Toán 3

PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết rằng: a + b > a − b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho: b) x2 – 4x ≤ a) | 2x – | = | – x | c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) c) + 15 23 − 19 27 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 19 Giải phương trình : b) 17 + + d) 45 nhỏ 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 21 Cho S = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − Hãy so sánh S 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vơ tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : a) x y + ≥2 y x  x y2   x y  b)  + ÷−  + ÷ ≥ x  y x y  x y4   x y2   x y  c)  + ÷−  + ÷+  + ÷ ≥ x  y x  y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1+ b) m + với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? 26 Cho số x y khác Chứng minh : x y x y2 + + ≥  + ÷ y x y x x y2 z2 x y z 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : + + ≥ + + y z x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : [ x ] + [ y] ≤ [ x + y] 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 33 Tìm giá trị nhỏ : A = x − 6x + 17 x y z + + với x, y, z > y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : a) ab a số vô tỉ b b) a + b a số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a+b 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh: 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x − B= x + 4x − C= x − 2x − D= 1− x2 − E= x+ + −2x x G = 3x − − 5x − + x + x + 42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M = x + 4x + + x − 6x + 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 c) Giải phương trình: 43 Giải phương trình: 2x − 8x − x − 4x − = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= 2x + + x B= 1 − 3x G= C = − − 9x x + x−2 x −4 D= x − 5x + H = x − 2x − + − x 2 x − 3x =0 45 Giải phương trình: x −3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x +x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x 48 So sánh : a) a = + b= c) n + − n + +1 b) − 13 + n+1 − n (n số nguyên dương) 3 −1 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 4−2 50 Tính : a) 11 + b) d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 51 Rút gọn biểu thức : M = c) 27 − 10 e) B = n + n − + n − n − (n ≥ 1) 41 45 + 41 + 45 − 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải phương trình sau: a) x − x − − x − = b) x − + = x d) x − x − 2x + = c) x − x + x + x − = e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − x + y2 ≥2 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x−y 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chứng minh 2+ = d) 227 − 30 + 123 + 22 + 2 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − 59 So sánh : a) + 20 1+ 60 Cho biểu thức : A = b) 17 + 12 x − x − 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau: +1 c) 28 − 16 − a) 11 − 10 + 11 + − + c) − 14 b) + + − + 10 62 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 63 Giải bất phương trình : 64 Tìm x cho : x − 16x + 60 < x − x2 − + ≤ x2 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = 16 − x b) B = + x − 8x + 2x + 1 x − 2x − 67 Cho biểu thức : A = x + x − 2x x − x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3+ ; − ; 2 +3 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − b=2 − ; 76 So sánh + +1 + − − − số 77 Rút gọn biểu thức : Q = 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác 88 Rút gọn : a) A = (x + 2) − 8x B= b) x− x ab − b a − b b 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a2 + a +1 ≥ Khi có đẳng thức? 90 Tính: A = + + − hai cách 91 So sánh : a) 92 Tính : P = +5 6,9 2+ + 2+ 93 Giải phương trình : + b) 2− − 2− 13 − 12 7− x + + 2x − + x − − 2x − = 2 94 Chứng minh ta ln có : Pn = 1.3.5 (2n − 1) < ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + 95 Chứng minh a, b > a2 b2 a+ b≤ + b a 96 Rút gọn biểu thức : A= x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1)   1 − ÷  x −1 x − 4(x − 1) 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) a b +b a : = a − b (a, b > ; a ≠ b) ab a− b  14 − 15 −  b)  + = −2 ÷: 1−  −  1−  a + a  a − a  c) 1 + ÷1 − ÷ = − a (a > 0) a +  a −1   98 Tính : a)  c)    28 − 16 ÷  + 48 − + 15 99 So sánh : a) 18 + 19 c) ; b) + − 13 + 48 − − 29 − 20 + 48 b) + 15 12 + 16 25 d) 100 Cho đẳng thức : a + a2 − b a − a − b (a, b > a2 – b > 0) a± b = ± 2 Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + 2− − 2− ; b) 3−2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A = b) B = xy − x − y − xy + x − y − a + bx + a − bx a + bx − a − bx 102 Cho biểu thức P(x) = với x = với x = 1 1 1 1  a + ÷, y =  b + ÷ 2 a 2 b (a > ; b > 1) 2am , m < b ( + m2 ) 2x − x − 3x − 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A= x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2 4 − + x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) − x e) − − 3x b) x − x (x > 0) g) 2x − 2x + 105 Rút gọn biểu thức : A = c) + − x d) x − − h) − − x + 2x + i) x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? 