Kỹ năng cơ bản và hướng dẫn tư duy – Hình học phẳng Oxy 1 Phần I. Lý thuyết chung Vector: AB x x y y B A B A ; . Độ dài: a x y a a 2 2 . d ax by c : 0 có VTPT n a b d ; , VTCP u b a d ; và a b 2 2 0 . Đường tròn I x a y b R : 2 2 2 có tâm I a b ; và bán kính R. Trung điểm M của AB: x y M M x x y y A B A B ; 2 2 . Trọng tâm G của ∆ABC: x y G G x x x y y y A B C A B C ; 3 3 . Tích vô hướng: a b x x y y . a b a b . Nếu a b thì a b . 0 . Nếu M d x y : 3 2 0 ta có thể gọi M a a d ;3 2 .
Kỹ hướng dẫn tư – Hình học phẳng Oxy Phần I Lý thuyết chung 2 Vector: AB xB xA ; yB y A Độ dài: a xa ya d : ax by c có VTPT nd a; b , VTCP ud b; a a2 b2 Đường tròn I : x a y b2 R2 có tâm I a; b bán kính R Trung điểm M AB: xM x A xB y yB ; yM A 2 x xB xC y yB yC Trọng tâm G ∆ABC: xG A ; yG A 3 Tích vô hướng: a.b xa xb ya yb Nếu a b a.b Nếu M d : 3x y ta gọi M a; 3a d A, B khác phía với d axA by A c axB byB c A, B phía với d axA byA c axB byB c Khoảng cách điểm tới đường thẳng: d A;d Góc đường thẳng: cos d1 ; d2 n1 n2 n1 n2 ax by c a b2 u1 u2 u1 u2 Phần II Các toán hình học phẳng Oxy Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A 1; và: a) Vuông góc với d : x 3y b) Song song với d : x 3y c) Qua B 0; 2 a) d n ud 3;1 : x 1 1 y : 3x y Mở rộng: Cách sử dụng máy tính Casio bấm nhanh: Nhập vào máy tính: 3X + Y bấm CALC, nhập X = 1, Y = kết Vậy 3X + Y – = b) // d n nd 1; 3 : 1 x 1 y : x y Mở rộng: Cách sử dụng máy tính Casio bấm nhanh: Nhập vào máy tính: X – 3Y bấm CALC, nhập X = 1, Y = kết –8 Vậy X – 3Y + = c) AB 1; 5 u n 5; 1 : 5x y Kỹ hướng dẫn tư – Hình học phẳng Oxy Bài toán 2: Tìm tọa độ điểm C đường thẳng d : x y cho AB AC A 2;0 , B 3; 1 AB AC đó: nAC AB 1; 1 C AC : 1 x 1 y AC : x y AC : x y C nghiệm hệ: C 7; d : x y A Cách 1: Gọi H a; 4a d AH a 3; 4a 1 d:x-2y+3=0 A B Bài toán 3: Tìm hình chiếu H điểm A 3;1 d : 4x y Vì AH d AH.ud 1 a 4a 1 a 30 H ; 17 17 17 H d:4x - y + = Cách 2: AH d nAH ud 1; Ta có: AH : 1 x 3 y 1 AH : x y AH : x y 30 H ; Tọa độ H nghiệm hệ: 17 17 d : x y Mở rộng 1: Nếu muốn tìm điểm A’ đối xứng với A qua H, ta sử dụng: xH x A x A ' 53 43 x xH x A A' A' ; y A ' yH y A 17 17 y y y A' H A Mở rộng 2: Nếu muốn tìm A’ đối xứng với A qua d mà không cần tìm H: 1 53 43 4 x A x A ' y A y A ' A’ nghiệm hệ: A' ; 17 17 1 xA xA ' y A y A ' Bài toán 4: Cho A 2; 1 Tìm M thuộc d : 2x y cho AM Gọi T đường tròn tâm A bán kính R có phương trình: T : x y 1 2 Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: T : x 2 y M 1; 2 11 d : x y M ; A M Kỹ hướng dẫn tư – Hình học phẳng Oxy Mở rộng: Cách sử dụng máy tính Casio bấm nhanh: Vì y 2x nhập: X 2X SHIFT SOLVE nhập giá 2 11 từ tìm M Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm A thuộc đường thẳng d : x y cho trị khác X ta tìm nghiệm: X = 1, X = khoảng cách từ A tới : x y khoảng xA y A Gọi A a; a d , d A; A a a a 3a a 5 5 7 Do ta có A 3;1 A ; 3 3 x - 2y + = x+y-4=0 Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d qua A 1; cách điểm B 2;1 khoảng Giả sử nd a; b , a2 b2 Khi đó: d : ax by a 3b qua A 1; d B; d axB byB a 3b a2 b2 3a 2b 3 a2 b2 3a 2b a b 2 12 a Với b Chọn a 1, b ta có: d : x 12 Với b a Chọn a 5, b 12 d : 5x 12 y 41 Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d qua M 2;1 tạo với đường 5b2 12ab b b thẳng : 2x 3y góc 450 Giả sử nd a; b , a2 b2 Khi đó: d : ax by 2a b qua M 2;1 Ta có: cos d; nd n nd n 2a 3b a b 2 13 1 a 5b a b Với a 5b a 5, b d : 5x y 11 Với a b a 1, b 5 d : x 5y Kỹ hướng dẫn tư – Hình học phẳng Oxy Bài toán 8: Tìm chân đường phân giác góc A tam giác ABC biết tọa độ đỉnh A 1;1 , B 4; , C 4; 11 Ta tính AB 5, AC 13 Gọi D chân đường phân giác góc A DB AB Theo định lý Thales cho đường phân giác: 13DB 5DC DC AC 13 13 xB xD 5 xC xD 16 Do ta có hệ: D ; 9 13 yB yD 5 yC yD Chú ý: Muốn tìm phân giác góc A, ta viết phương trình (AD) Bài toán 9: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A 1; , B 1; 1 , C 2;0 Gọi đường tròn cần tìm có dạng: C : x2 y ax by c Khi ta có: A C : a 3b c 10 a 2 B C : a b c 2 b 2 C : x y y c 4 C C : 2a c 4 Bài toán 10: Cho đường tròn C1 : x2 y 2x y 20 đường tròn C2 : x y x y đường thẳng MN cắt hai điểm M, N Viết phương trình Tọa độ điểm M, N thỏa mãn hệ sau: C1 : x2 y x y 20 2 C2 : x y x y M Lấy C1 C2 ta được: MN : 5x 5y 20 Rút gọn ta được: MN : x y N MN “trục đẳng phương” C1 , C2 Mở rộng: Trong trường hợp E F hai tiếp điểm kẻ từ A tới đường tròn (I,R) Khi (EF) trục đẳng phương đường tròn sau: Đường tròn (I,R) Đường tròn (A,AE) Trong AE2 = AI2 – R2 A E F I Kỹ hướng dẫn tư – Hình học phẳng Oxy Bài toán 11: Tìm tọa độ điểm A đường thẳng x y cho tam giác ABC vuông A với B 1; , C 3;1 3 Gọi K 2; trung điểm BC Ta có KB 2 Tam giác ABC vuông A A nằm đường tròn đường kính BC có tâm K bán kinh K B C KB 3 5 sau: K : x y 2 A x+y-2=0 3 x A 1;1 K : x y A nghiệm hệ: 2 4 3 1 x A ; x y Phần III: Hướng dẫn giải tư qua toán Oxy Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AH Gọi D E chân đường phân giác kẻ từ B 17 11 A tam giác ABH, ACH Biết E ; , phương trình 5 đường thẳng AC : y 1, BD : 2x y Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC (Trích đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia 2015 – CasioMan’s Offline) Áp dụng định lý Thales với đường phân giác B AD AB CE AC ta có: , DH BH EH AH H AB AC Mặt khác ΔABH ΔCAH D BH AH E AD CE Vậy DE // AC DH EH C A Ta có: DE // AC , AC AB DE AB, AD BE BD AE Ta chứng minh BD AE Do đường thẳng AE qua E vuông góc với BD có dạng: AE : x y AE : x y A 1;1 Tọa độ A nghiệm hệ: AC : y Do ta viết đường thẳng AB : x Kỹ hướng dẫn tư – Hình học phẳng Oxy AB : x Tọa độ B nghiệm hệ: B 1; BD : x y Ta viết phương trình đường thẳng BE : 3x y 19 BE : 3x y 19 Tọa độ C nghiệm hệ: C 5;1 AC : y Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD I điểm cạnh AB cho AB = 4IB Gọi H hình chiếu C BM, K trung điểm HM Đường thẳng 39 23 CK kéo dài cắt AD J Biết K ; , J ; , phương trình đường 9 10 10 thẳng DI : x y 20 Tìm A biết D có tọa độ nguyên (Trích đề thi thử Trung học phổ thông Quốc gia 2015 – CasioMan’s Offline) Gọi E trung điểm HC Ta có: I A B KE // MC, IB // MC KE = IB = MC nên KEBI hình bình hành Do IK // BE Vì EK // MC, MC BC nên KE BC Ta lại có CE BK nên E trực tâm tam giác BCK Vậy BE CK Vậy IK JK Do ta viết KI : 11x y 45 J K H E D C KI : 11x y 45 5 5 I ; Tọa độ I nghiệm hệ: 2 2 DI : x y 20 AD AD Ta có: cos = Đặt nAD a; b với a2 b2 2 DI AD AI 31 7a b nAD nDI a b Do ta có: 17 n nDI a2 b2 50 a b AD 31 266 a b AD : 31x 17 y (Loại tọa độ D nguyên) 17 x y a b nAD 1;1 AD : x y D nghiệm: D 3; 1 7 x y 20 x y AB : x y Tọa độ A là: x y A 1;1