LÊ NHÚT - HUỲNH ĐỊNH TƯỜNG
Giai bai tap
TOAN 8 Tập một
HQ NHÀ XUẤT BẢN Đơn vị liên kết :
Trang 3Quyên sách GIAI BÀI TẬP TOÁN 8 tập một
này được biên soạn theo chương trình sách giáo
khoa hiện hành nhằm giúp các em có tài liệu tham khảo để ôn tập củng cố kiên thức, đồng
thời vản dụng để làm những bài lập có dang tương tư hoặc nâng cao dat két quả lốt
Quý thầy cỏ và quý phụ huynh có thể xem quyển sách này như tài liêu tham khảo thêm
Chủng tôi mong đón nhận ý kiển xây dựng tử quỷ độc giả
NHÓM BIÊN SOẠN
Trang 4PHẦN ĐẠI SỐ Chưzng L PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC §1 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC I KIEV THÚC co BAN la 1 Q¿y tắc nhân một số với một tổng Cho a,b.c c R, ta có: a(b + c) = ab + ac |
| 2 Quy tac nhan don thúc với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa | thưc ta nhân đơn thúc với từng số hạng của đa thức rồi công các tịch với nhau
| 3 Teng quat: Cho A, B, C là các đơn thức, ta có: A(B + C) = A.B + A.C
Trang 5B Bài tập căn bản 1 Làm tính nhân; a) x°(5x? -x 5h b) (3xy - x? + y) : xy; €) (4x) Sxy + 2x)( Š xy) Gidi a) x°(5x" — x — —) = 5x" - x? a 2 2 2 2 2» b) (3xy - x” + y)< xổy = 2xŸy? - “xÍy + “xÍy? 3 3 3 ' 1 4 5 ay va c) (4x* ~ Sxy + 2x0-= xy) = -2x4y + 2 x“y? — x4y 2 2
2 Thực hiện phép nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) x(x- y) +y(x +y) taix=-6;y=8
b) x(xŸ - ÿ) - x”(x + y) + y(x” - x) tại x = 100
Gidi
a) x(x - y) + y(x+y)taix=-6;y=8 *- Trước hết ta thu gọn đa thức:
X(x - ÿ) + y(X + y) = X” - Xy +xy +y” =X” ty * Thay x = -6; y = 8 vào đa thức thu gọn, ta được: x? +y? =(-6)” +(8)”= 36 + 64 = 100 Vậy giá trị của biểu thức đã cho bằng 100 b) x(x — y) — x ty) + yO? = x) tai x= Ủ¡ y = -100 y y)+y a a Ta có: x(x” - y) — x"(x + y) + y(X” - x) = xy - x? -x"y + x"y — xy= 2xy 1
Véi x = si" 100, ta có: -2xy = +2 ( 100) = 100
Trang 64 Đồ Đoan tuổi Bạn hãy lây tuổi của mình
Cong thêm 5
Hide bao nhieu dem nhan vai 2 | ay két qua trén cong voi 10 Nhan két qua vua tim duoc vor 5
lóc két quả cuối cùng sau khi da tru di 100
ôi sẽ đoán được tuổi của bạn Giải thịch tại sao? 5 Rut gon biểu thức
ay x(x y)+y(x Vì; b) x” (xe y) — yo” Sey)
6 anh dau « vao 6 ma em cho la dap s6 dung
Giá trí của biểu thúc: ax(x- ÿ) + yÌ(% + y) tại x =1; y = 1 (a là hằng sổ) a lL Ee 2a L 2a ia 3, 4 Hoe sinh tự làm ayxtx yl+ yx yr=x bi x" (x+y)- y(X ty
6 Dé danh dau + vào ö mà em cho là đáp số đúng trước hết ta đi tính giá trị của bieu thiie: axix yl + ¥ (x +y) vdix = -l:y = 1 (ta là hằng sối
Ta có: ax(x - y) + y‘(x + y) = ax’ - axy + xy’ +y
= a(<1Ÿ - a( 10/1+( 1/10+10za+a-1+1=92a
Vậy ta đánh đấu x vao ö có kết quả là 2a
§2 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
1 KIEN THUC CO BAN
1: Quy tác: Muốn nhân một đa thúc với một đa thúc ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi công các tích với nhau 2 Tổng quảt: Cho A,B,C, D là các đa thức
Taco: (A + B).(C +D) = A(C +D) + B(C +D)
| = ÁC + AD +BC + BD
Trang 7II BÀI TẬP A Bài tập mẫu 1 Làm tính nhân: a) (6x? + 5y°).(2x? - 3y?); b) (1 - 3x” + x)(x? - 5 + x) 2 Giải phương trình: 6x - (2x + 5)(3x - 2) = 7 Gidt
Trang 8Giai 1 2 ‡ ARTY ‘ 7 xy + 3y1x - 2y! =Xxy(x- 2y) 2 Xy(x- 2y) + 2y - 2y} le 1 Pg =xy =2Xỳ XYy +Xy +2Xy - 4y” 2
bite xy + yx + yr = xx ty) XV(X + V) + yx ey)
axt+ xtys xy xy’ + xy? ay? = xt + y?
9 Diér két qua tinh duge vao bang
| Gia trị của biểu thức:
Giá tri của x, y =2 | x= -0,5: y = 1,25 (rường hợp nay co thé dung may tinh be bỏ tui) | Gidi (x = y)(x” t+ xy ty ey
Ta tiực hiện phép nhân đa thức để thu gọn kết quả rồi tính giá trị của biểuthức ứng với từng giá tri cua x, y da cho trong bảng, rồi điển vào bảng
Tao: (x ~ yO + xy ty?) = xix? + xy + y") yor + xy +
=x + x?y + xy? — yx® — xy® - y? = x! - y?
Trang 9Tt
12
x(x” - 2xy + y”) - y(x” - 2xy + vÏ! 9xy + xy” - xÍy + 2xy” - ‘ b) (x” - 2xy + y?(x - Vì " * =x" - 3x?y + 3xy? - y Chung minh rang giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vảo ga tri cla biến: (x - 5)(2x + 3) - 2x(x - 3) +x+7 Gidi Ta thực hiện phép tính, thu gọn xong biểu thức không còn chưa Lien Thật vậy: (x- 52x + 3) - 2x(x - 3) + x+ 7= 2x” + 3x - 10x - 15 - 2x? + 6x + X+7=-8
Điều này chứng tỏ biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của bi
Trang 1015 am tình nhân 1 1 1 1 3)(Í, X+Vy)(- 2 xetvì b) (x ay x oY ) 1 x+y" 1 x+y) 1 1 1 N+ XV 4 Oxy ey X + XV + yD 1 2 2 1 1 1 i 1 1 Ay ON Vix y XIN V víx V 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x XY Kye oy Se xy y ¿ 3 1 1 §3.4.5 NHUNG HANG DANG THUC DANG NHO 1 KIẾN THUG CO BAN A Các hằng đẳng thúc đảng nhớ | | 1, (A+ By =A°+2.AB +8? | 2 (A BY =A" 2AB+ 8" 3 (A) (B) =(A +B)(A B) | 4 (A +B)* = A* + 3A°B + SAB’ + BY | 5 (A BỊJ=A? 3A'B+3AB” BÌ | 6 A'+BÌ=(A+Bl(Aˆ AB+B) | ? A' B'=(A BỊ(A+AB +8?)
8 (A+B+C)’ =A’ +B’ +C! + 2AB + 2BC + 2CA
9, ta)" <(b)" Seta by fal yea" 2b cab? eb" 5)
B Cân nhớ các phép tỉnh vé lũy thửa
Trang 1117 a) x? + 2x +1; c) 25a” + 4b? - 20ab; Giai a) x? + 2x +1 = (x)? + 2x1 + 1? = (x + 1)
b) 9x” + y” + 6xy = (3x)? + 2(3X).y + yŸ = (3x + y)?
c) 25a? + 4b? - 20ab = (5a)” - 2(5a)(2b) + (2b)” = (Ba xey = xỄ-<J8005+44<0p=- Bie 4 Z 2 2 Chứng minh rằng: (10a + 5)* = 100a.(a + 1) + 25 d) x” b) 9x” + y” + 6xy; 2b) Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tân cùng bằng một chữ số 5 Áp dụng để tính: 25? ; 35? ; 65”; 75” Giai
* Cách 1: Chứng minh: (10a + 5)” = 100a.(a + 1) + 25 That vay: (10a + 5)’ = (10a)’ + 2.10a.5 + 5”
" 100a* + 100a + 25 = 100a (a + 1) + 25 (dpem) Cách tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng bang chữ số 5 thì bằng ¡100 lần chữ số hàng chục nhân với số hàng chục cộng 1 rồi lấy kết quả cộng với 25 Áp dụng: 35” = (10.9 + 5)* = 200.3 + 25 35° = (10.3 + 5° 65° = (10.6 + 5)’ 78? = (10.7 + 5)” 100.2(2 + 1) + 25 600 + 25 = 625 100.3(3 + 1) + 25 = 1225 100.6(6 + 1) + 25 = 4225 100.7(7 + 1) + 25 = 5625 Cách 9: Cách tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng bằng chữ số 5
Lấy số tân cùng bình phương được 25, giữ nguyên
Trang 1219
20
21
Gjiai
a Ta phan tích theo đang các hing dang thue đang nhớ để tìm cách
khỏi phục: X” + 0xy + (+ 3y? hay (X/ + 9403y)! + (3y)? = (x+ đy t 1Oxy + 2hy" = )
(xP = 20x 5y) + (5yP = tx» By)
c Mot dé bai tuong tus (xy PS +
tổ vui: Tính diện tich phan hinh con lai ma khong can do
Rột miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác tho cat di một miếng cũng
hnh vuông có cạnh bằng a - b (cho a > b), Diện tích phần hình còn lại là bao
miêu? Diện tích phân hinh còn lại có phụ thuộc vao vi tri cat khong? Gidi Theo để bài ta có diện tích miếng tôn $ rs tình vuông có cạnh bằng a + b là tị S$, =ta+ by bli Liên tích miếng tôn hình vuông có i
cinh bang a b (a > b) đo bác thợ cất '
rị từ hình trên là: S¿ = (a - b)ˆ | ‘
Than dién tich con lai la: 5 L
S, Sy sla+ bi ~(a- by? Jae
=a’ + 2ab +b’ - a” + 2ab - bŸ = 4ab
‘Theo dé bai ta co a, b là các số đo trước nên tích a.b có giá trị không đổi \ay phần điện tích còn lại S = 4ab có các giá trị không đổi hay nói cách Kiáe hơn điện tích phần hình còn lại không phụ thuộc vào vị trí cắt Luyện tập Nhận xét Sự đúng sai của kết qua sau: x° + 2xy + 4y” = (x + 2y)Ÿ Gjiai
Het qua x’ + 2xy + dy” = (x + 2y) là SAI
Thật vậy, ta có: (x + 2y)” = (x)” + 2(x)\(2y) + (2y)?
= x’ + dxy + dy” + x’ + 2xy + dy”
Trang 13b) (2x + 3y) + 2(2x + 3y) + 1= (2x + 3y + 1 c) Mot đề bài tương tự: 25x 'y! - 10xy”+ yo = ("1° 22 Tinh nhanh: a) 1017; b) 199”; c) 4753 Gidi a) 101° = (100 + 1” = 100° + 2.100,1 + 1’ = 10201 b) 199” = (200 - 1) = 200” - 2.200.1 + 1” = 40000 - 400 + 1 c) 47,53 = (50 - 3)(50 + 3) = 50% - 3% = 2500 - 9 = 2491 23 Chung minh rang: (a +b)* = (a -b)? + 4ab (a- b) = (a + b)” - 4ab Áp dụng: a) Tính (a - b)”, biết a + b = 7 và a.b = 12 b) Tinh (a + b)Ÿ, biết a - b = 20 và a.b = 3 Gidi Ta biến đổi từ vẽ phức tạp ra kết quá ở vế đơn giản a) (a + b)” = (a - b)Ể + 4ab
That vay, (a -b)’ + 4ab = a” - 2ab + bỶ + 4ab
=a’ + 2ab +b’ = (a +b) (dpem)
b) (a - by’ = (a + b)* ~ dab
That vay, (a +b)’ ~ dab =a’ + 2ab + b* - dab
=a” - 2ab +b’ = (a ~ b)’ (dpem) Ap dung: a) Ta có: (a - b)” = (a +b)”- 4ab = 7”- 4.12= 49 - 48 =1 b) Ta có: (a + b)Ể = (a - b)” + dab = 20” + 4.3 = 400 + 12 = 412 24 Tính giá trị của biểu thức 49x - 70x + 25 trong mỗi trưởng hop sau: 1 a)x=5; ) b) x= ) 7 ii a) Với x = 5 Ta có: 49x” 70x + 25 = (7x)” - 2.7x.5 + 5” = (7X 5)” = (35 - 5)” = 39” =900 b) Với x = Ta có: 49X” - 70x + 25 = (7x BI = (2 8ƒ'=(1-BÌ! = (4= 1B 25 Tỉnh:
a)(a+b+c)?; b)(a+b - c)”; e)(a b cj
Trang 1426 2 28 29 Gidi
Biên đối về những hàng đăng thức quen thuc, rồi tình wat b+ er lint bi el = (a+ br + Yor + ble +e
a’ + Yah +b’ + ae + 2be + ¢
=a +b’ 4° + 2ab + 2be + 2ea
bitareh ef slfta+b) ef statbr a+ bre + c* a + 2nh + bỉ - 2ac © 2be +
=a’ +b’ +c" + 2ab-2be 2ca
ata bee? =fla Bí: ef = (ab - 2H bhe+ of
a’ - 2ab +b’ 2ae + 2he +c =a +b° +c" - 2ah+2bc 2ca Bai tap muc §4 3 1 Tinh: a) (2x? + 3y)”; b) (2x ay 7771
a) (2X + 3v)! =(9x”1'! + 3x///(3y) + 32x”Á(3y + (3y)!
= 8x" + 36x'y + 54x”y” + 27y 1 _ 91 préls are cle -80 1x4 v8.2 v42- 8a de 9424 22 y #7 2 2 5 2 8 4 2 Viết các biểu thức sau dươi dạng lắp phương của một tổng hoặc một hiệu ay x? 4 Gx? Seats b) 8 - 12x + 6x? — x? Giai 3x° + 38x 1) a) Ta có: - x + 3x" - 3x4+1= 2 BY] = 1) = (1 =x) b) Taco: B 12x + 6x" (x) 6x* + 12x - 8) = -[(x)" ~ 3.0x).2 + 8.x)? — (2)"] = -(x ~ 2) = (2 - x) Tinh giả trị các biểu thức sau: a) x? + 12x” + 48x + 64 tai x = 6; b) xỶ - 6x” + 12x - 8tại x = 22 Gidi Ta đưa về các hàng đảng thức đáng nhớ, rỏi tỉnh giá trị eủa biểu thức: 4 = —[(x)" + 3x71 + 3.x, a) Với 4 = 6 ta có: xÌ + 19X” + 48x + 64 = (x)! + 3(x)2.4 + 3.x(4)2 + 4” = (x 4 4)” = (6 + 4)! = 10 = 1000 b) Voi x = 22, taco: x! Gx’ + 12x -8 = (x)! - 3.(x)°.2 + 3x2)” - (2Ÿ) = (x - 9)! = (22 ~ 2)’ = 20° = 8000 Đố vui: Đức tính đảng quý
Hãy viết mỗi biểu thúc sau dưới dạng binh phương hoặc lập phương của
mội tổng hoặc một hiêu, rồi điển chữ củng dòng với biểu thức đó vào bảng
Trang 15cho thịch hợp Sau khi thêm dấu, em sẽ tim ra một trong những đức tinh quỷ báu của con người x)- 3x? + 3x ~ 1 N 16 + 8x + x” U 3x +3x+1+x! —H 1-2y+y? A (x= 17) | œ+1 | (y= 1)? | x-1 | 14+)? | (1 -y)? Gidi Tacé: * x°- 3x? 4 3x-1=x° - 3x71 4+3.x.17- 15s (x- 1) =N Vay: * 164+ 8x4+x°= 47 +24x4x7= (44x)? = (x44) =U * 8x74 3x41 4x%= x94 3x? + 3x41 =x’ + 3x14 3x1? + 1e(x+ Di =(1+x'2H * 1-9y+y°=<(1-y=(y-1=Ä | l (x - U Ja+ Uỷ N | oH
â Bai tap muc Đ5
30 Rut gon các biểu thức sau: 31 a) (x + 8)(x? ~ 3x + 9) - (54 + x*); b) (2x + y)(4x? - 2xy + y?) - (2x — y)(4x? + 2xy + y’) Gjidi a) (x + 3)(x? ~ 3x + 9) ~ (54 + x”) = (x + 3)(x” - 3x + 3”) - (54 + x") = (x? + 35) - (B4 + x°) = x° + 3° - 54 - x! = 3° - 54 = 27 - 54 = -27
b) (2x + y)(4x? - 2xy + y”) - (2x ~ y)(4x” + 2xy + y*)
= (2x + y)[(2x)* - 9xy + y*] - (2x - y)[(2x)” + 2xy + y”I
= [(2x)* + y'] - [(2x)" - y`] = (2x)" + y` - (2x)! + y! = 9y!
Chứng minh rằng: a) a° + b* = (a + b)® ~ 3ab(a + b)
b) a® - b® = (a - b)* + 3ab(a - b) Áp dụng: Tính aŸ + bỶ biết a.b =6; a + b = -5
Gidt
Ta biến đổi vế trái (VT) ra vé phai (VP)
a) (a + b)’ ~ 3abla + b) = a’ + 3a?b + 3abŸ + b® ~ 3a’b - 3ab* = a’ + b’ (dyem) b) (a - b}' + 3ab(a - b) = a® — 3a°b + 3ab? - b + 3a?b - 3abể = a’ — b® (drm)
Áp dụng, tính: a” + bỶ với ab = 6; a + b= -5
Ta có: a’ +b’ = (a + b)! - 3ab(a + b) = (-5)* ~ 3.6.(-5) = -35
Trang 1632 Điền vào 6 trồng các hang tử thịch hợp a) (3x + y)( + ps Six +V” b) (2x Jf) + 10x + )= 8x” 1t Gidi wa ax+ yn | + \e SẠC #y hay (3x + vl|(3X/ 3vv+v |=(3x' + hay (3x + yW9x" - 3xy + y") = 27x! ey b2x-[ ]Tl[ |+10x+[ | =8x)— 19 hay (2x - 5)J|(2XI” + 10x + 57|= (9x)! —- 5" hay (2x ~ 54x" + 10x + 25) = 8x" = 125 Luyén tap 33 Tinh: a) (2+ xy)’; €}(5- x2J(5 +X: e) (2x - y)(4x” + 2xy + V'); Giai a) (2 + xy)* = 24 + 2.2.xy + (xy? 5 5 b) (5 - 3x)”; d) (5x - 1)'; f) (x + 3)(? - 3x + 9) 4+ 4xy + xéy? + 9x? 125x" = 75x” + 15x - 1 y b) (B- 3x)” + 5° -9,53x + (3XI” s25 - 30x ©) (5 - x (5 + x” ba (gt)? = 25 =x! dì (5x = 1)" = (5x - 806x101 + 3.5x.1° = 1° e) (2x - yl(4x” + 2xy + y”) = (2x - y2x” + 2xy + y”) =(9x}- y`= 8x Ì f) (x + 3x? - 3x +9) =x" - 3% =x? 27 a) (a+b)? -(a b)(a+b)” -(a 34 Rút gọn các biểu thức sau: ©)(x+y+z)”- Gidi a) (a + b)’ (a — b)’ = [la + b) + fa - b)ifla + bd bị”; b)* - 2b; Ax ty + 2x ty) + (x+y) (a - b)] =(a+b+a- bl(a+b-a+b) = 2a.9b = 4ab bì (a + bÌ” - (a - b)! - 9b! = [(a + BÚ! - (a - bị] - 2b”
= l(a + b) - (a - b)ll(a + b)* + (a + bla - b) +(a - b)?]- 2b}
=(a+b- a+bl(a” + 2ab + bỂ + a” - b+ a2 - 2ab + bŸ) - 2b”
= 2b(3a" + b*) ~ 2b! = Ga*b + 9b” - 2b" = Ga*b
ce) * Cach 1:
(x+y+2)°- 9(x+y+z)(x+y)+(X+
2xy b Qyx, oye
+ 22x - 2x? - vl°=x + ý? + 2? + 2xy + 9yZ -32X - 92y-+-kˆ+ 2Xy + VỶ
-98T.TOÁN 8(táp mọi) - Ï7
Trang 18Gjiai
Ea biến đối về này rà vẻ khi hoặc ngược lại
Chung minha by = th ải
Taedrta by sal dalbe sabe b's ay Shad Sha’ als tb ai bi Chung minh (a be = tae be
Taco La h a+b se Ita + brs tas by
86 PHAN TICH DA THUC THÀNH NHÂN TỬ
BANG PHUONG PHAP DAT NHAN TU CHUNG
1 KIEN THUC CO BAN [ 1 Khai nệm: Phân tịch đa thức thanh nhân tủ (hay thửa số) lả biến đổi | thúc thánh một tích của nhũng đa thức Vidu Phân tích đa thúc 3x” 6x thành nhân tủ Ta có: 3x” 6x = 3x(x - 2)
2 Ủng dụng của việc phản tích đa thúc thành nhân tử
Việc phản tịch đa thức thanh nhân tử có nhiều lợi ich giúp chung ta rut
gon duoc biéu thúc, tinh nhanh, giải phương trình
Phương pháp đât nhân tu chung
Phương pháp dùng hãng ở
Phương pháp nhom hạng tủ Pho: hop nhieu phuong phap
Ngoai ra con có những phương phap dac bid! hon như: Phương pháp | thém bot cung mot hang tu vao da thuc, phudng phap tach hang td
4 Phuong phap dat nhan tu chung Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thửa số chung, ta đặt thửa ] | | | | | | 3 Các phương pháp phân tích thành nhân tử cơ bản thưởng gắp | | | | | | | | | | |
Số chung đó ra ngoài dấu ngoac ( ) dé lam nhan tu chung
Các số hạng bền trong dấu ( ) có được bảng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tủ chung
5 Chủ y: Nhiều khi cần đổi dâu các hang tử để làm xuất hiện nhân tử chung
|
Vidu: 2x(x- y)+(y x) =2(x ý) (X y)=(x y)(2x 1) |
Trang 19II BÀI TẬP A Bài tập mẫu
1, Phân tích đa thúc thành nhân tử:
a) x’ — x; b) 5x?(x - 2y) - 15x(x - 2y); ce)3(x-y)- 5xíy x) Gidi a) x? -x=x(x- 1) b) 5x(x - 2y) - 15x(x - 2y) = 5x.X(x - 2y) - ðx.3(x - 2y) = ðx(x - 2y\x - 3) 3(x - y) - 5x[-(x ~ y)] B(x = y) + 5x(x — y) = (x ~ yX3 + 5x) e) 3(x- y) - 5X(y - x) " 2 Giải phương trình: a) 3x” - 6x = 0; b) 2x(x ~ 3) + 5(x ~ 3) = 0 Gidi Hidng dick B= Dex ("7° j [3x = [x=
Ota woe oSsre—2) sos | BE" es Â-2e0 [ER <0
Trang 20â) IONAX ý Byiy xP = 1OxIx VÌ + BVIX vio 2x yN5x + 4y)
Trang 21§7 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BANG PHUONG PHAP DUNG HANG DANG THỨC
1 KIEN THUG CO BAN
Về áp dung phương pháp dung hang dang thuc can luu y:
Trước tiên phải nhân xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tủ chung không? Nếu cỏ thi áp dụng phương pháp đật thành nhân tử chung |
Nếu không áp dụng được phương pháp đặt thảnh nhân tử chung thi |
xem có thể áp dụng hằng đẳng thúc đáng nhớ để phân tịch đa thúc thành
nhân tử hay không?
Chủ ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thúc Vidu:- xy? 8x°y 16= -(x'y? + 8x2y + 16) = (x’y + 4)? II BÀI TẬP A Bài tập mẫu 1 Phân tích đa thúc thành nhân tử: a)x” 4x44; b) 1 - 8x"; c) 4x°+4x 1 Gjiai ayx’ Iv+4= 2x.2 42% s(x 2)* bil) 8x = (1) ~ (oxy = 1 2x1? + 12x + (2x P= (CL 2xK1 + 2x 4 dN) c) 4x? + 4x —1= (4x* - 4x 4 1) = -|(2x))- 22x1+ l | = (2x 1ì 2 a) Tỉnh nhanh 105” - 25 b) Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp bằng 11 Tìm hai số ay ải a) Tính nhanh: 105” 95 Ta có: 105” 25 = 105” - 5” = (105 + 5)(105- 5) = 110.100 = 11000
b) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là n vàn + 1
Trang 2244 45, Giai a) x? 46x 49 (xi + 2x8 xa"? =+i bi 10x - 25-0 = ix’ 10x4+25)= ix? 2x5 +55 = tk B) gị BY = (XI 4 I 1 tủx I WANE + 2x : + } | 8 2 2 yd 1 (2x WIN +x 4+ ) 2 1 1, , : 1 1
dy 25 x- 64y 5 x = (By) Ss 5 ON + BY 5 w By) Ỷ Phân tịch các đa thức sau thanh nhân tủ a Ï ajX +; 27 b) (a + b)” - (a bị” €)(a+b)° +(a bị: d) 8x” + 12x2y + 6xy’ + y* e) x°+ 9x? — 27x 4+ 27 Gidi ì 1 ' da 1 1 ] apx'+ — =x’ +i-)'s(xt yx ~ axe 1 27 3 3 3 Ụ
bì (a + b)! - (a — bÌ = {la +b) -(a- bila + bY + (a+ bla biv(a bŸ|
=(a+b~a+blWta” + 2ab +b + a” b+ ad” -2ah + b*) = 2b(3a” + b), ec) (a+b? +(a- bis a+ bi+la—bia+ br tá + b)(a b) + ta br]
Trang 2346 b) x”=x+ 1 “2 <> (x 2 #> 0688 0 os agen 2 2 1 Vay x= — 2 Tinh nhanh: * a) 73? - 277; b) 37? - 14”; c) 2002? - 2” Gidi a) 78 - 27° = (73 + 27)(73 - 27) = 100.46 = 4600 b) 37° -1 37 + 13)(37 - 13) = 50.24 = 1200 c) 2002” - 2” = (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004.2000 = 4 008 000 §8 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ I KIẾN THỨC CƠ BẢN As — Ta ap dung phuong phap đặt thành nhân tử chung dé phan tich dia ——¬ Phương pháp chung:
Trước hết ta nhận xét rằng đa thức đó không thể phân tích thành nàân tử bằng phương pháp đặt thành nhân tử chung (PP1), ding hing đẳng thức đáng nhớ (PP2) Khi đó ta nghĩ đến phân tích đa thức thanh nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử (PP3)
Ta nhận xét để tìm cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp (có thiể giao hoán các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm từng nhóm địa thức có thể phân tích được thành nhân tử bằng PP1, PP2 và khi để địa thúc mới phải xuất hiện nhân tử chung
thức đã cho thành nhân tử
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2xy + 3z + 6y + xz
B1: Ta nhận thấy rằng đa thức không thể phân tích bằng PP1 hoaic +PP2 Ta nghĩ đến dùng PP3
B2: Ta thấy rằng cần giao hoán các hạng tử để có cách nhóm thíc:h
hợp Đó là:
2xy + 3z + öy + Zx = 2xy + by + 3Z + xz
= (2xy + 6y) + (3z + xz) = 2y(x + 3) + Z(x + 3) = (x + 3)(2y - Z)
Trang 24
A 1 E 47 Đổi với một đa thực ta có thể cö nhiều cách nhóm các hang tử một cách thích hợp
Khi phân tịch đa thức thành nhân tủ ta phải phân tích đến cuối cùng
(đến khi nảo không thé con phan tích được nữa)
Du phân tịch băng cách nảo thi kết quả cũng la duy nhất Khi nhóm các hạng tử thi phải chú ý dầu của đa thức
BÀI TẬP
Bài tập mẫu
Phân tích các đa thúc sau đây thành nhân tử
a) xy 5y+ 2x - 10; b) Qxy +2 + 2x + yz c) x’ + 2x41 -y* Giai (xy 5y) + (2x - 10) a) xy - 5y + 2x 10 " " y(x - 5) + 2(x " b) 2xy +2 + 2x + yz = (Qxy + 2x) + (z+) = 2x(y + 1) + Z(y + 1) =(y + 12x + Z) co) x? + 2x4] y ` =(X +2x+t1)- VV ` Tim y, biết: y(y - 4)+y -4=0 =(x+1+ylWx+1-y) Gidi Taco: yiy - 4) +y-4=0 coyly-4)+ly-4)=0 oly My +1) =0¢> v-4=0 © y=4 yrl=0 ye=1 Vậy y = 4 hoặc y = -1 Bài tập căn bản Phân tịch các đa thúc sau thảnh nhân tử: A) x” - xy+X-V; b) xz + yz - 5(x + y); c) 3x” - 3xÿ - 5x + By, Gidi
a) x? = xy + x y= (x? Xxyl+(X-y)=Xx yl+(x<y)=(X yWx+ 1)
b) xz +yz- Bix +y) = (xz + yz) Six +y)
= 2(x + y)~ Bix + y) = (x + ya - 5)
©) 3X” - 3xy - 5x + 5y = (3x” - 3xy) - (Bx - 5y)
= 3x(x - y) = 5(x - y) =(x - yM3x - 5)
Trang 2548 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)x”+ 4x -y +4; b) 3x” + 6xy + 3y’ 3Z; c)x” axy ty? 2° 4 2zt 9’ Gidi a) x° + 4x - y?4+4=(x? + 4x4 4)-y? = (x + 2)? - y? = (x +24 yx +2-y) b) 3x” + 6xy + 3y? - 32? = 3(x? + 2xy + y° - 2) = 3[(x” + 2xy +? 271 =8[(x +y)?- z?]= 3(x+y+zl(x+y 2)
ec) x? - xy + y? = 2? + Qat ~ 1? = (x? = Qxy +y?) - 2< 92t +)
Trang 26§9 PHẦN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIÊU PHƯƠNG PHÁP
1 KIEN THUG CƠ BAY
1 2huong phap chung Ta di tim hudng gidt bar toan bang cach doc kỹ để
arutra nhan xet co the
Dat nhan tu chung
Hoac dung hang dang thức Hoặc nhóm nhiều hạng tủ Hoặc có thể thành nhân tử sho! hap các phương pháp trên để phân tịch đa thúc
⁄¡ dụ: Phân tịch đa thúc thành nhân tủ
x? axy ty? 4 =(@ ` 2xy+y) 4
(x y/ 2=IX y+2)(X y2)
2 2hú ÿy Nếu các hang tủ của đa thúc có nhân tu chung, ta nén đặt nhân
ủ chung ra ngoải dấu ngoặc (_) để đa thue trong ( ) đơn giản hơn rồi mới
tếp tục phân tịch đến cuồi củng khi không côn phân tịch được nda ‘|
II BAL TAP
A Bii tap mau
1 Pân tích đa thức thành nhân tủ
Trang 2751 52 53 28 Vay x = 8 hoge x =~ 2
Bai tap can ban
Phân tịch các đa thức sau thành nhân tử:
a}%3- 2X” + X; b) 2x” + 4x + 2 - 2y”; €) 2xy - x? - yŸ + 16 Giai
a) x? ~ Ox? + x = x(x’ - 2x + 1) = x(x - 1)?
b) 2x? + 4x+ 2 ~9y” = Q(x? + 2x4 1 ~ y*) = Ol(x? + 2x + 1) - y’l
9[(x + 1 -y?]= 2(x+1+y(x+1-y)
©) 2xy - x’ - y + 16 = -(x” - 2xy + y” - 16) = -[(x” - 2xy + y”) - 16|
=-[(x-~ y)°- 4']=-(x-y +4\(x—y - 4) " =(4-x+y\(4+x-y) Chứng minh rằng (5n + 2)” - 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n Gidi Ta có: (5n + 2)'~4 =(5n) + 2.(5n).2 + 2°- 4 = 25n’ + 20n +4 - 4 = 25n’ + 20n = 5n(5n + 4) ' 5 (đpem) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: ä} #° - 3X +2 đợi ÿ: Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử -3x = -x - 2x thì ta có x”- 3x+2=x”-x-2x+2 vả có thể dễ dàng phân tích tiếp Cũng có thể tách 2 = -4 + 6 ta có xŸ - 3x + 2 = x”- 4 - 3x + 6, từ đây dễ dàng phân tích tiếp b) x? +x ~ 6; c) x? +5x +6 Gai
Trang 28Luyện tập
54 Phân tịch các đa thức sau thanh nhân tủ
a) x" + 2xŸy + xy” 9x; b)2x 2y x”+2xy -V”; ö)#" Đã” Giai
Phan tich eac da thức thanh nhân tử:
ñ) X`+2Xy + xy Ox = x(x" + 2xy + y" 9)
xix? + 2xy #97) OL = xlix + yl? = 37]
=XX+Vy+3l(x+y 3!
b) 2x 2y -x +2xy y 9y) - (x* ~ axy + v7)
Sy) = (xy) = (x = yi2 = (x = yl =(x yW2-x4y) cï x - 9# 2) 55 Tim x biét: 1 7 | a)x? arr b) (2x 1)? = (x #3)? = 0; c) x*(x- 3) +12 - 4x =0 Gidi [A=0 Hướng dẫn: A.B =0 «3 | /B=<0 yt yl Woe ay X= x#O xế —)=Oexlx (| =0 4 4 2 [x0 ' |%=0 1 1 eo X(X + — UX J#0@6|X‡- S0 & |xẽ- | 2 2 1 % 0 x ` 9 2 1 Vậy x=~2 hoac x = 0 hoặc x = 5 b) (2x = 1 -(x+3)”°=0 {2 |(2x - 1) + (x + 3)lJl2x - 1< (X+3)| =0 3x+2=0 x |x-4=0 o> (3x + 2x - 4) =0 Vay x = 3 hoặc x = 4 c) x(x - 3) + 12 - 4x = 0 x(x — 8) - 4x - 3) = 0+3 (x- 3) - 4) =0 3 x-3=0 x= <> (x - 8x - 2x4 2)20 |x-2=0 [| x=2 x+2=0 x= -2
Vậy x = -2 hoặc x = 2 hoặc x = 3
Trang 29+ 5 1 1 56 Tỉnh nhanh giá trị của đa thúc: a) Pe 2 x tổ tại x = 49,75 , v2 b)x® yo -2y 1vdix=93vay=6 Gjidi Ta thu gon đa thức trước khi thay số vào dé tinh 1 2 a) Voi x = 49,75, ta có: X”+ -x+ se Đa E gửi TP máy g Tỷ 2 16 4 4 4 = (49,75 + 0,25)" = 50° = 2500 b) Với x = 93; y = 6, ta có: x? y?- By - Da x’ ~ (y? + 2y 4 1) = x? -(y + 1? =(x+y + 1x -y-1) = (93 + 6 + 193-6 - 1) = 100.86 = 8600, 57 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x’ — 4x +3; b) x? + 5x + 4; c)x’ x 6; d) x‘ + 4 (Goi y cau d): thêm và bớt 4x? vào đa thức đã cho) Gidi Ap dung phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử ayx’ 4x +3 =X -34-X+3=(X- 34) lX 3) =x(x- 8) - (x- 3)=(x- 3x - 1ì by x’ + 5X +4 <=X +tXx+4Xx+4=(X +x)+ (4x +4) xi dx x(x +1) 4 4(x+ 1) =(x+ 1x + 4) 4-x-2=Gˆ-4)-(x+2) el Xˆ-& 6 =x 4-2 =(x+2\x-2)-(x+2)l=(x+2)(x-2- 1)=(x+ 2) - 3) dì x +4=x + 4X” + 4< 4X? = Ux" + 4x? + 4) - 4X” = GỂ + 9)” (2M s (XỔ + 2+ 2xx” + 2 - 2x) 58 Chứng minh rằng nŸ - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n Gjidi Taco: n'- n=ninđ 1)= n(n t 1in-1)=(n- Dann st 1) vdin ec Z2
Nhan xét: Vein c Z thin 1, n,n + 1 la ba so nguyén lien tiép nen tích chia hết cho 2 va tich cing chia hét cho 3 ma (2.3) = 6 nén tich (n_ 1).n(n + 1): 6 tđpem)
Trang 30PHAN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BĂNG VÀI PHƯƠNG PHÁP KHÁC
Ngoài bồn phương pháp phân tích đa thức thánh nhân tử vừa học
Dat nhan tu chung
Dung hang dang thuc Nhom hang td
Phoi hop ba phuong phap trén
Ta cting co vai phuong phap thudng gáp khác (thuong dành cho hoc sinh kha 7a gidi) dé phan tịch đa thức thanh nhàn tử
1 Phuong phap: Tach mot hang tu thanh nhiéu hang tu Vi du a) Phân tịch đa thúc thành nhân tủ: x“ + 5x +6
b) Phân tich đa thúc thành nhân tỦ:x” x 6 Giai Khi ta không thể ap dụng các phương pháp thông thường ở trên thị tà nghĩ đến dùng phương pháp này Ta tách sở hạng 5x = 2x + 3x Khi do =x + 2x + 3x + 6 = (x” + 2x) + (3x 4+ 6) x + 5x +6 = x(x + 2) + B(x + 2) = (x + 2x + 3) b) Cách 1: Ta tách hang tu -x = 3x + 2x Khi do: x° x - 6 =x" 3x42x 6 = tx" — 3x) + (2x - 6) = x(x ~ 3) 4 2x - 3) = fx - 31x + 2) Cách 2: Ta cũng có thể tách hang tử 6= 2-4 Khidđó:x” x 6=x”-x-2 4=(X -4l (x+9) =lx+e2\x 2) -(x+2)=lx+2)(x 3)- l1Ị =Í# + 9# - 3]
