⎪⎨ ⎪⎩ log x − log y = HD: ⎧ x ≥ 1, y ≥ ⎧ x ≥ 1, y ≥ ⎧ x ≥ 1, y ≥ ⎧⎪ x − y + = ⎧x = ⎧x = ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ x y ⇔ = − ⇔ x = y − ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨x = y − ⎩y =1 ⎩y = ⎪⎩ log x − log y = ⎪log x = log y ⎪x = y2 ⎪ y2 − y + = ⎩ ⎩ ⎩ 37 Tham khảo 2002 Giải PT: log 2 ( x + 3) + log ( x − 1) = log ( x ) ⎧ x > 0, x ≠ ⎪ ⇔⎨ 4x x + + x − = x log log log (4 ) ) ⎪⎩ ( 2 ⎪⎩log x − = log x + ⎧ x > 0, x ≠ HD: log ( x + 3) + log ( x − 1)8 = log ( x ) ⇔ ⎪⎨ ⎧ x > 0, x ≠ ⎧0 < x < ⎧x > ⎧0 < x < ⎧x > ⎪ ⎪ ⎪ ∨⎨ ⇔⎨ ⇔ ∨ 4x 4x ⎨ 4x ⇔ ⎨ ⎨ ⎩− x − x + = x ⎩ x + x − = x ⎪⎩ x − = x + ⎪⎩− x + = x + ⎪⎩ x − = x + Email : ngvuminh249@yahoo.com Đt : 0914449230 GV : Nguyễn Vũ Minh LTĐH 2013 ⎧0 < x < ⎧x > ⇔ x = −3 + ∨ x = ⇔⎨ ∨⎨ ⎩x + 6x − = ⎩x − 2x − = 38 ĐH-D-2002 Giải HPT ⎧ 23 x = y − y ⎪ x ⎨ + x +1 =y ⎪ x ⎩ +2 HD: ⎧ 23 x = y − y ⎧ 23 x = y − y ⎧⎪23 x = y − y ⎧⎪ y = x ⎧⎪ y = x ⎪ x ⎪ x x +1 ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ x ⎨ ⇔ ⎨ (2 + 2)2 x ⎨4 + 2 ⎪⎩2 = y ⎪⎩ y − y + = =y ⎪⎩ y − y + y = =y ⎪ x ⎪ x ⎩ +2 ⎩ +2 ⎧ y = 2x ⎧x = ⎧x = ⇔⎨ ∨⎨ ⇔⎨ y = y = ∨ y = ⎩ ⎩y = ⎩ ( (y ) − y − 5x ) = ⎧log x x + x − x − y = 39 Tham khảo 2002 Giải PHƯƠNG TRÌNH : ⎪⎨ ⎪⎩log y + 2y HD: ⎧ x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ ⎧ x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ ⎧log x x + x − x − y = ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⇔ ⎨ x + x − 3x − y = x ⇔ ⎨2 x − 3x − y = ⎨ ⎪⎩log y y + y − y − x = ⎪2 y − y − x = ⎪ y3 + y − y − 5x = y3 ⎩ ⎩ ⎧ x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ ⎧ x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨2( x − y ) − 3( x − y ) − 5( y − x) = ⇔ ⎨( x − y )( x + y + 1) = ⎪4( x + y ) − 3( x + y ) − 5( ⎪4( x + y ) − 8( x + y ) = x + y) = ⎩ ⎩ ( ( ) ) ⎧ x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ ⎧ x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ ⎧x = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨x = y ∨ ⎨ y = −1 − x ⎩y = ⎪8 x − 16 x = ⎪8 x + x + 13 = ⎩ ⎩ ( ) ( ) 40 Tham khảo 2002 Giải BPT: log x + ≥ log 2 x +1 − 3.2 ( ) ( ) − 3.22 > ⎪⎧ ⇔ x ≥ 16 ⇔ x ≥ HD: log x + ≥ log 2 x +1 − 3.2 ⇔ ⎨ x x +1 − 3.2 ⎪⎩ + ≤ 2 Giải phương trình – hệ phương trình sau lớp : Câu : log x + 10log x + = Câu : x +1 log 22 x − 3log x + = log x − Câu : log x + = − log x ⎧⎪2.2 x + 3.3 y = 19 Câu : ⎨ x y ⎪⎩2 − = ⎧⎪log x (3x + y ) = Câu : ⎨ ( ĐH Cơng Đồn – 1997 ) ⎪⎩log y (2 x + y ) = Email : ngvuminh249@yahoo.com Đt : 0914449230