Ebook cơ học cơ sở (tập 2 động học và động lực học) phần 2

Chng V N(rUYấN Lí DI CHUYN KH D Trong phn tnh hc ta ó tỡm c iu kin cõn bng ca c h, bao gm cỏc vt thờ liờn kt vi nhau, biig cỏch xột cn bng tng vt th, thay th cỏc liờn kt bng cỏc phn lc liờn kt tng ng Tuy nhiờn, nu c h cú nhiu vt th, s lng cỏc phn lc liờn kờỡ cha bit tng lờn, ta phi gii mt s ln cỏc phng trỡnh cõn bang Nguyờn lý di cluiyn khỏ d c trỡnh by di õy khc phc c khú khn nờu trờn, cho ta cỏc iu kin cõn bang lng quỏt cỳa mt c h khụng t bt k 5.1 CC KHI NIM V C H KHễNG T DO Liộn kt a) nh ngha: Liờn kt l cỏc iu kin rng buc chuyn ng ca c h, khụng pli thuc vo lc lỏc dng v cỏc iu kin ban u ca chuyn ng Cỏc iu kin ny c ciin t di dng cỏc h thc gia cỏc yu t xỏc nh v trớ, tc ca cht dini ca li v tlii gian Ngi ta gi cỏc h thc y l cỏc phng trỡnh liờn kt Vớ d: i vi c cu tay quay truyn ta cú cỏc phng trỡnh liờn kt sau (hỡnh 5.1) = r" (X| A chuyn ng trũn quanh o =/ AB = / B chiiycn ng theo trc X Y = Bỏnh xe trũn bỏn kớnh R tm o chuyn ng lón khũng trt trờn ng Ihỏng Ox l c h chu cỏc liờn kt sau (hỡnh 5.2): = 0; >'( ^ R ; Vp = Hỡnh 5.1 08 Hỡnh 5.2 b) Phỏn loi liờn kột Cn c vo cỏc phcớng trỡnh liờn kt cú th phõn loi liờn kt nh sau: - Liờn kt ớỡiỡg: Nu phcmg trỡnh liờn kt khụng cha rừ i s thi gian t thỡ liờn kt c gi l liờn kt dng Ngc li l liờn kt khụng dng Vớ d: Viờn bi c buc vo u dõy khụng gión di /, treo vo mt im c nh chu liờn kt dng vi phng trỡnh liờn kt: + Z" = / Hũn bi chuyn ng trờn mt cu cú bỏn kớnh thay i theo lut r = r(t) chu liờn kt khụng dớmg vi phiig trỡnh liờn kt; X + y + z - r (t) = - Liờn kt hỡnh hc: l liờn kt ch rng buc v v trớ khụng rng buc v tc Phng trỡnh liờn kt ca liờn kt hỡnh hc ch cha cỏc yu t xỏc nh v trớ m khụng cha cỏc yu t xỏc nh tc, hoc nu cha cỏc yu t tc thỡ cú th tớch phõn trc tip cú phng trỡnh liờn kt tiig ofng khụng cha yu t tc na Vớ d: Viờn bi c buc vo dõy treo vo mt im c nh (hỡnh 5.3) - Liờn kt cớỡỡi hc l liờn kt rng huc cỏc yu t tc Trong phng trỡnh liờn kt cú cha cỏc yu t tc o ////// - Liờn kt iè: Nu liờn kt c niũ t ch bi nhng ng thc thỡ nú c gi l liờn kt gi Ngc li l liờn kt khụng gi Trong chcfng ny ta ch xột cỏc liờn kt dng, gi v hỡnh hc Phng trỡnh liờn kt ny cú dng; fj (X |,y|,Z |, ,x,j,y,^ ,Z |,) = M (x,y,z) (j = l , , ,s ) H ỡ n h 5.3 c) P hõn loi c h Ta phõn cỏc c h thnh hai loi c h t v c h khụng t C h khụng t l c h chu rng buc bi cỏc liờn kt C h ny li c phõn thnh loi; c h Hụlụnụm v c h khụng Hụlụnụm Nu mi liờn kt ca c h u l liờn kt hỡnh hc thỡ c h c gi l Hụlụnụm Nu c h cú ớt nht mt liờn kt ng hc thỡ nú cú c gi l khụng Hụlnúm C h khụng chu rng buc bi bt k liờn kờỡ no c gi l c h t T a suy rng ca c h Trc õy xỏc nh v trớ ca cht im hay c h ta ó dựng cỏc vộct bỏn kớnh nh v, cỏc ta Cỏc, ta t nhiờn ca cỏc cht im Nhng nu chỳ ý n kt cu ca h thỡ vic xỏc nh v ti ca h cũn n gin hn nhiu nh cỏch chn mt s thũng sụ' nh v thớch hp cho c h y 109 V d: V trớ ca vt rn chuyn ng quay quanh mt trc c nh c hon ton xỏc nh bit gúc nh v (p ca nú C cu tay quay truyn cú thụng sụ' nh v l gúc (p gia tay quay v trc nm ngang (hỡnh 5.4) nh ngỡa: Cỏc thụng s nh v ca c h mt h quy chiu no ú c gi l nhng ta suy rng ca c h y Ta thng ký hiu ta suy rng ca c h l q,, q 2,- -qr Nu cỏc thụng sụ' qj(j = 1, , , r) c lp vi v va xỏc nh v trớ ca h ta gi chỳng l cỏc ta ca c h Nu cỏc ta suy rng ph thuc cỏc phng trỡnh liờn kt ta gi chỳng l cỏc ta d i vi c h bt k ta cú th dựng ta hay ta d xỏc nh v trớ ca nú Chng hn i vi c cu tay quay truyn (hỡnh 5.4), ta cú th chn mt ta l q = hoc ta d: q, = (p, q, = Vi phng trỡnh liờn kt: rsincp - /sin V|/ = Hoc chn ta d l: q = Xa; q = Ya; q3 = ớp Vi phng trỡnh liờn kt: H ỡnh 5.4 ^+y -rcos Chỳ ý l cỏc ta suy rng cú bn cht vt lý bt k: di, gúc, in lng Di chuyn kh dỡ v sụ bc t cua c h a) D i chuyn kh d ca c h nh ngha: Di clỡitỡi kh d ca c h l di chuyn vụ ci)iỡớ hộ t v trớ ang xột sang v trớ lõn cn ni c h thc hin c phự hp vúi liờn kt v trớ õang xột ú Gi ^ l vộc t bỏn kớnh nh v ca cht im Mj thi im kho sỏt, |^ l vộc t bỏn kớnh nh v ca cht im ny v trớ M'| lõn cn ca M|, Vộc t: S7^ = k ~ k chuyn kh d ca cht im M|, Vớ d: Xột cht im chuyn ng trờn mt ũfng cong Di chuyn kh d ca cliõỡ im M c biu din bng vộc t vụ cựng ụr tip tuyn vi ng cong ti M Xột chuyn ng ca cht im M trờn mt mt cong, ú di chuyn kh d ca cht im c biu din bng vộc t vụ cựng ụr tip tuyn vi mt cong ti M (hỡnh 5.5) 10 rrrrrT ^m ^ b) S bc t ca c h nh ngha: Sụ hc t iia c h l sụ tụi a cỏc di clỡiiyii kh (l c lp tuyn tinlỡ ca l h y Vớ d: Xột cht im chuyn ng trốn ng cong, gi Q l vộct vụ cựng no ú tip tuyn vi ng cong ti M Mi di chuyn kh ca cht im u c biu din qua vộct ny: r = Q Trong ú l mt s thc no ú Nh vy s di chuyn kha d c lp ti a ca cht im l inụt, ú nú cú mt bc t Xột chuyờn ng ca cht im M Irờii mt cong Gi ụ|,o l hai di chuyn kh d khụng cựng phng no ú ca M, dú mi di chuyn kh d ca M u c biu din di dng: ụ r = ,|ụ| +tễ Trono ciú l cỏc sụ thc no ú Nh vy cht im cú bc t do, vỡ nú cú hai di chuyn kh d c lp ti a c) Quy tc thc hnh tim s bc t ca c h Cho c h vi r ta suy rng C||, q, , C|, v s phng trỡnh liờn kt hỡnh hc dng; a ( q p q = (a- - Biu din di chuyn klỡc d dớu h qua cỏc Xột hai v trớ lõn cn ca c h xỏc nh bi tõp hp giỏ tr ca cỏc ta suy rng v Theo nh ngha di chuyn kh d, cỏcqjV q' v i j = 1, , r phi tho cỏc phng trỡnh liờn kt ( q i , q , ,q j = ,) = Ký hiu; q, = q'| - q |, , q , = q; - q , gi l cỏc bin phõn ca ta suy rng Nh vy cỏc bin phõn q j phỏi tho h thc: -()gj = ( a = 1,2, ,s) Vy; Mt di chuyn kh d bt k ca c h c biu din bng mt hp nhng bin phõn ca cỏc ta suy riig: ễq|,q , ,ụq, vi iu kin; 11 ễa = < > a - < a = ( a = l,2 ,s) - Quy tỏc: Tim s bc t ca c h Xột h Hụlụnụm vi n ta suy rng q |, q-,, q Khi ú cỏc bin phõn ụ q p q , , ụq c lp vúi v ú cỏc di chuyn kh d sau õy ca c h l c lp vi j(ụq, = , q = , ,ụqj = ) (j = l, , ,n) Ngoi cú th biu din mi di chuyn kh d ca h qua n di chuyờn kh d c lp ny: ( q ,, q , , ễ q J - X Ơ j j=i Nh vy n di chuyn kh d ụj trờn l c lp v ti a Vy, i vi c h chu liờn kt hỡnh hc s bc t m ca c h ỳng bng s ta su y rng ca c h y; m = n Tng quỏt hn nu cỏc ta (j = 1, 2, r) ó chn l cỏc ta d vi s phng trỡnh liờn kt hỡnh hc ti a v c lp vi thỡ s bc t ca h l m=r- s Liờn kt lý tng, lc suy rng a) Cụng ca lc di chuyn kh d Cho lc F tỏc dng lờn cht im M Gi ụr l mt di chuyn kh d bt k ca cht im y ta cú nh ngha: Cụng ca lc F di chuyn kh d ụr ca cht im l lng i s: ễA = F.ụ Cú th biu din cụng ca lc di cỏc dng khỏc sau: ễA = Xụx + Yụy + Zụz ễA = P s.c o sa ú; X, Y, z l hỡnh chiu ca F lờn trc ca h ta Cỏc vuụng gúc, a l gúc lp gia F v tc V ca cht im b) Liờn kt lý tng Hỡnh 5.6 n h ngha: Nu tng cụng nguyờn t ca cỏc phn lc liờn kt mi di chuyn kh ca c h u trit tiờu thỡ ta núi rng c h ú chu liờn kt lý tng 112 Xột c h cú n cht im Gi N|, l phỏn lc liờn kờỡ tỏc dng lờn cht im M|,,ụr|j l vộct di chuyn kh d bt kỡ ca nú, theo nh ngha trộn ta cú (5.2) N i r> = k=l V d: Cht im M chuyn ụng trờn mt cong hon ton trn cú di chuyn kh l vộc t ụr tip tuyn vi mt cong, cũn phỏn lc liờn kt N hng theo phng phỏp tuyn vuụng gúc vi r nờn N.ụr = vỡ vy liờn kt ny l liờn kt lớ tcmg Trong thc t nu b qua c ma sỏt v tớnh n hi ca vt th to thnh c h thỡ a s c h thng gp tho nh ngha liờn kt lý tng Cú th chng minh cỏc c h sau õy chu liờn kt lý tng: - Vt rn t - Vt rn ta lờn mt ta rn v nliỏn - Vt rn ln khụng trt trờn mt ta rỏn - Khp ni bn l trn gia hai vt - Liờn kt dõy - Dõy mm vt qua rũng rc c nh khụiig ma sỏt - Dõy mm vt qua rũng rc ng v b ớ|ua s trt gia dy vi rũng rc Chỳ ý: Trong trng hp khụng bũ tUil c niii Tỏ\ v n hi ca vt th, ta coi cỏc lc ma sỏt v n hi l cỏc lc hot ng Nh vy dựng c khỏi nim liờn kt lý tng cho c h c) Lc su y rng Xột c h cú n cht im Gi s cỏc ta ca c h l q,, q q, Gi r^ l vộct bỏn kớnh nh v ca cht im Mj, cỡia h Nh vy ^ s l hm ca cỏc ta suy rng v thi gian t: \ = 7,, (q |,q , ,q^,t) * ~* " Do ú bin phõn ca cú dang: r, = q , + - ^ q o + + - ^ ụ q r q, q q^ Kớ hiii Fj l lc tỏc dng lờn chõỡ im Mj ca h Ta tớnh tng cụng nguyờn t ca cỏc lc hot ng trờn mt di chuyn khỏ d bt k ca h: k=! k=l k=l ụq, + , ụq, + + - ^ q , qr ụqr k=i 113 t; Q, = k=i (5.3) ; ; Q r = q, Ta viờỡ c: (5.4) + 2qT + .+ Q |^lr = k =l j=l IAI Tli nguyờn ca Qj l Q: = - ngha l nú cú thớr nguyờn ca cụng/ụ ri lqjl Vỡ vy ngi ta gi Qj l lc suy rng ng vi ta suy rng qj nlỡ ngha: Lc suy rng Qj ng vi ta suy rng l i lng vụ hng c biu th bng h s ca bin phõn tng ng ụq^ biu thc tng cụng ca cỏc lc hot ng tỏc dng lờn c h di chuyn kh bt k ca c h tớnh lc suy rng Qj cú th dựng cỏc phng phỏp sau: Cho h di chuyn kh bt k, tớnh tng cụng ca cỏc lc hot ng trờn di chuyn kh clT ú, lỡm lc suy rng Qj theo cụng thc (5.3) Cho h mt di chuyờn kh d c bit ú ụqj 0; ụq,, = vi k j Tớnh tng cụng ca cỏc lc hot ng trờn di chuyn kh d ny ta c A | = ,ụcj suy Qj = k Nu cỏc lc hot ng l cỏc lc cú th v hm th nng ta suy rng: n =n (qi, :, n c biu din qua cc q,) thỡ cỏc lc suy rng c lớnh theo thc; Q, = - f ( j (5.5) = ,2 ,r) ô3q, Tlit vy theo cụng thc lớiih cụng ca cỏc lc hot ng; = ( X , ũ x , + Y , y , +Z ^5z^) SA, k-1 k =I k =l ú: Tliay vo (*) v i th t ly tng ta c: II / r [ x k - 14 J=I \ k - l 11 x z, qj (*) k=l^ C:j Tliay X|,, Y^_, Z|^ bng cụng tlurc (3,44) ta cú: n ^ ^ - ớiL ô ^ + ới^ + ^ ^ L _ n k -"'^k f^qj J qj ú l iu cn chng minh 5.2 NGUYấN Lí DI CHU YN KHA D Nguyờn lý iii kin cỡ v c c l lii lii k ớlớO ^ v lý i r c hỡi' v rớ ca/ỡi^ xột lự iớ c ụ i ỡ ^ cUi c ỳ c l c l o dỡ^ roỡ\> nio d i liiyi klui (l Cia c h t v t r y dộit iri tiờn, (5.6) k= l C hng m inh: - iu kin cn: Gi s c h cõii bne ' \ trớ dang xộl Gi ^|, v N|, l hp cỏc lc hot ng v cỏc phỏn lc liờn kt lỏc cèin k=l k=l k=l (*) k-1 Vỡ h chu liờn kt lý tng nờn: ^N|^dr|^ = k= l Vỡ h chu liờn kt dng nờn di chuyn thc ca h s trựng vi mt di chuyn kh n ca h d \ =rj^,do ú t (*) ta cú^Fj^ụrj^ > iu ny trỏi vi gi thit l mi k=l n di chuyn kh ca h ^Fj(ụr|^ = Vy c h khụng th ng t v trớ cõn bng k=l ang xột c Chỳ ý: Nguyờn lý di chuyn kh thng c dựng tỡm iu kin cõn bngca c h khụng t do, xỏc nh phn lc liờn kt ca cỏc kt cu hoc tỡm iu kin cõn bng tng i ca c h Phng trỡnh cn bng tng quỏt ca c h khụng t tin s dng sau ny ta s vit iu kin cõn bng ca c h khụng t i5.6) di cỏc dng khỏc a) D ng vộct: k=l b) D ng ta Cỏc: Gi X|,, Y|^, Z|^ v SX|j,8 y|^, zj^ l hỡnh chiu ca lc F|^ v 5F^ lờn cỏc trc ca hố ta Cỏc vuụng gúc T phoTig trỡnh (5.6) ta cú: = F k -ô l< k=l k=l + Y k y^ + Z , z J k=l Vỡ vy iu kin cõn bng ca c h khụng t di dng ta Cỏc l : (X ^ x ^ + Y ^ y ^ + Z ,6 z O -0 6;7) k =l Chỳ : Biu thc (5.7) l phng trỡnh bin phõn, nú tng ng vi mt h phioTig trỡnh i s 116 c) D ng ta suy rng Giỏ s c h cú r ta suy riiới dự Ta dó bit: = ^Q -ụ q k Vỡ cỏc ta suy rng J i l cỏc ta d d nờn cỏc bin phõn ụqc lp vi T phng trỡnh: k= i Q, = ;Q , = ; ,Q , = (5-8) Biờu thc (5.8) l iu kin cõn bne cua c h chu liờn kt gi, dng, hỡnh hc, lý tng di dng ta suy rng V d I : Thanh trng lng Q ól trộn COII lõn ng chi Irng lng p Tim lc F tỏc dng dc theo ihanh v cỏc lón iii >'ờn trờn mt phng nghiờng gúc a so vi mt phng ngang Bú qua s trcớt èa v ln cng nh gia ln v mt nghiờng B qua ma sỏt lón (hỡnh 5.7) Bi iè: Xột c h gm v COII lón Nu bo qua rna sỏt ln thỡ c h chu liờn kt lý tng H cú mt bc l chon loa dũ suy rng q = s Cỏc lc hot ng tỏc dng lờn h gm trng lng Q, tront lna p v lc F , Cho h di chuyn khỏ : tlianh dch chuyn lờn trờn mt on ụs Vỡ tm tc tc thi ca ln cỏc im tip XLC gèLèa ln v mt nghiờng nờn; V = 2V^ suy ra: 2S( = s (a) llie o nguyờn lý di chuyờn khỏ dỡ, dicu kin cõn bng ca c h l: ZũA|^ = F s - Q s i i a s - P s i n a ũ S ( - = (b) Thay (a) vo (b) ta c: (F - sin a - p.sin )s = Theo g ( R - r ) 3 b V > ^ g ( R - r ) c Tm khụng th tip xỳc vi ng trũn ti A v tip tc chuyn ng ng trũn c D Hỡnh bi 28 Hỡnh bi 27 Bi 28 Vt A cú lng m c kộo lờn nh cỏc trc quay I v II cú cựng bỏn kớnh r v mụmen quỏn tớnh i vi trc quay riờng bng J Cỏc trc quay chu tỏc dng ca cỏc Iigu lc cú mụmen ln lt l M| v Mi B qua lng cỏc rũng rc v ma sỏt ti cỏc trc Coi cỏc dõy l nh, khụng b gión, khụng b trt trờn cỏc vnh rũng rc Tớnh: 1) Gia tc ca vt A 2) Sc cng nhỏnh dõy treo rũng rc O4 ỏp s: = 2M| + M t -5m gr Bi 29 Tay ũn mang lng trung m,, ni; ti hai u v gn khp bn l vo vnh ca mt a trũn ng cht bỏn kớnh R, lng m, chu tỏc dng mụien M = M (-b(p; Mq, b l cỏc hng s dng, l tc gúc ca a Khong cỏch t 207 yf lng trung n khp tng ng l /|, ỡ 2- B qua ' lng, tay ũn cú th quay trn quanh trc thng ng qua khúp a quay quanh trc thng ng vuụng gúc: vi mt phng ca nú qua o I 1) Lp phng trỡnh vi phõn chuyn ng ca c h _ "ớ- theo gúc (p v V/ 2) Gi s /?,/| = , tỡm quy lut chuyn ng ca c h vi iu kin u H ỡn h b i ^(0) = X ) = 0,i/(0) = 0,>(0) = co^ 3) Xỏc nh tc gúc = const ca a, gi s nú quay u, cú s cõn bng tng i ca tay ũn, kho sỏt s cõn bng tng i ú ỏp sụ: Phng trỡnh vi phõn chuyn ng: R Y + (m i + II2) (p+ R(m|/i -mo/T)sin(v|y-(p)v|} + R(m|/| -mi/T)cos(v/-(p)\/ =M() -bxp R(nri|/j - m i / , ) s i n ( \ / -(p)(p + (mj/ + iTio/o ) - R ( m | / | + it ỡ/ t ) c o s ( v |/- ( p ) ( p = Vi cỏc iu kin u: (p{0) - 0,(p{0) = 0,t//(0) = 0,/(0) = )^ Phiig trỡnh chuyn ng: (p = M A t + e b Vn tc gúc Q = ^ M b AM V/ = ớy/; vi A = R- m ; R{m j -/77,/-, )Q.)cos{/ ->) = Bi Mt tr trũn ng cht cú tõm A, cú trng lng P|, bỏn kớnh R ln khụng trt trờn mt phng nghiờng ca lng tr tam giỏc B (ng sinh ca tr trũn A luụn vuụng gúc vi cnh ỏy chuyn ng ca lng tr) Lng tr tam giỏc B cú trng lng p, v cú gúc nghiờng so vi mt 'phng ngang l a B qua ma sỏt trt gia lng tr v mt phng ngang Xỏc nh lc F cn tỏc dng vo thnh CE ca lng tr theo phng nm ngang l bao nhiờu : /7 7 7 7 7 7 7 /7 7 7 7 7 7 7 a) Tr trũn A ng yờn trờn mt nghiờng b) Tr trũn A ln lờn phớa trờn ca lng tr 208 H ỡnh bi 30 c) Tr trũn A ln xu ng phớa di ỏp sụ: a) F = {!] + p, )ớớ ; h) F >{P^ + p , ) t g a \ c) F (0) = Tim phiig trỡnh dao ng nh ca OOn: = >{t) quanh trc nm ngang qua |, vi gi thit sin? a: ,coscp ^ (p nh, ỏp s: Phng trỡnh vi phõn chuyờn ng ca h: (/77, + /72,) x - m R + r ) c o s + m^iR + r)>' sin? = /Vi cos(ot {R + r ) - x c o s + = J^ =0 -{coscol - c o s kớ) vi A = k -Cỳ (3OT| +/77,)(/? + r) 2(^1 + m , )g (3ô7| + m^) { R + r) Hỡnh bi 33 Bi 33: Cho mt góy khỳc OAB cú gúc vuụng ti o , cỏc on OA, OB c xem l cỏc mnh ng cht, tiig ng cú chiu di 2a, 2b v lng ni|, ni; liờn kt vi D nh bn l (khụng nia sỏt) o v lũ xo xon cú cng xon bng c = const Thanh chu tỏc dng mụmen cn t l tuyn tớnh vi tc gúc ca thanh, vi h s t l a D cú lng nio chuyn ng theo phiig ngang v v trớ ca nú c xỏc nh nh ta X , cũn v trớ ca góy khỳc c xỏc nh nh gúc G l gúc gia on OA v phng ngang, ú v trớ nm ngang ca OA ng vi v trớ cõn bng tnh 1) Vit phong trỡnh vi phõn chuyn ng ca h 2) Kho sỏt trng hp D chuyn ng vi tc V = Vo + HoSin Qt, ú Vo, H() v Q l cỏc hng s ó bit, cũn t l thi gian, xem bộ, ly sin = 0.COS = B qua cỏc vụ cựng l bc hai tr lờn, gi thit h s cn Xỏc nh dao ng ca góy khỳc OAB quanh trc o ch bỡnh n (ng vi thi gian t> oo) 210 3) cln giỏn cho tớnh loỏii, ly a = trons cúng tớic tớnli biờn cỳa gúc quay ciia Ihanh góy kluỡc Hóy tớnh giỏ tr ciia h s cng xon c gúc quay ca góy khiỡc OAB khụng vm quỏ giỏ tr cho trc 0(|, tc < , ú 0Q l hng s ó cho ỏp s: (ni() + ni| + niT )x - (ani| sinO + biiiT cosG)0 - (am, COS0 - bniT sin 6)0' = sinO + bniT cos0)x + (ni|a' +in b') - c ( ,| -0)^g(ớuii| cosG-bni sinO) + a = 2nQ Dao ng = Acos(Qt - c ) vi A = k -Q *) o cns c > mTgb + (m |;r +m-,b') -r4n Q- + Qv^o Bi 34 Tlianh AB c lii L i di /, gỏn bỏn l vúi hai trol A v B cú cựng lng ni Con trt A irt theo phirng ngang, trcớt B trớt tlico phng thng ng Mt si dy kliũng dón buc vo B v quõỡi vo hỡnli tr trũn ng cht lng M Lp phng tiỡiih chuyn ng ca c h Bo qua klii lng ciia ihanh ) s: 35 - lipcos(p + l" sin (p < ll{ lm + hớ cos )(f)~ 2M S c o s q i - IM" sin = Amg c o s Hỡnh bi 34 Hỡnh bi 35 Bi 35 C cu hnli tinh c dt Irong mt phnt; nỏm ngang Vnh trũn ng cht khci lirng M v khung cn" tam giỏc cú thờ quav dc lp quanh trc thng ng o Tỏc dr.u lộn vnh tiũn niũ nicn M|, khiiim niú mcii M, khng i Ti cỏc inh A, B ca khLiig gn bỏii l vo tõm cỏc da trũii im cht cú cựng lng m v chỳng 21 tip xỳc vi vnh H chuyn ng t trng thỏi ng yờn Xỏc nh tc gúc ca vnh trũn l hm ph thuc vo thi gian Bit M = 2m, bỏn kớnh cỏc a trũn bng r, bỏn kớnh vnh trũn R = 3r, b qua lng ca khung _10M,-3M ỏp sụ: | = ! ' 243mrBi 36 Theo mt phng nghiờng ca lng tr lng m, hp vi phng ngang mụi gúc a tr trũn ng cht lng ni2 chuyn ng ln khụng trt lm cho lng tru dch chuyn theo mt phng ngang nhn nm ngang lm lũ xo bin dng; lũ xo c gn vo tũfng thng ng, cú h s cng bng c thi im u lũ xo cha b bin dng Thit lp phOTg trỡnh vi phõn chuyn ng ca h Toa gc X, tớnh t v trớ u õp s\ (m, + ):| - ^ - I X C o s a ^ + 3x2 cosor + CX| = -Igsina Hỡnh bi 36 = Bi 37 Mt na a trũn ng cht cú bỏn kớnh R, lng m, v tõm c, ln khụng trt theo ốmg nm ngang cụ' nh mt phng ng Ti A mt cht im cú lng m, (m 2ô m | ) gn cng vi a Ti thi im u OA cú v trớ nm ngang (6(,= 0) v nhn c tc ban u cOq Vit phng trỡnh vi phõn chuyn ng ca vt? Gi s gúc gia ũfng kớnh AB v phng ngang l (ly sin ô 0; cos w 1; m2 = v ch gi li vụ cựng bc 1), hóy xỏc nh chuyn ng ca vt v phn lc mt ng tỏc dng lờn a o c v trớ thng ng (v trớ thp nht) Cho oc = 4R/3tc ỏp s: Hỡnh bi 37 Phng trỡnh vi phõn: - + 2/?(w, s ỡ n O - Im^)- / ? ( m | e c o s + m-^Rsm0)] m^Rco,0)ề^ + w,gsin - ớu^gR COS0 Phng trỡnh dao ụng ca a; = sin ki vi 13 Phn lc mt ng: X|(t|) = 0; Y,(t|) = -niiecOo' + m,g 212 = ớ( Q t;rt _-116 ) / Bi 38 Mt c cu gm bỏnh xc va 2, l nhng a trũn ng cht, tng ng cú bỏn kớah R v R, lng m, v in, dat mt phỏno ng Tay quay, bú qua I lunới, aón vi lũ xo xon tuyn tớnh cú li s cng xon c ( ncu lc lũ xo M|, = -ccp), u ciui lo y.io gn vi tõm ca bỏnh Bỏnh xe ln khụnii trt trờn nn thng ngang c nh Eỏiih xe ln khụng trt i vi bỏ nh xc v ti o cú lc F tỏc dng theo phong ngang, húmg sang phai Chn cỏc ta d sLiy rng l X v (p, ú X l ta (theo pliuiiU ng;ang) tõm bỏnh 1, cũn (p l gúc nghiờng ca tay quay vi ng thng ng 1) E3o qiiia ma sỏt ti cỏc khp quay, hóy vit phng trỡnh v phõn chuyn ng ca cô h'^ 2) Kờ (ốn ma sỏt ti khúp o ớia lay quiiy OA v bỏnh (ngu lc cỏn t l vi tc IểICtmg i vi h sũ' l /; = const) \ 'iờ it p h iir n g t r ỡ n h v i p h õ n c h u y n n g c a c h '.' IO v; Khi b qua ma sỏt ti cỏc khú'p quay, pliiriig trỡnh \ i p)hn chuyn ng ca c hố: 5(ni I - n i t ) x + 111TL(0,5 - c o s ( p ) u + m TL " sin cp = F 111 è L ( , - c o s c p ) x + l , m I - C(p + n i i g L s i i i q ) Ke C'lờn ma sỏt ti khúp o , pluron(nii I +in )x + m L ( , - c o s (p)cp f in T Lcp' s i n (p = I- + (p - R + (p ini ,L,((^>5-cosq))x + l,5ni2L"(p = -C(p + mTgLsincp- b R ớ^ii 39 Mt h thng chu}ờn tati ;gm mỏng AB l thaiili úiig cht, cú chiộu di 2L, klỡú line; m, quay khụng ma sỏi q iKiiih bỏn i A di tỏc dng ca ngu lc M Mt tõniclii nhit ng cht, cú lorig 111, chiu di 2a v chicu cao 2h trt dc mỏng Chen cỏc ita sLiy rng ii l (:> V' l Irorm (p l gúc Iighicng ca mỏng AB vi plnuỡỡi im;ang, cũn u l ta lõm cỳa lm dc mỏng AB Ti thi im u tõmtỏim Iicóm trờn dng OA cũi: n iỏinc nóin ngang C h chuyn ng mt phng tliỏi d iớiig ; ) !B qiiia ma sỏt lirra niỏiiu v lõớm, hóv \'it phng tiỡiili vi phõn chuyờn dn g cớia CU lố'.' Cho cũrng thc tớnh mụ mcn ớuỏ.n Ilớnh lm ch nht: J^= m h V ; = m a73 1) d(n giỏn, xcm tm l chớiỡ iicm triri dc mỳn" \ú'i h s ma sỏl trc;yt dng l f 213 Viờỡ phig trỡnh vi phõn chivcn dim ca c h ỏp s: 1) Phng trỡnh vi phõn cliiiycii clũnu ciỡa c h; m^L -fm '4 r + a +u (p+ mhii + 2muự() = = ( itiqL + m u ) g C S ( p + I i i u h s i n ( p - M mhi + mii - mu(f)" = nigsiiỡ (p 2) Phng trỡnh vi phõn chuvn ng ca c h n giỏn: -) iiỡnL -f mu () + 2muèKp = (niL + mu)gC0S(p - M ; JAf + 111li - m u = u (M -niogLcos(p)f u + mgsin Bi 40 Sng rung cú klii lng in c treo o \\\XXV sVVềC\\W\\\ \V; nh hai cng (OA = DB = b) v cú lng khụng ỏng k (AB = OD = a) a trũn dng cht cú lng m, bỏn kớnli r lón kliụiii trl dc trụn mt sng Ngu lc cú mũ mcii M (ỏc dng lờn I OA Clin cỏc ta d suy rong la gúc ngliiộiig Va doii lècli thu>ii u ca tõm cta Irờn nil sim, C'o' h chuyn ng Irong nil phng ớmg ớliiỡli bi 40 1) Lp phiig tiỡnli vi |)hn chuyn nq ca c li? 2) Xỏc nh phn lc mat sng tỏc dng lờn a (tớnh tlico (p,,u,ỳ ) ớip s: Phng trỡnh vi phõn chuyn dng ca c h: (n\) + m)b" + mbcos(p.ii = -(ni,| + ni)bgsin(p + M; mbcos(p.(p+ l,5m,u-nitxp' sinq = Phn lc mt sna tỏc dno lờn a: Phỏn lc phỏp tuyờn; N = p + nib('psin (p + nib' cos(p Phn lc tip tuyn: F = O.Sniii M - ( n i( | + m ) b ô s i n (p - m b ()^ sin 2(p ú; C|i = 1^3 ( 111,1 + iii) - m c o s ^ (p b2 (m,| + 111) b \ ) ' siiup + ( m ,| + m)gbsiii (p - M cosớp _ ^3(mQ + ni) - 2m cos (p b 214 TI LIấU T H A M K H O Nguyn Vn Khang C siỡỡoc k'' thut Tõp I, NXB i hc Quc Gia, l la Ni, 2005 Sanh, Nguyn Vón ỡnh Nguvộn Vón Khan NXB Xy dng, H Ni, 1996 Bũ mụn C lý tluiyt - hc Giao thũnc Võn tỏi Bi rp c hc lý tliiiyộ hc Giao thụng Vn Uii H Ni, 2000 B inụn C hc lý thuyt - i hc Tluiý li H Ni Bi C hc lý thuyt NXB Xõy dng, H Ni, 2004 y 20 nm O L Y M P I C C iioc ton qiiục 1989-200S C h c lý thu yt - Hi c hc Vil N a m - N X B Bỏch khoa 1l Nũi, 2008 10 Hibbeler R c - Eiitiiiirnii Imitics - Baii dch i hc T h u ý li, 2008 1 1'ari X.M, Theoiictical Met hiinii s, A Short (burse Mir l\iblishers, Moscow, 1976 12 Hpa>KHHHeilKO l A K'Al| B.J CoOpilHK 'UUIM no TCOpeTHMCCKO McxUHHKe ro cy/ ia pc TB ci n> e c o i o i H o e n';aTCjibcTBO JIenHHrpazi , 13 MeuepcKHH H.B ('ừopiinK 'a;iaH no TCopeTHHecKOH MCxanHKe ll3/iaTejibCTB0 "MayKa" MocKna 1967 BaTb M H , />KaHe.iii;uc () Ke.Tb30ii A c ' i c o p e x H H e c K a i MCxannKa B n p H M ep ax H a ;ia w a x C ia iH K a II KH iieM aTH Ka, J Ic H H n r p a ii,1 9 215 M C LC Triiii Lũi núi u ^ NG HC M u ng hc H quy chiu Khụng gian v thi gian 3 Mụ hỡnh ca vtthờ chuyn ng Chn I ng hc im 1.1 Klio sỏt chuyn ns ca icm bng phng phỏp vộct 1.2 Khỏo sỏt chuyờn ng ca im bng phng phỏp ta d Cỏc 1.3 Khao sỏt chuyờn ng cỳa im bng phng phỏp ta d t nhicii 1I Chn II Chuvn ng c bn ca vt rỏn A Chuyn ng lnh tin ca vt rn 2.1 nli nglia v dc im ca chuyn ng tnh tiờn B Clmyii dng quay ca vl ran quanh mt trc cũ dnli 1X IX 19 2.2 Kliỏo sỏt ciiiiyn dng ca cỏ vt 19 2.3 Kliỏo sỏt chuyn dng ca cỏc im tluic vt rn 22 Chon III Chuyờn ng phc hp cỳa im 3.1 Khỏi nini v cluiyờii n g phc hp CLia dicin 27 3.2 nh lý hp tc 2S 3.3 nh lý hp cớa lúc 30 Chuonớ IV Chuvn ng song phỏn ca vt rn 4.1 Kliao sỏt cliuyn ng ca c vt 35 4.2 Khỏo sỏi chuyờn im ca cỏc icm ihuc vt 37 4.3 'l'im hop chuyn dim sonu phim l cỏc chuyờn dim L|iia\ (.uanh hai triic soim SOII 45 4.4 Pluriiii phỏp \V1LL1TSE xỏc nh tc gúc, gia lc t;úc cLia vi róii cliiiyn diiu soiis: 216 47 NG Lc HC Chng I Cỏc khỏi nim c bn v cỏc tiờn ộ ng lc hc 1.1 Cỏc khỏi nim c bn ca ng lc hc 49 1.2 Cỏc tiờn ng lc hc 50 Chong II Hai bi toỏn c bỏn cỳa ng lc hc phng trỡnh vi phn chuyn ng 2.1 Hai bi toỏn c bn ca ng lc hc 53 2.2 Phiig trỡnh vi pliõn chuyn ng ca cht im 53 2.3 Phng trỡnh vi phõn chuyn ng ca h cht im 57 Chng III Cỏc nh lý tng quỏt ng lc hc 3.1 nh lý chuyn ng tõm 59 3.2 nh lý ng lng 65 3.3 nh lý bin thiờn mụ men ng lng 71 3.4 nh lý ng nng 81 3.5 nh lut bo ton c nng 93 Chng IV Nguyờn lý almbe Lc quỏn tớnh 97 Ngiiyộn lý alỏnibc - cỏc phớ/ng trỡnh tnh ũng 100 Pling trỡnh vi phn chuyn ng ca vt chuyn ng song phng 105 c hnớ; V Nguyờn lý di chuyờn kh d 5.1 Cỏc khỏi nim v c h khụng t 108 5.2, Ngiiyộii lý di chuyn kh d 115 Chng VI Nguyờn lý almbe - Lagrng 6.1 Nguyờn lý 121 6.2 Phng trỡnh vi phõn chuyn ng ca c h khng t 126 Chng VII Va chm 7.1 Va chm v nhng c im ca nú 134 7.2 Cỏc nh lý tng quỏt ca no lc hc ỏp dng vo va chm 136 7.3 Va chm thng v xuyờn tm ca hai vt chuyn ng tnh tin 138 7.4 Tõm \'a chm ca vl rn quay quanh mt trc c nh 141 217 BI TP NG HC I ns hc im 143 II Chuyn ng c bn ca vt rn 146 III Cluiyờn dng phc hp ca im 150 IV Chuyn ng song phng ca vt rn 155 BI TP NG L c HC I Hai bi toỏn c bỏn ca ng lc hc phng trỡnh vi phõn chuyn ng cia cht im 163 II Cỏc nh lý tng quỏt ng lc hc 167 III Nguyờn lý almbe 178 IV Nguyờn lý di chuyn kh 182 V Nguyờn lý almbc - Lagrng 1S7 Mt s bi chn lc 192 Ti liu tham kho 215 218 c HC C S TP II: NG HC V NG Lc HC C ỡ ỡ i t t r ỏ c h I il i i m x i i t b a n : BIHCU hnh B iờ n t p : TR NH KIM N G K C h bn: IN H THI P H U N r i Sa hn in : TR NH KIM N ( è K T r ỡih b y h ỡa : v BèNH M l M l 219 [...]... trục X ta được: Xt = X| + V Suy ra: V, =X 2 -X| Do đó vận tốc góc của con lăn: co = R R 29 Động năng của con lăn chuyển động song phẳng: X2 - X \2 R 1 2 1 Jp 2 1 Jp -2 r ■■ = -m„XT -^ X ịX ọ '0"1 + - ^ X ị + 2 R^ - 2 r ' Động năng của hệ: •2t - - •^' cX■oX| • íc ' X '" “ " í R \ 2 T = T, + T = - m + 2 R- ' ' " 2 (a) Phương trình Lagrăng loại II đối với cơ hệ có dạng: "ỔT" dt ỠT ỡx ổx, ơl = f -m... Ta tính tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả dĩ đó =2aPÔ (p-4aR eỗẹ = (P -2 R c )2 aô (p Theo (5.8) điều kiện cân bằng của cơ hệ là: Q ^= (P -2 R c )2 a= 0 Suy ra; • Để tính mômen Rc = P /2 tại ngàm A ta thay liên kết ngàm bằng liên kết khớp cố định và ngẫu lực M^ Cơ hệ có một bậc tự do với hai tọa độ dư (xem hình 5.8c) q, = cp, q 2 = Các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ gồm p, Q, ngẫu M^... đối với A Các lực hoạt động tác dụng lên hệ íỊổm trona lượiig của hai vật A,B lực đàn hồi tuyến tính của lò xo, đó là các lực có thế, nên cơ hệ là hệ bảo toàn Động năng của vật A; = -m xẲ Động năng của vật B: T3 =-in[,x|^, = -2in(x^^ +SÌ" = m x^ + 2m x^s 3 Động năng của hệ : T 2 = 2 + ms" + T(ị = —mx^ + 2mx^s + m s' Vì cơ hệ chuyển động trong mal pháng ngang Iiêii thế nãiiịỊ của trọng lực bằng 0 Còn... của cơ hệ Đặt lực hoạt động và lực quán tính vào các chất điếm của cơ hệ, sau đó cho hệ một di chuyển khả đĩ và tính tổng công các lực đó trên di chuyên khả dĩ này, cho bằng 0 ta sẽ có được các phương trình để tìm ẩn số của bài toán Phương trình tổng quát động lực học thưòfiig được dùng để tìm gia tốc hay điều kiện cân bằng tương đối của cơ hê V í dụ l : Máy chuyển vật liệu chuyển động nhờ ngẫu lực. .. độiiíỉ lực học còn có thể viết dưới các dạng sau: (6 2 ) |; r ( x ,+ X J ') 8 x ^ + ( Y ,+ Y Ĩ ') 8 y ^ + (a + Z Ỉ')5 z ,l = 0 k=! n +(Yk - 'I \ y k ) ô y k + { A -m kZ k)ỗz^ =0 (6.3) k=l 12 Phưcíng trình tổng quát động lực học (6.1), (6 .2) , (6.3) là các phương trình biến phân, chúng tương đương với một hệ phương trình đại số Để giải các bài toán động lực học bằng phương trình tổng quát động lực học ta... hai thanh và lực Q Cho hệ 1 di chuyến khả dĩ OA quay góc Ô (P |, AB quay góc ôcpọ, Theo (5.7) tổng công của các lực hoạt động trên di chuyển khả đĩ là: k=l trong đó; = ẳ ( ^ k ô X k +Ykôyk +ZkôZk) = QÔXB + P|ôy, + ?2 y2 k=l (a) Xg = 2 /s in (p |+ 2 /s in (p-, ^ ÔXg = 2/ C0 S(P|Ô(P| + cos(poÔ(pT y, =/cos(p| ^ ô y , = -/sin(P|Ô(p| Ỵt =2/ coscp| +/COS 2 —> ôy-, = - / 2sin(P|Ô9| +sin(piô(pT Thay vào (a) ta... 2/ "(p + iTio/x cos ẹ - m 2/ x(psin cp + m -,/x(p sin cp + mog/sin (p = 0 Sau khi rút gọn ta được: ( 3m| + 2 m 2 ) x - 2n i2/ q) C0S (p -2 m- ,/ (p “ sin(p + 2 c x = 0 /(ị) + X COSỌ + g s i n c p = 0 133 Chương VII VA CHẠM Trong chương III ta đã nghiên cứii các định lý tổng quát động lực học Chương này ta sẽ áp dụng các định lý đó, để nghiên cứu những quá trình chuyển động cơ học, trong đó xảy ra va đập... là góc (p Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gỏni trọng lượng p của thanh và trọng lượng Q của cịLii! cẩu Các tính F^'của quả cầu, hợp lực R^, của hệ lự c Hình 6 .2 lựcquán tính của hệ gồm lực quán quán tính phân bố theo quy luật tam giác của thanh OA (xem hình và ví dụ 3 chương V ) R^, vuông góc với trục quay và cắt trục 2 quay tại H sao cho OH = —/coscp Vì hộ lực cỊLián tính có hợp lực nên: R , =... = 0 % o c) Lực va chạm và x u n g lượng va chạm Khi hai vật va chạm vào nhau chúng tác dụng lên nhau những lực rấtlớn trong khoảng thời gian rất ngắn Những lực đó được gọi là lực va chạm Để đánh giá tác dụng T của lực va chạm người ta thường dùng xung lượng của nó s = Ndt = N*x trong đó N o là lực va chạm, I là thời gian va chạm Khi 2 vật va chạm vào nhau ngoài lực va chạm 134 còn có các lực khác tác... a ; g 2 f;ị' = ^ \v ^ 8 ^ \v;^ = ^ / 0)- sin (p g g Cho hệ một di chuyển khả dĩ: Thanh OA quay quanh chốt bán lề góc Sọ Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Thec phương trình tổng quát động lực học (6 .2) tống còng của các lực hoạt động và các lực quán tính trên di chuyền khả dĩ này là: P8 y c + Q 6 y , + R , , 8 x „ + F ’'6 x ^ = 0 (a) 123 Từ hình vẽ ta có: = — c o s ẹ —> ỗyQ = - —s i n ọ ô ọ ; 2 = /cos(p