Đề mẫu môn toán 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA – KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: Toán Thời gian làm : 180 phút Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  x  3x Câu (1,0 điểm).Cho hàm số y  x  mx  m  có đồ thị (Cm), m tham số Xác định m để đồ thị (Cm) hàm số cho có ba điểm cực trị Câu (1,0 điểm) a) Giải bất phương trình 2log ( x  1)  log (2 x  1)  b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1  i ) z   3i  Tìm phần ảo số phức w   zi  z x 1 trục tọa độ x2 x 1 y  z   Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : 3 x3 y z 2    : Tìm tọa độ giao điểm 1  viết phương trình mặt phẳng (P) 5 cho đường thẳng  hình chiếu vuông góc đường thẳng 1 lên mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) cos2 -3 a) Cho góc lượng giác  , biết tan   Tính giá trị biểu thức P  sin2  b) Một nhóm gồm học sinh có tên khác xem phim Hậu Duệ Mặt Trời, có hai học sinh tên Lực Linh Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh thành hàng dọc Tính xác suất cho hai học sinh Lực Linh ngồi cạnh Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD; đường thẳng SA, AC CD đôi vuông góc với nhau; SA = AC = CD = a AD = 2BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB CD Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A Gọi G trọng tâm tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối tia AC cho GD  GC Biết điểm G thuộc đường thẳng d : 2x  3y  13  tam giác BDG nội tiếp đường tròn C : x  y  2x  12y  27  Tìm   toạ độ điểm B viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm B có hoành độ âm toạ độ điểm G số nguyên  y  1 x    x    y  1  y  x  y   Câu (1,0 điểm) Giải hệ:   x  10  (2 y  x  1)   x  ( y  10 x   24)  Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x  y )  xy  Tìm biếu thức P  3( x  y )  2( x  y )  xy (3xy  4)  2016   Thí sinh không sử dụng tài liệu giám thị coi thi không giải thích thêm Câu Điể m Đáp án Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  x  3x Tập xác định: D   x  Ta có y '  3x   y '    x  1 Giới hạn   lim y  lim x  3x  lim x  1     x  x  x  x     lim y  lim x  3x  lim x  1     x  x  x  x   Bảng biến thiên  1 x     0 f' x     0,25 0,25      f x 0,25  Hàm số đồng biến khoảng 1;1   2    Hàm số nghịch biến khoảng ; 1 1;   Hàm số đạt cực đạt điểm x = yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu điểm x = -1 yCT = -2 Đồ thị: Bảng giá trị x -2 -1 y -2 -2 y f(x)=-x^3+3*x 0,25 x -8 -6 -4 -2 -5 Câu (1,0 điểm).Cho hàm số y  x  mx  m  có đồ thị (Cm), m tham số Xác định m để đồ thị (Cm) hàm số cho có ba điểm cực trị x   ta có y' ( x)  x  2mx = x (2 x  m) , 0,25 (Cm) có ba điểm cực trị y’(x) = có ba nghiệm phân biệt, tức x(2 x  m)  có ba nghiệm phân biệt  x  m = có hai nghiệm phân biệt khác  m Câu (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 c) Giải bất phương trình 2log ( x  1)  log (2 x  1)  ĐK: x  BPT  2log ( x  1)  log (2 x  1)  32 0,25  log ( x  1)  log (2 x  1)   log ( x  1)(2 x  1)  ( x  1)(2 x  1)   x  x      x  Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm S  1;2 b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1  i ) z   3i  Tìm phần ảo số phức 0,25 w   zi  z Giả sử z  x  yi ( x, y  )  z  x  yi x   y  1 Theo giả thiết, ta có (1  i )( x  yi )   3i    ( x  y  1)  ( x  y  3)i    0,25 Suy z   i Ta có w   (2  i )i   i   i  2i  i   i Vậy Im w  1 0,25 Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  trục tọa độ Đồ thị hàm số cắt trục hoành (-1; 0) Do S   1 x 1 dx = Ta có S   x2 1  ( x  3ln x  )| 1  (1  x  )dx x 1 dx x2 x 1 x2 0,25 0,25 1 0,25   3ln  3ln  0,25 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x 1 y  z x3 y z 2    :   Tìm tọa độ giao điểm 1  viết 3 5 phương trình mặt phẳng (P) cho đường thẳng  hình chiếu vuông góc đường thẳng 1 lên mặt phẳng (P) Viết lại 1  dạng tham số Giải hệ phương trình tìm giao điểm A(3; 0; 2)  Đường thẳng 1 có VTCP u1   2; 3;  1 :  Đường thẳng  có VTCP u2   6; 4; 5     Gọi (Q) mặt phẳng chứa 1 ,  (Q) có VTPT n  u1 , u2   (7; 22; 26) 0,25 0,25 0,25 Vì  hình chiếu vuông góc đường thẳng 1 lên mặt phẳng (P)  (P) chứa  ( P )  (Q )    Do (P) qua A có VTPT n1   n , u2   (214;191; 104) (P) có phương trình là: 214 x  191 y  104 z  850  Câu (1,0 điểm) a) Cho góc lượng giác  , biết tan   Tính giá trị biểu thức P  P  cos2 -3 sin2  cos2 -3 2cos2   sin2   cos2  tan2   0,25 1  cos2   Suy P   2 cos   tan  0,25 0,25 b) Một nhóm gồm học sinh có tên khác xem phim Hậu Duệ Mặt Trời, có hai học sinh tên Lực Linh Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh thành hàng dọc Tính xác suất cho hai học sinh Lực Linh ngồi cạnh Mỗi cách xếp ngẫu nhiên học sinh thành hàng dọc hoán vị phần tử  n()  6!  720 (phần tử) 0,25 Gọi A biến cố: "Lực Linh ngồi cạnh nhau"  n( A)  5!.2!  240 (phần tử) n( A) 240   (phần tử) n() 720 (Mà thực mua vé đôi ngồi gần = = ) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD; đường thẳng SA, AC CD đôi vuông góc với nhau; SA = AC = CD = a  P ( A)  0,25 AD = 2BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB CD S Ta có: SA  AC SA  CD  SA  (ABCD)  ACD vuông cân C  AD = 2a  BC = a K D Gọi I trung điểm AD  AI = BC, AI // BC CI  I A H AD  ABCI hình vuông B C  AB  AD Do SABCD = 1 3a2 a3 (AD  BC).AB 3a2 Vậy VSABCD = SABCD SA  a   3 2 2 0,25  Ta có CD // BI  CD // (SBI)  d(SB, CD) = d(CD, (SBI)) = d(C, (SBI)) Gọi H = AC  BI AK  SH K Ta có AK  (SBI)  d(A, (SBI)) = AK Ta có AK  SA  AH  d(A; (SBI)) = AK =  2a2  2a2  2a2 0,25 0,25  AK = a 10 a 10 Vì H trung điểm AC nên d(C; (SBI)) = d(A; (SBI)) = a 10 0,25 Vậy d(CD, SB) = a 10 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A Gọi G trọng tâm tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối tia AC cho GD  GC Biết điểm G thuộc đường thẳng d : 2x  3y  13  tam giác BDG nội tiếp đường tròn C  : x  y  2x  12y  27  Tìm toạ độ điểm B viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm B có hoành độ âm toạ độ điểm G số nguyên Tam giác ABC vuông cân A có G trọng tâm nên GB = GC Mà GD = GC nên tam giác BCD nội tiếp đường tròn tâm G Suy   2BCD   2BCA   900  BG  GD BGD C (?) M Hay tam giác BDG vuông cân G Đường tròn (C) tâm I(1;6) bán kính R  10 ngoại tiếp tam giác BDG nên I trung điểm BD d: 2x + 3y - 13 = G 0,25 A Do IG  10 IG  BD F I(1;6) D B(?)  13  2m  Vì G  d : 2x  3y  13   G  m;    G 2;  Từ IG  10    28 75  , toạ độ điểm G số nguyên nên G(2;3) G  ;   13 13     BD qua I(1;6) IG  BD nên phương trình x  3y  17    0,25     B 2;5 B, D  BD  C   (do hoành độ điểm B âm) D 4;7    Vậy B 2;5  Gọi M trung điểm BC ta có AM = MB = MC (do ABC vuông cân A) 1 Suy AM  BC  GM  MB GM  AM  MB 3   MG   cosGBM  Nên tan GBM MB 10  Gọi n  a, b với a  b  VTPT BC   Ta có VTCP BG BG  4; 2  nBG  1;2 VTPT BG   n n       cos n , n   BG Có cos BG, BC  cos nBG , n  cosGBM   BG 10 nBG n             0,25   a  b   35a  40ab  5b    10 7a  b  a  b2  Trường hợp 1: Với a  b   n  1;1 nên phương trình BC : x  y    Trường hợp 2: Với 7a  b   n  1;7 nên phương trình BC : x  7y  33    a  2b       Do hai điểm D G mằn phía đường thẳng BC nên phương trình BC thoả 0,25 mãn x  y    Vậy BC : x  y   B 2;5   y  1 x    x    y  1  y  x  y   Câu (1,0 điểm) Giải hệ:   x  10  (2 y  x  1)   x  ( y  10 x   24)   Điều kiện : x 1  0,25  y  1 x 1    y  1   x    y  1  y  x  y     x    y  1 x 1  y  x     y  x 1  x   y2 ( x  2)( x   y )   y  1   (x  1 y2 )  x   y x    x    y  1  2y 1   x 1 y    x   y x      1  0(*)  x    y  1  x2  y  1 x 1    y  1   x    y  1  y  x  y     x    y  1 x 1  y  x     y  x 1  x   y2 ( x  2)( x   y )   y  1   (x  1 y2 )  x   y x    x    y  1  2y 1   x 1 y    x   y x      1  0(*)  x    y  1  x2 Từ phương trình (2) ta có: 8 x  10  (2 y   2y    x  1)   x  ( y  10 x   24) 5  x 1  Do : x  1, y    x  ( y  10 x   24) 8 x  10  2y 1  x 1  y x   (*)  x   y   y  x    8(x+1) x   x       x  1   x  1  5  8 x  10  0,25 y0   2y  x 1  x2  x    y  1 1  thay vào phương trình ta :  x    x  ( x  10 x   25)  x  1  5   x    x   1   x 1  Xét hàm : f (t )  t  t có f '(t )  3t   0, t  R hàm đồng biến 0,25  x    x   4( x  1)  24  x  10 x  20  x   10 x   x  20   100( x  1)  9x  120x  400  20  x 20   x 110  20 19   x 110  20 19  9x  220x  500  x     110  20 19 119  20 19   Vậy nghiệm hệ :  ;   9   0,25 (Câu trích bí kíp hệ anh, lời giải hay nhiều ^^) Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x  y )  xy  Tìm biếu thức P  3( x  y )  2( x  y )  xy (3xy  4)  2016 Với số thực x, y ta có ( x  y )  xy , nên từ điều kiện suy ( x  y )3  ( x  y )  ( x  y )3  xy   ( x  y )3  ( x  y )    x  y  0,25 Ta biến đổi P sau P  ( x  y )  ( x  y )  2( x  y  xy )  xy (3xy  4)  2016 3 (3) ( x  y )  ( x  y )  2( x  y )  2016 2 (x  y )2 Do x  y  nên từ (3) suy P  ( x  y )  2( x  y )  2016 Đặt x  y  t t  (do x  y  1) 9 Xét hàm số f (t )  t  2t  2016 với t  , có f ' (t )  t   , với t  nên hàm số 2 1    32249 f(t) đồng biến  ;  Suy f (t )  f      16 2 2  t ;    10 2  32249 Do GTNN P , đạt x  y  16 Chúc em ngày 1.4 ( Cá tháng tư) vui vẻ nhé, đừng đau tim ! Hãy share để bạn bè làm troll anh troll em vậy, kaka Đề thi tạo Luyenthipro.vn nhân ngày cá tháng tư đợi lâu không thấy đề mẫu đâu 0,25 0,25 0,25 ... 2016 3 (3) ( x  y )  ( x  y )  2( x  y )  2016 2 (x  y )2 Do x  y  nên từ (3) suy P  ( x  y )  2( x  y )  2016 Đặt x  y  t t  (do x  y  1) 9 Xét hàm số f (t )  t  2t  2016. .. đau tim ! Hãy share để bạn bè làm troll anh troll em vậy, kaka Đề thi tạo Luyenthipro.vn nhân ngày cá tháng tư đợi lâu không thấy đề mẫu đâu 0,25 0,25 0,25 ... thỏa mãn điều kiện ( x  y )  xy  Tìm biếu thức P  3( x  y )  2( x  y )  xy (3xy  4)  2016 Với số thực x, y ta có ( x  y )  xy , nên từ điều kiện suy ( x  y )3  ( x  y )  ( x