2 Phương pháp: Thêm bót cũng một hang tủ vảo đã thúc
Trang 31en = Bai tap Phân tích da thức thành nhân tử: )X”- 7xy + 10y’; b) 5x? + 6xy + ÿŸ; c)x”- 5x - 14; d) x? + 2x - 15 a) 2x” + 10x + 8; b) xỶ - 9x? + 14x; a) x* + 64; b) x' + 4yŸ
Bài tập nâng cao
Trang 32ehatb be bee ay ea bets ath ut ihe ie th ceithes a bib Choa, b,c Ô thỏa ah + ác + be = 1 hùng mình rắng (1+ a )(f+€b )(1$c Gidi Ta co 1+ a> =ab+ ac + be + a = ala + bd Te bos ab+ae+ be +b 1+c <=ahb + ác + be +e = ath +el+ ehb + @} cũ chứ bế+bP a+enf bi bú co ba bt) + eta” bổ) bị viác b Me - b) ca ch a bta + bib e) eke a ) la bình phương của một số hữu tỉ + ea + bì = ta + ba + e) = ba + bì + cla + bì = (ta + bìtb + el = (b + ea +c) Suy ra: CÍ + a 01 + b H1 4 er sta ¢ berth + erie + ay’ 1a binh phương của số hưu tì a) Phán tịch thành nhân tủ: xÌ+y'+z” b) Chứng minh rằng nếu xŸ ax + by + cz chia hệt cho a+b+e ä) Ta có: x +” +# by Taco: ax + by +ez= x + y' +2 = (xe yt anxr ayes oe yz=a.V' Oxyz = (k++ y+ 2K +y 3xyz 2x = 2 -xy =c (x,y,z â Z) thi 12) Ky mye oe) xyz XY - yz - Zx)
Tich nay chia het cho x-+yo+2> xy ye wxsatbee
Tim nghiém nguyén cua phuong trinh
Trang 33(x4 12x" - 2x +2- x41 -5)=0 <> ix + DIE 3x - 2)) = Oc (x + 12x" Ax) +(x Dl = 0 lM +1:0 |x 1 (x + 1x ~ 202x + 1) = Oc | x- 2-0 x=2 2x+1=0 1 1x i 2 Vay tap nghiém cua phuong trinh S = (-1; 2 : +2)
7 Chung minh rang vin Ié thi: a) n? + 4n + 3 chia hết cho 8 b) n° + 3n? -n- 3 chia hết cho 48 Hudng dan a) n’+4n +3 =(n + 1)(n +3) Voi n = 2k + 1: (n+ In + 3) = 4(k + 10k + 2) bì n+3n“n-3=(n- lin + 1)(n +3) §10 CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC I KIẾN THÚỨC CƠ BẢN
1 Giả sử A và B là hai đơn thức, B z0
Ta noi A chia hết cho B nếu tìm được một đơn thức Q sao cho A = B.Q Ký hiệu: Q = A : B hoặc Q = S
2 Quy tắc:
a) Trưởng hợp hai đơn thức là hai lũy thửa của cùng một biển: Se Sàn hen
b) Trường hợp tổng quát: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (Trưởng hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:
Chia hệ sổ của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B
Trang 34II BÀI TẬP A Bai tap mau te TNH = AP TBR Gx b) 20x" | 12x; €) 15x Vy” bxy d) 15x3y" 5x7? Gidi A #8 Ñ ss - Hị TDy CN + oN WN Bg 20) x 5 jy lj2Ùx: - 12x = oN X l3 Xx 3 3 z = XỸ x” w Gì: JDWSV” :BWWP =: `” 3x1 = 3x rN y go su up Te se BP d) LSx'y" : Sx*y ‘5 ị VY o %^ ¥ 2 Cho P = 12x* bả ( 9xy*), Tinh gia tr của biểu thục P voix = 3 g Giai
Pa tha gon P true roi thay gia tri cua x va ý vào biểu thức thu gọn để
tinh gia tri cua biéu thie P Pa co a yh ye 1 4 Pe rosie? dì tươi T2, : 90x y? GÀ - 2 ve 3 3 “ae : lì g3 s6 3 Vay P= 36,
B Bai tap can ban `
Trang 35bì (-x!" : x)" = (=x)
c) Gy): (yt = (-y)
61 Lam tinh chia: 4 3 159 ‡ » a) 5x’y*: 10x°y; b) VEG oxy"): ©)(-xy)”” : ( xy) Giai % vŸ về al5x'y!:10Xy= 2 10x y XY La 2 3 3 bd ggg oe ‘ b) x'y? | xếy |= 4 _ Bs 1 att) Frye 2" 2
) (=xy)!" s (oxy)? = (-xy)! = (oxy)? = =x®y"
62 Tinh gia tri của biểu thc sau: 15x*y°z” : 5xy”z” tại x = 2; y = -10 vã z < 2004 Đặt P = 15xÍy ?Ẻ : 5xy”z 3.2'(-10) = 3.8(-10)= 210 Vay P = -240
§11 CHIA ĐA THỨC CHO DON THỨC
1 KIEN THUC CƠ BẢN
1 Quy tắc: Đa thức A vả đơn thức B (B z0) | Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia mỗi hạng tử của A cho 3 rồi Ì cơng các kết quả lại với nhau
1Bx°y° 12x9y? 10xy` |
Vi du: (15x?y° + 12xŸy? - 10xy?) : 3xy?= 3xy + 2 2
3xy
‘4 » 10
= 5xy” + 4x? y 3%
3xy
2 Chú ý: Trong trưởng hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân Ủ,
thưởng ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh 4x? (x? — 2y?) _ Vidu: (4x* ~ 8x’y’) : (-4x’) = (x?- 2y?) = 2y’ x? | | | | 4x?
| Trong thực hành có thể bỏ bớt một sổ phép tỉnh trung gian, chang har
(5xŸy° - 3x'y* + 2x°y’) : (-3x’y’) = oxy +x’y ox
Trang 36II BÀI TẬP
A Bai tap mau
1 Lam tinh chia) (18x"y) Pax yon 6x yl bx y
Giai
A toa IRxlv” 21x'v° GxPy® „
(ỊHNy 2ÍNV +@ƯXV ! ỦN v ' ge eee = axy ty Gx y Oxy 6x’y
2 Lam tình chia: (15x'y? 5x“y! + 10xy*) : 5xy
Giai
Nhan xet Ta thay rang da thue o tu co thé dat Sxy° lam nhân tử chung,
ta đất nhấn tử chúng để rút gọn cho nhanh, thất vay
(15XỈy” -5XÊY) + 10XY ưXÿ = đXV 2N” xý + 9V 1:5xy” = 3X - xy + 2y”
B Bai tap can ban
63 Khong lan tinh chìa, hãy xe! xem đa thức A cỏ chia hết cho đơn thúc B không
A= 15xý + 17xyÌ + 18y B = 6y
Giai
Nhân xet; Ta biet rang da thue A chia hét cho don thie B khi và chỉ khi
mỗi hạng -ử của A tphản chu) deu chia hết cho đơn thức B,
Vi vay: Da thie A co thé dat y lam nhan tu chung, ta 6 thé rut gon cho
đơn thức Ï ye
Trang 3765 Lảm tinh cha: [3x y)* + 2(x y)) 5(x Vy) ]:(y x)’
(Gợi ý: Có thể đặt x- y = z rồi áp dụng quy tắc chia đa thúc cho đơn thục ) Gidi Do (x - y)’ = ly ~ x)’, ta có: ' _ (x-yjlÄfx:yŸ (ðlx yì 5 l3(x - y!! + 2(x - yl? - 5lx - y)”|: (y - x= Ẵ (x vì =3(x-yl°+2(x-y)-5=3x” Qxy + y+ 2x 2y 5 = 3x’ - Gxy + By’ + 2x - 2y 5 66 Ai dung, ai sai? Khi giải bai tap: “Xét xem đa thúc: A = 5x! - 4x + 6x’y co chia het cho Gon thức B = 2x? hay không?"
Hà trả lỏi: “A không chia hết cho B vi 5 không chia hết cho 2”
Quang tra Idi: "A chia hết cho B vi mọi hang tử của A đều chia hết cho f3”
Cho biết ý kiến của em về lởi giải của hai bạn? Gidi
Ban Quang tra lời đúng vì đa thức A chia hết cho đơn thức B khí môi hạng tử (phần chữ) của A đều chia hết cho B
Ta có: (5x! - 4x” + 6x'y): 2X) = x”(5x” - 4x + 6y): 9x” =
Vậy A chia hết cho B
§12 CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
I KIẾN THUG CO BAN
| 1 Phương pháp: Ta trinh bảy phép chia nảy tương tự cách chia số tụ nhiên | Với hai đa thức tủy ý A và B của củng một biến, B z 0, tồn tai duy nhất
hai đa thức Q và R sao cho:
A=<B.Q +R (trong đó R = 0 hoặc bậc của R bé hơn bậc của B)
| « Nếu R <0: ta nói rằng đó là phép chia hết |» NổuR z0: ta nói rằng đỏ là phép chia có dư |2 Chủ ý:
a) Định lý Bơ-du (Bézout): Cho đa thức bậc n của an x | f(x) = agx” + an ax" 14 #aix tag (ane 0) |
S6 du trong phép chia da thuc f(x) cho nhi thuc bac nhat(x 4) bằng giả trị của đa thúc f(x) tai x = a
b) Hé qua: f(x) chia hét cho (x a) <> f(a) = 0
Trang 38(ta) la giả trị của đã thục f(x) tất x = a vớLa la nghiếm của đa thúc f(x))
Ta chung minh duce rang
trong đa thúc (x) = ax" 4 a, ox" + + AC + Ag (ay ¢ 0), VOI ay, 4.1 , aay la Cac SO nguyen, nghiem húu ti (néu có) phải có dang
trong do p la une của he số tự do (p 2a.) va q la ước duong của hé q so cua hang tu cao nhat(q/ a.) II BÀI TẬP A Bài tập mẫu 1 Sãp xếp đa thúc rồi làm tinh chia: (15+ 5x” 3x” 9x):(5 3x) Giai Ta sap xep các đa thức theo luy thừa giam dan cua x, rồi thực hiện phép chia nh si + 5x 9N +15 3x +6 + 5x x +3 9x +15 9x + 15 a Vậy 1X) + 5x? Ox 4 18051 8x #5) = x 4 3 2 Cho A và B là hai đa thúc Hãy chia A cho B rồi viét A dudi dang: A=BQ+R A=2x°-x 2x x 2x? dx” 3x" ax’ Gx 5x +1 Vays 2x) ox? x4 1s (x? ðX(2X+3)+5x+] 3 Dũng hãng đẳng thức để làm tịnh chia: (x” + 2x’y’ + y") : (x? + ý”), [2770
Ta có: 6Ÿ + 2xŸy) + VÌ) Oe 4 ys Oe yt ote v8) ex? ey? B Bai tap can ban
67 Sắp xếp các đa thức theo lúy thửa giảm dần của biển rồi làm phép chia:
Đ)'/G€ 7ml: w)n Ge By Bỳ (2° - 382 -3%2 ~2 ‡ 6X) BK? -2)
Trang 39Gidi a) x x" ix +3 x73 i để) - xỶ +Ø2x-1 2x” ix +3 2x” -Ôx x +3 x +3 0 Vậy: x” - 7x + 3 ~ x* = (x - 3)x" + 2x - 1) b) axt —3x' - 3x? 46x -2 | xi -2 a 4a | 2x? = 3x41 ax" +x? +6x = 2 Sy) ie cục xt 2 = 1 0 Vậy: 2x" - 3x” - 8x? — 2 + 6x = (x” - 2)(2x” - 3x + 1) 68 Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia a) (X” + 2xy + ÿ') : (X + V); b) (125x) + 1): (Ex +1); €) (x”- 2xy + y”) : (y - x) Gidi
Dùng hang dang thức để tính nhanh a) (x? + Qxy ty) s(x + y) = (x ty)?
b) (125x" + 1): (5x + 1) = [(5x)" + 1]: (5x + 1)
= (5x + 15x)” — 5x1 + 1]: (5x + 1) = 25x 7 +1
ce) (x? — axy ty ly ~ x) = (x- yy x) ey x
69 Cho hai đa thức: A = 3x‘ + x° + 6x -5;B=x? +1
Trang 40Luyện tập 70 am tình chía ẽ](25x” 5x” + 10x) 5x b(15x'y” 6x/y 3x ý ):6xy: Giai i 25 bx? ait25x” 5x’ a inst) geet = ZX ñN OK OK, ñN Lp v92 se cad , ; 0ÿ 3ÿ) 5 1 by 5x" y? » 6x“y - 3X”y?) : 6XỶy 5 xy 1 y 6x-y Gx’v 6x"y 2 2 71 Khong thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thuc A co chia het cho da thức B không f ia ; a) A= 15x" 8Á +X BS 2 XỔ bịA=#”-2x+1;B=1-x Giai
Da thie A chia hét cho đơn thức B Khi và chỉ khi môi hạng tự A (phan chữ đều chia hết cho đơn thức Bì