CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG LÝ: DAO DỘNG CƠ HỌC CHỦ ĐỀ 1: Kích thích dao động va chạm I PHƯƠNG PHÁP + Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm vào vật M đứng yên v V = M 1+ m mv0 = mv + MV ⇒ + Va chạm đàn hồi: M 2 1− mv0 = mv + MV m v v = 1+ M m + Va chạm mềm: mv0 = ( m + M )V ⇒ V = v M 1+ m II BÀI TOÁN MẪU Bài 1: Cho hệ dao động hình vẽ bên Lị xo có khối lượng khơng đáng kể, độ cứng k = 30 ( N / m ) Vật M = 200 ( g ) trượt khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, dùng vật m = 100 ( g ) bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v = ( m / s ) Sau va chạm hai vật dính vào dao động ều hoà Xác đ ịnh v ận t ốc hệ sau va chạm Viết phương trình dao động c h ệ Ch ọn tr ục to đ ộ Ox trùng v ới ph ương dao động, gốc toạ độ O vị trí cân bằng, chiều dương trục chiều v ới chi ều c v0 Gốc thời gian lúc va chạm Giải + Va chạm mềm: mv = ( m + M )V ⇒ VËntèc cđa hƯngaysauva ch¹m : V = v = ( m / s ) = 100 ( cm / s ) M 1+ m + Tần số góc hệ dao động điều hồ: ω = k = M +m 30 = 10 (rad / s ) 0,2 + 0,1 + Phương trình dao động có dạng: x = A sin (10t + ϕ ) , vận tốc: v = 10 A cos(10t + ϕ ) x t =0 = A sin ϕ = A = ( cm ) ⇒ ⇒ + Thay vào điều kiện đầu: t = ⇒ 10 A cos ϕ = 0 ϕ = v t =0 = 100 ( cm / s ) + Vậy phương trình dao động là: x = 10 sin 10t ( cm ) ĐS: V = 100 ( cm / s ) , x = 10 sin 10t ( cm ) Bài 2: Một lắc lò xo, gồm lò xo có khối lượng khơng đáng kể có độ cứng k = 50 ( N / m ) , vật M có khối lượng 200 ( g ) , dao động điều hoà mặt phẳng nằm ngang với biên độ A0 = ( cm ) Giả sử M dao động có vật m có khối lượng 50 ( g ) bắn vào M theo phương ngang với vận tốc v = 2 ( m / s ) , giả thiết va chạm không đàn hồi xẩy thời điểm lị xo có độ dài lớn Sau va ch ạm hai v ật g ắn ch ặt vào dao động điều hồ 1) Tính động hệ dao động thời điểm sau va chạm 2) Tính dao động hệ sau va chạm, từ suy biên độ dao động hệ Giải; + Vì va chạm xẩy thời điểm lị xo có độ dài lớn nên v ận t ốc c M trước lúc va chạm không Gọi V vận tốc hệ ( M + m ) sau va chạm Sử dụng định luật bảo toàn động 1 mv0 = ( M + m )V ⇒ V = v0 = 2 = 0,4 ( m / s ) M 0,2 lượng, ta có: 1+ 1+ m 0,05 1) Động hệ sau va chạm: E d ( M + m )V = ( 0,2 + 0,05) (0,4 = ) 2 + Tại thời điểm vật có li độ x = A0 = ( cm ) = 0,04 ( m ) nên đàn hồi: = 0,04 ( J ) kx 50.0,04 = = 0,04 ( J ) 2 2) Cơ dao động hệ sau va chạm: E = E d + Et = 0,08 ( J ) Et = kA 2E 2.0,08 ⇒ A= = = 0,04 ( m ) = ( cm ) k 50 ĐS: 1) Et = E d = 0,04 ( J ) ; 2) E = 0,08 ( J ) ; A = ( cm ) Bài 3: Một lắc lò xo, gồm