Tiểu luận đề cập đến một số kết quả liên quan đến không gian định chuẩn Lp[a,b]
Lời nói đầu Trong số không gian định chuẩn thường gặp có lớp không gian Banach đặc biệt quan trọng, lớp không gian Lp [a, b ] (p ≥ 1), thường ứng dụng nhiều lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, giải tích số đặc biệt lý thuyết xác suất- thống kê toán Trong lớp không gian này, ta cần khảo sát kỹ lưỡng thuộc tính không gian Lp [0, ] Các không gian Lp [a, b ] khác chắn có tính chất tương tự (vì ta hoàn toàn "đánh đồng" chúng với Lp [0, ] phép đẳng cấu cảm sinh t−a ) Sau từ song ánh ϕ [a, b ] vào [0, ], cho ϕ(t) = b−a ta xem xét số vấn đề không gian L1 = L1 [0, ] Với đề tài Tính compăc yếu L1 , tiểu luận trình bày số vấn đề có liên quan nhằm đặc trưng hóa tập compăc yếu L1 : Một tập F L1 compăc yếu (tương đối) ⇐⇒ F khả tích ⇐⇒ lớp độ đo tương ứng F = { A | f |: f ∈ F } tuyệt đối liên tục độ đo m ⇐⇒ lớp độ đo tương ứng F = { A f dm | f ∈ F } đồng liên tục ∅ (B, d) Đó nội dung tiểu luận Mặc dù có cố gấng lớn với ý tưởng phong phú thân, song lực nhận thức nguồn tài liệu tham khảo có hạn nên tiểu luận khó tránh khỏi hạn chế sai sót, nội dung hình thức trình bày Rất mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quí thầy cô bạn Nhân xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến PGS- TS Thái Thuần Quang, người thầy tạo điều kiện động viên tinh thần trình thực tiểu luận tính compăc yếu L1 Trong chương khảo sát cấu trúc tập compăc yếu L1 = L1 [0, ] Vì hình cầu đơn vị đóng không gian phản xạ compăc yếu, gợi ý dẫn đến cách hiểu rõ ràng không gian phản xạ L1 Điều minh chứng có nhiều kết tương đương L1(µ), với µ độ đo hữu hạn Chúng ta bắt đầu định nghĩa sau: Định nghĩa Ta nói tập F L1 khả tích (hay số tác giả nói, đồng khả tích) sup | f (t) | dt −→ a → ∞ f∈F {|f|>a} Điều có nghĩa tất phần tử F bị chặt cụt độ cao a với sai số (theo chuẩn L1) Sau vài ví dụ Các ví dụ : Cho f ∈ L1 , theo hệ bất đẳng thức Chebyshev m{| f |> a} a ∞ Do đó, A −→ A | f | tuyệt đối liên tục độ đo m, có: | f |−→ a → ∞ {|f|>a} Nói cách khác, tập đơn {f } tập khả tích L1 Trong thực tế, tập hữu hạn L1 khả tích 2 Nếu tồn phần tử g ∈ L1 cho | f |≤| g | với f ∈ F , F khả tích Thật vậy, cho trước f ∈ F a ∈ R , ta có {| f |> a} ⊆ {| g |> a} và, | f (t) | dt ≤ {|f|>a} | g(t) | dt ≤ {|f|>a} | g(t) | dt {|g|>a} Vì sup a→∞ | f (t) | dt ≤ | g(t) | dt − −−−→ f∈F {|f|>a} {|g|>a} Điều có nghĩa khoảng thứ tự [−g; g] = {f : −g ≤ f ≤ g} khả tích Dễ thấy khoảng thứ tự [g; h] khả tích giống Dãy fn = nχ[0;1/n] không khả tích Thật vậy: Do {| fn |> a} ⊇ [0; 1/n] với n đủ lớn nên | fn (t) | dt ≥ {|fn |>a} | fn (t) | dt = [0;1/n] ndt = nm([0; 1/n]) = n =1 n [0;1/n] Suy ra, sup | fn (t) | dt ≥ fn ∈(fn ) {|fn|>a} dãy (fn ) cho không khả tích Chú ý tập khả tích F L1 thiết có chuẩn bị chặn Thật vậy, ta chọn a ∈ R cho | f |≤ 1, ∀f ∈ F , {|f|>a} f 1= | f | ≤ a + 1, ∀f ∈ F Như ví dụ gợi ý, F khả tích lớp độ đo { | f |: f ∈ F } tuyệt đối liên tục m (hay số tác giả A nói, đồng tuyệt đối liên tục, hay cách đơn giản đồng liên tục) Sau nội dung kết Mệnh đề 13.1 Một tập F L1 khả tích lớp độ đo F = { | f |: f ∈ F } tuyệt đối liên tục độ đo m; tức A ∀ > 0, ∃δ > cho | f |< , ∀f ∈ F với A tập Borel A ⊂ [0, 1] mà m(A) < δ Chứng minh : Đầu tiên giả sử F khả tích đều, cho trước | f |< chọn a cho , > 0, ∀f ∈ F chọn δ > cho {|f|>a} aδ < /2 Khi đó, với f ∈ F A ⊂ [0, 1], ta có: |f|= A |f |+ A∩{|f|>a} ≤ A∩{|f|≤a} |f |+ {|f|>a} < < |f | 2 a A∩{|f|≤a} + a.m(A ∩ {| f |≤ a}) + a.m(A) < + = m(A) < δ Do dó, F tuyệt đối liên tục Bây giờ, giả sử F tuyệt đối liên tục Khi F bị chặn (theo chuẩn) Thật vậy, chọn δ > cho | f |< với f ∈ F A với tập Borel A ⊂ [0, 1] mà m(A) < δ Bây ta phân hoạch [0, 1] thành M = + [2/δ] đoạn con, đoạn có độ dài không δ/2 Từ đó, suy M f 1= M | f |= [0,1 ] | f |< k=1 A 1=M k=1 k δ > 0, F tuyệt đối liên tục nên chọn δ > để với f ∈ F , Ak ⊂ [0, ] rời m(Ak ) ≤ Cho trước | f |< , ∀f ∈ F với A ⊂ [0, ] mà m(A) < δ Tiếp theo, từ A bất đẳng thức Chebychev , để ý với f ∈ F ta có: m{| f |> a} ≤ Vì chọn a cho f a < M < δ , a M a | f |< Do đó, F khả {|f|>a} tích Để tổ chức thảo luận ngữ cảnh riêng, cần nhắc lại không gian đo kết hợp với ([0, 1], B, m) Để bắt đầu, dễ kiểm tra d(A, B) = m(A B) xác định giả metric B Do đó, ta định nghĩa quan hệ tương đương B cách khai báo A ∼ B ⇐⇒ m(A B) = 0, ta ký hiệu B tập lớp tương đương theo quan hệ này, d xác định metric B Trong thực tế, d metric đầy đủ B (bài tập 4, [1 ]) Dễ thấy điều để ý: với A B B , ta có m(A B) = d(A, B) = χA − χB Do đó, ta cân tập hợp hầu khắp nơi B thừa hưởng metric đầy đủ từ L1 Không gian metric đầy đủ (B, d) gọi không gian đo liên kết với ( [0, ], B, m) Trong trường hợp này, độ đo Borel µ tuyệt đối liên tục m µ liên tục ∅ (B, d) (các độ đo cư xử gần giống với hàm tuyến tính B Đặc biệt, ta cần quan tâm đến tính liên tục "không") Và tập F L1 khả tích lớp độ đo tương ứng F liên tục đồng bậc ∅ xem lớp hàm (B, d) (xem tập 6, [1 ]) Một trường hợp có tính riêng biệt sau đây: 2.1 Bổ đề 13.2 Cho f ∈ L1 , định nghĩa Φ : B −→ R Φ(A) = f Thế thì, Φ liên tục A (B, d) Chứng minh : (để ý Φ xác định đắn) Lấy ý Khi đó, với A, B ∈ B , ta có tính toán đơn giản sau: | f− A f |=| B f− A\B f |≤ B\A > 0, bé tuỳ |f | A B Do {f } ⊂ L1 khả tích có chuẩn bị chặn, theo vídụ 4, nên tồn số M > để f ≤ M Khi đó, từ bất đẳng thức ta suy | Φ(A) − Φ(B) | ≤ | f |≤ A B f A B 1≤ M A B = M.m(A∆B) Từ đó, chọn δ = (tức δ phụ thuộc vào f mà không phụ thuộc vào M A hay B) d(A, B) = m(A B) < δ ta có | Φ(A) − Φ(B) |< Do vậy, hàm tập Φ định nghĩa liên tục (B, d) 2.2 Hệ 13.3 Cho f ∈ L1 > 0, tập hợp {A :| f |≤ } đóng (B, d) A Thật vậy, cần để ý f |≤ } = Φ−1 ((−∞; ]) {A :| A Φ ánh xạ liên tục, (−∞; ] đóng R Cuối cùng, ta sẵn sàng nghiên cứu số vấn đề liên quan đến tính compăc yếu (hay, trường hợp này, hội tụ yếu) L1 Mệnh đề 13.4 Giả sử (fn) dãy L1 cho lim fn tồn R với n→∞ A tập Borel A [0, 1] Khi đó: a) fn khả tích b) fn hội tụ yếu đến hàm f L1; nói riêng, fn −→ A f A với tập Borel A ⊂ [0, 1] Chứng minh : Với > N = 1, 2, , định nghĩa: FN = {A ∈ B :| (fm − fn ) |≤ , ∀m, n ≥ N } A ∞ Vì ( fn ) Cauchy với A ∈ B , ta có B = FN FN n=1 A đóng B đầy đủ (bài tập 4), theo định lý Baire, phải tồn FN0 mà int(FN0 ) = ∅ Vì vậy, ∃A0 ∈ B số r > cho m(A∆A0) < r , suy A ∈ FN0 Bây giả sử m(B) < r Khi đó, với m, n ≥ N , ta có (fm − fn ) = B (fm − fn) − A0 ∪B (fm − fn) A0 \B có m((A0 ∪ B)∆A0 ) < r m((A0 \ B)∆A0 ) < r Do đó, | (fm − fn ) |≤ + = B áp dụng lập luận cho tập hợp B ∩ {fm − fn ≥ 0} B ∩ {fm − fn ≤ 0} | fm − fn |≤ m(B) ≤ r m, n ≥ N0 cho B Bây giờ, tập F = {fj : ≤ j ≤ N0} khả tích tồn s < r cho | fj |< ≤ j ≤ N0 m(B) < s B Cuối cùng, m(B) < s j > N0, có: | fj |≤ B | fj − fN0 | + B | fN0 |≤ + = B Vì thế, (fn ) khả tích đều, điều làm sáng tỏ (a) Tiếp theo, với A ∈ B , đặt Φ(A) = lim fn Thế Φ cộng n→∞ A tính đếm (điều suy từ kiện (fn) khả tích đều) tuyệt đối liên tục độ đo m Do đó, theo định lý Radon - Nikodym, ∃f ∈ L1 cho Φ(A) = f Điều có nghĩa A fn −→ A suy (từ tính tuyến tính tích phân) f với ∀A ∈ B Từ A fn g −→ f g với hàm đơn giản g Vì hàm đơn giản trù mật L∞ nên ta nhận fn g −→ w f g , ∀g ∈ L∞ Điều có nghĩa fn − → f L1, điều làm sáng tỏ (b) 3.1 Hệ 13.5 L1 đầy đủ yếu Chứng minh : Giả sử (fn) dãy Cauchy yếu L1 Thế thì, fn hội tụ với A ∈ B Vì thế, (fn) hội tụ yếu đến f ∈ L1 nói riêng, A theo mệnh đề 13.4 Cuối cùng, sẵn sàng để đặc trưng hoá tập compăc yếu L1 Định lý 13.6 Một tập F L1 compăc yếu tương đối khả tích Chứng minh : Giả sử F không khả tích Khi đó, ∃ > cho với n ta tìm fn ∈ F với | fn |≥ Nói riêng, {|fn|>n} (fn) dãy khả tích Khi đó, từ mệnh đề 13.4 suy (fn ) dãy hội tụ yếu Vì thế, F compắc yếu tương đối (Điều suy từ định lý Eberlein - Smulian: tập không gian định chuẩn compăc yếu compắc yếu liên tiếp) Bây giả sử F khả tích Ta tính đóng *- yếu F bao hàm L1 (được xem tập L∗∗ ) và, vậy, F compăc yếu Đến phần cuối giả sử G tính đóng *yếu F Cho trước > 0, chọn δ > cho | f |< f ∈ F A m(A) < δ Vì G điểm tụ *- yếu F nên ta suy | G(χA ) |< m(A) < δ Vì vậy, độ đo A → G(χA) tuyệt đối liên tục m Theo định lý Radon - Nikodym, có g ∈ L1 cho G(χA ) = g suy A (từ tính tuyến tính liên tục G) G(h) = hg với h ∈ L∞ Điều nghĩa G = g ∈ L1 Chứng minh tương tự áp dụng cho không gian L1 (µ) bất kỳ, µ độ đo dương hữu hạn Vì vậy, µ dương hữu hạn, tập compăc yếu L1(µ) tập khả tích cách xác Điều dẫn đến hệ cuối (nhưng lại hữu ích nhất) Hệ 13.7 (Định lý Vitali - Hahn - Saks) Giả sử (µn ) dãy độ đo có dấu σ - đại số Σ cho µ(A) = lim µn (A) tồn R với A ∈ Σ Thế µ độ đo có dấu n→∞ Σ Chứng minh : Đặt ∞ λ= n=1 | µn | 2n µn (trong µ =| µ | (X) biến phân toàn phần µ áp dụng cho không gian đo X) Khi µn tuyệt đối liên tục λ, tức dµn = fn dλ với fn ∈ L1 (λ) Do đó, fn dλ = µn (A) −→ µ(A) với A ∈ Σ A vậy, theo mệnh đề 13.4, ∃f ∈ L1(λ) cho f dλ = lim fn dλ = µ(A) n→∞ A A 10 với A ∈ Σ Điều nghĩa dµ = f dλ suy µ độ đo có dấu (tức µ cộng tính đếm được) Σ Bài tập Nếu (fn ) hội tụ đến f L1, cho chứng minh trực tiếp dãy (fn ) khả tích hkn Giả sử (fn ) dãy L1 Nếu fn −−→ f , chứng tỏ khẳng định sau tương đương: (a) dãy (fn ) khả tích (b) fn − f 1−→ n → ∞ (c) fn 1−→ f n → ∞ Nếu (fn ) hội tụ yếu đến f L1 , dãy (fn) khả tích Chứng minh d(A, B) = m(A∆B) xác định giả metric đầy đủ B Cho độ đo µ : B −→ R, chứng minh khẳng định sau tương đương: (a) µ tuyệt đối liên tục m (b) µ liên tục ∅ (B, d) (c) µ liên tục (B, d) Chứng minh tập F L1 khả tích lớp độ đo tương ứng F = { A f dm | f ∈ F } đồng liên tục (liên tục đồng bậc) ∅ (B, d) Lời giải L1 Vì fn − → f nên ∀ > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0 ta có: d(fn , f ) = fn − f 1= | fn (t) − f (t) | dt < 11 Khi đó, với a ∈ R, đặt A = {| fn |> a}, ta có : | fn(t) | dt = A | (fn(t) − f (t)) + f (t) | dt A ≤ | fn (t) − f (t) | dt + A | f (t) | dt A ≤ | fn (t) − f (t) | dt + | f (t) | dt A ≤ | fn (t) − f (t) | dt + < | f (t) | dt < (ở đây, {|f|>a} + = , ∀n ≥ n0 tập {f } khả tích đều, theo ví dụ 1.) {|f|>a} Suy sup | fn (t) | dt ≤ fn ∈(fn ) {|fn |>a} (với a đủ lớn) Vậy dãy (fn) khả tích Ta chứng minh theo sơ đồ a)→b)→c)→a) hkn | f (t) | dt Biết fn −−→ f , tức là, với > cho trước tập A = {t ∈ [0, 1] : | fn (t) − f (t) |≥ } có độ đo không Khi đó: 12 a)→b) Giả sử dãy (fn ) khả tích Ta cần chứng minh fn − f −→ n → ∞ Thật vậy: fn − f 1= | fn (t) − f (t) | dt = + | fn (t) − f (t) | dt A | fn (t) − f (t) | dt AC hkn Do tính liên tục hàm tập A → | fn − f | fn −−→ f mà A | fn − f |< , A với n đủ lớn Mặt khác | fn (t) − f (t) | dt ≤ AC Từ đó, dt ≤ AC fn − f b)→c) Giả sử Thật vậy: 1< fn − f dt = + = , n đủ lớn Điều làm sáng tỏ b) n→∞ −−−→ 1− 0, ta chứng minh fn n→∞ −−−→ 1− f 1 Lấy > bé tuỳ ý, fn − f n→∞ −−−→ 1− n→∞ 0, tức | fn − f |−−−−→ 0 nên ∃n0 | fn − f |< , ∀n ≥ n0 Khi 13 | fn − f 1| =| | fn | − | f ||=| 0 || fn | − | f ||≤ ≤ Do đó, n→∞ −−−→ 1− fn c)→a) Giả sử Thật vậy: > 0, Lấy fn | fn − f |< , c) chứng minh n→∞ −−−→ 1− n→∞ −−−→ 1− f f 1 Ta chứng minh dãy (fn ) khả tích nên ∃n0 | fn − f ∀n ≥ n0 f fn (| fn | − | f |) | 1|=| | fn − f |< , ∀n ≥ n0 (| fn | − | f |) |≤ 0 Khi đó, chọn a ∈ R cho | f |< (điều hoàn toàn phù hợp với {|f|>a} {f } ⊂ L1 khả tích đều) đặt An = {| fn |> a}, ta có : | fn | = An | (fn − f ) + f |≤ An ≤ | fn − f | + An | fn − f | + | f |< |f | An + = {|f|>a} hkn (ở đây, để ý rằng, fn −−→ f nên An = {| f |> a} hầu khắp nơi | f |= An | f |) {|f|>a} 14 Từ suy sup | fn (t) | dt ≤ fn ∈(fn ) {|fn |>a} (với a đủ lớn) (fn ) khả tích Vì fn hội tụ yếu đến f nên fn −→ tụ nên bị chặn Suy lim f Do ( fn ) dãy hội fn tồn R với tập Borel A n→∞ A [0, 1] Vì vậy, (fn) khả tích đều, theo mệnh đề 13.4 Trước tiên ta kiểm chứng d(A, B) = m(A∆B) xác định giả metric B Thật vậy: i) Rõ ràng d(A, B) ≥ 0, ∀A, B ∈ B Mặt khác d(A, A) = m(A∆A) = m(∅) = Tuy nhiên, d(A, B) = tức m(A∆B) = không suy A=B (Vì A B cần sai khác tập N cho m(N ) = 0!) ii) d(A, B) = m(A∆B) = m(B∆A) = d(B, A), ∀A, B ∈ B iii) Với A, B, C ∈ B ta có d(A, B) + d(B, C) = m(A∆B) + m(B∆C) Mặt khác dễ kiểm chứng A∆C ⊂ (A∆B) ∪ (B∆C) Suy m(A∆C) ≤ m(A∆B) + m(B∆C) hay d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) Vậy d giả mêtric B Tiếp theo, ta chứng minh tính đầy đủ không gian (B, d) Thậy vậy, giả sử {An} dãy Cauchy (B, d) Xét dãy {Ank } cho 15 d(Ank , Ank+1 ) < ∞ ∞ Đặt A = ∞ Ani ∈ B A ⊂ k=1 i=k 2k+1 Ani Do i=k ∞ µ(A) ≤ µ( ∞ ( Ani ) = µ(An1 i=1 (Ani+1 \ Ani ))) i=1 ∞ ≤ µ(An1 ) + µ(Ani+1 \ Ani ) i=1 ∞ ≤ µ(An1 ) + i=1 2i+1 Ta chứng minh A = lim An , n→∞ ∞ µ(A \ Ank ) ≤ µ( (Ani+1 \ Ani )) i=k ∞ ≤ µ(Ani+1 \ Ani ) n=k ∞ ≤ n=k 2i+1 = 2k ∞ Mặt khác, ta có Ank ⊂ (Ani \ Ani+1 ) nên i=k ∞ µ(Ank ) ≤ ∞ µ(Ani \ Ani+1 ) ≤ i=k i=k 2i+1 = 2k Từ suy µ(Ank ∆A) = µ(Ank \ A) + µ(A \ Ank ) ≤ Cho k → ∞ ta có d(Ank , A) → Vì 2k−1 d(An , A) ≤ d(An , Ank ) + d(Ank , A) → Hay An − −−−→ A Bài toán chứng minh xong n→∞ 16 Ta chứng minh theo sơ đồ a)→b)→c)→a) a)→b) Giả sử có a) Lấy > 0, µ tuyệt đối liên tục m nên tồn δ > cho với A∈ B mà m(A) < δ µ(A) < Nhưng đó, d(A, ∅) = m(A∆∅) = m(A) µ(A) =| µ(A) − |=| µ(A) − µ(∅) | nên ta có | µ(A) − µ(∅) |< d(A, ∅) < δ Vì µ liên tục ∅ (B, d), theo định nghĩa b)→c) Giả sử có b) Khi với tập A,B mà d(A, B) = m(A∆B) < δ ta có µ(A∆B) < Mặt khác, từ bất đẳng thức | µ(A) − µ(B) |≤ µ(A∆B) ta suy | µ(A) − µ(B) |< d(A, B) < δ Do vậy, µ liên tục (B, d) c)→a) Giả sử có c) Lấy > 0, µ liên tục (B, d) nên tồn δ > cho với A∈ B mà m(A) = d(A, ∅) < δ µ(A) =| µ(A) − µ(∅) |< Vậy µ tuyệt đối liên tục m Theo định nghĩa, tập F = { f dm | f ∈ F } đồng liên tục A ∅ (B, d) ⇐⇒ (∀ > 0)(∃δ > 0) cho f ∈ F với A ∈ B , ta có | f dm − A f dm |< miễn m(A∆∅) = d(A, ∅) < δ ∅ ⇐⇒ (∀ > 0)(∃δ > 0) cho | f dm |≤ A | f |< với f ∈ F A với tập Borel A ⊂ [0, 1] mà m(A) < δ 17 ⇐⇒ lớp độ đo F = { | f |: f ∈ F } tuyệt đối liên tục A độ đo m ⇐⇒ tập F L1 khả tích đều, theo mệnh đề 13.1 18 kết luận Tiểu luận đạt kết sau: dịch chương 13 A Short Course On Banach Space Theory (tác giả N L Carothers) giải tất tập cuối chương cách rõ ràng, đầy đủ Tôi cố gắng làm rõ nhiều chi tiết mà tác giả sách bỏ qua, ví dụ 2, mệnh đề 13.1, bổ đề 13.2, Ngoài ra, khuôn khổ thời gian có hạn nên đưa vào số kiến thức lý thuyết độ đo tích phân Lebesgue, có liên quan, chẳng hạn định lý Radon - Nikodym, khái niệm độ đo có dấu tính chất nó, Mặc dù vậy, hy vọng tiểu luận đáp ứng yêu cầu đặt đề tài dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên yêu thích môn giải tích toán học Một lần xin chân thành cảm ơn PGS -TS Thái Thuần Quang 19 Tài liệu [1] N L Carothers, A Short Course On Banach Space Theory [2] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học THCN 1983 [3] Trần Tất Thắng, Từ điển Toán học Anh - Việt, NXB Khoa học Kĩ thuật 1976 20 Mục lục Định nghĩa 2 Mệnh đề 13.1 2.1 2.2 Bổ đề 13.2 Hệ 13.3 Mệnh đề 13.4 3.1 7 Hệ 13.5 Định lý 13.6 9 Hệ 13.7 (Định lý Vitali - Hahn - Saks) 10 Bài tập 11 21