bai giang toan hoc 160

Khóa học: Phương trình vô tỷ http://baigiangtoanhoc.com Bài giảng số 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Dạng bất phương trình vô tỷ    3 f ( x)  g ( x )  f ( x )  g ( x ) f ( x)  g ( x )  f ( x )  g ( x ) B   A  A  B   ; B     A  B B   A  B  A   A  B2  B CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: a) x2  x   x  (1) b) x2  3x   x  (2) c) x  3x   x  x  (3) Giải  3 x     2   x  2   x  x   ( x  2)   x  2   x    2  x      a) (1)      3 x     x2  x     x  2  2     x  x    1   x     5  Vậy nghiệm bất phương trình (1) là: S1   ;   3  Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Khóa học: Phương trình vô tỷ http://baigiangtoanhoc.com x  1   x 1    x  2    b) (2)   x  x     x1 2 x  3x   ( x  1)2     2 2 x  x   x  x  1  x   x 1  13       x 2  x  x    1  13  x  1  13  2  1  13  Vậy nghiệm bất phương trình (2) là: S   ;  2  c)   x  1  x  3x     x  2 (3)      x  3x   x  x  2 x  10 x      x  1   21    1  x    x  2     21    x   21   x  2   x  2      x   21      21    21  Vậy nghiệm bất phương trình (3) là: S3   ; 2   1; ;          Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 5x 1  x 1  x  Giải  5x    *Điều kiện:  x    x  (1) 2 x    *Khi đó, bất phương trình cho tương đương với: x   x   x   x   x   x   ( x  1)(2 x  4)  x   ( x  1)(2 x  4)  x   x   0 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Khóa học: Phương trình vô tỷ http://baigiangtoanhoc.com  ( x  2)2  ( x  1)(2 x  4)   x  10 (2) Kết hợp (1) (2) ta có tập nghiệm bất phương trình cho: S   2;10  Một phương pháp biến đổi tương đương biến đổi dạng tích qua ví dụ sau: x  3x   x  x   x  x  Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: Giải  x  3x   x   *Điều kiện:  x  x      x 1  x  5x    *Trường hợp 1: x  (3)  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  4)  x 1   x   x   x 1 x   x   x   x   x2  x4  x4  x3 Vì x  nên vế trái dương, vế phải âm nên bất phương trình nghiệm Vậy x  nghiệm (3) *Trường hợp 2: x  (3)  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  4)  1 x    x   x  1 x  x x 1     x   x   x (*) Ta có: (*)   x   x   x   x Vì x  nên   x   x   x   x   x   x    x   x   (*) vô nghiệm Kết luận: Vậy bất phương trình có nghiệm x  x  Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: 3x   x   x 1 Giải Khi bất phương trình cho tương đương với: Điều kiện: x   Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang (3) Khóa học: Phương trình vô tỷ http://baigiangtoanhoc.com ( x  1) x 1 1     x  1   0 3x   x   3x   x   1   nên phương trình tương đương với: 3x   x  Nhận thấy x 1   x    Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình là: S    ;1   Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ   Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:  x    x  x  (1) x  Giải Đặt t  x   t2  x  x t   t  (theo bất đẳng thức Cosi) 1 1  2x   2t  4x 2x t  Bất phương trình (2) trở thành: 5t  2t     t   2 Với t  ta có: Với t   2  x x    2 x 2   x 2 0  x   0  x   2  (loại, không thỏa mãn điều kiện)   3  Vậy nghiệm (1) là: S   0;      2;     2  Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: x   x   49 x  x  42  181  14 x (1) Giải 7 x   Điều kiện:  x 7 x   Đặt t  x   x  6, (t  0) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Khóa học: Phương trình vô tỷ http://baigiangtoanhoc.com  t  x   x   (7 x  7)(7 x  6)  14 x  (7 x  7)(7 x  6)  t  Ta có: (1)  x   x   14 x  49 x  x  42  181 t  t   181 t  t  182  Vậy (1) trở thành:     t  13 t  t    Với  t  13  x   x   13 7 x   x    x   x    169  49 x  x  42  84  x     6 x x     49 x  x  42   84  x 2  x6     6  x6 x    x  12  6  Vậy tập nghiệm: S   ;  7  Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: (1  x )5  x  (1) Giải: Điều kiện để thức có nghĩa là: x   0;1   Đặt x  cos t với t  0;  Ta có bất phương trình: sin t  cos t   2 5   Do sin t  sin t cos t  cos t nên sin t  cos t  sin t  cos 2t  với t  0;   2 2 Do bất phương trình có nghiệm là: x   0;1 Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: x2  x   x  x  (1) Giải Điều kiện: x  Ta có: (1)   x    x  x   x u  x  Đặt  Khi bất phương trình (1) trở thành:  v  x  2u  2v  u  v uv 0  x     u  v  (*)    uv  x4  2  x  x   2u  2v   u  v   u  v   Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang (*) Khóa học: Phương trình vô tỷ http://baigiangtoanhoc.com Vậy nghiệm bất phương trình là: x  Dạng 3: Phương pháp đánh giá x x Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau:   1 (1)  x2  x  Giải x0  Điều kiện:   x0 x  x 1  Ta có: 2( x  x  1)  x  ( x  1)2     2( x  x  1)   (1)  x  x   2( x  x  1)  2( x  x  1)   x  x (*) Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2( x  x  1)  (1  1)  (1  x)  ( x )    x  x (**) (1  x)2  x 3   x  x Dấu ‘=’ xảy khi:    x 1  x  x   1 x     Vậy tập nghiệm: S      Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: x  x   x  x  11   x  x  Giải Điều kiện: x  1;3 Bất phương trình  x  x   x   x  x  11   x  ( x  1)2   x   ( x  3)2    x Xét hàm số y  f (t )  t   t , t f '(t )  t 2  t  x  1;3 Do y  f ( x ) hàm số đồng biến 1;3 Bất phương trình trở thành: f ( x  1)  f (3  x )  x    x  x  Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình là: S   2;3 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Khóa học: Phương trình vô tỷ http://baigiangtoanhoc.com Bài 1: Giải bất phương trình sau: x   2x 1 ĐS: S  3;   x2  x   x    ĐS: S    ;     3x   x  2  ĐS: S   ;1 3  3x  x   x    1  41  ĐS: S   ;     ;   3    3 x  x   2 x  4 ĐS: S   ;    1;   3 x  x 1  x  x 1  8x  x   x    x  16 x 3   1 4x2 3 x 10 x2 3   2x  ĐS: S  1;   1    ĐS: S      ;   4 2  7x x 3 x3  ĐS: S   5;    1 ĐS: S    ;  \ 0  2  7 ĐS: S    ;  \ 0  2  x  21 11 x  x  12   x  61  ĐS: S   ; 3   4;   13  12 x    x  2x  ĐS: S   4;5   6;7  13 14 x  16 x 3  x3  x  3x   x 3 2x 1 ĐS: S   5;   5  3  ĐS: S   ;    1;    2;   2  2  15 ( x  3) x   x  13   ĐS: S   ;    3;   6  16 x  3x  10  x  ĐS: S   ; 2  14;   Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Khóa học: Phương trình vô tỷ http://baigiangtoanhoc.com 17 3 x  x  2 x  4 ĐS: S   1;0   ;   3 18 x 1   x  ĐS: S   0;   19 x   x 1  x   28  ĐS: S   ;     20 x2  x   x  x   x  x  ĐS: S  1 Bài 2: Giải bất phương trình sau: x x 1 2 3 x 1 x   ĐS: S    ; 1   2 x  x    x  x   x     1  x  x x x x  x  x   10 x  15 x2 Bài 3: Giải bất phương trình sau:  x   x   x   x   13  x x   x2 x x   x  x3  1  1   ĐS: S   1;0          53    53 ĐS: S   ; ;          ĐS: S   1;1 6  ĐS: S   ;  7  ( x  2)(4  x)  x   4  x  x x  x  30 ĐS : S   2; 4 x  x2 1  x  x2 1   ĐS: S   3;  ĐS: S  1    ĐS: S      x  x  x   3x  x     ĐS: S      x 1  9x    x     ĐS: S    ;1   x 1   x  ĐS: S   ;3 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang