Giới thiệu đề thi TSĐH năm học 1997 1998 đến 2003 2004 môn toán tập 2 doãn minh cường

Với những giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu; đông thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.. Với giá trị nào của m thì hàm số 1 có cực đại, cực tiểu

DOAN MINH CƯỜNG

NĂII #0€ 1997 - 1998 ĐẾN NĂM HỘC 20) -2004

DOÃN MINH CƯỜNG (Tuyển chọn và giới thiệu)

Giới thiệu

DE THI TUYEN SINH VAO DAI HOC

(NAM HOC 1997 - 1998 DEN NAM HOC 2003 - 2004)

MON TOAN

Tap hai (Tái bản có bổ sung)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI NÓI ĐẦU

Từ nhiều năm nay, cứ sau mỗi mùa thì tuyển sinh vào Đại học và

Cao đẳng, chúng tôi lại tổ chức biên soạn sách "Giới thiệu đề thi

tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng trong toàn quốc",

Từ năm 2002, Bộ Giáo dục - Đào tạo thay đổi cách tổ chức thi và

ra đề thi tuyển sinh vào các tr ường Đại học và Cao đẳng Với yêu cầu

mới, để đáp ứng mong muốn của học sinh có tài liệu tham khảo ôn luyện thi vào các trường Đại học, chúng tôi đã xuất bản bộ sách toán:

Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học (1997-2002)

Môn toán

Sách gồm 3 tập được tuyển chọn theo từng khối A và B, D

Sách đã được học sinh và các thầy cô giáo trong cả nước hoan

nghênh, đánh giá cao về chất lượng

Trong lần tái bản này, chúng tôi tiếp tục tuyển lựa, loại bỏ một số

đề thi có các câu hỏi không phù hợp với yêu cầu của để thi đại học do

Bộ Giáo dục - Đào tạo quy định từ năm 2009 và cho những năm sau này, đồng thời bổ sung đề thi và đáp án chỉ tiết đề thi đại học năm học 2003-2004 vừa qua Để tiện cho bạn đọc, chúng tôi không chia thành các khối thi như lần xuất bản trước, sách gồm hai tập:

"Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học

Khối PT chuyên Toán - Tin Đại học Sư phạm Hà Nội, chủ biên các

cuốn "Giới thiệu để thi tuyển sinh " các năm qua, phân dạng và tuyển chọn, bám sát yêu cầu ra đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo

trong hai năm qua và cả trong những năm tới Nội dung sách có hai

phan: Dé thi và Hướng dẫn giải đã được chỉnh lý, bổ sung, được đánh

số bằng hai chữ số, số đầu là số thứ tự các trường, số sau là số thứ tự các dé thi Phân hướng dẫn giải của đề thi tuyển sinh các năm học

2002-2003 va 2003-2004 là đáp án đầy đủ của Bộ Giáo dục - Dao tao

Chúng tôi hy vọng các cuốn sách trên sẽ giúp ích nhiều cho bạn

đọc có hướng và tài liệu ôn luyện toán thi vào Đại học trong những năm tới

Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của bạn đọc để lần tái ban sau, chất lượng cuốn sách được nâng cao hơn Thư góp ý xin gửi

về Khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội hoặc Ban Khoa

giáo Đài truyền hình Việt Nam

Câu I 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm sé y= x? + 3x?

2 Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Câu IIL 1 Giải hệ phương trình l “ng ° x" -y* =126

2 Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm:

x\wx +Ax+12< mlog;(2 ++/4 - x)

Cau IV 1 Giải phương trình 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0

2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu V Cho hai đường thẳng:

1 Chứng minh rằng hai đường thang (d) va (d’) chéo nhau

9, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó

3 Hai điểm A, B khác nhau và cố định trên một đường thẳng (d)

sao cho AB = V117 Khi € di động trên đường thang (d’), tìm giá trị

nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC

§27 HỌC VIỆN QUAN HỆ QUỐC TẾ

27.96 NAM 1997 (A)

Cau I Cho ham sé y = x‘ - 2mx” + 2m + m*

1 Với những giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu;

đông thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

9 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 1 Câu II 1 Giải phương trình:

Câu II 1 Giải phương trình:

A[sinx + sinx + sin?x + cosx = 1

9 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:

A B CofA BC

cotg2 + cote + cotgz 23 tego + te + tg2)-

Câu IV 1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

f(x) = (sin°x + cos'x) (sinÊx + cos®x)

2

2 Cho elip 7 +y” = 1 và điểm A(-2, 0)

Giả sử M là điểm di động trên elip Gọi H là hình chiếu vuông góc

của M lên trục Oy Giả sử AH cắt OM tại P Chứng minh rằng khi M

thay đổi trên elip thì P luôn luôn chạy trên một đường cong (C) cố định Vẽ đồ thị đường cong(C)

Câu V 1 Cho x, y, z là những số dương Chứng minh rằng:

Mx?+xy+y? +Ay °+yz+z +22 + extx? >3 (x+y +2)

2 Cho hinh hép chit nhat ABCDA'B'C'D' véi AA' = a, AB = b,

AD =c Tính thể tích cua ttt dién ACB'D' theo a, b,c

3

cos’x + cos?2x + cos°3x + cos24x = 5

2 Các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

sinA + sinB + sinC _ A Cc

sinA + sinB— sinC C82 - cote -

Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Câu III 1 Giải bất phương trình:

ø Giải và biện luận phương trình:

Câu IV Cho hình lập phương ABCDA'BCTD với cạnh bằng a

1 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thang AA' va BD' ;

9 Chứng minh rằng đường chéo BD' vuông góc với mặt phẳng

(DA'G)

Câu V Tính nguyên hàm của hàm số:

f(x) = sin®x cos3x + cos*xsin3x

27.98 NAM 1999 (D)

Câu I 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

_x†+2

y= x-3

2 Tim trén dé thi của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ

điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến

đường tiệm cận ngang

Câu II 1 Với những giá trị nào của mm thì hệ bất phương trình:

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Peet txt

Cau III 1 Giải phương trình lượng giác

cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

2 Hãy tính các góc của AABC nếu trong tam giác đó ta có

sin’A + sin?B + 2sinAsinB = 4 + 8cosC + cos*C

Câu IV Cho tứ diện đều ABCD canh bang a

1 Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD Hãy xác định vị trí của I để diện tích AIAB là nhỏ nhất

2 Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC,

CB lần lượt tại N, P, Q Tứ giác MNP là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNP là lớn nhất

Câu V Với những giá trị nào của m thì hệ phương trình

x+y=4 có nghiệm? ă sẽ

(ert ag ĐH

27.99 NAM 2000 (A)

Cau I Cho ham sé’ y = 4x - mx? - 3x +m

1 Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu, đồng thời chứng minh rằng hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu của hàm số luôn luôn trái dấu

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0

3 Phương trình 4x? - 3x =A[1— x” có bao nhiêu nghiệm?

Câu II 1 Giải phương trình

2 Giải bất phương trình

(x+ 1) + 4) <5Aj|x” + 5x + 28

` 1 3

Câu III 1 Cho hàm số f(x) = sinx +3 sin3x + sinỗx

Tinh dao ham f '(x) và giải phương trình f'(x) = 0

9 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC, ta luôn có

sing cosy cosy + sing cosy cos + Sig COS) 0S2

Sino SIN2 SINS + tựa tra tS tea + tạo te R

Câu IV Cho hình lập phương ABCD.A'BCD' với cạnh bang a Giả

sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'Ơ!, ŒC, AA’

1 Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt

phẳng Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a

2 Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a

Câu V Tìm họ nguyên hàm của hàm số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0

2 Trong tất cả các tiếp tuyến với dé thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

3 Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn luôn có cực

đại và cực tiểu Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm

cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất

10

1 Tính dién tich cha tam giac ACD' theo a, b, c

2 Gia sử M va N lần lượt là trung điểm của AB và BC Hãy tính

thể tích của tứ điện D'DMN theo a, b; c

3 Với giá trị nào của m thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

Câu II 1 Giải bất phương trình A4 -^{1-x >A[2=x

2 Với giá trị nào của m thì phương trình

logy, glx” -2(m+1)x]+log, jg(2x+m-2)=0 có nghiệm duy

Câu III 1 Giải phương trình lượng giác cos?x + sin*x + cosx = 0

2 Tam giác ABC vuông góc tại A có BC = a, AB = e, AC =b

Chitng minh b7" +c" <a", Vn e N

3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

y = cosỶx + sin'x + sinxcosx + 1

Câu IV Trong hệ tọa độ vuông góc xOy cho parabol (P) có phương trình y? = 64x và đường thẳng (A) có phương trình 4x — 3y + 46 = 0 Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (A), tiếp xúc với parabol (P) và có bán kính nhỏ nhất

Câu V Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC) Qua B kẻ BH vuông góc với

SA, BK vuông góc với SC Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và

tính diện tích tam giác BHK biết rằng AC = a, BC = aNj3 và

SB=a2

12

3 Chứng minh rằng tại một điểm của đồ thị (C) tiếp tuyến luôn

cắt hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

Câu II 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

xí vì x y? x

fa, = t+ 2 (5+5 ng: với x, y # 0

2 Chứng minh rằng nếu 0 < k < 2001 thì

2001 2001 2001 y2 C2002 + - C4002:k < (C4oo2)”- -

Câu V Trong hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d(m) có phương

1 Với những giá trị nào của tham số a thì đồ thị của hàm số trên

có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ? Chứng minh rằng khi đó đồ thị của hàm số

có điểm cực đại và điểm cực tiểu

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với a = 3

Câu II 1 Giải hệ phương trình

= pe { x-3y= +

x

y-3x= 4y

9 Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số a

<r > (ax)!

Cau III Giai phugng trinh lugng gidc cosxsinx + | cosx+sinx |=1

Câu IV Tính giới hạn sau

14

im 2/1+x-Ÿ8-x

Câu V AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng x, y chéo nhau, A thuộc x, B thuộc y Đặt độ dài AB = d M là một điểm

thay đổi thuộc x, N là một điểm thay đối thuộc y Đặt AM = m,

BN=n(m>0,n>0) Giả sử ta luôn có m? + n? =k>0, k không đổi

1 Xác định m, n để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất

2 Trong trường hợp hai đường thẳng x, y vuông góc với nhau và

mn # 0, hãy xác định m, n (theo k và d) để thể tích tứ diện ABMN đạt

Cau I Xét ham s6 véi tham sé a y = 2x° + ax? - 12x — 13

1 Với những giá trị nào của a thi dé thị của hàm số có điểm cực

đại và điểm cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung?

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ dé thị của hàm số ứng với a = 3 Câu II 1 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình

2 Giải phương trình 8* + (18)* = 2(27)*

Bx |J1- |1+sin3x|l

â „ Tí ới hạn lim -——====——

Câu IV Tính giới hạn Tim, —

Câu V Cho tam giác cân ABC, AB = AC Một điểm M thay đổi

trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại A (M không

trùng với điểm A)

1 Tìm quỹ tích trọng tậm G và trực tâm H của tam giác MBC

2 Gọi O là trực tâm của tam giác ABC, hãy xác định vị trí của M

để thể tích tứ điện OHBC đạt giá trị lớn nhất

Cau I Cho ham sé y =

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

9 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho khi 0 < x < 2 Câu II 1 Giải phương trình A|16x + 17 = 8x - 23

Câu II 1 Giải phương trình 2 + cos2x = —5sinx

2 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta đều có

16

C

sinAsinB < cos*5

Câu IV Cho hình vuông ABCD canh a, tam I (A đối diện với C)

Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở

cùng một phía đối với mặt phẳng đó Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy Đặt AM =m, CN= n

1 Tính thể tích của hình chóp BAMNC (đỉnh B, đáy AMNO)

2 Tính MN theo a, m, n và tìm điểu kiện đối với a, m, n để góc

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ dé thị hàm số đã cho

2 Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị ở phần 1)

Câu II 1 Giải phương trình 2tgx + cotg2x = 2sin2x + ands”

2 Chứng minh rằng nếu A, B, C là các góc của một tam giác thi

cos + cos*3 + cost <3 vã (cos +cosa + cos)

Câu III 1 Giải phương trình

log;(%? + 3x + 2) + log;(x? + 7x + 19) = 3 + log,3

2 Giả sử phương trình &?—x † ax +b =0 có.3 nghiệm thực phân biệt, chứng minh rằng a? + b>0 ‘ {

Câu IV Tính giới hạn lim -

xơi

Câu V Trong không gian cho hệ tọa độ Đề các vuông góc Öxyz và

cho các điểm A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, e) (a, b, e > 0) Dựng hình

hộp chữ nhật nhận O, A, B, Ở làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện

với đỉnh O của hình hộp đó

1 Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABD)

2 Tính tọa độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD) Tìm điều kiện đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm trong mặt

Câu I Cho hàm số y=”— 1 —

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

2 Tìm điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ điểm

đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục

tung

Câu II 1 Giải phương trình sinÊx + cos”x = 2(sin°x + cos”x)

2 Giả sử các góc A, B, C của tam giác ABC thỏa man đẳng thức

cosA + cosB + cosC = 2(cosAcosB + cosBcosC + cosCcosA)

chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

Câu III 1 Giải phương trình 125" + 50* = 2”°!

2 Giải và biện luận phương trình theo tham sda

x41 +J1-x =a

18

3 Giải bất phương trình A3 +5.A? < 21x, trong đó A} là số chỉnh hợp chập y của x phần tử

Câu IV Trong không gian cho hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz Xét tam giác đều OAB trong mặt phẳng (xOy) c6 canh bang a, đường thắng AB song song với trục Oy, điểm A thuộc góc phần tư thứ nhất

của mặt phẳng (xOy) Xét điểm S (5 0, 4)

3

1 Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B và trung điểm E của

đoạn ÓA, sau đó viết phương trình của mặt phẳng (P) chứa SE và

song song với Ox

2 Tính khoảng cách từ O đến (P), từ đó suy ra khoảng cách giữa

hai đường thẳng Ox và SE

Câu V Tìm các hằng số A và B để hàm số f(x) = Asinrx + B thỏa

Cau II 1 Gidi phương trình lượng giác

Sin”x = cos?2x + cos?3x

3 Cho A, B, C là các góc của một tam giác Chứng minh rằng

sing sity sinz

B C* C A* A B72

yy COSS Socosz 5g COSS

cos9 cosy co: a) cos9 080

Cau III 1 Giải phương trình

1 -x +V1 +x —2) log,(x? - x) =0

2 Giai hé phuong trinh

x° = 3x + 8y y°=3y+8x

Câu IV Cho đường tròn tâm O bán kính R xét các hình chóp SABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy (6 và A cố định), SA = h cho trước, đáy ABCD là tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho mà

các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

1 Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (đi qua năm đỉnh của hình chóp)

9 Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?

1 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị

Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0

Câu II 1 Chứng tổ rằng với mọi giá trị của tham số m, hệ

x+xy+y=2m +1 xy(x+y) =m? +m

luôn có nghiệm Xác định m để hệ phương trình đó có nghiệm duy

nhất

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau

đây có nghiệm 9""Š + g*% > m gsin’

Câu II 1 Giải phương trình lượng giác

Tính đạo hàm của hàm số đó tại x = 0

2 Chứng minh rằng với a, b, c tay ý cho trước, phương trình

acos3x+bcos2x+ ccosx + sinx = 0 luôn có nghiệm trong khoảng (0, 2n) Câu V Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, xét họ

đường tròn có phương trình

x? +y? - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 (m là tham sổ)

1 Tìm quỹ tích tâm các đường tròn của họ đó

2 Xác định tọa độ của tâm đường tròn thuộc họ đã cho mà tiếp

2 Tìm trên đồ thị của hàm số đó tất cả những điểm mà tọa độ

2 Giai bat phugng trinh log, 4-1) sỹ

Câu II 1 Giải phương trình lượng giác

sinệx + cosệx = 2(sin*x + cos*x)

2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y= Âsinx Ở^[cosx

Câu IV 1 Tắnh thể tắch khối tròn xoay được tạo thành do quay

quanh trục Ox hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các parabôn y=xỢ~ 4x + 6 và y = ỞxỢ Ở 2x + 6

x+l

2 Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị cua ham s6 y=7>Ở a

Câu V Cho hệ tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian và cho các điểm A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(a, a, 0), D(0, 0, đ) (a > 0, d > 0) Gọi

A', B' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O xuống các đường

thẳng DA và DB

1 Viết phương trình mặt phẳng chứa các đường thẳng OA', OB'

Chứng minh rằng mặt phẳng đó vuông góc với đường thẳng CD

9 Tắnh d theo a để góc ⁄A'OB' có số đo bằng 4đồ

29.111 NĂM 1999 (D) x+x+m

Câu I Cho hàm số y = ]

22

1 Xác định tất cả các giá trị củ:

có các điểm cực đại, cực tiểu nằm tham số m để đồ thị của hàm số

ai phía của trục tung

2 Khảo sá sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 4 Cau II 1 Giải hất phương trình log 1 (x? - 8x + 2) >-1

2

2 Với những giá trị nào của tham số m thì hệ phương trình

{°° Fy) ~dxy=4 có nghiệm?

x†?y-xy=l-m

Cau TL 1, Giải phương trình lượng giác

[sinx — eosx| + |sinx + eosx| = 9

2 Với A, B, C là ba góc của một tam giác bất ky, chứng minh rằng

1 + 1 + 1 ss 1 1 1

sin’A ` sin'B “sin?C Ê

xÊ+ x2_— 9

Câu IV 1 Tính giới hạn aor sin(x— 1)

2 Chứng minh rằng với các số dương a, b, ¢ bat kỳ, ta có:

ab 3 be 4a eatbte

a+b “b+e “cta~ 2

Cau V Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D' Dựng mặt phẳng

chứa đường chéo AC của hình vuông ABCD và đi qua trung điểm M của cạnh B'Œ' Mặt phẳng đó chia hình lập phương thành hai phần

Tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Câu VỊ Tìm họ nguyên hàm Ix =

-4e~

29.112 NĂM 2000 (A) Câu I 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị của hàm số

y=x+1+=—T Gọi đỗ thị đó là ©)

9 Tìm những điểm trên đô thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho

tiếp tuyến tại điểm đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

Câu II 1 Giải phương trình 1 +Ẵx= =x +V1-x

2 Giải phương trình (2 +2)" +x.22-V2) "= 1 +27

CAu IIL 1 Giải phương trình 2sinx + cotgx = 2sin2x + 1

2 Chiing minh ding thitc 8sin*18° + 8sin?18° = 1

Câu IV Cho hai điểm A(0, 0, -3), B(2, 0, -1) và mặt phẳng P có

phương trình là 3x — 8y + 7z — 1 = 0

1 Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng đi qua hai điểm A, B

với mặt phẳng P

2 Tìm tọa độ của điểm C nằm trên mặt phẳng P sao cho tam giác

ABC là tam giác đều

Câu V 1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = Han -

2 Với a, b, c là 3 số thực bất kỳ thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0

Chứng minh rằng: 8* + 8° + 8? > 2° + 2° + 2°,

29.113 NAM 2000 (B) Câu I Cho hàm số y = x— 3mx? + m — 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 1

Gọi đồ thị đó là (C)

2 Tinh diện tích phần mặt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi đồ

thị (C) và tiếp tuyến của nó tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x = 2

8 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến

trong khoảng (— œ, 0)

24

Cau II 1 Giải phương trình log;x = log;(x + 2)

Câu V Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi

số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?

29.114 NĂM 2000 (D)

Cau I Cho hàm số y = xŸ + 3x? + mx + m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị của hàm số với m = 0

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến

trên một đoạn có độ dài bằng 1

Câu II 1 Giải phương trình

xty+xy=11

| tuys er aeos

2 Giai phuong trinh 8 3* + 3 2* = 24x + 6"

Cau III 1, Giai phudng trinh 1 + 3tgx = 2sin2x

2 Với A, B, C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng:

sinA + sinB - sinC _ A 3B „£

cosA + cosB — cosC +1 7 tế tếa €0tấp-

3 Với a, b, e là ba số thực đương thỏa mãn đẳng thức

ab + be + ca = abe, chứng minh rằng

Cau IV Cho mot lang trụ đứng ABC A'EC' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, góc ABC = ơ, BC' hợp với đáy (ABC) góc B Goi 11a trung điểm của AA'

ra —™

Biết rằng BIC là góc vuông

1 Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân

1 Khảo sát (xét sự biến thiên, vẽ đồ thị) hàm số ứng với m = 0

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực

tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau

qua đường thắng y = sx-g-

Câu II 1 Giải phương trình x? + 3x + 1= (x + 3)Vx? +1

3 Giải bất phương trình logạx + 2log;x = 2 + log,x.log;x

3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình

sau day có nghiệm

26

Cau IIT 1 Giai phuong trinh lugng gide

2sin2x — cos2x = 7sinx + 2cosx - 4

2 Chứng minh rằng

_ 3#]

cos12° + cos18" — 4cos15"cos21"cos24" = — 5 Câu IV Trong không gian với hệ tọa độ Dé các vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song (P,), (P,) có các phương trình tương ứng là

(P):2x-y+2z~-1=0 (P,): 2x -y + 22+5=0

va diém A(-1; 1; 1) nằm trong khoảng giữa hai mặt phẳng đó Gọi S

là mặt cầu bất kì qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P,), (Œ;)

1 Chứng tỏ rằng bán kính của hình cầu S là một hằng số và tính

bán kính đó

2 Gọi I là tâm của hình cầu § Chứng tỏ rằng I thuộc một đường

tròn cố định Xác định tọa độ của tâm và bán kính của đường tròn đó

Cau V Tim họ nguyên hàm f dx

(x? 45x +1).(x? —38x+1)

29.116 NAM 2001 (B)

Cau I 1 Khảo sát (xét sự biến thiên, vẽ dé thị) hàm số

=x? +xt1 Y” x~1 Gọi (C) là đồ thị hàm số

2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Xác định giá trị của m để độ dài đoạn

trong đó P, là số hoán vị của x phần tử;

A2 là số chỉnh hợp chập 2 của x phần tử (x là số nguyên, dương)

Câu III 1 Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá

trị nhỏ nhất

P=x(1-x)(œ - 3)(4 - x)

M3 TL

2 Tìm họ nguyên hàm I= fee (« + | cote x # ?) dx

Câu IV Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, day là tam giác cân

AB = AC = 3a, BC = 9a Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA)

đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60° Kẻ đường cao SH của

Câu V Cho các số a, b, e khác không thỏa man H + 5 +5 =0

Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = ax! + bx’ + c luôn cất trục Ox tại ít nhất một điểm có hoành độ thuộc khoảng (0, 1)

Gọi đồ thị là (C)

2 Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó

có thể kẻ tới đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 45"

Câu II Giải các phương trình sau đây

1.A4x—1+^l4x?—1 =1

2 sin3x = cosx.cos2x.(tg’x + tg2x)

3 P,A2 +72 =6(A2 + 2P,),

trong đó P, là số hoán vị của x phần tử, A? là số chỉnh hợp chập

2 của x phần tử (x là số nguyên, dương)

Câu III 1 Tùy theo giá trị của tham số m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu the

= (x + my — 2)? + (4x + 2(m - 2)y — 1)?

2.Tim ho nguyén ham I= fee (x + 2) cote x + z) dx

Cau IV Cho hinh chép S.ABC đỉnh 8, đáy là tam giác cân

AB = AC = đa, BC = 2a Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60° Kẻ đường cao SH của hình chóp

1 Chứng tỏ rằng H là tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABC và

_.,x5+x+2

ye x-1

9 Tìm tất cả các cập điểm M¡, M, ở trên (C) và đối xứng với nhiau

qua điểm lÍo š) Ề

2

Câu II Cho phương trình

4cos*x.sinx — 4sin®x cosx = sin?4x +m (1)

1 Biết rằng x = x là một nghiệm của (1) Hãy giải phương trình (1) trong trường hợp đó

2 Cho biết x = = là một nghiệm của (1) Hãy tìm tất cả các

nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn

xi-83x”+2<0 Câu III Cho hệ phương trình

1 Viết phương trình đường thẳng di qua điểm MÍ -1, 4) va

vuông góc với tiếp tuyén cua (P) tai My

9°

him tất cả các điểm M ở trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp

tuyến của (P) tại M

2 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy để từ đó ta

có thể vẽ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó

vuông góc với nhau

Câu II Cho hệ phương trình

3x” + 2xy + y?= 11

{ x’ + Ixy + 8y7=17+m

1, Giải hệ phương trình với m = 0

2 Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm?

Câu II Giải bất phương trình

Khi nào thì các bất đẳng thức (1) và (2) xảy ra đẳng thức?

2 Gọi (A) là đường thẳng qua O và có hệ số góc k Với những giá

trị nào của k thì (A) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, O? Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB khi k thay đổi

Câu II 1 Giải phương trình ^jx + 9= 5 -^Aj2x + 4

9 Xác định tất cả các giá trị của a để phương trình sau đây có 4

nghiệm phân biệt

ax!— (a - 8)x? + 3a =0 Câu III Cho hệ phương trình

1

sin?x + cos?y = m + 3

1 xty=1

1 Giải hệ phương trình với ñ = 0

2 Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm?

32

Câu IV Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh các bất đẳng thức

1 a?+b?+c?>ab+be+ca

2 (ab+ be+ ca)?> 3.abe(a + b +c)

Thí sinh chọn một trong hai câu sau:

Cau Va 1 Cho k, n là các số nguyên dương, k < n Chứng minh

rang: Ck 4okH =ck ,

2 Một da giác lôi có n cạnh thì có mấy đường chéo?

Câu Vb Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc nhau, có AB là đường vuông góc chung, AB = a Ta lấy các điểm

M trên Ax, N trên By với AM = x, BN = y

1 Chứng minh rằng các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác

Cau I 1 Khao sat va vé dé thi y = (H)

2 Tìm những điểm M trên đường thẳng y = 1 sao cho từ M có thể

kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị H

Cau II Cho f(x) = cos?2x + 2(sinx + cosx)? — 3sin2x + m

1 Giải phương trình f() = 0 khi m = -8

2 Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) Từ đó

2 Cho các số thực ai, 8¿, , an Giả sử acosx + a;cos2x + + a,cosnx = 0 với mọi x e [0, 2x] Hãy sử dụng kết quả trên để nh

jy Bayern Ags

Cau IV Cho tap A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1 Có bao nhiêu tập con X của tập A thỏa mãn điều kiện X chứa 1

và không chứa 2?

9 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123?

Câu V Cho hai đường tròn

2 Gọi (D) là một tiếp tuyến chung không đi qua H cua (C,) va

(C;) Tìm tọa độ giao điểm K của (D) và đường thẳng IJ Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C,) và

(C,) tại H

30.122 NĂM 2000 (A)

Câu I Cho hàm số y = mx ~ 3mx? + (2m + 1)x + 3 — m (Cm„)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 4

2 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu

Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu

của (C„) luôn đi qua một điểm cố định

Câu II Cho phương trình cos°x - sin°x == m @)

1 Giải phương trình (1) khi m = -1 bằng cách đặt ẩn phụ

t = cosx — sinx

34

2 Tìm m sao cho phương trình (1) có đúng hai nghiệm

xe [-2 I 4° 4

Cau IIL Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = vx ,y=2

—x,y=0

1 Tính diện tích của miền D

2 Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi ta quay (D)

quanh trục Oy

Câu IV Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong

đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tang cho 6 em hoc sinh A, B, C,

D, E, F mỗi em một cuốn

1 Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên

những cuốn sách thuộc hai thể loại văn học và âm nhạc Hỏi tất cả có

2 Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một

trong ba loại văn học, âm nhạc, hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi tất cả có bao nhiêu cách chọn?

Câu V Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho họ đường cong (C„) có phương trình x? + y? + 2(m — 1)x — 2(m - 2)y + m? - 8m + 13 = 0

1 Tìm tất cả các giá trị m để (C„) là đường tròn Tìm qui tích tâm

I cia đường tròn (C„) khi m thay đổi

2 Cho m = 4 Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1, 5) đến (C,)

30.123 NAM 2001 (A)

Cau I Cho ham sé: y = 2x3 + 3(m ~ 3)x? + 11 - 3m (C,,)

1, Cho m = 2 Tìm phương trình các đường thẳng qua A( 8: 4)

và tiếp xúc với đô thị (C,) của hàm số

9 Tìm m để hàm số có hai cực trị Gọi Mạ, M; là các điểm cực trị, tìm M để các điểm M,, Mạ và B(0; ~1) thẳng hàng

3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?

Câu V Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a, SA L (ABCD), SA = ax[2 Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi Dat

§31 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

31.124 NĂM 1999 (D)

Câu I Cho hàm số y = x? - 3mx? + (m? + 2m - 3)x + 4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, ứng với m = 1 Gọi

là ciỗ thị (C)

2 Viết phương trình parabôn đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu

của: đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng y = ~9x + 2

3 Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các tham số

m, dé dé thị của hàm số đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về

hai phía của trục tung

là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi cua ham sé da cho véi m = 2

9 Tìm các giá trị của m dé ham sé xac dinh va déng bién trén

= cotgA + cotgB + cotgC

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

38

Câu IV Trong không gian, cho các điểm A, B, theo thứ tự

thuộc các tỉa Ox, Oy, Óz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a(a>0),OB= a2, OC =c(c>0) Gọi D là đỉnh đối diện với O

của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC (P) la

mặt phẳng đi qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM

1 Gọi E là giao điểm của (P) với đường thang OC; tinh độ dài đoạn thẳng OE

2 Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối hình chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P)

3 Tinh khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P)

Câu V Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

= Ix?- 1| và y= |x| + 5 trong mặt phẳng tọa độ Oxy

31.126 NĂM 2000 (B) Cau I Cho ham số y = xỶ + ax? - 4, trong dé a là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với a = 3

2 Tìm các giá trị của tham số a để phương trình x2 + ax?— 4 = 0

Câu II 1 Giải phương trình

Acos3x + 3\[2 sin2x = 8eosx

2 Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức

sin’B + sin?C = 2sin2A

Chứng minh rằng A < 60"

Câu IV Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A'BCT' sao cho A trùng với gốc O; B1, 0, 0); D0, 1,0); A0, 0, 1) Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm của hình vuông ADD'A'

1 Viết phương trình mặt cầu (S) di qua các điểm C, D', M, N

92 Tính bán kính đường tròn giao của (S) với mặt cầu đi qua các

Cau I Cho ham sé y =" "75, (m là tham s8)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1

2 Tìm giá trị của m để đô thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực

tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0

bằng nhau

Câu II 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ sau có

nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x > 4: