a b B DC BGIO GIO VO OTO TO 71DC V 23548HC TRNG I s PHM TRNG I HC s PHMH HNI NI22 a = b.q + r r 18 12 30= 18 * + 12 M + Zthut = {cũn eeZj, t cựng vian} Tc v bquan n*khi Dựng Trong bEuclide >e0 nguyờn thc hin: toỏn m rng cho cỏc CC s =14864 C 2.1.4 Chng Tng DANH MC BNG Ch ký khụng th ph nhn 57 DANH MC CC HèNH V= 3458,vln lt c cỏc giỏ MC LC ễ 12 toỏn 18 liu =c 12 *v +ch lnký mó húa d sBi Thut chung toỏn: tr2.2 sauStf õy cho cỏc a, rb, q,tỡm r,a mod X,nhn 58 y, b, Xi,Xx< (sau chu 3.1 qch < abien divEuclide b, < x 2ynht -2 qxj, ymi < y -trỡnh qyi thc hin hai lnh 3.1 v , yi, N ký khụng th ph Bng 1.1 Mụ t quỏ trỡnh tớnh toỏn ca thut toỏn Euclid .6 Hỡnh Quỏ trỡnh to ch ký 31 TRANG BèA PH G CM Input: s khụng õmLI ó,b b)yi N 63.2).1.1- Tng 12 6*2 + 0(a> quan mó dx=1;liu 3.2 a t a/c= Pl mt b/c( mod m) hn bn rừ cúkhú no ú, vớ d ch cỏi thay bng s theo modulo 26 sau: l a*hay =phn b( phn mod tũ {ke nguyờn m) td ^kd), thỡ nguyờn bit = thy ahu c (thu mod nu khúa ca ), vcỏc ch (=nhúm Tớnh ny nu cng G cht gcd(j, [3] i p-l)=l xng) tớnh Nh c võy, khúa bao nhiờu P(i= 1, 2,3, ,k) l cỏc s nguyờn t, tng ụi mt khỏc 1004 y:= gi_i gi; ió := gi_i ( mod 15) =div 23cụng (mod 15) = 16cú mod 15) =mt + th cl nhõn mt 2thuyt hu hn d thc cỏc v modulo mó th cựng vi s nguyờn dng: i+bn Do =Cúthỡ b ú v bv =mó ng (s, modm)\h\ agnguyờn = (modm); Tớnh cht bc cu) p-1 -(modm) Trong s2Khúa cú lý by lp nhiờu cho phn ngi t ta khai, chng gi thy l3-( (y.gi; khúa minh cụng c z*p khai cỏc10 tớnh (Public sau õy ca cỏc phn t 17 11 3s 22 3cht 3key) 24 20 23 - nh lý 22 Mersence: Cho p=16 1, nu pl nguyờn t thỡ irphi l s 11 nguyờn t.21 Hm *Bn mó ch: Ui := Uj.1 - y.Ui; v i:= Vi_i - y.v +i mó H 2ng Nu K\k aqu =cỏc bhu (modm), hn c>0 khúa bc(modmc) th 2/nguyờn Tng hiu d (cỏc abớ +=>ac b)(modn) =gi [( amodn) +i; riờng (Private key) hay khúa mt Vớ du-: hay Khúa thu: gii gi mt,=i+cú cũn l khúa Euler W R L D Q D B D W K D D Y Nu cỏc s nguyờn G, dtha xut 1cựng (mod đnguyờn (m)X thỡthy vi mi c nguyờn cựng +(bmodn) Cú -th El chia i:=i+l; v ng hm lpthc mó modulo cho mt s nguyờn dng l cz*thu chung caú ] Vi (modn) 1/.Xột S z* : mi 467 (,cỏc Pivest, theo lýd Shamir, lun t trờn p,v Zp Adleman thỡ lmón 2nhúm l e.d mt Cyclic, phn nm t v cú 1977) 0 then a :=t else a = (modp), ala'^t+n; =l(modp) H qu ny úng vai then cht vic thit cỏc mó m ny vớ d: RSA Nu Vi c/(a, khúa b, m) lp => mó a/c ee =trũ K b/c cú (modm/c) hm lp +mó = eke& b( E,eke\P> c n h Tng quỏt: gcd(j, mt p-l)=l, nguyờn tc gcd(j, t ln 467-1) p,vi q, tớnh =agcd(j,466) n=p*q, cụng = lp 1ta khai Vỡ t p= C=Zsau 466 = 2.233, eChn thc hin mós húa hay gii mó cỏc s, ngi dựng cỏc phộp toỏn s hc theo n Nhn xột: Neu p l s nguyờn t, thỡ O(p) p Vớ d: ụ an ton : an ton ca mó dch chuyn: Rt thp End;mi modm )=> a=b( modk) ko m anhiu b hn (mod m )khúa Cú th cỏc cng s hoc nguyờn tr khụng tng v nh ng 7dkdELE,dkd\P>C d lkin zthc {theo 0,mod 1,cựng 2,n nh 3, modulo 4,cho: 5, 6}dkd{eks{x)) m,nguyờn ta c 7Z= Vi khúa gii ẩd^K cú hm mó - gcd(a, m) = gcd( b,m) d d: thc theo modulo m tc l: Mó in gm nhiu h, d: thỡ húa õy Xs c gi l bn rừ, ekei^x) githỡl bn mó.[6] Cho óc tnnguyờn ti bnờn ÊiZ cho ta^núi b l phn tũ im nghch m nu t n 0(/7) 3/ Nu g l phn thu theo mod p, 3= mod p vi mi gcd(i, pgiỏ -1)tra= 1, D th li rng sau mi ln thc hin chu trỡnh gm hai lnh 3.1 v 3.2 cỏc X, y, bng cỏch th kim tra tng khúa: = 1, 2, 3, ,26 Jcựng Tc l phi gii phng trỡnh 3.x = ( mod 7), X s l phn t nghch o ca Bng Cỏc lp thng d vi l z * ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} Khi ú I Z| = 0(/?) = p = = mó húa dch chuyn: (Th 1hin bng giỏ tr) 2H l= phõn tũ i = 1, thy Khúa cú chỡa Nu ój bj(modm), 'Ztja (mom) vi tjl ] ='Ztjb 1.1.3.2 H mó húa thay th (Hoỏn vtớnh ton cc) Mó hoỏ m bo cht thụng Zờu ký hiu ónguyờn nhm n v -cng Khúa lluụn phn mt t nguyờn amón l phn thu tcỏc nghch theo mod o p.r,sau ca bdotheo 0(77tin: ): * b= cỏc l(modO(/7)) rthu c tha 4864 x+ 3458.^= v ca ú kta thỳc vũng lp (ng vi giỏ tr Mt(Bc) phn tca cú phn ttheo nghch gi l(Th phn t kh nghch 1.3 Tỡm phn to nghch o 3tp ongZ bng - Affine: Quan hlýng d modulo mi= trờn z( cỏc s nguyờn) mt quan 1ca 1=1 mó Khúa cú 2c chỡa hin l giỏ tr) h tng nh v hm Euler Cp Nhúm Cyclic: Tớnh mt ( Confidentiality): thụng tin ch c tit c phộp SH nh lý 1: Tp cp khúa ( mt, cụng khai) b = 0), thc hin tip lnh ta c kt qu d = 38, x=32lvcho y=nhng - 45, cp s (32, -45) tha nh lý: ng ( l vỡ cú Nhúm tớnh cht phn x, i xng, bc cu), ú nú to trờn tplýz mt phn 3/ Tớch cc ng d H mó húa thay th: Khúa cú 26 chỡa (Th hin bng 26 giỏ tr) Cho (G, *) l Cyclic vi phn t sinh g v phn t trung lp e Nu n tớch ca hai s nguyờn t p, q thỡ 0(i7) = 0(p).0(q) = (pl)(q) nh t pTớnh ton Bn mó\tbn Etin z 2l6khụng nhúmth (Integrity): thụng b thayNu i beZ m khụng b phỏt hin 26 Nu p=lz(-45) s nguyờn thỡrx Zp* Cyclic n * thỡ b^^lnod n) Nu p-s 4864.32 +=3458 38 "= /=a,b^Z n,a* b = l(modO(/7))| gcd(a, n) = ôphn t a G Z c phn t nghch o n hoc gm cỏc lp tng ng v chch chỳng cựngtũmt snhau: d chia cho (a*b)(modn) = [(a modn) *nh (bmodn)] H mó húa VIGENERE: Khúa cú(modn) mm chỡa (Th hin bng mnhn) giỏncútr) Nu tn ti sch t nhiờn nht nv g = thỡ G(hoc s gm cú phn khỏc e,ỳng g, ?, gh , p l Tp khúa (p(p) l mi hoỏn trờn zbeZp*, 6khi 2e, Ferma Tớnh xỏc thc (Authentication): ngi gi ngi cú th chng minh Vi bn rừ Xe p v bn mó y& c , nh ngha: nguyờn t thỡ = p-1 Do ú vi tc b nguyờn t vi p, thỡ b^^lớmod n) hay b Thut toỏn cho kt qu*: GCD(4864, 3458) = 38 Chng minh: Nu p l s nguyờn t, a l s nguyờn thỡ = a(modp) n n m Tng húa HILL: cú ma chỡa, chỡa 1.1.1.2 d ,H g mó quỏt: Khi ú c gichi l nhúm hu hnngi Nu khụng tn s khụng t nhiờn g b = e,vic Vi khúa =Quan IT h K,ng tcKhúa lCyclic hoỏn vtrn trờn zcp ta(chựm nh ngha: 26 , n Tớnh khụng b (Non-repudiation): gi hoc nhnkhúa) sautiny thn chi l(mod n) Hm mó húa: = e = ] t modn 1 1.1.3.1 H mó khúa dch chuyn k{j?) Neu pnhõn nguyờn t,vpa khụng chia cho a^nht =l(mod p) 1,2, Nu óth =1 (modn)thỡ óng =din 1+kn a óduy -kn = 1Zm-+(a, n)m, = ta c mt ngm-1} - a Mi lp tng ng i biht mt sõthỡ = {0, Cú tng vi d thc theo cựng mt modulo d l thỡóGcú cp oo Khỏi nim gi hoc nhn thụng tin [5] Mó húa: = (x) = Tt(x) inh lý 2: 7 1 7); SNu :- (a,n) Vớ 4+ cú = 4(mod 4()1' cho =1ó1(mod 7)2hiu Hm mó: dlp mod/ mt k= =d: 1, gii tamodulo a.trong óX +kn = 1ký +kn ú a.lp ó1 = 1(modi n).din bi s ó l //^ Nh vy s dtheo chia cỏc s m, thc cựng m, túc lb,a.nguyờn VớCho d: cỏc (Z , s +) nguyờn gm cỏc a,s m (m>0) dng Ta núi nhúmac v Cyclic b ng vi d phn vitũnhau sinh theo g = 1,modul e = 0.Ej-i ú m nu l lrng 1.1.2.2 Phn loi h mó húa 1/ H Gii mó: X (y) = T (y) ú, g l phn t sinh g q S tnh p=c =Euler K = zs26nguyờn Bn móv bngrxE Cho plýl mt t, v e Zpz.26Khi Thut toỏn Euclid m rng tỡm phn tnghch o: 1.1.3 Gii mt sc h mó húa c [õ] [b] óthiu =hn, m =ó m bj Nu =v i=l, tn k, thỡ ta cú =d nbj{mod chia aCyclic b(modm) cho m,b (modm) tavi nhn cựng mt s Nhúm vụ vỡ khụng ti s t in nhiờn gn =nỡ) e (m) ViNu khúa k Em) K, nh gcd(a, thỡ a^ ngha: = l(mod/w) mó húa khúa i=ta xng Input: n,ng a eZnht p)húa ith vi mi c s trt q lp ca p -nờn n /=1 Vỡ(mod vy cú Zphn vi tptrong tng ngiltheo modulo m mó húa i xng m nguyờn H móta i xng c dựng tcỏc sm, cũngi l H c Ký hiu aca = b ó (mod m) Cp (Bc) mt t Nhúm Cyclic: Trng hp m l s nguyờn t, ta cú nh lý Mó húa khúa i xng l H mó húa m bitFerma c khúa lp mó thỡ cú th d tớnh c Output: phn tũH nghch o caxng a thng Vớ - du: ZH =qu {0, 1,\72, ,m-l} c gi l77v cỏc d y s theo modulo m Mi s nguyờn bt k mVớ in gi ngn gn mó húa i c3in) Trong hd mó xng d: =G (lc mod 3)y\ chia c cựng l Nhn xột cỏc Vy (lPhn phn nghch o ca zJ"cho tũtũ aMó E gi l3e 0trong cú cp d l26 s nguyờn dng nhhúai nht chocadin = e, 7d, nu Vớ d m = 10,0 (m)= o (2) (5)=1*4=4 Vớ d: Hm húa: y = (x) = (x +k) mod k khúa gii mó v ngc li c bit2 mt s H mó húa cú khúa lp mó (ke) v khúa gii mó Mụ phng thut toỏn bng ngụn ng lp trỡnh Pascal: Cho p = 19 Khi ú p = 18 = 2.3 Bõy gi gi s ly g = e z *, xột cú phi l phn t +mnh Cú th cng hoc cựngcỏc mt vo hai cadmt thc 19 u cúbn th tỡm c Zt mt s v ng ving mỡnhdtheo modulo m ma=b( bn mó hay rừ ltng dóy kýs Latin el sau õyTOI ltr ng: modm) m\(a-b) ú phn t trung lp ca G *trựng Bn rừ ch: NAY THA V I R U S Ta cú /= 1(mod 10), 9*-1(mod 10), 21 =\( mod 10) nh lý Euler tng quỏt Nu ( a, n) = thỡ õ ^ mod n = H qu : Nu p Hm Gii = d kdch (y) = (y - k) mod (kd), nhmó: H móXhúa chuyn hay26DES Procedure Invert(a,n); thy hay khụng? + nguyờn Cú th chuyn v cỏc s hng ca ngsau: d thc bng cỏch i du cỏc s hng ú 1.1.1.3 S nguyờn t Lp mó: thc hin theo cỏc bc Tn ti s nguyờn cho a = b +mt Chn khúa 1=( ẻT l hoỏn H Vớ l* d: s1.1.2 nguyờn t p) =1chung thỡv:a p l (mod p) mó = húa 1.1.1.5Nhúm Nhng nht v d liuCyclic Ký hiu: Z n 2/Hqu móv húa a, khúa cụng khai Begin Ta cú (p-l)/2 =9 v (p-l)/3 = v thy rng h ng d thc l ỳng: + 1/ CúNhp th Cỏc cng vo mt v ca ng d thc mt bi ca a Rế =sau b CH bn rừ ký t:ca Rế quan CH.h ng d 2/.modulo Chuyn ^ Rế _S tớnh cht Khỏi nim Nu gcd(c, m)=l v a b(mod atkhúa +km b=(modmvi Cúch thcú nhõn v ca *nguyờn Rế_S M_S M_S e mCỏc bos An ton mỏy tớnh =5, {thụng X11, e ztin , lu X17, l tr nguyờn t cựng vigỡn n }.thụng tin c nh) hay m bo An n2,* n13, Vớ d: 3,phn 19, 31, 37 s(gi nguyờn Do ú, 2Gii lzmó: mt tũ nguyờn thy z* ng d thc cựng vi7, mt s: a=b( mod m)sau: ac = 19be.l( mod m) vi t mi G thc hin theo cỏc bc ton thụng tin trờn ng truyn tin (trờn mng mỏy tớnh), ngi ta phi Che giu cỏc thụng z tin ny A B c D E F G H I J K L M N p Q R s T u V w X Y z 3 D F G Y X V S R 1 M N p Q R S T u V X Y Q p N M L J I H G F E D A J 2 I 1 1 2 H L z 19 18 18 20 2123 22 17 24 10 22 14 17 10 22 14 17 3 15 19 10 22 25 15 Gii móBn theomó cụng = d',1.4 (y) (yỡnh - b)mó mod Mụ=taquỏ húa26 ca h mó húa VIGENERE Vớ*d: ch:thc XBng 22 11 22 16 - 6) Y mod * (P- 6)Gmod * BnErừJ PZK ch: cx ISSEAS HELLSB ASHO Y = VSHESEL Z= E ( Q Z26 =C YTHESE D26 F 14 18 24 18 19 12 an ton: an ton m ca H mó húa Affine: Rt1 thp t p = = (Z 6) , ú m = * Gii mó theo cụng thc X d^ (y) = l (y), ta nhn li c bn rừch 14 17 l mt 22 2, 3, 4,145, 6): 17 v10Ibo cam (1, +Chn iu khúa kin gcd(a, 26)hoỏn = a cú phn t nghch o a'1 mod 26, tc l thut toỏn gii an ton : an ton ca mó thay th: Thuc loi cao mó dK luụn thc hin c cú thỏmmó) cú th thc Tp khúa 26! khúa ( > 4.10 1526), nờn18vic phỏ khúa ( + S lng a E z 26 nguyờn t vi 26 l (26) = 12, ú l: hin bng cỏch duyt tun t 26! hoỏn v ca 26 ch cỏi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25 Cỏc s nghch o theo (mod 26) e kim tra tt c 26! khúa, tn rt nhiu thi gian ! tng ng: 1, 9, 21, 15, 3,j_ 19, 7, 23, 11, 5, 17, 25 + S lng b E z 26 l 26 Hin vi h mó ny, ngi ta cú phng phỏp mó khỏc nhanh hn ngc + Hoỏn S cỏcvkhúa (a,lb)Tcúl: th l 12 * 26 = 312 Rt ớt ! 1.1.3.3 H mó húa AFFINE Nh vy vic dũ tỡm khúa mt khỏ d dng S : * Bn mó s: SY = 3 22 11 22 16 25 15 15 18 1.1.3.4 H mó húa VIGENERE t p = = z 26 Bn mó\ bn rx E z 26 * Bn mó ch: DDWJL CWQIB ZPCJB CPSD S :Tp khúa = {(a, b), vi a, b E z 26 , gcd(a,26) = 1} m ụ (Zan ton ca mó VIGENERE: Tng i cao tanp ton: == 6) , m l s nguyờn dng, cỏc phộp toỏn thc hin z26 Vi khúa = (a, b) Em, ta nh ngha: gm t khỏc nhau, mi ký t cú th c ỏnh x vo m kớ t cú Bn móNu Y vkhúa bn rừx ẫ=m(Zký 6) Khúa = (k b k , , k m ), gm m phn t th, úYh mt yny c gi l h thay th a biu Mó húa: = ( xm)=(xj + k b x2 + k2, xm + km) mod 26 , , ) = ek (x b x , Phộp Mó húa: y e (x) = (a X + b) mod 26 k Nh vy s khúa ( di m) cú th cú mt Vigenere Phộp 26 m Gii mó: X dk () = Gii mó: X = (x b x2, xm) = dk (yb y2, ym)= (yi - k b y2 - k2> ym - km) mod 26 ( - b)phỏp modtn 26 cụng vột cn, mó phi kim tra 26 m khúa Nu dựng phng Vớ d: Vớ du:Hin vi h mó ny, ngi ta cú phng phỏp mó khỏc nhanh hn H mó húa hoỏn v cc b *1.1.3.5 Bn rừ ch: THISISACRYPTOSYSTEM * Bn rừ ch: CHIEUNAYOVUONHOA S : * Chn khúa = KWORD = {10, 22, 14, 17, 3} vi di m = * Chn khúam = (a, b) = (3, 6) m t*p =Bn = rừ (Zs: , m =l19 s7nguyờn Bn mó t (Z18 6) SX 6) 18 dng 1724 15 Yva 19 bnrừx 14 18 24 19 12 * Bn rừ s: X = Tp khúa l tt c cỏc hoỏn v ca {1,2, m} * Mó húa: 278 20 13 24 14 21 20 14 13 14 Vi mi khúa = I , = (kb k2, , k m), gm m phn t, ta nh ngha: Chia bn rừ SX thnh cỏc on, mi on gm m = s Mó theo cụng thc: = ( xX2, +xtamb) 26 x=k(bn + 6)xs mod 26 húa: = ( cụng y2 , ymethc )k =(x)emó )nhn =mod (xk(c i), 2(3x ), , Vi*húa miMó on, ỏpY dng mó k (x bhúa, k(m)) * Bn mó s:y = 12 18 14 19 * 22 * Bn mó ch: MBESOTGAWROWTBWG Gii mó: X = (x b x2, xm) = d k (yb y2, y m) = ((1)'\ 2) , * Trong Mó húaútheo =v ngc (x) = IT k" cụng = T 1thc: l hoỏn ca(): 6 2 6 17 14 , ()' ) 22 19 22 Tớnh Tớnh c = y 61 h62 modp Gi c ^ G Tớnh a'1 mod q Tớnh d = c - modp 44 40 38 42 43 41 39 28 27 26 29 30 25 24 32 31 4663 72 71 57 62 48 47 56 52 49 51 50 54 55 59 60 53 61 58 68 70 45 67 69 64 65 66 37 35 34 36 33 511+64t 1.2.4 i din ti liu v bm 3/ Gi mo ch ký cựng vi c :512+64t Cú mt kh nng gi mo khỏc lHin gi mo Ch ký s lnguyờn mụ hỡnh bo ton liu truyn trờn mng v s dng v 2.ký mt Hai gúi tớnh thu cht in quan t trng rihm gi nh cho caan chớnh hm ph bm Viờn chc mt i chiu vchớnh Tớnh ph duyc s nht xỏc minh nay, li Kt luõn Chn mt s t pm cho 2bn 3 (vi a + a ^ ) fl f Vn 2: Vi mt s ký an ton, thỡ tc ký li chm vỡ chỳng dựng nhiu phộptớnh 2 l Khi tham gia thng mi in tũ, ngi s dng thu c rt nhiu li ớch nh: Digital Certificate mó húa d liu v gi cho A nghip c phộp tham gia d thu cựng mt th thụng minh PKI ti h s d thu t website Bc 3: G tớnh mó xỏc thc D = mod p rụi gi li cho N hin Thut giao toỏn kim thc th chi ch b k: ú , l cỏc s nguyờn cho 0< i, j< p-2, gcd(/ /7-1) = 1, v j~ c tớnh theo tớn in tú, cỏc thit b truyn ti in t, trao i d liu in tú, phõn phi phn mm, lu tr v theo Ly giao li thc thụng kim ip th, m N t chp m = nhn y l ch ký ca G trờn X , vic chp nhn ú l ỳng RSA c phỏt minh bi nh nghiờn cu Rivest, Shamir v Adleman, õy l s cú ng e b li c thụng ip, ó c ký bi ch ký ny Ch ký s l xõu bit c dựng xỏc thc mt ti liu s, m bo ngi gi khụng th chi b + Ban th ký xúa mự bng cỏch tớnh s= asmodq vi s = s + + s mod Tớnh cỏc khúa hby ,^mod -1}, 2,pca kv t khúa gcw K.=trc Anterpen nh s ch ký, chng minh tớnh hp thc ca cỏc giao thc s ch ký v D c) X gmt (mod p) l(mod t ký Vớ d ny c trỡnh vi mc ớch minh ho, nờn s dng cỏc s nguyờn 16 cú mt bn mó y + Chnbớmt bt v {1, 2, , eli v tớnh (:nht alc f ch )lKhi n) Thut toỏn sinh ch ký: xỏc úsut ni 1/q ca lý thụng c ip chng cn minh c ký che i nú c Ch kýTc thu c cú afny nb 3chun 2) Nh N tớnh nhiu = ýt gi cho G giao thc kim th: Khúa anh l phn nghch o bz? theo mod (): a*b =khụng 1(Spending) (mod ()) 48 213 mt ln Neu bi y so ban sỏnh tiờu hai giỏ tr quc bm gia M, trựng ln gn thỡ õy quỏ trỡnh 2004 xỏc thc thnh cụng, bn tin ó vy tin in c khụng lu li du vt ca nhng ó tiờu (Spending) Nh +dung Vi Bob vy k tin kim thut in tra ny, tũ cxỏc cuc khụng thc b lu phiu ch ký bo du nhúm m vt ca c ca nhng Liờn quyn ngõn ó b hng tiờu phiu trờn v T mt l : Ch chn nhúm mỡnh s Hn c th, s s dng lng thnh tit viờn kim nhúm thi cú gian th v rt sc ln, khụng ph ú thuc vo th quờn khoỏ cụng cụng ngh khai m (mod n) = (mod 15) Rừ rng 235= 229 * (mod 467) (), b nguyờn t cựng vi () an ton 3.2 Chc nng chớnh ca chng trỡnh v thut toỏn s dng fl ngõn fx 20 - 1411 n nh f! fp = mihc xe p, e A.thp +s Phn t v ytrong GF(Ihin ?) im (xlut trờn s phc Bn rừ nh sng mXp s: modulo 19 3xỏc gp p, p)giao Stin -*an Thu c nhiu thụng Ch ký cú dng hng (iu iu 16 chng núi trờn cỏc mod(/7-l) Quỏ trỡnh thc hin chc nng thc giao thc kim th c mụ t bng s3thi, ver (x,(,)) ỳng ò(mod = akhụi (mod/>) d trao i qua mng v dng khỏc yờu cu s chng thc gc v ton d liu ton ca s ký s RSA: -02ng flphc -2 vi 61 Kliu, dng thc t= rng rói nht da trờn cụng ngh s dng khoỏ chung phng phỏp tn cụng b)s Bõy gi gi yz Êv -X p) Trc ht ta chỳ ýto rng mi li mi hi tng ng Bc 4: N so sỏnh D vi X g mod p Nờu D = Xmo g mod p, N xỏc nhn ch ký Vớ d: Ch ký RSA ch ký thụng ip ws wl rng mỡnh ó gi bn tin ngi nhn khụng th gi bn tin hoc ch ký ng ngi d) Quy trỡnh gii mó DES mt vớ d minh lm rừ thờm v phng thc ch ký sCỏc theo s Chaum -x Van t p, q cho d tớnh ó' mod qch 'ip b, 2) H mt RSA an ton, gi c mt khúa gii mó a, p, q, (n) ỡ g n u y = S i g j / x ) th c xỏc thc nh l i vi ch ký s thụng thng Ch mự thng c dựng Khi cn sinh ch ký cho mt thụng X thc th phi lm nhng vic nh sau: Ta chỳ ý rng giao thc chi cp (e e ) c s dng to x vi ^ + Tớnh g = g , = z b c Quy trỡnh ký bng mó húa khúa theo mt DES tng ng vi khúa cụng khai xỏc thc, ng thi bn tin cng Chn nú p = 467, q =233 (p = 2q +1), g = l phn tũ sinh ca mt nhúm p cp 233 ca Z 467 nú Vic ngi ny cú quyn cú th bu thc c hin mi d c dng b nh phiu kho (Vỡ ỏ cụng lỏ phiu khai ó ca cú nhúm ch ký ca Ban KP) ECC nhúm S ch ký khụng ph nh c gm phn [3]: Ta ó t mc ớch ! Tp cp khúa (bớ mt, = cụng khai) = {(a, b)/ a, b E z , a*b = (mod ())} n sau: N chp nhn 3thit ằcú =9 ỳng l ký ca GN trờn Xn =229 v giao +trong Chn khoỏ cụng khai) a: Chn atc = 1) Gim H mó húa Elgamal khụng tt nh, l vi mt bn rừhng X v v mt khúa mt Cp (r, s) l ch tht trờn i din thụng ip m.s 3) G tớnh dth =thỏm ck mod poch v gi cho 3.2.1 Chc nng trờn n hng v gi hng kốm ch ký Vn 3:a Thc t xy trng hp: vi nhiu bn tin u vo khỏc nhau, s dng hmó E(GF( P)) Gi pký & (l im trung hũa) v Pcú bc -1.2.3.3 chi phớ bỏn hng v tip th v giao dch dch in t hot ng ti chớnh), quỏ trỡnh giao dch gia ngõn th ca khỏch Xj xký I(khoỏ Xjl xch Trong nhng h thng phỏp lý, chỳng ta thy c cn thit phi úng du ngy thỏng Nu bit c pra v q, thỡ mó d dng tớnh c () = (q-l)*(p-l) 2Xỏc ca Gú, v thụng bỏo nhn ký Giao dch an ton!, ngc li N chuyn sang bc Ch ký s cú vai trũ rt ln giao dch in tũ hot ng ti chớnh nh hot D thy rng s ch ký c nh ngha nh trờn l hp thc Tht vy, nu sig an ton ca ch ký s RSA ph thuc vo bi toỏn tỏch nq.ca thnh hai s nguyờn t pph v RSA u tiờn (multicative property) v cỏc khỏc liờn quan ti ch ký RSA, Davia, S chkýDSA Gii 2.1.2.2 ng dng ch ký mự nhúm 2.1.1.3 Lu thut toỏn ch ký mự RSA Ch ký i kốm thụng ip: L loi ch ký, ú ngi gi ch cn gi ch ỳng q cp (e e ), vỡ v h l cỏc phn t ca nhúm nhõn G cp q Khi G nhn c cõu nhn cú th chng minh vi ngi khỏc ni dung bn tin l chớnh xỏc ngi gi ban u gi Khi ụng d thc (d*g ) = (D*g ) (mod p) ỳng vi xỏc suõt 1/q , tc nờu y ỳng l ch ký ca GK Qui trỡnh gii mó ca DES tng t nh qui trỡnh lp mó, nhng theo dựng cỏc khúa th b Anterpen Ngoi ra, chng cng trỡnh by mt s ng dng ch ký s khụng th Trong thc t ng dng, bo m tớnh an ton, ta phi dựng cỏc s p, q rt ln, cỏc ũi hi s nc danh nh cỏc ng dng tin in t, b phiu in t, y(mod p); cũn cp (f f ) c dựng kim th xem cú l ch ký ca G trờn x hay khụng Chn mt s mt t )mod q S a n u y S i g f / x ) 2.1.1.1 S ch ký RSA 1/ Nu so sỏnh hai giỏ tr bm ny khụng Chia thnh trựng thỡ quỏ trỡnh xỏc thc tht bi, cú hai 2.2.3 d v cỏc giao thc kim th v chi b nVớ -1 nl chung ca Thc Gi nhiu s hin Alice ngõn cỏc hng mun bc Vỡ sau: mua vy quyn nú phi sỏch mang Q giỏ du 50.000 n ca VN cỏc t ngõn Bob hng Gi s liờn ngi quan Trong cựng s 2toỏn giao liờn thc ngõn kim hng th, giỳp h thng trao i thụng tin c ton hn ng dng ong b phiu a To ch G ký cú trờn cp z, khoỏ (hay ch =(k, ký k") mự vi trờn k= m) =101, y-mu v = k" = (467, 4, 449) Gi s G ký trờn bn 510 b p,y Ch ký s mự nhúm (Blind Group Signature) kt hp thuc tớnh ca ch ký nhúm v ngu nhiờn r Gi s G gi ti liu JC =226vi ch ký = 183 Giao thc chi b thc hin: 1/ N + Thc hin cỏc bc ca giao thc SKLOGLOG mự vi cỏc giỏ tr Tớnh SjP( + ) Q = (x ) Ch ký trờn m e l = Sig (m) = m mod n =2 mod 15 = 3/ Kim a 1/q < 2" , mt xỏc sut rt bộ, cú th b qua; v vỡ vy, cỏc yờu cu i vi cỏc giao Ê ekinh mt), nh hỡnh di iu ny dn phc cho vic thc thụng * -phi Hm Mó húa sau: = e ktớch =ca x+2s mod r khú SXi 7hng sxỏc To iu kin sm tip cn t tri Nhng phõn tớch nnhn v qnn toỏn Thỡ mt mt quóng ng t mỏy rỳt n ngõn Trờn ng iH s c chng c úng du lờn mu in t v sau ú c s ỏnh du Vic s dng ch ký snp yi =thnh 11 *(x) Xi 3p *thỡ x 2(Dg , l y2G =tớnh 8thc *òch + kt 7(khai *tin x 2xy hin cỏc bc nh 1tin 2-ký 2a 2bi thỡ chp ch ký ỳng -Y c? cF mop a mop, c(x) = ^ c j e z , X = e F ( j f ) , < C < p , l c s ca c s (Ngh nh 27/2007/N-CP/ ngy 25/02/2007) Hnh chớnh cụng khai sinh, khai t, ()), vi e l khúa cụng khai ó bit cú th c khúa mt d k Thut toỏn sinh khoỏ: Bc 5: N so sỏnh (dg ) vi ) Nu (dg )= (Dg ) mod p, N lun c ch ký ca nhn sXut khụng cú c thụng gc Ch ký mự nhúm c Ban ng kýqu dng qua cp quyn bdng phiu cholthc cmtch phỏt (u vo) t ip bn mó y,thut kt (u ra) l bn rừqX 7da b phiu in t, ng dng cỏc giao dch t hng mng, dch v ch chng ký s, a s S ch ký trờn gii in t DSA Ch ký DSS dng ch 1/q a qGiai cp cú th ú Ta chng minh rng, yxem ớc xký (mod nờn cp ú cú ỳng mt cp 2.2..1 Vớ d ch 3.3Tớnh kmt -1 mod qDSS trng on hp 2: Bn an Rừ ton s ó xy ra: ===== ^p), Cỏc 64 bit Rừ s trng dng hp + Neu ny v ca T cỏc chc mt bc ngõn liờn trờn ngõn hng hon hng Giao thnh, s thc thng Bob giao gi nht dch tin mt T gm cho a 3on Ngõn ch giai ký on hng m' nh B ký Ngõn sau lờn :ng hng tin B nhn, c vỡ in t thc chi b Sig(z) X =119 =dch zgiao vi (mod ch ký: n) 7-0 ớ=0 Sinh khúa ch ký mự S ký s mự nhúm Lysyanskaya v Ramzam a nm 1998 thc kim th v giao thc chi b cú th l c tho + Kim tra Tj = c(x ){moỏq ), V i = l , , t Nu ỳng thỡ (r, s) l ch ký hp 2) an ton ca H mt Elgamal da vo kh nng gii bi toỏn logarit ri chn ngu nhiờn ej =47, e e = 137 e z * ,hn SKLOGLOG _ , _, , , fSKLOGLOG l ỡ , a q ch ký e gii quyt trờn, ngi ta thng dựng hm bm to i din cho ti liu sau Tuy nhiờn, bờn cnh nhng li ớch trờn, thng mi in t cũn tn ti nhng an ton ca H mt RSA vo kh nng gii bi toỏn phõn tớch s Vy nguyờn dng nrc mt rt mng, thỡ fda rỳt tin, tin khỏch hng ó c tr nhng sngõn bo v ti liu v tớnh ton ca d liu ca thi nú úng du lờn ch ký cũn *nh Bc Bn mó 1in, :Ch G s: la 9ký 6= chn Ikthc cỏc thụng 18 s ban u nh p,ca ggian minh: *kụ+a= Hm Gii mó X dra (y) =23 yký mod Vớ 1.2.1.1 Quỏ trỡnh to ch s vỡ xmo(j}-\) Do ú, ver ,{x, (,)) = ỳng 150 thu, cỏc loi t chng ch, s dng Nht Bn), / 4d mua bỏn u thu qua ô K Thc 5) th Chng to N khoỏ chn cụng khai nhiờn RSA jmỏy ,l v ẻgi 2n ec khoỏ Z qv th riờng tng ng theo phng thc sau : cú 1mó 2ngu Nu s ký s hin n gin thỡ ti phm d dng la Vớ nh hvic Vớ d: Elgamal l ch ký i kốm thụng ip tri G ó bcp gi mo v a thụng bỏo "Cnh bỏo! Ch kýnhiu n hng l ch ký gi moth ! "chn an ton ca H húa DES +NA Chn p, qgiy l s nguyờn t ln ( > 10 ) ng dng ký v mó húa s dng chng s E-Office, ng dng thu thu ký kốm thụng ip, iu ú cú ngha ch ký phi c gi kốm vi thụng ip m bn thõn ch 2/ tớnh = h modp = 306, v cho G r j k eb 2gi vT giao thc kim th: Giai on Khúa 3: 64 bớch mt bit Rừ ca s ngi khụng c ===== s dng ^cú bit Mó ch s ký Chn cỏc khúa: {1/ lm hp lớbt, cỏc kờt qu {64 tny }to bng cỏch thờm 1} 2q l Rỳt tin tin chung (Withdrawal) Liờn :s ngõn hng Theo phng thc b phiu in mi lỏ phiu phi cú Thụng tin nh danh Nú cú th l = (mod y = 119101 15) mod 467 =129 Tớnh = k-l(Ji(x) + a )ro 2.1.4 Ch ký khụng th ph nhn tho ng d thc d X 'g (mod p) Thc vy, ta th t: = g * , d = g , X = g , = g 2.2 Stf Cỏc th tc ký khụng th ch ph ký nhn mự nhúm: 6) N tớnh = y h m o d p N gi cho G Zp Theo gi thit s , thỡ bi toỏn phi l khú gii: a = Quỏ trỡnh a(m, thc hin chc nng hin giao thc chi c mụ ttỏc? bng s ú mi ký s i ny Ver y)din = ỳng m =q.thc vthụng (mod n) l 2.2.4 Cỏc ng dng ch ký s khụng th ph nhn i sng t -xó hibớliu -*an Lm xỏc nhn c nhng tin giao dch ỳng l ca i thnh tớch ca 2lờn s nguyờn thng ln pcn v hng thỡ cha vy ngi ta phi ng b d liu Ngha l b ngõn hng phi gi d gc cú giỏ tr nh du (iu 24 Lut giao dch in t) Bc 2: G nhp n ký khúa mt ton ca s ch k s Elgamal: u vo ca quỏ trỡnh ny chớnh l bn tin cn ký, bng cỏch s dng khúa mt ca a) Gi th yớ xbi mod p, v cựng thc hin giao thc chi b Do ykinh khụng l ch ký ca G Bn mó ch: Tỏch bn rừ tng nhúm 6N kớ t: mng, ynhõn t, giỏo dc d: -cỏnhiờn Sinh hai s nguyờn t ln ngu nhiờn pThng v qn cựng kớch thc bit; Phõn loi ch ký theo mc an ton loi ch ký ny, ch cn mt thnh viờn ca Ban ng ký ký vo lỏ tr phiu lbng i Tớnh nthnh =doanh p*q =G, 1) Vi an ton ca H mó húa DES cú liờn quan cỏc bng Sji Ngoi cỏc s, mi ca v nghip ngu e z^v tớnh toỏn ln: m= }f(morỡ) Rừ rng quỏ trỡnh thm tra (m,y) hon ton 44>(n) ký khụng cha, hoc khụng sinh thụng ip thỡ cỏc ch ký dng ny u ũi hi cú 3/ G tớnh d = mod p = 283 , v gi cho N Ký trờn X = 229 1/ Chun b cỏc tham s' -con Bn ó b thay i quỏ trỡnh Kt truyn i + ngu nhiờn khúa mt dni eỳng [2, Khúa cụng dp, ú lnh mt im mod qin +s Ngõn Alice hng to tin B xỏc thc tũ cxỏc ch (Vi ký thụng trờn T tin cn : khoỏ sq-1] nh seri, rng B tr khụng ca c, cn vớQ d bit 50.000 A lkhoỏ thc mt Xtin no ú, v phi khỏc Trờn mi lỏ phiu phi cú ch ký trờn S danh X, thỡ N cú th dựng giao =Chn 2thc kim th bit y cú l ch ca Gkhai trờn X= hay khụng nh sau: N + Thc hin cỏc bc ca giao thc SKROOTLOG mự vi cỏc giỏ tr 3th r bm Ch ký khụng th ph nhn [6], [11], [14] c 2giỏ tỏc gi l David Chaum van 5.sau: 2.2.1 Ch Setup: ký ca Dựng thc S ch cho Xký l toỏn cp khụng (S,) sut th ph sinh nhn Chaum cụng -ký Van khai Antverpen yl nhúm v qun lý Ch ký s núi chung v ch ký s khụng th ph nhn núi riờng ó v ang c ng 2.1.3.2 ng dng ch ký mự bi Hm bm l thut khụng dựng khúa húa ( õy dựng thut ng thay -i,X Lm Vỡ 2= xỏc (mod nhn 15), c ú thụng ch tin ký giao y=8 l dch ỳng khụng phi bn chộp? b) H mó húa C th nh sau: Theo cụng thc lp mó: yton, = ethi, (x, r) = (y ych ),ca ú yi = gv mod pVỡ v y=2 ngõn hng S ti ch ký rỳt ElGamal tin, khụi c phc xem li l ti an khon nu cho vic khỏch ký Ti mt khon bn bao l gm: khụng s th ti Ch s cng rt hu ớch vic phõn phi phn mm Mt ch ký s ho ỏHans c ng vi j, , 1Ban es Z Bc 3ký :mỏy Thc hin ký trờn n hng v gi n kmó hng kốm b hng 2trờn ký cho N Quỏ q8Elgamal ngi SHESEL gi, I ta ISSEAS cú th to I HELLSB ch ký I YTHESE cho bn tin I ASHO hin Vi mi bn nhúm tin gi i kớ bao t, sp gm xp bn li tin thnh ban cỏc u 7) G tớnh D = mod p v gi cho N trờn nờn N kim th ỳng cỏc bt ng d thc cỏc bc v ca giao thc h Ch ký s c s dng lnh vc th tớn in t, sau mt phớa i tỏc A to mt JGXS an Ch ký 'khụng th ph nhn: Nhm trỏnh vic nhõn bn ch ký s dng nhiu ln, tt din cho c ng ký ng dng ch ký mự nhúm cho ng tin in t * Bn rừ ch: R E N A I S S A N C E hm Tớnh nratrờn =do p.q vDES cp(n)= (p-l).(q-l); tớnh toỏn u tuyn tớnh, tcv Hm vic tớnh (p-l)*(q-l) mt thụng (do ni dung thụng ip cú di khụng xỏc nh) bmphiu ny ỳng Ngoi tớnh cht hm RSA, lnhúm nu cúS hai bc in nij mlkin: ng tng 2.1.1.2 Ch mự s chkýRSA Chn s nguyờn tgiỏ pch = 467=2 qtheo +1, qca =233 cng l stc nguyờn t Giai on 4: Cỏc on 64 bit Mó s ===== Bn Mó s (Dng nhiu phõn) 4/ Nbm th iu kin d2ip zs * nhõn xdng g2v mod p.xó hin trờn VN) E vic ny, m cn khoỏ khai ca lỏ phiu cú tr bu c Nu c CT nh Xth cho ban kim rySKROOTLOG j-SKROOTLOG chn ngu 3/ Ngi nhiờn nhn e!=38, ch eký =397, k\ tớnh cụng =tri 13; Gchuyn s tr li li bng dkt =danh Nth r mi Antwerpen xut vo nm 1989 S ch ký ny cú c im chớnh: dng rng rói i sng kinh t hi Mt s ng dng ph bin cú c k nh: mt ầ cho Trng nhúm cho mó húa, nú cú nhim lc (bm) ti liu (bn tin) v cho qu l mt giỏ tr bm cú gi mo c, núi cỏch khỏc, khụng th cú mt ngi no ngoi ch th hp phỏp cú th gi Thut toỏn kim th ch k: 1/ Chun b cỏc tham s: Lm trỏnh c cỏc nguy c ỏnh cp, thay th sa sai hoc c tớnh phỏ hng 2 S (Elgamal xut nm 1985) = X * h t mod p p, = A= r = Zn log yl khon, s d ti khon v nhng thụng tin ny phi c mó húa {c ) } lm hp lớ cỏc kờt qu { t } bng cỏch nhõn thờm (a ớ) dng cho phn mm, nú cú hiu lc v phờ chun cho vic phõn phi Trc ci t mt trỡnh thc hin ký ng c thc hin theo s gi Cỏc h mt trờn cong Elliptic (ECC) cú th c s dng quB.trong cỏc ký bng ch ký va ch theo hoỏn v JT, ta nhn c: EESLSH SALSES LSHBLE Ihiu HSYEET I HRAE vỡ bn l phn cú th t sinh s dng ca khoỏ Gto ,ca v riờng hai ng ký d tờn thc v Isau: = cho y hoc h bờn v dIB = X Sau g1< (mod xỏc ptp(n) )tng minh ng li thụng vi bỏo hai ga g(mod p), nờn ta cú: nht l ngi gi tham gia trc tip vo vic kim th ch ký iu ú c thc hin bng mt Alice l khỏch hng Ngõn hng A, Bob l khỏch hng ca Ngõn hng 8) ton: N th iu kin D ^ mXthit g phộp hoc loi tr ca hai u cng ging nh phộp loi trca hai u vo, Chn mt s t nhiờn ngu nhiờn e tho iu kin sau: e < v gcd(e,