lò xo, có độ cứng k = 50 ( N / m ) vật nặng M = 500 ( g ) dao động điều hoà với biên độ A0 dọc theo trục Ox mặt phẳng nằm ngang Hệ dao đ ộng m ột v ật 500 ( g ) bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v0 = ( m / s ) Giả thiết va chạm hoàn m= toàn đàn hồi xẩy vào thời điểm lị xo có chiều dài nhỏ Sau va chạm vật M dao đ ộng điều hồ làm cho lị xo có chiều dài cực đại c ực ti ểu l ần l ượt l max = 100 ( cm ) l mim = 80 ( cm ) Cho g = 10 m / s + Mặt khác: E = ( ) 1) Tìm vận tốc vật sau va chạm 2) Xác định biên độ dao động trước va chạm Giải 1) Vào thời điểm va chạm lị xo có chiều dài nhỏ nên v ận t ốc c v ật M trước va chạm không Gọi V , v vận tốc vật M m sau va chạm Vì va chạm hồn toàn đàn hồi nên sử dụng định luật bảo toàn động lượng bảo tồn lượng, ta có: 2 v = = 0,5 ( m / s ) V = M 1+ 1+ mv0 = mv + MV m 2 ⇒ M mv0 mv MV 1− = + m v = − = −0 ,5 ( m / s ) 2 v = 1+ 1+ M m 2) Tại thời điểm sau va chạm vật dao động có li độ vận tốc x = + A0 V = ( m / s ) kx 50 A02 E = = = 25 A02 t 2 nên đàn hồi động lúc là: 2 E = MV = 0,5.0,5 = 0,0625 ( J ) d 2 + Biên độ dao động điều hoà sau va chạm A = dao động: E = l max - l 100 − 80 = = 10 ( cm ) = 0,1 ( m ) nên 2 kA 50.0,12 = = 0,25 ( J ) 2 2 + Mà Et + E d = E ⇔ 25.A0 + ,0625 = ,25 ⇒ A0 = ,1875 ⇒ A0 = ,05 ( m ) = ( cm ) 25 ĐS: 1) V = 0,5 ( m / s ); v = −0,5 ( m / s ) ; 2) A0 = ( cm ) Bài 4: Cho hệ dao động hình vẽ bên Lị xo có khối lượng khơng đáng kể, độ cứng chưa biết Vật M = 400 ( g ) trượt không ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, dùng vật m = 100 ( g ) bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v = 3,625 ( m / s ) Va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm vật M dao động điều hoà Chi ều dài c ực đại c ực ti ểu c lò xo l ần l ượt l max = 109 ( cm ) l mim = 80 ( cm ) Tìm chu kỳ dao động vật M độ cứng k lò xo Đặt vật m0 = 225 ( g ) lên vật M, hệ gồm vật ( m0 + M ) đứng yên Vẫn dùng vật m = 100 ( g ) bắn vào với vận tốc v = 3,625 ( m / s ) , va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm ta thấy hai vật dao động điều hồ Viết phương trình dao động hệ ( m0 + M ) Chọn trục Ox hình vẽ, gốc toạ độ vị trí cân gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm Cho biết hệ số ma sát m0 M 0,4 Hỏi vận tốc v vật m phải nhỏ giá trị để vật m0 đứng yên (không bị trượt) vật M hệ dao động Cho ( ) g = 10 m / s Giải l max - l 109 − 80 = = 14,5 ( cm ) 2 + Vì va chạm hoàn toàn đàn hồi nên vận tốc M sau va chạm tính theo cơng th ức: 2 mv0 = mv + MV ⇒V = v0 = 3,625 = 1,45 ( m / s ) = 145 ( cm / s ) (đây vận tốc cực M 1+ 2 1+ mv0 = mv + MV m đại dao động điều hoà) Biên độ dao động A = + Sau va chạm vật dao động điều hồ theo phương trình li đ ộ x = A sin ( ωt + ϕ ) , phương trình vận tốc: v = ωA cos( ωt + ϕ ) + Vậy vận tốc cực đại dao động điều hoà: v max = ωA = V ⇒ ω = + Chu kì dao động: T = V 145 ( cm / s ) = = 10 ( rad / s ) A 14,5 ( cm ) 2π π = ≈ 0,628 ( s ) ω + Độ cứng lò xo: k = M ω = 0,4.10 = 40 ( N / m ) Tương tự câu 1) vận tốc hệ ( m0 + M ) sau va chạm tính theo cơng thức: 2 v0 = 7,25 = ( m / s ) = 200 ( cm / s ) ( M + m0 ) ( 0,625) (đây vận tốc cực đại dao 1+ 1+ 0,1 m động điều hoà) V '= + Tần số góc dao động: ω = k = M + m0 40 = (rad / s ) 0,4 + 0,225 + Phương trình dao động có dạng: x = A sin ( 8t + ϕ ) , vận tốc: v = A cos( 8t + ϕ ) + Vận tốc cực đại dao động điều hoà: v max = ωA = V ' ⇒ A = V ' 200 ( cm / s ) = = 25 ( cm ) ω ( cm ) + Pha ban đầu xác định từ điều kiện đầu: x t =0 = sin ϕ = t =0⇒ ⇒ ⇒ϕ =π v t =0 = −200 ( cm / s ) cos ϕ = −1 + Vậy phương trình dao động là: x = 25 sin ( 8t + π ) ( cm ) Dùng vật m bắn vào hệ ( m0 + M ) với vận tốc v0, va chạm hồn tồn đàn hồi vận tốc hệ 8v 2 V '= v0 = v0 = ( m / s ) ( m0 + M ) sau va chạm là: ( M + m0 ) (đây vận tốc cực + 6,25 29 1+ m V ' v0 = đại dao động điều hoà: v max = Aω = V ' ⇒ A = ) ω 29 v + Vậy phương trình dao động điều hồ có dạng: x = sin ( 8t + ϕ ) , gia tốc hệ là: 29 64v 64v0 a = x' ' = − Aω sin ( ωt + ϕ ) = − sin ( 8t + ϕ ) Do gia tốc cực đại: a max = 29 29 + Vật m0 đặt vật M chuyển động với gia tốc a, nên chịu tác dụng lực có độ lớn: 64m0 v Fqt = m0 a ⇒ Fqt max = 29 + Để vật m0 ln đứng n M lực ma sát trượt Fms = µm0 g lớn lực cực đại, tức 29 64v0 ⇒ v0 ≤ = 3,625 ( m / s ) là: µm0 g ≥ m0 a max ⇒ µg ≥ a max ⇒ ,8.10 ≥ 29 + Vậy để vật m0 đứng yên (không bị trượt) vật M hệ dao động vận tốc v vật m 29 = 3,625 ( m / s ) phải thoả mãn: ≤ v ≤ π ≈ 0,628 ( s ) ; k = 40 ( N / m ) ; 2) x = 25 sin ( 8t + π ) ( cm ) ; 29 = 3,625 ( m / s ) 3) ≤ v ≤ Bài 5: Một vật nặng có khối lượng M = 600 ( g ) , đặt phía lị xo thẳng đứng có độ cứng k = 200 ( N / m ) hình vẽ Khi vị trí cân bằng, thả vật m = 200 ( g ) từ độ cao h = ( cm ) so với M Coi va chạm hoàn toàn mềm, lấy g = 10 ( m / s ); π = 10 ĐS: 1) T = 1) Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc hai vật sau va chạm 2) Sau va chạm hai vật dao động điều hoà Giải: 1) Vận tốc vật m trước lúc va chạm: v = gh = 2.10.0 ,06 = ,2π ( m / s ) v = 20π ( cm / s ) (hướng xuống dưới) + Hệ ( M + m ) lúc va chạm coi hệ kín, theo định luật bảo toàn động lượng (theo gi ả thi ết va chạm hoàn toàn mềm): mv0 = ( m + M )V Suy ra, vận tốc hai vật sau va chạm: v = 5π ( cm / s ) M (hướng xuống dưới) 1+ m Mg 0,6.10 = = 0,03 ( m ) = ( cm ) 2) Tại VTCB cũ M, lò xo nén đoạn: ∆ = k 200 + Tại VTCB hệ sau va chạm, lò xo nén đoạn: ( m + M ) g = 0,8.10 = 0,04 ( m ) = ( cm) ∆' = k 200 + Suy ra: OC = ∆l '− ∆l = − = ( cm ) V = + Chọn hệ toạ độ Ox hình vẽ, gốc O trùng với vị trí cân c hệ ( M + m ) sau va chạm Do đó, sau va chạm hệ có toạ độ vận tốc là: x1 = −1 ( cm ) , v1 = V = +5π ( cm / s ) + Sau va chạm hệ dao động điều hoà xung quanh VTCB O với k 200 = = 5π ( rad / s ) tần số góc: ω = ( M + m) 0,6 + 0,2 v2 + Biên độ dao động: A = x + 12 = ω ( − 1) (5π ) + ( 5π ) 2 = ( cm ) ĐS: 1) v = 20π ( m / s ) , V = 5π ( cm / s ) , 2) A = ( cm ) Bài 6: (ĐH Kinh tế quốc dân - 2001) Con lắc lò xo gồm vật nặng M = 300 ( g ) , lị xo có độ cứng k = 200 ( N / m ) lồng vào trục thẳng đứng hình vẽ Khi vị trí cân bằng, thả vật m = 200 ( g ) từ độ cao h = 3,75 ( cm ) so với M Coi ma sát không đáng kể, lấy g = 10 m / s , va chạm hoàn toàn mềm ( ) Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc hai vật sau va chạm 2 Sau va chạm hai vật dao động điều hoà Lấy t = lúc sau va chạm Viết phương trình dao động hai vật hệ toạ độ O’X hình vẽ, gốc O’ trùng với vị trí cân m ới C c h ệ ( M + m ) sau va chạm Viết phương trình dao động hai vật hệ toạ độ ox hình vẽ, gốc O vị trí cân cũ M trước va chạm Gốc thời gian cũ Giải: ( m / s ) (hướng xuống dưới) Hệ ( M + m ) lúc va chạm coi hệ kín, theo định luật bảo tồn đ ộng l ượng (theo giả thiết va chạm hoàn toàn mềm): mv0 = ( m + M )V Suy ra, vận tốc hai vật sau va chạm: 1) Vận tốc vật m trước lúc va chạm: v = gh = 2.10.3,75.10 −2 = ( m / s ) = 20 ( cm / s ) (hướng xuống dưới) v0 = M 1+ m Mg 0,3.10 = = 0,015 ( m ) = 1,5 ( cm ) 2) Tại VTCB cũ M (vị trí O), lị xo nén đoạn: ∆0 = k 200 + Tại VTCB C hệ sau va chạm, lò xo nén đoạn: ( m + M ) g = 0,5.10 = 0,025 ( m ) = 2,5 ( cm) ∆ = k 200 + Suy ra: OC = ∆l − ∆l = 2,5 − 1,5 = ( cm ) , X = x + ( cm ) (1) V = + Sau va chạm hệ dao động điều hoà xung quanh VTCB m ới C ≡ O’ với tần số góc: k 200 ω= = = 20 ( rad / s ) ( M + m) 0,3 + 0,2 + Phương trình dao động: X = A sin ( 20t + ϕ ) , vận tốc: V = X ' = 20 A cos( 20t + ϕ ) X t =0 = OC = ( cm ) t = + Chọn lúc va chạm, nên: V t =0 = −20 ( cm / s ) A= > A = ( cm ) A sin ϕ = sin ϕ ⇒ ⇒ ⇒ 5π 20 A cos ϕ = −20 tgϕ = − ϕ = 5π ( cm ) + Suy ra, li độ vật hệ toạ độ O’X là: X = sin 20t + 3) Theo (1) ta có phương trình dao động vật hệ toạ độ Ox là: 5π x = X − 1, hay x = sin 20t + − ( cm ) 5π ( m / s ) , V = 20 ( cm / s ) , 2) X = sin 20t + ( cm) , 5π − ( cm ) 3) x = sin 20t + ĐS: 1) v = III BÀI TOÁN TỰ LUYỆN Bài 7: Một cầu khối lượng M = ( kg ) , gắn lị xo thẳng đứng có độ cứng k = 400 ( N / m ) Một vật nhỏ m = 0,4 ( kg ) rơi tự từ độ cao h = 1,8 ( m ) xuống va chạm đàn hồi với M (xem hình vẽ) Sau va chạm vật M dao động điều hoà Lấy g = 10 m / s ( ) a) Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc vật sau va chạm b) Viết phương trình dao động vật M, chọn gốc tọa độ vị trí cân vật, chiều dương hướng thẳng đứng xuống, gốc thời gian lúc sau va chạm ĐS: a) v = ( m / s ) ; V = ( m / s ) ; v = −4 ( m / s ) ; b) x = 10 sin 20t ( cm ) Bài 8: Một cầu khối lượng M = 200 ( g ) , gắn lị xo thẳng đứng có độ cứng k = 20 ( N / m ) Một vật nhỏ m = 100 ( g ) rơi tự từ độ cao h = 45 ( cm ) xuống va chạm đàn hồi với M (xem hình vẽ) Sau va chạm vật M dao động điều hoà Lấy g = 10 m / s a) Tính vận tốc m trước va chạm b) Tính vận tốc hai vật sau va chạm c) Viết phương trình dao động vật M, chọn gốc tọa độ vị trí cân c vật, chiều dương hướng thẳng đứng xuống, gốc thời gian lúc sau va ch ạm Giả sử Mđ không bị nhấc lên M dao động Gốc thời gian lúc va chạm d) Khối lượng Mđ phải thoả mãn điều kiện để khơng bị nhấc lên M dao động ĐS: a) v = ( m / s ) ; b) V = ( m / s ) ; c) x = 20 sin 10t ( cm ) ; ( ) d) M d ≥ 200 ( g ) Bài 9: (ĐH Ngoại thương tp.HcM - 2001) Một đĩa khối lượng M = 900 ( g ) , đặt lị xo thẳng đứng có độ cứng k = 25 ( N / m ) Một vật nhỏ m = 100 ( g ) rơi xuống vận tốc ban đầu từ độ cao h = 20 ( cm ) (so với đĩa) xuống đĩa dính vào đĩa (hình vẽ) Sau va chạm hai vật dao động điều hồ a) Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc hai vật sau va chạm b) Vị trí cân cách vị trí cân cũ khoảng bao nhiêu? c) Viết phương trình dao động hai vật, chọn gốc tọa độ vị trí cân b ằng c hai vật, chiều dương hướng thẳng đứng từ tên xuống, gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm Cho g = 10 m / s ( ) π ĐS: a) v = ( m / s ) , V = 0,2 ( m / s ) , b) (cm), c) x = sin 5t − ( cm ) 4 Bài 10: (ĐH Ngoại Thương - 99) Cho hệ dao động hình vẽ Lị xo có khối lượng khơng đáng kể, độ cứng k Vật M = 400 ( g ) trượt không ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, dùng vật m = 100 ( g ) bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v = ( m / s ) Va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm vật M dao động ều hoà Chi ều dài c ực đại cực tiểu lò xo 28 ( cm ) 20 ( cm )