2x − x + 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) + 48 − 10 + 4 + 10 + + − 10 + 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a) ( a + b ± a − b = a ± a2 − b 108 Rút gọn biểu thức : A = 109 Tìm x y cho : 94 − 42 − 94 + 42 c) ) b a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 b) x + 2x − + x − 2x − x+y−2 = x + y − a + b2 + c2 + d ≥ 110 Chứng minh bất đẳng thức : ( a + c) + ( b + d) a2 b2 c2 a+b+c 111 Cho a, b, c > Chứng minh : + + ≥ b+c c+a a+b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM: (a + c2 ) ( b2 + c2 ) + a +b + b+c + c+a ≤ b) (a + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + 2−x 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : 123 Chứng minh 3− ; 2+ x−2 + 4−x ≤ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a + b b + c ≥ b(a + c) 125 Chứng minh với a, b, c > (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác 127 Chứng minh (a + b) a + b + ≥ a b + b a với a, b ≥ a b c + + > với a, b, c > b+c a+c a+b 128 Chứng minh 129 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = x − x −1 + x + x −1 131 Tìm GTNN, GTLN A = − x + + x 132 Tìm giá trị nhỏ A = x + + x − 2x + 133 Tìm giá trị nhỏ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + ( 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + − x b) A = x 99 + 101 − x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn ) a b + = (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = 137 Tìm GTNN A = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y 138 Tìm GTNN A = x2 y2 z2 + + biết x, y, z > , x+y y+z z+x 139 Tìm giá trị lớn : a) A = b) B = ( a+ b ) +( a+ c ) +( ( a+ b a+ d ) xy + yz + zx = với a, b > , a + b ≤ ) +( b+ c ) +( b+ d ) +( c+ d ) với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c + với b + c ≥ a + d; b, c > 0; a, d ≥ c+d a+b 141 Tìm GTNN A = 142 Giải phương trình sau : a) x − 5x − 3x + 12 = d) x − − x + = b) x − 4x = x − e) x − x − − x − = h) x + − x − + x + − x − = k) − x − x = x − m) x + = x − x − c) 4x + − 3x + = g) x + 2x − + x − 2x − = i) x + x + − x = l) 2x + 8x + + x − = 2x + n) x + + x + 10 = x + + x + o) x − + x + + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 ( 143 Rút gọn biểu thức : A = 2 − + )( 144 Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta ln có : + 145 Trục thức mẫu : a) 146 Tính : a) ( 148 Cho b = 3− 2 17 − 12 − 1 + + + >2 n 1+ + 5 − − 29 − 20 147 Cho a = − + ) 18 − 20 + 2 )( ( b) x + x +1 b) + − 13 + 48 ) n +1 −1 c) − − 29 − 12 ) 10 − Chứng minh a số tự nhiên 3+ 2 17 + 12 b có phải số tự nhiên khơng ? 149 Giải phương trình sau : a) ( ) c) ( − x) −1 x − x + − = b) − x + ( x − 3) x − 5−x + x −3 =2 ( ) −1 x = ( ) +1 x − 3 d) x + x − = 150 Tính giá trị biểu thức: M = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 151 Rút gọn : A = 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n 152 Cho biểu thức : P = 1 1 − + − + 2− 3− 4− 2n − 2n + a) Rút gọn P 153 Tính : A = b) P có phải số hữu tỉ khơng ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 154 Chứng minh : + 1 + + + > n n 155 Cho a = 17 − Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : a − a −1 < a − − a − 157 Chứng minh : x − x + >0 (a ≥ 3) (x ≥ 0) 10 ... b = – a, M = a3 + (1 a )3 = 3( a ẵ)2 + ẳ ¼ Dấu “=” xảy a = ½ Vậy M = ¼ ⇔ a = b = ½ Đặt a = + x ⇒ b3 = – a3 = – (1 + x )3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x )3 Suy : b ≤ – x Ta lại... gọn ta : 3( a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3( a2 + b2 + c2) c) Tương tự câu b 30 Giả sử a + b > ⇒ (a + b )3 > ⇔ a3 + b3 + 3ab(a + b) > ⇔ + 3ab(a + b) > ⇒ ab(a + b) > ⇒ ab(a + b) > a3 + b3 Chia... + c)2 ≤ 3( a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : [ x ] + [ y] ≤ [ x + y] 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 33 Tìm giá