Phương pháp giải hình không gian

Trần Minh Hiếu ĐỀ TÀI: MỘT PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Loại toán tính khoảng cách hình học không gian loại toán hay, đòi hỏi tư học sinh THPT thường gặp đề thi đại học Khi gặp loại toán học sinh thường lúng túng hướng giải - Nhằm giúp em có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo gợi cho em hướng giải tốt gặp loại toán Tôi mạo muội trình bày suy nghĩ việc giải toán tính khoảng cách hình học không gian dạng viết nhỏ, với hy vọng phần giúp em học sinh không lúng túng gặp dạng toán Nội dung đề tài bao gồm: + Phần I: Lý thuyết + Phần II: Bài tập Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I LÝ THUYẾT: Cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Trong không gian cho mp(P) điểm M không nằm mp(P), để xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm sau: Bước 1: Dựng mp(Q) qua M vuông góc với mp(P) Bước 2: Xác định giao tuyến d mp(P) mp(Q) Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d H ⇒ MH ⊥ mp(P) ⇒ d(M;(P)) = MH Bổ đề (*): Cho mp(P) điểm A, H không nằm (P) Gọi I = AH ∩ (P) ta có: = Cách xác định khoảng cách đường thẳng chéo +) Cho hai đường thẳng a b chéo TH1: a b vuông góc với +) Chọn điểm M nằm a (thuận lợi nhất) kẻ MH ⊥ b ⇒ mp(a,H) ⊥ b Kẻ HK ⊥ a ⇒ d(a,b) = HK TH2: a b +) Dựng mp(α) chứa b song song với a, d(a,b) = d(a,(α)) = d(M,(α)), M điểm nằm đường thẳng a Các kỹ xác định hình chiếu đỉnh lên mặt phẳng đáy hình chóp: +) Nếu tồn mặt phẳng qua đỉnh vuông góc với mặt đáy hình chiếu đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu đỉnh lên giao tuyến mp đáy +) Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy +) Hình chóp có mặt bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy II BÀI TẬP: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Trần Minh Hiếu Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SA=a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) Giải: S H A D B O I C \S.ABCD hình chóp nên SO ⊥ (ABCD) Qua O kẻ OI vuông góc với AB ⇒ (SOI) ⊥ (SAB) Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SAB) ⇒ d(O;(SAB)) = OH Ta có: AC = BD = a, OI = Xét ∆SAO ta có: SO = SA - AO = Xét ∆SOI: = + = ⇒ OH = a Vậy: d(O; (SAB)) = a Bình luận: Nếu thay giả thiết toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm nào: - Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) sử dụng bổ đề (*) để suy d(C;(SAB)) Ta có: = = ⇒ d(C;(SAB)) = 2a Nếu thay giả thiết toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K SC đến (SAB) ta sẻ làm nào: - Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) sử dụng bổ đề (*) để suy d(K;(SAB)) Ta có OK∥(SAB) ⇒ d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a Nhận xét: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt bên khối chóp sau: - Tính khoảng cách từ hình chiếu đỉnh lên mặt đáy đến mp sử dụng bổ đề (*) để suy khoảng cách cần tính Bài tập 2( ĐH_D_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết SB=2a, SBC=30 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Giải: Kẻ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Xét ∆SHB ta có: SH = SB.sin30 = a; BH = SB.cos30 = 3a S Qua H kẻ HI ⊥ AC I ⇒ (SHI) ⊥ (SAC) Kẻ HK ⊥ SI K ⇒ HK ⊥ (SAC) ⇒ d(H;(SAC)) = HK K Ta có ∆CHI∽∆CAB(g-g) Trần Minh Hiếu ⇒ HI = = = + = ⇒ HK = I C A ⇒ d(H;(SAC)) = H B Mà = = ⇒ d(B;(SAC)) = Bài tập 3(ĐH_D_2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC=BAD = 90, BA=CB=a, AD=2a Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a Gọi H hình chiếu A lên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a S Giải: Gọi I trung điểm AD ta có CI = AD ⇒ ∆ACD vuông C hay AC ⊥ CD H K ⇒ (SAC) ⊥ (SCD) A D Kẻ AI vuông góc SC I ⇒ AI ⊥ (SCD) ⇒ d(A;(SCD)) = AI Ta có: AC = AB + BC = 2a = + = B C ⇒ AI = a ⇒ d(A;(SCD)) = a Nối AB cắt CD K ⇒ B trung điểm AK ⇒ = = ⇒ d(B;(SCD)) = = = = = ⇒ d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) = Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải mà ta gặp toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà mặt phẳng chứa đường cao khối chóp ta sẻ làm nào? Bài tập 4(ĐH_B_2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chử nhật AB=a, AD=a Hình chiếu vuông góc A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc mp(ADD’A’) (ABCD) 60 Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD) Giải: B’ C’ A’ D’ B A C O H D Gọi O giao điểm AC BD ⇒ A’O ⊥ (ABCD) Gọi E trung điểm AD ⇒ OE ⊥ AD, A’E ⊥ AD ⇒ A’EO góc mp(ADD’A’) mp(ABCD) ⇒ A’EO = 60 Trần Minh Hiếu ⇒ A’O = OE.tanA’EO = tan60 = Ta có B’C ∥(A’BD) ⇒ d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD)) Kẻ CH ⊥ BD H ⇒ CH ⊥ (A’BD) ⇒ d(C;(A’BD)) = CH Mà = + = ⇒ CH = Vậy d(B’;(A’BD)) = Bình luận: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm I đến mp(α) chứa đường cao khối chóp sau: Bước 1: Xác định giao tuyến d mp(α) mặt đáy Bước 2: Chọn điểm M nằm mặt đáy thuận lợi nhất, tính khoảng cách từ điểm M đến mp(α), cách kẻ MH ⊥ d M ⇒ MH ⊥ (α) ⇒ d(M;(α)) = MH Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy Bài tập 5( Đề thi thử ĐH_Trường THPT Cao Thắng_2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB=a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2 , góc SC mp(ABC) 60 Tính khoảng cách từ trung điểm E SB đến mp(SAH) Giải: BC = AB + AC = 4a ⇒ BC = 2a ⇒ BI = a Kẻ BK vuông góc với AH K ⇒ BK ⊥ (SAH) ⇒ d(B;(SAH)) = BK Mà = + = ⇒ d(B;(SAH)) = BK = = = ⇒ d(E;(SAH)) = S I K B H C A Khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài tập 1(ĐH_A_2010) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mp(ABCD) SH=a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC Giải: Ta có: ∆CDN = ∆DAM ⇒ CN ⊥ DM; mặt khác SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ (SCN) ⇒ DM ⊥ SC Kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ DM ⇒ d(HK, DM) = HK S Ta có S = S - S - S = Mặt khác S = CH.DM K ⇒ CH = = B C = + = M H D ⇒ HK = ⇒ d(DM, SC) = N A Bài tập 2(ĐH_A_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt đáy Gọi Trần Minh Hiếu M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a S Giải: (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC) H AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ SBA góc mp(SBC) (ABC) D ⇒ SBA = 60 ⇒ SA = AB.tan60 = 2a N C A Mặt phẳng qua SM ∥ BC cắt AC N B M ⇒ MN ∥ BC N trung điểm AC MN = = a Kẻ đường thẳng ∆ qua N song song AB, gọi (α) mp chứa SN ∆ ⇒ AB ∥ (α) ⇒ d(AB, SN) = d(A;(α)) Kẻ AD ⊥ ∆ D ⇒ (SAD) ⊥ (α), Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (α) ⇒ d(A,(α)) = AH Ta có AD = MN = a ⇒ = + = ⇒ AH = Vậy: d(AB,SN) = Bài tập 3(ĐH_A_2012) Cho hình chóp S.ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên (ABC) H nằm AB cho AH=2HB Góc SC (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Giải: S K I A C H B Ta có góc SC mp(ABC) ⇒ = 60 Xét ∆ACH ta có: CH = AH + AC - 2AH.AC.cos60 = ⇒ CH = ⇒ SH = CH.tan60 = Qua A kẻ đường thẳng ∆ song song với BC, gọi (α) mp chứa SA ∆ ⇒ BC ∥ (α) ⇒ d(SA,BC) = d(B,(α)) = d(H,(α)) Kẻ HI ⊥ ∆ I ⇒ (SHI) ⊥ (α), kẻ HK ⊥ SI K ⇒ HK ⊥ (α) ⇒ d(H,(α)) = HK Ta có HI = AH.sin60 = ⇒ = + = ⇒ HK = ⇒ d(H,(α)) = ⇒ d(B,(α)) = Vậy: d(SA,BC) = Bài 4(ĐH_D_2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên A’A=a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C AM theo a Giải: Trần Minh Hiếu Ta có: AM = AB + BM = ⇒ AM = Qua C kẻ đường thẳng ∆ song song với AM, gọi (α) mặt phẳng chứa B’C ∆ ⇒ AM∥(α) ⇒ d(AM,B’C) = d(M,(α)) = d(B,(α)) Kẻ BI ⊥ ∆ I ⇒ (B’BI) ⊥ (α), kẻ BK ⊥ B’I K ⇒ BK ⊥ (α) ⇒ d(B,(α)) = BK Ta có: sin = sin = = A’ C’ ⇒ BI = BC.sin = K ⇒ = + = ⇒ HK = B’ I ⇒ d(B,(α)) = ⇒ d(M,(α)) = A C Vậy: d(B’C,AM) = B M BÀI TẬP Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a, hai mp (SCD) (SAD) vuông góc với mặt đáy Gọi G trọng tâm ∆BCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a Bài tập 2(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị) Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC tam giác vuông cân C, cạnh huyền 3a Gọi G trọng tâm tam giác ABC, SG vuông góc mp(ABC), SB= Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Bài tập 3(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Gia Lộc-Hải Dương) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a, =30 thể tích lăng trụ a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a Bài tập 4(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách hai đường thẳng SC AB a Bài tập 5(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Nguyễn Đức Cảnh-Thái Bình) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB=BC=a AD=2a, mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt đáy Biết góc tạo (SAB) (ABCD) 60 Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng SB CD theo a Bài tập 6(Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự-Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có SA=a SA vuông góc với mặt đáy Biết ABCD thang vuông A B, AB=a, BC=2a SC vuông góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a với M trung điểm BC D KẾT LUẬN - Chuyên đề rút phương pháp tính khoảng cách hình học không gian Với mục đích nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo giải toán học sinh THPT Hy vọng với kết nhỏ bổ sung phần kiến thức cho học sinh, giúp em nhận thức đầy đủ rèn luyện tốt kỹ giải toán khoảng cách hình học không gian - Với kinh nghiệm nghề nghiệp chưa nhiều, song với tinh thần cầu tiến, học hỏi nên cố gắng trình bày viết với tất có thể, chuyên đề Trần Minh Hiếu nhiều thiếu sót nên mong góp ý đồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn!