NGUYỄN ðỨC TUẤN TỰ ÔN LUYỆN THI MÔN TOÁNMÔN TOÁNMÔN TOÁNMÔN TOÁN Hà nội, 1 - 2005
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 1 Chương 1: Phương trình và bất phương trình Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I. Cách giải 1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b ∈IR. • Nếu a ≠0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - ab. • Nếu a = 0, b ≠0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x ∈IR. 2) Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0, a ≠0. • Nếu ∆= b2 – 4ac < 0 phương trình vô nghiệm. • Nếu ∆= 0 phương trình có nghiệm kép ==21xx - a2b. • Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt =2,1x a2b ∆±−. II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm 1) ðịnh lí Viét : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠0 có hai nghiệm 21x,x thì S = =+21xx - ab và P = =21x.x ac. 2) Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghiệm: Trái dấu ⇔ 0ac< Cùng dấu ⇔ >≥∆0ac0 Cùng dương >−>≥∆⇔0ab0ac0 Cùng âm <−>≥∆⇔0ab0ac0 III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠0 ta có 1. ðịnh lí thuận: • Nếu ∆ = b2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 với ∀x. • Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀x ≠- a2b. • Nếu ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và a.f(x) > 0 với x ngoài ]x;x[21. a.f(x) < 0 với 21xxx <<. 2. ðịnh lí ñảo: Nếu tồn tại số α sao cho a.f(α) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt và số α nằm trong khoảng hai nghiệm ñó: 21xx<α<.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 2 IV. Ứng dụng 1. ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c không ñổi dấu với mọi x f(x) > 0 với ∀x <∆>>==⇔00a0c0ba f(x) ≥ 0 với ∀ x ≤∆>≥==⇔00a0c0ba f(x) < 0 với ∀ x <∆<<==⇔00a0c0ba f(x) ≤ 0 với ∀ x ≤∆<≤==⇔00a0c0ba 2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α • ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và 21xx <α<là: a.f(α) < 0. • ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và α nằm ngoài khoảng hai nghiệm: >α>∆0)(f.a0 - Nếu α nằm bên phải hai nghiệm: α<<21xx ⇒<−=>α>∆aa2b2S0)(f.a0 - Nếu α nằm bên trái hai nghiệm: 21xx <<α >−=>α>∆⇒aa2b2S0)(f.a0 • ðiều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm nằm trong, một nghiệm nằm ngoài ñoạn [βα;] là: f(α).f(β) < 0. 3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x > α: • Trường hợp 1: f(x) có nghiệm 21xx <α<⇔ a.f(α) < 0. • Trường hợp 2: f(x) có nghiệm 21xx <<α ⇔ <α>α≥∆2S0)(f.a0 • Trường hợp 3: f(x) có nghiệm 21xx <=α<α=α⇔2S0)(f ( Làm tương tự với trường hợp x < α và khi xảy ra dấu bằng) Ngoài ra ta chú ý thêm ñịnh lí sau: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục. Khi ñó ñiều kiện ñể phương trình f(x) = m có nghiệm là minf(x)≤m≤maxf(x).
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 3 Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai Nếu 0<∆ Nếu 0=∆ Nếu 0>∆ a.f(x) > 0 với ∀x a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - a2b a.f(x) > 0 với x ngoài ]x;x[21 a.f(x) < 0 với 21xxx << Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α ðiều kiện ñể f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt và α nằm giữa khoảng hai nghiệm 21xx <α< α nằm ngoài khoảng hai nghiệm >α>∆0)(f.a0 α<<21xx α<<21xx T×m 15 % cña 800 800 : 100 x 15 = 120 T×m 30 % cña 48 48 x 30 :100 = 14,4 Toán Bài 1: T×m 15 % cña 320 kg 320 x 15 : 100 = 48 kg T×m 24 % cña 235 m2 235 x 24 :100 = 56,4 m2 Bài : Một người bán 120 kg gạo , có 35% gạo nếp Hỏi người bán ki-lô-gam gạo nếp ? Tóm tắt Giải: Có: 120 kg gạo Số kg gạo nếp bán là: Gạo nếp : 35% 120 x 35 : 100 = 42 (kg) Gạo nếp ? kg Đáp số: 42 kg Bài 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 18m, chiều rộng 15 m Người ta dành 20% diện tích đất để làm nhà Tính diện tích phần đất làm nhà Tóm tắt: Dài : 18m Rộng :15 m S mảnh đất : ? m2 S làm nhà : 20% S làm nhà : ? m2 Giải: Diện tích mảnh vườn là: 18 x 15 = 270 (m2) Diện tích đất làm nhà là: 270 x 20 : 100 = 54(m2) Đáp số: 54(m2) T×m 60 % cña 25 kg 25 x 60 : 100 = 15 kg T×m 30 % cña 240 m2 240 x 30 : 100 = 72 m2 Ôn tập: Giải toán tỉ số phần trăm Chuẩn bị bài: Giải toán tỉ số phần trăm (tt) (trang 78) Trần Só Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ®=x0sinxlim1x Hệ quả: ®=x0xlim1sinx ®=u(x)0sinu(x)lim1u(x) ®=u(x)0u(x)lim1sinu(x) b) xx1lim1e,xRx®¥ỉư+=Ỵç÷èø Hệ quả: 1xx0lim(1x)e.®+= x0ln(1x)lim1x®+= xx0e1lim1x®-= 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số) 1(x)'xaa-=a 1(u)'uu'aa-=a 211'xxỉư=-ç÷èø 21u''uư=-ç÷èø ( )1x'2x= ( )u'u'2u= xx(e)'e= uu(e)'u'.e= xx(a)'a.lna= uu(a)'a.lna.u'= 1(lnx)'x= u'(lnu)'u= a1(logx')x.lna= au'(logu)'u.lna= (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 221(tgx)'1tgxcosx==+ 22u'(tgu)'(1tgu).u'cosu==+ 221(cotgx)'(1cotgx)sinx-==-+ 22u'(cotgu)'(1cotgu).u'sinu-==-+ 3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x(a;b)Ỵ . Cho số gia Dx tại x sao cho xx(a;b)+DỴ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx)
Tích phân Trần Só Tùng Trang 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F'(a)f(x)vàF'(b)f(b)+-== 2. Đònh lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx.ò Do đó viết: f(x)dxF(x)C=+ò Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Các tính chất của nguyên hàm: · ( )f(x)dx'f(x)=ò · af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹òò · [ ]f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx+=+òòò · [ ] [ ]f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x))=+Þ=+=+=òò 4. Sự tồn tại nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. §Bài 1: NGUYÊN HÀM
Trần Só Tùng Tích phân Trang 3 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) dxxC=+ò duuC=+ò 1xxdxC(1)1a+a=+a¹-a+ò 1uuduC(1)1a+a=+a¹-a+ò dxlnxC(x0)x=+¹ò dulnuC(uu(x)0)u=+=¹ò xxedxeC=+ò uuedueC=+ò xxaadxC(0a1)lna=+<¹ò uuaaduC(0a1)lna=+<¹ò cosxdxsinxC=+ò cosudusinuC=+ò sinxdxcosxC=-+ò sinuducosuC=-+ò 22dx(1tgx)dxtgxCcosx=+=+òò 22du(1tgu)dutguCcosu=+=+òò 22dx(1cotgx)dxcotgxCsinx=+=-+òò 22du(1cotgu)ducotguCsinu=+=-+òò dxxC(x0)2x=+>ò duuC(u0)2u=+>ò 1cos(axb)dxsin(axb)C(a0)a+=++¹ò 1sin(axb)dxcos(axb)C(a0)a+=-++¹ò dx1lnaxbCaxba=+++ò axbaxb1edxeC(a0)a++=+¹ò dx2axbC(a0)aaxb=++¹+ò
Tích phân Trần Só Tùng Trang 4 Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b) Xác đònh F’(a+) Xác đònh F’(b–) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F'(x)f(x),x(a;b)F'(a)f(a)F'(b)f(b)+-="Ỵìï=íï=ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: 2F(x)ln(xxa)=++ với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số 21f(x)xa=+ trên R. Giải: Ta có: 222222x1(xxa)'2xaF'(x)[ln(xxa)]'xxaxxa++++=++==++++ 2222xax1f(x)xa(xxa)xa++===++++ Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: CMR hàm số: Sở GDĐT tỉnh Quảng NinhTrờng THPT Chuyên Hạ Long Đề Kiểm Tra Môn Toán lớp 12(Học kỳ II Năm học 2006- 2007)Thời gian làm bài '90.(đề chẵn)A.Phần trắc nghiệm (2 điểm) : 1) Từ một danh sách 10 học sinh u tú, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh để lập ban cán bộ lớp gồm 1 lớp trởng, 1 lớp phó và 3 cán sự. Hãy xác định công thức tính đúng trong các công thức tính sau: A. 3 210 7A Cì B. 2 310 8A Cì C. 23 7P Aì D. 23 7P Cì 2 Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. 0 B. 1 C. -1 D. .3) Trong khai triển: 121P(x) ( x)x= + .Hãy xác định số hạng không chứa xtrong các kết quả sau: A. 495 B. 490 C. 488 D. 480.4) Tính giá trị biểu thức: S =0 2 45 5 5C C C+ +. Tìm kết quả đúng trong các kết quả sau: A. 102 B.42 C.52 D.92B. Phần tự luận (8 điểm) : Câu 1: Tính diện tích miền phẳng kín giới hạn bởi các đờng: 1(l ): x y= ; 2(l ): x y 2+ = và 3(l ): y 0=.Câu 2: Trong không gian Oxyz cho các điểm: A(1,0,0);B(0,2,0);C(0,0,3).a) Viết phơng trình mặt phẳng ( ABC ), tính thể tích khối tứ diện O.ABC.b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC, xác định toạ độ tâm và bán kính mặt cầu này.c) Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, xác định toạ độ tâm , bán kính đờng tròn này.Câu 3: Một hộp bi có 7 viên bi xanh, 6 viên bi trắng và 5 viên bi vàng. Biết rằng các viên bi cùng màu giống hệt nhau, hãy xác định số cách chọn ra 6 viên bi từ hộp đó sao cho có đủ ba màu. Sở GDĐT tỉnh Quảng NinhTrờng THPT Chuyên Hạ Long
Đề Kiểm Tra Môn Toán lớp 12(Học kỳ II Năm học 2006- 2007)Thời gian làm bài '90.(đề lẻ)A.Phần trắc nghiệm (2 điểm) : 1) Từ một danh sách 10 học sinh u tú, có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh để lập ban cán bộ lớp gồm 1 lớp trởng, 1 lớp phó, 1 bí th đoàn và 2 cán sự. Hãy xác định công thức tính đúng trong các công thức tính sau: A. 3 210 7A Cì B. 2 310 8A Cì C. 23 7P Aì D. 23 7P Cì 2) Cho : 434I (tan x) dx=. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. 0 B. 1 C. -1 D. .3) Trong khai triển: 3 1831P(x) (x )x= + .Hãy xác định số hạng không chứa x trong các kết quả sau: A. 48610 B. 48620 C. 48621 D. 48622.4) Tính giá trị biểu thức: S = 1 3 55 5 5C C C+ +. Tìm kết quả đúng trong các kết quả sau: A. 102 B.42 C.52 D.92B. Phần tự luận (8 điểm) : Câu 1: Tính diện tích miền phẳng kín giới hạn bởi các đờng: 1(l ): y x= ; 2(l ): x y 2+ = và 3(l ): y 0=.Câu 2: Trong không gian Oxyz cho các điểm : A(2,0,0);B(0,1,0);C(0,3,0).a) Viết phơng trình mặt phẳng ( ABC ), tính thể tích khối tứ diện O.ABC.b) Viết phơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện O.ABC, xác định toạ độ tâm và bán kính mặt cầu này.c) Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, xác định toạ độ tâm , bán kính đờng tròn này.Câu 3: Một hộp bi có 5 viên bi xanh, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Biết rằng các viên bi cùng màu giống hệt
Giáo án Môn Toán 5 /Tuần 21/ Tiết 104 GV Trần Tài / TH Hồ Phước Hậu/ Ngày soạn: 14/02/2008Thứ ngày tháng . năm 20 .Tuần : . MÔN : TOÁN Tiết : . HÌNH THANG I- MỤC TIÊU : - Hình thành được biểu tượng về hình thang, nhận biết được một số đặc điểm về hình thang. - Phân biệt được hình thang với một số hình đã học thông qua hoạt động nhận dạng, vẽ thêm hình. II- ĐỒ DÙNG DẠY - HỌC : - Sử dụng bộ đồ dùng dạy học Toán 5, thước, ê ke, kéo, keo dán.- Giáo viên chuẩn bị một số tranh vẽ như SGK (tr. 91, 92) III- HOẠT ĐỘNG DẠY - HỌC : Hoạt động dạy Hoạt động học Hoạt động 1 : Hình thành biểu tượng của hình thang và đặc điểm của hình thang. 1- Hình thành biểu tượng ban đầu về hình thang - Gv treo tranh (ảnh) vẽ cái thang, yêu cầu HS quan sát và trả lời. - HS quan sát. Hỏi : Bức tranh vẽ vật dụng gì ? - Cái thang Hỏi : Hãy mô tả cấu tạo của cái thang - Có 2 thanh dọc hai bên và hai thanh ngang gắn vào 2 thanh dọc. 2- Nhận biết một số đặc điểm của hình thang - GV treo tranh hình thang ABCD.Giới thiệu : Cô có hình thang ABCD. Hãy quan sát. Hỏi : Hình thang có mấy cạnh ? Hỏi : Hình thang có 2 cạnh nào song song với nhau ? - Có 4 cạnh.- AB và DC. - Hai cạnh song song gọi là 2 cạnh đáy. Hãy nêu tên 2 cạnh đáy.- Cạnh đáy AB và cạnh đáy CD. - Giới thiệu về hình thang và các đặc điểm của nó. - GV yêu cầu vài HS lên bảng chỉ hình vẽ và nhắc lại các đặc điểm của hình thang. - HS thao tác. - Yêu cầu HS vẽ đường thẳng qua A vuông góc với DC, cắt DC tại H. Khi đó AH gọi là đường gì ? Độ dài AH là gì của hình thang ? - HS thao tác và trả lời. Hỏi : Đường cao của hình thang vuông góc với những cạnh nào ? - Đường cao của hình thang vuông góc với 2 đáy. - Yêu cầu HS nhắc lại đặc điểm của hình thang ABCD.- Hình thang ABCD có : 4 cạnh là các cạnh đáy AB và CD, cạnh bên AD và BC, 2 cạnh A BCDA BCD H
Giáo án Môn Toán 5 /Tuần 21/ Tiết 104 GV Trần Tài / TH Hồ Phước Hậu/ Ngày soạn: 14/02/2008đáy song song với nhau, đường cao vuông góc với cạnh đáy. Hoạt động 2 : Thực hành - Luyện tập * Bài 1 : * Bài 1 - Yêu cầu HS đọc đề bài - Trong các hình sau hình nào là hình thang ?- Gv treo tranh yêu cầu HS thảo luận, làm bài và tự ghi vào vở. - Yêu cầu HS trình bày kết quả. - Lớp kiểm tra chéo (cặp đôi)- Trả lời nhóm 2 - Đại diện nhóm trả trình bày, lớp nhận xét bổ sung - Hình 1, hình 2, hình 4, hình 5, hình 6 là hình thang.- Hình 3 không phải hình thang - Yêu cầu HS nhắc lại một số đặc điểm của hình thang* Bài 2 : * Bài 2- Yêu cầu HS đọc đề bài - Trong 3 hình dưới đây, hình nào có :+ Bốn cạnh và bốn góc ?+ Hai cặp cạnh đối diện song song ? + Chỉ có một cặp cạnh đối diện song song ? - GV treo tranh. - Trả lời nhóm 2 - Yêu cầu HS thảo luận nhóm và trả lời câu hỏi. - Hình 1, 2, 3 đều có bốn cạnh và bốn góc.- Gọi HS trình bày kết quả thảo luận. - Hình 1, 2 có hai cặp cạnh đối diện song song. - Hình 3 chỉ có một cặp cạnh đối diện song song. - Yêu cầu HS nêu tên các loại hình hình học đã học* Bài 3 : * Bài 3- Yêu cầu HS đọc đề bài. - HS nêu đề bài - GV treo hình vẽ. - Vẽ thêm 2 đoạn thẳng vào mỗi hình dưới đây để được hình thang. - Yêu cầu HS làm bài vào vở. - Gọi 2 HS lên bảng làm bài. Nêu cách vẽ. - HS dưới lớp nhận xét. - GV nhận xét. - Yêu cầu HS chỉ ra 2 cạnh đối diện song song trong mỗi trường hợp. Hỏi : Các cạnh có nhất thiết bằng nhau không ? Trả lời : Hỏi : Có nhất thiết song song không * Bài 4 : - Yêu cầu HS đọc đề bài.* Bài 4 : - 1 HS đọc đề - yêu cầu HS làm bài. - Gọi 1 HS chữa bài tập, HS dưới lớp theo dõi. Hình thang ABCD có góc A và góc D là góc vuông. Cạnh bên AD vuông góc với 2 đáy. Giới thiệu hình thang vuông. - Yêu cầu HS nhắc lại. - HS nhắc lại theo yêu cầu
Giáo án Môn Toán 5 /Tuần 21/ ...T×m 15 % cña 800 800 : 100 x 15 = 120 T×m 30 % cña 48 48 x 30 :100 = 14,4 Toán Bài 1: T×m 15 % cña 320 kg 320 x 15 : 100 = 48 kg T×m 24 % cña 2 35 m2 2 35 x 24 :100 = 56 ,4 m2 Bài : Một... là: 18 x 15 = 270 (m2) Diện tích đất làm nhà là: 270 x 20 : 100 = 54 (m2) Đáp số: 54 (m2) T×m 60 % cña 25 kg 25 x 60 : 100 = 15 kg T×m 30 % cña 240 m2 240 x 30 : 100 = 72 m2 Ôn tập: Giải toán tỉ... Bài : Một người bán 120 kg gạo , có 35% gạo nếp Hỏi người bán ki-lô-gam gạo nếp ? Tóm tắt Giải: Có: 120 kg gạo Số kg gạo nếp bán là: Gạo nếp : 35% 120 x 35 : 100 = 42 (kg) Gạo nếp ? kg Đáp số: