TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 458 THÁNG 8 NĂM 2015

Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 458 tháng 8 năm 2015 được biên soạn nhằm phục vụ bạn đọc, góp phần phổ biến kiến thức toán học cho nhiều thế hệ học sinh tại Việt Nam. Mời các bạn cùng tham khảo bổ sung các kiến thức toán học hay và bổ ích.

Trang 1

hittps.divwvew facebook comiletringkienmath https.jisites google com/sitelletrungkienmath

TOAN HOC

XUAT BAN TU 1964 TẠP CHÍ RA HÀNG THÁNG - NĂM THỨ 52 _ DANH CHO TRUNG HOC PHO THONG VA TRUNG HOC CO SO

20 1 5 6 4 Trụ sở: 187B Giảng Võ, Hà Nội ĐT Biên tập: (04) 35121607; BT - Fax Phát hành, Trị sự: (04) 35121608

SO 458 — Emaii:toanhoctucitrevietnam@gmail.com Website: htp:www.nsbgd.vnfoanhoctuoitre

International Mathematical Olympiad

4-16 JULY 2015

Trang 2

NH AXUATBANIGIAOIDUGIIET NAM

sth LIEV CHUYEN TOAN THPT

Trang 3

Jwww.facebook.com/letrungkienmath i slisites google.com/site/letrungkienmath

rén website http://www.jstor.org và

hittp:/hwww.nctm.org, Ong Thomas W

Shilgalis (toms@math.ilstuedu), Ba Atasa

Shriki (shriki@technion.ac.il), Ong Daniel

Scher (dscher@mac.com) đã được Nationals Council of Teacher of Mathematics cơng bố các bài viết của mình cĩ liên quan đến Bài todn di

tìm kho báu, các bài viết đã giải quyết được bài tốn gốc và đã đưa ra nhiều cách giải Trong

hội thi khoa học thuật đo Phịng GD - ĐT TP

Huế và Sở GD - ĐT Thừa Thiên Huế trong

năm học 2013-2014 cĩ đề tài "Đi rìm kho báu

bằng Hình học và phan mém GSP" cia hai hoc sinh lớp 9 Trường THCS Phạm Văn Đồng, TP

Huế là Nguyễn Viết Quang Khang và Trần

Minh Hồng do cơ giáo Trương Thị Bích Phương hướng dẫn, đã khai thác mở rộng hơn bài tốn trên Sau đây tác giả bài viết xin đưa ra

bài tốn gốc và một mở rộng hơn nữa của bài

tốn này,

Bài tốn đi tìm kho báu: Một nhĩm cướp biển

chơn báu vật của họ tại một kho ở trên một hịn

dao va vé lai tam bản đơ như hình \ dưới đây

Trên đảo cĩ một cây Cọ C và dọc bờ biển cĩ hai tảng đá A và B Từ cây Cọ C, một tên cướp

biển bước đến tảng đá A, quay phải 90° rồi đi

thẳng đến vị tri D sao cho AD = AC Một tên

Cọ € bước đến

cướp biển khác cũng từ

tang đá B, quay trái 90° rồi đi thẳng đến vị trí

E sao cho BE = BC Nhĩm cướp biển chơn báu vật tại trung điểm F của DE

Nhiều năm sau, một nhĩm nhà thám hiểm cĩ

được tâm ban dé kho báu và đã cùng nhau tìm

đến hịn đảo nhưng chỉ thấy hai tảng đá nhưng

khơng thấy vị trí cây cọ Hỏi các nhà thám hiểm

đã tìm kho báu bằng cách nào?

(Hiệu trưởng THCS Chu Van An, Thea Thien ne

Sea J F

=

- ke B

Hình 1

Bài tốn đi tìm kho báu là một bài tốn nổi

tiếng được rất nhiều người đam mê tốn quan tâm, nĩ được diễn đạt bằng ngơn ngữ tốn học

như sau:

©Bai todn 1 Cho tam giác ABC (AB cố định,

€ tùy ý) VỀ phía ngồi tam giác ABC ta dung hai tam giác vuơng cân ADC va BEC (ƠU=CBE=9V) Chứng mình rằng trung điểm

E của DE khơng phụ thuộc vào vị trí điểm C

Tời giải (h.2) E z D I 4 HO B Hinh2 Cách 1.1 Kẻ DG.L.AB; CH.L AB; BI L AB

(G,H,T AB) Ta cĩ ACH = DAG (cùng phụ

với gĩc CAH); AD = AC (giả thiế, suy ra AGDA = AHAC =GD = AH và AG = HC

Tương tự cĩ EI = BH và BI = HC, nên

AB = GD + Elva AG = HC= BI

Gọi Ø là trung điểm của 4 ta cĩ: Ø4 + 4G =

OB + BI =OG = OI Lúc đĩ OF là đường trung bình của hình thang GIED, nên

GD+EI _ AB 3 =2 =0A=OB Suy ra tam giác 4F vuơng tại F Lai cĩ OF là

OF=

Số 458 (8-8015) bộc) eee 1

Trang 4

bị / www facebook com/letrungkienmath i đường trung tryc cia doan AB, vi thé tam gidc

AFB vudng can tai F, suy ra F là điểm cĩ định

Ta cĩ điều cần chứng minh

Cách 1.2 (h.3)

Hình 3

Kê AJ LDC; BK L CE (J © DC; K © CB), khi đĩ JD =JC; KC = KE Dễ thấy tứ giác CJFK là hinh binh hanh, nén FK = JC = ACsin45° va

FK _ AC 5° => = KB= BCsinM5° = 1=:

Lại cĩ FKB = FKC +90° =270° -JCK

=2710" -(360° -DCA-ECB-ACB) => FKB = ACB => AFKB © AACB (c.g.c) => KBF =CBA Vay

BA = ABC + FBC = KBF + FBC = KBC = 45°

Tương tự: FAB=45°, do đĩ trung điểm Z của

DE là điểm cơ định

Hai em Khang và Hồng đã giải quyết được bài todn mé sau:

Bai tốn 2 Cho tam giác ABC (AB cĩ định,

C tiyy ý) Về phía ngồi tam giác ABC ta dựng

hai tam giác ADC và BEC thỏa mãn điều kiện

AD _ BE AC BC

Chứng minh rằng trung điểm F của DE khơng

phụ thuộc vào vị trí điểm C

Cách 2.1 (h.4) Ké DG AB; CH LAB; El AB

(G, H, 1 © AB) Ti ACH =GAD (cing phu

véi goc CAB)=> AGDA® AHAC (s.g)

= =k>0; CAD =CBE =90°

2 * Custis Số 468 (8-2015)

HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI BƯU CỤC GÀN NHẤT !

Wisites.google.com/site/letrungkienmath

Tong ye = Bt BE yg AG BH CH BC CH CH _ BL

= AG=BI; GD + EI= k(AH + BH) = k.AB Goi O 1a trung diém cita AB ta cé:

OA + AG = OB + BI > OG=OI Lúc đĩ OF là đường trung bình hình thang vuơng GIED, nên: or-2* = =, EILAB

va OF i El=> OF LAB, Vi thé HÀ là đường trung trực của 4, suy ra tam giác 4F cân tại

E: Mặt khác or 448 (chimg minh trén), do

đĩ trung điểm # của DE 1a diém cé dinh

Cách 2.2 Chọn hệ trục tọa độ cĩ gốc tọa độ

Ø(0; 0) là trung điểm của 4B

Gọi tọa độ của C là Cựz; b) và giả thiết a < 0, b> 0 Gia sit AB = 2c >0 va A(-c; 0) va B(c; 0) Kẻ DG.LAB; CHLAB; EILAB (G, H, I =

AB) Ta cĩ

ÁCH =DAG = AGDA %2 AHAC = GD = k.AH va AG = kHC

Tương tự E!= k.BH va BI = k.HC Lúc đơ

D(~c—kb; k(c+a)); E(c+kb; k(c—a))

Do Ƒ là trung điểm của DE nên tọa độ của F la

F(0;ke), suy ra Ƒ là điểm cĩ định

Tiếp tục mở rộng giả thiết CAD =€BE =90° thành giả thiết hai gĩc CAD và CBE déu khong

đổi và cĩ tổng bằng 180°, chúng ta cần bỏ đề sau:

Bồ dé 1 Cho xAy =a, khong déi Trén hai tia

Ax và Ap lần lượt lấy hai điểm B và C sao cho

woe Trên BC lay diém H sao cho He ok

Trang 5

hittps:/iwww.facebook.com/letrungkienmath i Chứng mình Trên tỉa Ax, Ay lần lượt lấy điểm

P! và C'bắt kỳ sao cho: aS =k:B+B' (h5)

“Trên đoạn thẳng #'C lấy điểm #f sao cho

T=t Ta phải chứng minh: BAH = B’AH'

HC _ ỨC HB H

BC

Theo giả thiết và cách dựng:

HC HB+HC Từ

HS

AB BC (AABC S AABC) =2 =1 AB _ HB ay

Tà bú bối CAE = ae = AE = k= BC/IB'CY, suy ra

AABC {2 AAB'C' = ABC = ABC’ @)

Từ (1) và (2) ta c6: AABH © AAB'H' (c.g.0)

Suy ra BAH = B’AH’ Do đĩ gĩc BAH khong

đổi Tương tự gĩc C4H khơng đổi (đpem) Áp dụng bổ đề 1 chúng ta cĩ cách giải thứ ba cho bài tốn 2 và cũng là cơ sở để giải quyết bài

tốn 3

Cách 2.3 (bài tốn 2) (h.6)

Goi J và K lần lượt là trung điểm của DC và

EC Khi dé FK / DC=> FKC + JCK = 1801

Hinh 6

Gọi #' là điểm đối xứng của 8 qua K Ta chứng

minh được: ADAC #2 AB'CB =AJCA2AKBC

Suy mm: KB _ CB _ KB 0G” CAMRR!

FKB = FKC +CKB = 180° —JCK + AIC

= 180° —(360° - JCA— KCB - ACB) + AJC

= ACB-180° + JCA+ JAC + AIC = ACB — =— Thém vao dé:

Vì thế: AFKB & AACB = KBF = CBA, nén

FBA = ABC + FBC = KBF + FBC = KBC

Lại cĩ gĩc KBC khơng đổi (theo bổ đề 1:

FE = CBE = 90:5 = 1), vì vậy số đo gĩc

ƑB4 khơng đổi Tương tự số đo gĩc F4Z khơng

đổi Theo giả thiết 4 và # cố định, nên trung

điểm Ƒ của DE cố định, khơng phụ thuộc vào vị

trí điểm C

©Bài tốn 3 Cho tam giác ABC (AB cĩ định, C tùy ý) VỀ phía ngồi tam giác ABC ta dựng

hai tam giác ADC và BEC thỏa mãn điều kiện

AD _ BE _ 45 0;hai géc CAD và CBE đầu AC BC

khơng đổi và cĩ tổng bằng 180° Ching minh

rằng trung điểm F của DE khơng phụ thuộc vào

vị trí điểm C

Lời giải (h.7) Gọi J và K lần lượt là trung điểm

của DC va EC Khi 46 FK if DC

=> FKC +JCK = 180°, Goi B' la diém déi ximg

của qua K

Hình 7

Từ ADAC 2 AB'CB (c.g.e)= AJCA “5 AKBC

=> XB _CB _ KB

WGESEGA'TEKEP

FKB = FKC + CKB =180° -JCK + AJC

= 180° — (360° - JCA—KCB -ACB)+ AJC

= ACB-180° + JCA+JAC + AJC = ACB

Vi thé: AFKB © AACB(c.g.c) => KBF = CBA,

nén FBA = ABC + FBC = KBF + FBC = KBC

Lai cé géc KBC khéng déi (theo bổ đề 1:

BE

Mặt khác

=bEBESg:2C 1y -ši é

BC 7B CBE =a; =) vì vậy số đo gĩc

FBA khơng đơi Tương tự sé do g6c FAB khéng

d6i, nén F 1a diém cé dinh

Để chứng minh được bài tốn mở rộng chúng ta

cần tiếp bổ đề 2

Số 458 (8-2015) = aie 3

Trang 6

i Jwww facebook.com/letrungkienmath it

Bồ đề 2 Cho hai tam gì

a oF ` 9 OAT | BR Oe ional iran & BAC+DEF =180° và So=kre yên cạnh

BC và DF theo thứ tự lấy điểm H va G sao cho

ĐI _CH — Ê Chứng mình: AHBA AGED GF HB k

€ E es

H G

A Bp E

Hình 8

Chứng mình Trên tỉa đối của tia GE lấy điểm

E'sao cho: GỀ =-* = #Ứ, Khi đĩ BF// DE" GE Kk GF

=> E'DE = 180° - DEF = BAC Tacé: AC _ DE AB DE =AABC ©2 ADEE'(c.g.c) AB _ BC DE EE” BC _ HB _, AB HH EE’ GE” DE GE

Thêm vào đĩ: DEE' = ABC (AABC © ADEE’), suy ra AHBA e2 AGED (äpcm)

Bài tốn mở rộng Cho tam giác ABC (1B cĩ

định, C tùy ý) VỀ phía ngồi tam giác ABC

dựng hai tam giác ADC và BEC thỏa điêu kiện:

hai gĩc CAD và CBE đều khơng đổi và cĩ tổng

ABC và DEF cĩ E'DE = BAC; Mặt khác: › AD _ BE ; AD 4g BE Te bằng 180%, SC=K;n-=k' Trên đoạn DE re DP TM 2 lấp điểm F sao cho ạp-=+r Chứng minh

điểm F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm C

Tời giải (h.9) D,

TOAN HOC HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI BƯU CUC GAN NHAT | * CTusitre_Sé 4586-2015)

4

:sifes.google.corisiteÏetrurigkkienrmal: Lay J © DC va K © EC sao cho

DJ _CK_k_DF JC KE ¥" FE?

= FKC + JCK = 180°

Lấy B' ở trên tia đối tia KB sao cho

KB' _ k _CK UKE: Thi BC // BE khi do FK // DC KB = B'CB = 180° -CBE

=>ADAC © ABICB => AJCA © AKBC (Bé dé 2)

Œ_KB_ KB DERN ie

Gage (KCI a hinh binh hank) FRB = FKC + CKB = 180° -JCK + AJC

80° - (360° - JCA - KCB ACB) + AJC

ACB~-180° + JCA+ JAC + AIC = ACB

Vi thé: AFKB © AACB (c.g.c)=> KBF = CBA,

Suy ra:

nên: FBA = ABC + FBC = KBF + FBC = KBC

Do đĩ số đo gĩc FB4 khơng đổi, (Bổ đề 1) Tương tự số đo gĩc #48 khơng đổi Theo giả thiết 4 và B cố định Do đĩ trung điểm # của DE cố định

'Như vậy bài tốn mở rộng của "Bài (ốn di tim

kho báu" đã được giải quyết Thực chất "Bài

tốn đi tìm kho báu" là dạng tốn chứng minh

đường thẳng đi qua một điểm cố định (đường

thẳng DE luơn đi qua điểm cĩ định Ƒ khi 4, cố định và C bat ky)

Bài tốn đã mở rộng từ hai gĩc CAD và CBE

đều vuơng và do đĩ cĩ tổng bằng 180° đến hai

gĩc CAD và CBE chỉ cần khơng đổi và cĩ

tổng bằng 180°, nhưng liệu dng hai gic CAD và CBE khác 180° thì cần thêm điều kiện gì để

bài tốn trên vẫn cịn đúng, Xin mời các bạn

cùng gĩp sức để làm phong phú thêm kho tàng tốn học sơ cấp phục vụ cho việc nghiên cứu và

Trang 7

i / www facebook com/letrungkienmath i Wisites.google.com/site/letrungkienmath

Huéng dan giải ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN TỐN

Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nộ

T so HOC 2015 - 2016

VONGI

Câu I 1) a) Ta cĩ

(a2~b?)+3(a~b)=0=>a+b=~3 (do a#b)

b) Ta cĩ (ø”+b°)+3(a+b)=4= 4? +b? =13

= (a+b)? -2ab=13 > ab =-2

>a’ +b? =(a+b)(a’ -ab+b*)=-45

Lưu ý Học sinh cĩ thể giải bằng định lý Viète

2 =Sxy2

2) Tit HPT đã cho suy ra {29 133 =397 4x°+y? =5Sxy

=> 4x? -2y? -2xy =0 = (x-y)(y +2x) =0 =y=x;y=-~2x Từ đĩ tìm được các nghiệm

của hệ là: (0;0); (1;1); ( y1

Câu II I) Đặt a=—— ”—— PHO Tre DO)

_ GaDO=D ie tye2 th Pagel

(x-DO-) x-1 y=

Tach 3x40 s0<x- x1 elw87 ở ya _[i<as3 _fa=2

aeZ a=3"

+ Véi a=2 tacd f= foo ĐÁ, y-1y-1

œŒđ-J@-D-Œœ-I)-@-1)=0

"`

(x-2)(y-2)=1> de 3

- Tương tự với a=3 ta Ìm được: x =2 vay =2 2) Vì xŸy?+2y+1=0=y#0 2 =x'+2+-L=0=x2+| li] =1, Four a Đặt ke + taduge X2 +uổ =1, đc ch 341 u+2 a => 4P? =(x—Pu) S(1+P? (x? +?) = 14 P? Taco; P= ©2P=x-Pu * Với Vậy maxP= Câu II 1) Dễ thấy EeCA,F eAB Do đĩ BF _ RD _CD_ Ï] YA ) \ / -Evwy Am EF /[BC D

2)Tacé MPN = MPA+ NPA =MEC+NFB

= MDC + NDB =180° - MDN = 180° - MIN

Suy ra tứ giác MPN/ nội tiếp

3) Tứ giác MPN/ nội tiếp nên MPJ = MNJ =MEJ=EDC=DEC=MPA => A,J,P thing hang

Câu IV 1) Theo quy tắc trên, số ở hàng 1 cột j

` (i+) bằng 1+2+3+ -+/= Mis ) Se =2016 Vay số 2016 ở hàng 1 cột 63 Ta cĩ suy ra số 2015 ở hàng 2 cột 62 =m=2,n=62 2) Ta cĩ ab+ be +ca+abc <4 âđ12+(ab+be+ca)+4(a+b+e) >8+4(a+b+c)+2(4b + be + c4)+ abe ©>(2+4)2+b)+(2+b)(2+e)+(2+e)2+a) >(2+a)(2+b)(2+e) 1 ue @® "b6 2+2 (a+l+l)(@+b°+c”) (atb+cy 1 b+ưể+c, 1 octal +h 2+b (a+b+e}” 2+€` (a+b+e)”` Cộng 3 bắt đăng thức và sử dụng (*) suy ra 2(42 +bỲ +c?)+a+b+e>(a+b+e}? ea +h +c +atb+c22Uab+be+ca) ee 2+a 2+b tuong ty: Số 468 (8-2015) be as 5

Trang 8

hittps:/www.facebook.com/letrungkienmath i sllsites google.com/site/letrungkienmath

VỊNG II

Câu I 1) Đặt x=32+b—e,y=3b+e—a,

z=3c+a-b ta được (x+y+z)`—x ` =y`~z =24 ©3{x+y)(w+z)(+x)=24

<= 24(a+2b)(b+2c)(c+2a) = 24

NI @

Wax+ty)ty +7 =26x° +277 +9x @) (@)©(xty+2))=Qx+D`€x+y+2=3x+l

(x+2)(2x+1)=9 ©2x?+5x—7=0

3)

Câu II 1) Giả sử ø+5=a°,n+30 = b?

(a,beĐ,a<b) =lẺ ~ẩ =25 <(b+a)(b~a)=25

=0<b-a<b+a Do đĩ

= ieee b-a=1 ° b=13

2) ĐK: x>0, y>0 Từ giả thiết ta cĩ

x+y+4+2/X+y+3=x+y+2Sy ©z+y+3=g-2

=x+y+3=1y+4-4/

Tìm được nghiệm của hệ là: (1; 1) và (-

=n=139 (thỏa mãn),

Do đĩ WjweQ=WJ=Ÿ với peN,@eN' 4

va (p,q)=1 Suy ra p* =q°xy > q=1

==p=z+y-3=p-2

“Thay vào phương trình đầu ta được

dx+jÿ=p-Il=x=(p-1)—jy

= x=(p-1) +y~2(p~1)jy

=> yeQ> Jy =ueN

Tương tự ta cĩ Vx =veNxty=i +",

Thay vào phương trình đầu ta nhận được

Vie +v 43 sutv-1 = H2 +v?+3 =2 +vŸ+]+2wy—2w—2y =w-u-v-1=0 u-1l=1 fu-1 =(-1)@=0)=2>{f” 12v at Tim duge: (x= 9, y=4), œ= 4, y= 0),

3) Áp dụng BĐT Cauchy ta cĩ 2 + TỐN 6 a HỌC _ itrẻ Số 458 (8-2015) 2jy+z-4=./4G+z-2 ott > yr 4 z+x~4 st lx+y~4 `

DeđĩnS yer atx x+y CS an 82 Tương tự 22) V00, AT (exy+zŸ =4l +4 2+W XZ+jZ ee a 2(y+yz++) Mà (xt+y42) >3(w+yz+x) =P>4` 6 L Vay minP =6 2: Đăng thức xay ra x=) Câu HI 1) Gọi K là hình chiếu của C lên

AM Ta thấy BH =CK và HM =MK Từ đĩ AN =2HM =HK nên N =AK Vậy ABHN=ACKA (c.g.c) suy ra BN =AC 2) ABHN = ACKA

=> BNH=CAK hay BNQ=CAN

Lại cĩ ÁN =QN và BN=CA =>ABNO=ACAN

(c.g.c), suy ra QBN =ĐNCA hay DBN =NCDÐ

vậy tứ giác BDNC nội tiếp

3) GOA=GDA=GBC va GAO =GDO=GCB

=AGQA2AGBC và cĩ trung tuyến tương

ứng là GN va GM nên AGONS2AGBM và AGNA+2AGMC Từ đĩ AGNM #2 AGAC =>GNO=180' -GNA=180° -GAC=GAD, kết hợp

DA_DA GON=GDA = AGON AGDA Tir dé oa

=e kết hợp DAN = DGQ => ADNA“ ADOG

=> GNC = GDC = ODN = NCB => NGIIBC

Câu IV Ta chứng minh bài tốn đúng với tập

S cĩ n điểm (m>3) Trước hết ta chứng minh

cĩ tơn tại đường thẳng - (Xe tiép trang 26)

Trang 9

hittps:/www facebook.com/letrungkienmath i Wisites.google.com/site/letrungkienmath

THI TUYEN SINE VAO LOP 10

NG THPT CHUYEN DSP HÀ NOI kat HQC 2015 - 2016

VONG I (Thdi gian lam bai 120 phú?)

Câu 1 (2,5 điển) Cho biểu thức

Ỷ

„với a>0, b>0,azb

s4

2) Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a+ b+ Jab =I

Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Câu 2 (2 điểm) Cho hệ phương trình

{ mx+y=3m+1 với mm là tham số

1) Giải hệ phương trình khi m= 2

2) Chứng minh hệ luơn cĩ nghiệm với mọi m Giả sử (xạ ; vụ) là một nghiệm lứng minh đăng thức 5(x,+yạ)+10=0 3i 3 Xụ †Yp —:

Câu 3 (1,5 điểm) Cho a, b là các số thực khác 0

Biết rằng phương trình a(x — a)’ + B(x — by’ =0

cĩ nghiệm duy nhất Chimg minh |a| = |b}

Câu 4 (3 điển) Cho tam giác 48C cĩ các gĩc

ABC, ACB nhon và BAC =60° Các đường

phân giác trong 8Ø, CC; của tam giác 4BC cắt

nhau tại J

1) Chứng minh tứ giác 4C: nội tiếp

2) Gọi K là giao điểm thứ hai (khác B) của

đường thẳng 8C với đường trịn ngoại tiếp

ABC\I Chứng minh tứ giác CK1B\ nội tiếp 3) Chimg minh AK 1 B,C)

Câu 5 (1 điển) Tìm các số thực khơng âm ø và

°b thoả mãn

(z'+»+3\(z+a+3) (s+; (+; )

VỊNG II (Thời gian làm bài 150 phú?)

Cau 1 (2,5 điểm)

1) Cho a> 0, a¥ 1 Rut gon biéu thite

$= \6—4J2 3204142 +

ÿ T721, 150

+ÿ(a+3)Ja~3a DI i}

2) Cho x, y thoả man: 0<x<1,0<y<1va

1 Tính giá trị biểu thức

P=x+y+dx-ay+y”

Câu 2 (2 điển) Một xe tải cĩ chiều rộng là

2,4m và chiều cao là 2,5m muốn đi qua một cái cổng hình Parabol Biết khoảng cách giữa hai

chẩn cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cơng (đỉnh Parabol) tới mỗi chân cơng là 2/5 m (bỏ

qua độ dày của cơng)

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi Parabol

(P): y = a&Ẻ với a < 0 là hình biểu diễn cơng mà

xe tải muốn đi qua Chứng minh a =—l

2) Hỏi xe tải cĩ thể đi qua cơng được khơng? Tại sao?

Câu 3 (1,5 điểm) Cho hai số nguyên 4, b thoả mãn & + ð” + I = 2(ab + a + b) Chứng minh

ring a va b là hai số chính phương liên tiếp

Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác nhọn 48C

(4B < AC), M là trung điểm của cạnh BƠ, Ø là

tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác Các

đường cao 4D, BE, CF của tam giác 4BC đồng,

quy tại H Các tiếp tuyến với (Ĩ) tại B va C cat

nhau tại S Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của

đường thắng EƑ với các đường thẳng 8S, 4Ơ

Chứng mình rằng

1) MX L BP

2) Hai tam giác SMX và DHF dong dang

EF _ BC GP

Câu 5 (1 điểm) Trong mặt phẳng toa d6 Oxy, cho tam giác 4BC cĩ các đỉnh là các điểm

nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hồnh độ và tung độ của điểm đĩ là các số

nguyên) Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác 48C là một số nguyên

NGUYÊN THANH HONG (GV trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội) giới thiệu

TOAN HOC

Trang 10

i s:/mww facebook com/letrungkienmath i

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

4

của hàm số ƒQ)=x+ˆ^ trên đoạn [1:3]

Tời giải Hàm số /Q) liên tục trên doan [1:3]

và: ƒŒ) = x 1~-;; ƒœ)=0 œx=2e(13)

AU) = 5; (2) = 4; (3) = z Vay:

min f(x) =4 khix=2; max f(x)=Skhix=1 Lời bình Các bước bài tốn tìm GTLN, GTNN

của fix) trén [a;b]:

Bước 1 Khang dinh fx) liên tục trên [ab],

tính f'(x) Tim cde gid tri x, e(4;b)sao cho #!lœ)=0

Bước 2 Tính ƒ(4);ƒ(b):ƒ(x,) và so sánh các

giá trị để đưa ra kết luận bài tốn

Bai tép twong tw 2 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

“¿„- 242+3x+3

pn SE

xtl

Câu 3 Cho số phức z thỏa mãn (I—i)z—1+5i=0

Tìm phân thực và phân ảo của z

trên đoạn [0; 2]

Tời giải (1 — Ủg— 1+ 5=0 @(1~z= 1—5i (=5i)d+Ð _1~4i~5P _„ „ Em an ee

'Vậy phần thực của z là 3; phần ảo của z là — 2 Lời bình: Câu trên cĩ thể làm theo cách: giả sử

z=a+bi (a,belR) thiết lập hệ phương trình chứa a, b, giải hệ tìm được a, ở suy ra số phức z

Bài tập tương tự

Bài 1 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:

¬ 2(1+2i) snug giclee 8

(2+i)2+— >= 7+ 81 Tim phan thực, phần

ảo của số phite w=1+2+i

Bài 2 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: TỐN HỌC

8: Chutes Số 458 (8-2015)

s:/Isites google com/site/letrungkienmath

DEEN =»>A~ BÌNH LUẬN

oF HTT QUOC ANY 908

HOANG GIA HUNG (GV THPT Bắc Duyên Hà, Hưng Hà, Thái Bình)

(1+ï)(z—i)+2z= 2i Tìm mơ đun của số phức

nh Z~2z+1

a

1

Câu 4 Tính tích phân 1= [lxBe dx

Lời giải Đặt w = x— 3 = du= Đặt dv = £dx , chọn v = £” Ta cĩ

1

Jetdr=-2e+3-e"|} =

3

Léi binh Bé tinh tich phan dang:

I= (x-3)e* | = 4

1= |ƒ(3).e"”"dv ta thực hiện theo phương pháp

7 be igie i =f)

tich phan timg phan ba ~ ` h đặt ‘

Bài tập tương tự Tính các tích phân sau:

7° frote yar

Câu 5 Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho ¡~2; 1), BỢ; 1

0 Viết phương trình đường các điềm /

: 3) và mặt phẳng

thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường

thẳng AB với mặt phẳng (P)

Lời giải Đường thẳng 4B đi qua 4 (1; -2; 1)

và nhận 4# = (1; 3; 2) làm vectơ chỉ phương

+2_z-1

nên cĩ PT: ape v

Tọa độ giao điểm Ä⁄ của 4Z và (P) là nghiệm hệ phương trình:

Trang 11

bị / www facebook com/letrungkienmath i

Bài tập tương tự

Bài 1 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; - (1; 2; 3) va

mặt phẳng (P) : x + 2y —2z +3 = 0 Tim toa độ

hình chiếu vudng géc ca 4 trên (P)

Bài 2 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A ABC cĩ A(I; 1; 0), B(0; 2; 1) và

trong tam G(0; phương trình đường

thắng ØC và tìm giao điểm của BC va (OAG)

Câu 6 Trong đợt phịng chống dịch MERS CoV Sở Y tế thành phơ đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phịng chống dịch cơ động trong sĩ 5 đội của Trung tâm Y tế dự phịng TP Hồ Chí Minh và 20 đội của Trung tâm Y tế cơ sở để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tỉnh xác suất để cĩ ít nhất 2 đội của các Trung tâm Y tế cơ sở được chọn

Lời giải Số phần tử của khơng gian mẫu là:

n(©) = C3, = 2300

Gọi 4 là biến cố “cĩ ít nhất 2 đội của các trung

tâm Y tế cơ sở”

Số phần tử của 4 la: n(A) = C3,C} + C3, = 2090

n(A) _ 209 n(Q) 230” Xác suất cần tìm là : P = Bai tập tương tự

Bài 1 Vịng chung két World cup 2014 cĩ 32

đội tuyển tham dự trong đĩ cĩ 4 đội tuyển Châu

Á, 13 đội tuyển Châu Âu, 10 đội tuyển Châu

Mỹ và Š đội tuyên Châu Phi Trong lễ bốc thăm

chia bảng sẽ chọn ngẫu nhiên 4 đội bĩng vào

bảng “ tử thần” Tính xác suất để trong 4 đội

bĩng rơi vào bảng * tử thần” cĩ một đội bĩng

Châu Á và ít nhất 2 đội bĩng Châu Âu

Bài 2 Trong một mơn học thầy giáo cĩ 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khĩ, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đĩ lập

ra các đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau Chọn ngẫu nhiên một đề, tính xác suất để

trong đề kiểm tra đĩ nhất thiết phải cĩ đủ 3 loại

câu hỏi và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 2

Câu 1 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ACBD là

hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD), gĩc giữa đường thing SC va

mặt phẳng (ACBD) bằng 45" Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách

giữa hai đường thăng SB, AC

:ÚSites.google.corisite'Ïetrungkieroath: Lời giải

+ Do 84.1 (4BCP) nên SC cĩ hình chiếu vuơng gĩc trên (48CD) là AC, do đĩ gĩc giữa SC và (ABCD) la SCA = 45° nén tam giác S4C vuơng cân tại 4 Ta cĩ:

AS=AC=GN2 5 Vico = ; a 25-815,

+ Lấy điểm M sao cho wane là hình bình ie 'Vẽ 4H vuơng gĩc với BM tại H1, /IK vuơng gĩc SH tại K Khi đĩ 4K vuơng gĩc với mặt phẳng (SBM) rao LL PES, a AH” (28` 2.2:241 Vi AC // (SBM), suy ra 2 (AC, SB) = aA; (SBM) = AK K ') = d(A; (SBM) = = #12 vã Lời bình Ngồi cách trên cĩ thể dùng phương pháp tọa độ đẻ giải

Bai tập tương tự

Bài 1 Cho hinh chép S.ABCD cé day ABCD la hình vuơng tâm Ø $4 vuơng gĩc với đáy, SC

tạo với đáy một gĩc bằng 45° và SỞ = a i

Tinh theo a thé tich khối chĩp S.48CD và

khoảng cách giữa SD và AC

Bài 2 Cho hình chĩp S.48CD cĩ đáy ABCD la hình chữ nhật cĩ 48 = a, gĩc 4DB = 30°; SC tạo với đáy (18CD) một gĩc 60° Tính theo a

thể tích khối chĩp S.4BCD và khoảng cách giữa

$C và BD

Câu 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho

tam giác ABC vuơng tại A Gọi H là hình chiếu

của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B

qua H; K là hình chiếu của vuơng gĩc C trên

đường thẳng AD Giả sử H (5; ~5), K (9; -3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng

cĩ phương trình: x — y + 10 = 0 Tìm tọa độ

điểm A

Số 458 (8-2015) Tomes 9

Trang 12

i / www facebook com/letrungkienmath i

Lời giải

E

A

M

Cách 1 Gọi é là trung điểm của 4C Vì M

thuộc ở nên M( 10+)

Ta cĩ tứ giác 4HKC nội tiếp đường trịn tâm A⁄ nén MH = MK => M (0; 10) Goi E là giao điểm

cua AH va CK thi D là trực tâm tam _ giác AEC,

suy ra 4 // DE Do đĩ BAH =DAH=AED=HKD nên tam giác /14K cân tai H Giả str A(a; b), khi đĩ:

lê =HẢ (a+5) +(b+5) =200

Ne +(b~10)Ì =250

Tìm được 4 (~15; 5)

Cách 2 Đường trung trực của /1K cĩ phương trình y=—7x + 10 cắt đường thẳng (2): x~ y+ 10 = 0 tại

diém M (0; 10)

Vì AHAK cân tại # nên điểm 4 là điểm đối xứng của K qua đường thắng MH: y= 3x + 10, vậy tọa độ điểm 4 (—15; 5)

Lời bình Mau chốt của bài tốn là việc chứng

minh tam giác 74K cân tại K và đẻ ý đến tính

chất của tứ giác nội tiếp

Câm 9 Giải phương trình:

( -ÐŒ +4) ~2 a ere Phuong trinh <= eats x=2 K1 Sb S60 D 4)-2x+3 Vx+2+2 @)©(x+4)(Jx+2+2)=(x+1)Œ°~=2x+3) ©(QX+5Ÿ!+2)dx+2+2) =[@-+2][—-p? +2] @ Xét Ad) = (4200 +2)= !+2+2t+4, với

teR, f'()=37 +4t+2>0 > fd) dong bién trên R Vay (2) x-1=Vx4+2 2° 10 TÊN MP sĩssesaoo—- :(sites.google.comsitelletrungikienmaatl: > ore! x-2xtl=x+2 ee SNS 2 3+v13

Vậyx=2;x= 2 là nghiệm của PT

Bai tap tương tự

Bài 1 Giải phương trình:

ae EP yx +5 r1- 0):

Bài 2 Giải phương trình:

(Jax? =12x7 +927 +16 -2x? +3x)

(x+3+x-1)=8 Câu 10 Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn

[L3] và (hĩa mãn diéu kiện a+b+c =6

Tìm giá „ lớn nhất của biểu thức

+12abe+T2 _ 1

Ẹ đb+bc +cá PM:

?a2+12abc+72 _ 1 Tas GUC,

+ca 2 Ta cĩ: (ab+be+ca)” =a + bỆc? +c?a” +2abc(a+b+e) 2 +124bc (atb+cy 3 Hab +h +a =ab+be+cas =12 Ta cĩ a, b,c €[1;3], suy ra -1)(b-1)(c-1) 20 = abe -(ab+be+ac)+atb+e-120 Sabe-x+520 > abe2x-5 Lại cĩ (a~3)(b~=3)(e=3)<0 => abe~3(ab+ be +ác)+9(a+b+e)~27 <0 > abe $3x-21 Vay 3x—27> abe>x—5 3x~27>x~5 = 2x>22 = x> I1 Ta thấy Parad fo +=3+ 2+ 5 thi 12) Đặt = am 11,72 160

wee <Ũ Từ đĩ PS tap +5 eee eee 1

P= TT khia =H/Š~2/c=3: Vậy Sa maxP = 150

Trang 13

hittps:/iwww.facebook.com/letrungkienmath hittps:/Isites.google.com/site/letrungkienmath IˆHWENb 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG SỐ PHỨC 1, Kiến thức cơ bản

+ Nếu cho số phức z=x+iy thì:

~ Số phức liên hợp là - Bình phương của số phức z là: —y?°+2xyd phức z là: =x-iy + 6x9? +y*+4Qˆy 1 Nghịch đảo của số phức z là: y+Ai wy ii

Ta cĩ mơ đun của số phức z là

lzl=a|a?+y? =Ÿzz

+ Cho hai số phức

+ Để giải HPT at = bằng phương pháp #(%:y)=0

sử dụng số phức ta cĩ thẻ nhân vào hai về của

một trong hai PT trong hệ với ¡ rồi cộng (trừ)

thíh hợp để xuất hiện những số hạng

„ từ đĩ tìm được nghiệm của hệ

2 Một số thí dụ ‘ Thí dụ 1 Giai HPT trén tap số thực |3 -39ˆ°+z#+1s +2xy—x? = ED wey [y?-3x?y-y-1=27 +2xy—y? (2) Lời giải t

Nhân vào hai về của PT (1) véi don vj ao i ta

duge PT: i(x? —3xy? +4 +1) =( +2ay-2°)i B)

Tit PT (2) va PT (3), ta cĩ

oo DAN ~ Sanit

VÀ TÍNH TONG LIEN QUAN ĐẾN e

TRAN DINH NAM (GV THPT Yén Ding Sé 3, Yén Diing, Bac Giang)

y`+30x)°y+3(x)y? +(x)° =0 +ix)=(1+7)

—y*~2xyi+ xi

x—yƯ +i(x=iy)ˆ eC thay vào PT trên ta được

=x +2xy- 2 (ytix) -Otix)-4i) Đặt z x+iy, y Vậy HPT cĩ các nghiệm (x; y) = (0;—1), -Ixi>x=p==Hie Nhận xét: Ta cĩ thể sử dụng phương pháp biến

đổi về tích dé giải hé (1) như sau

ool® +0? „ +

(œ+D@°—x?~—1

Bằng cách xét các trường hợp:

x=0;y=0; Œ; y) # (0; 1), (x; y) # (1; ~l) và

(xy) ý (0; —1) ta cũng tìm được nghiệm của hệ ()) như cách giải trên

Thí dụ 2 Giải HPT trên tập sĩ thực (2) Lời giải ĐK: x? + y} #0 Ta cĩ: +ây (2) s[> ~ | x+y’ (3) ve

Từ (1) và (3), ta 06: xtiy— ety? xay Đặt z=xx+jy và thay vào PT trên ta được: TOAN HOC

Số4ø8@208 — YcTusie | Í

Trang 14

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath i

pt =3 (4)

Do x?+y? #0 nên z#0 Nhân cả hai về của

PT (4) với z ta được: z°=3z—i+3=0 (5) PT

(5) cĩ biệt thức A=~3+4i=(2¡+ LŸ

nghiém:z=2+i va z=1-i nên cĩ

~ Với z=2+¡ suy ra E

x ~ Với z=1~i suy ra {

Z

Vay HPT cé hai nghiém (x;y) la: Ø;1) và (1;—1)

Thí dụ 3 Giải HPT trên tập số thực L(+ b )»2 x+y @)

Jai) 42 2)

Nhận xét hệ trong 7hí đụ 3 cĩ dạng giống như hệ trong Thí đự 2 nhưng đã được tịnh tiến lên với hệ số khác khơng Để giải được bằng

phương pháp sử dụng số phức ta phải đặt ẩn

phụ để đưa về hệ dang trong Thi du 2

x>0,y>0

xty#0 `

Đặt a=V3x,b= (7y với a>0,b>0 Thế vào

hệ (1) ta được: qd) Tời giải ĐK: { 2la 2l/7a “ta =2 ajT+ tà) =2/7 oy -s_.2IN3bi b =4B es Ali ag Na Tay Từ PT (3) và PT (4) ta cĩ:

aV7+bJ3+2L1S TẾ van: =2N7+4V6.i (5)

Đặt ;-V+klh thế vào PT (5) ta được

z+2Ir>=2/T+4464 z

e22~2(T+2i6)z+21=0 (6)

PT (6) cĩ biệt thức A'=-38+4/42¡=(/V42 +2)?

nên cĩ hai nghiệm là z=2+ V7 +i(2/6 + J42)

và z=~2+ 7 +i(2/6 42)

~V6i 2=2+ 7 +i(2V6 + V42) suy ra

12 TORE Số 458 (8-2016)

((siVes.google.com/sitelletrungikienmaatl:

x=VT+2 thỏa mãn ĐK)

(ree le thần PE)

~ Với z=~2+ƒ7+i(2W6—J42) suy ra

x= 7-2

Hoe

Vay HPT c6 nghiém (x;y) là:

(/7-+2;2V6 + J42) va (V7 2;2V6 -V42)

3 Một số bài tập vận dụng Giải các hệ sau trên tập hợp số thực

1 -2y-ÿy'

y ~3x'y+y—l=y?~2xy~x”

(khơng thỏa mãn ĐK, loại)

xì-3y°-x+l=x 4 Set NS _ 7 x +y? = (6-x)(a? +y?) = 6x4 8y (B-y)(Q? +y*) =8x-6y"

IL TINH TONG LIEN QUAN DEN Ct

BANG SO PHUC 1 Kiến thức cơ bản

+ Khai triển nhị thức Newton:

~ Với mọi xelR và với mọi weĐÏ ta cĩ:

(L+z)' =C$+xCl +x2C?

~ Với mọi xel và với mọi øeĐ”,n>2 ta

° =Cl +2xC? +3x2CP + +ruhCh

334G

cĩ: n(1+x)”

~ Với mọi xel# và với mọi neN”,n>3, ta c6: n(n—1)(1+x)"* = 1.2C2 +2.3xC) +

wt (n=Danx"?Ch ~ Với neĐ': Ch+C)+ 4C

Cee HCH SOG eG,

+ Một số tính chất của số phức

— Cho hai số phức z, = xạ † Vị: Z; = %; † y;jÏ

Ta cĩ: z¡ =7; off ye Y= a

— Céng thire Moa-vro: Cho sé phite

Trang 15

hittps:/iwww.facebook.com/letrungkienmath i

z=r(cosp-+isinp) => 2" =r"(cosnp-+isinng)’

PT: 2-1=0 cé cdc nghiém trén tip sé phite 1a

XYZ=—7- T4 và z1 Các VB poe Le Nie a cà

chính là các căn bậc 3 phức của đơn vị

J Ji cà 2-5 ¡ thì es 2† 2i b) E+E 2 oi a eee pete la guyên dương

~ Nếu ï là đơn vị ảo thì: P5

jane

yes -ỉ, VneNĐ iu hiệu sử dụng số phức để tính tơng liên quan đến C} Ta sử dụng số phức để tính tổng của các Cj khi tí

g này cĩ một trong những đặc điểm sau:

lu trong tổng xen kẽ đều nhau

~ Chỉ số trên & luơn lẻ, hoặc luơn chẵn

2 Một số thí dụ

Thí dụ 1 Tính các tổng sau:

A =Cặn; — Cầu, + Cấu, — Căn; +-.-‡ Cụ — Căng

2013 — C2015

+-.+ Cảng — Cạms

3e ~ Cais + Coors — Coons Xét khai triên: 15 = Cá; tACau; † x” Cấu + ea pe em B Loi gi (1+x) 2018 Cho x=i ta cĩ:

(+i}”” = Căn, +ÍCạu; +” Căn, +

ne ere cat

= (Cos ~Ginns + Gas Cons ++ Coma ~ Geis) + (Cars Gos + Cos “Gass ++i Geis)? (l) 25

Mặt khác: (1+ "5 = cos} sin) 4 4 =) (cos «sin 2158) a 4 =(6)"(-Z arm 2 0 So sánh phần thực và phần ảo của (1+ jŸ””

trong hai cách tính trên ta được:

A=Cậu; Căn; # Càng 2015 — Cảm; † 2015

//sites zoogle.com/site/letrungkienmath

Se CRB acta 2 , 2ms

và B=Cooys Cơn, † Cận, —Căns + +C?P3 _ C2015 _ _21007

: aor ~ Coo13 = Thi dy 2 Tinh tong

C=Cặn,, + Cu; + Cam; +‹.-+ Căng

Lời giải Xét khai triển

(14.27? = Coy ta Clays $3? Coys ot Cos (*) Thay x=1 vao ding thitc (*) ta được

2 = Cinis + Canis + Canis + + Canis Thay x=—1 vao ding thite (*) ta duge

Coons ~ Coots + Cua — Căn; + — Coots = 0 > Cipys +Gous t+ Cots Cas + Cs to + Cas 2)- Theo thi dụ 1 ta cĩ:

Cần, ~Câ; + Cau; —. —~ Căng =2”)

Từ (1), (2) và (3) ta cĩ

2C=2AChois + Coys + Cos tt Vậy C=2!9 +20,

Thí dụ 3 Tinh tong:

p= (® 5h FE SE):

qa)

12 = 710 5 904

Lời giải Xét khai triển:

°

(a+) KT WAC, HIPC, +

oe ENBYP CS + iV3)° CS = Fal -CBPC HSCS ~—(V3)%Cặ +(43)"Cj; —(3)°Cáy | +su|—VäC),+(/8)'Cụ ~(V8)'Cụ + „.+(8)°C (BCR Ji 0 0 $i) = :os2F sisin2)

eee UE ai 2751 = cos Pisin = Mat khac: 2 So sánh phần thực của số phức (3Š)

(Xem tiếp trang 2T ) Số 458 (8-2015) oe ies 1 3

Trang 16

i / www facebook com/letrungkienmath i

Sia

1 DOL NET TONG QUAN }

IMO lan thứ 56 năm 2015 (IMO 2015) được tổ chức

từ ngày 4/7 đến ngày 16/7/2015, tại thành phố Chiang Mai, Vương quốc Thái Lan Dự thi IMO

2015 cĩ 577 học sinh, trong đĩ cĩ 52 học sinh nữ, thuộc 104 quốc gia và vùng lãnh thổ trên tồn thị giới Đồn Việt Nam gồm 6 học sinh: Nguyễn Tuấn Hai Dang (his lớp 12, trường THPT chuyên KHTN - ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội), Nguyễn Thị Việt Hà (nữ, h/s lớp 12, trường THPT chuyên Ha Tinh, Nguyén Thé Hoan (his lớp 12, trường THPT chuyên KHTN - DHKHTN - DHQG Ha N6i), Neuyén Huy

Hồng (h/s lớp 12, trường PTNK - ĐHQG TP Hồ

Chí Minh), Hồng Anh Tai (b/s lớp 12, trường THPT chuyén Phan B6i Chau, Tinh Nghé An) va Vit Xuân Trung (h/s lớp 11, trường THPT chuyên Thái Bình) Đồn do 7S Lê Bá Khánh Trình, giảng viên Khoa Tốn-Tin, trường ĐHKHTN - ĐHQG TP Hồ Chí Minh, làm Trưởng đồn và PGS TS Lé Anh Vinh, giảng viên trường ĐH Giáo dục - ĐHQG Hà

Nội, làm Phĩ trưởng đồn; người viết bài này tham

gia Đồn với tư cách Quan sát viên A (Quan sát viên đi cùng Trưởng đồn) Tham gia Đồn với tư cách Quan sat viên C (Quan sát viên đi cùng hge sinh) cĩ:

thầy Lê Phi Hùng, giáo viên trường THPT chuyên Hà Tĩnh, Tỉnh Hà Tĩnh và thầy Đậu Hồng Hung,

giáo viên trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Tỉnh Nghệ An : Lễ Khai mạc IMO 2015 đã được tỏ chức vào hồi 9h00 ngày 9/7/2015, tại Trung tâm Hội nghị của Đại học ‘Tong hop Chiang Mai, dui sy chủ tọa của Cơng chúa Thai Lan Maha Chakri Sirindhorn,

Lễ Bế mạc IMO 2015 đã được tổ chức vào hồi

15h00 ngày 15/7/2015, tại Nhà hát Kad, Thành phĩ Chiang Mai

II ĐỀ THỊ

Đề thí của IMO 2015 được xây dựng theo nguyên tắc và phương thức như tại IMO 2014 Cụ thể, từ các

bài tốn thuộc Danh sách các bài tốn được đề xuất

sử dụng làm bài tốn thi (do Ban tổ chức IMO xây dựng trên cơ sở các bài tốn đề xuất của các nước tham dự IMO và được gọi tắt bằng tiếng Anh là Short List), Hội đồng các Trưởng đồn tiến hành bầu chọn cho mỗi phân mơn Đại số, Tổ hợp, Hình học và Số học | bai dé va 1 bài trung bình; từ đĩ, xây dựng các tổ hợp 4 bài tốn đảm bảo mỗi phân mơn cĩ 1 bài và trong 4 bai tốn đĩ phả ở mứ độ dễ, 2 bà

chọn một tổ hợp trong số đĩ; tiếp theo, căn cứ 4 bài

14 : Chutes Số 458 (8-2018)

KY THI OLYMPIC TOAN HOC QUGC TE (IMO)

LAN THU 56 NAM 2015

_ NGUYEN KHAC MINH

(Cue Khéo thi va Kiém dink CLGD - B6 GD&DT)

tốn đã được chọn, đề xuất và biểu quyết chọn ra một cặp bài khĩ cho dé thi Theo sự sắp xếp phân mơn trong Short List và kết quả bình chọn của Hội

đồng các Trưởng đồn, trong 6 bài tốn của Đề thi,

bài 1 là bài đễ thuộc phân mơn Tổ hợp, bài 2 là bài trung bình thuộc phân mơn Số học, bài 3 là bài khĩ thuộc phân mơn Hình học, bài 4 là bài dễ thuộc phân mơn Hình học, bài 5 là bài trung bình thuộc pI mơn Đại số va bai 6 là bài khĩ thuộc phân mơn T: hợp Dưới đây là phương án tiếng Việt cua Dé thi IMO 2015:

Ngày thì thứ nhất, 10/7/2015

Bài 1 Ta nĩi tập S gồm hữu hạn điểm trên mặt

phẳng là tập câø đĩi nếu với hai điểm phân biệt A va

Z tùy ý thuộc $, tồn tại C thugc S sao cho AC = BC Ta nĩi ® là tập vơ zâm nếu với ba điểm

phân biệt 4, B, C tùy ý thuộc S, khơng tồn tại điểm

P thuộc S sao cho PA=PB=

a)_ Chứng minh rằng với mọi tại tập cân đối gồm ø điểm

b) Hãy tìm tất cả các số nguyên ø > 3 sao cho tồn

âi ìm gồm ø điểm

Bài 2 Hãy tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a, b, ¢) sao cho mỗi số trong các số a — , be ~ đ, ca ~ b là lũy thừa của 2

(Lãy thừa của 2 là một số nguyên cĩ dạng 2", với n

là SỐ nguyên khơng âm)

Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC với 4B > AC Ký

hiệu T là đường trịn ngoại tiếp, 77 là trực tâm và #

là chân đường cao hạ từ 4 của tam giác 46 Goi Mla

trung điểm của 8C Goi Q la diém nằm trên T sao

cho HQ,

cho HKQ=90° Giả sử rằng các điểm A, B, C, K và

Ø đơi một phân biệt và nằm trên T theo thứ tự đĩ Chứng minh rằng các đường trịn ngoại tiếp của các tam giác KOH và FKM tiếp xúc với nhau

Ngéy thi thứ hai, 11/7/2015

Bài 4 Cho tam giác 48C nội tiếp đường trịn © tâm O Đường trịn [ tâm 4 cắt đoạn thắng ZC tại các

điểm D va E sao cho 8, D, E và C đơi một phân biệt và nằm trên đường thẳng 8C theo thứ tự đĩ Gọi Ƒ

và Ở là các giao điểm của T và ©, sao cho 4, Ƒ, 8, C

nguyén n > 3, tồn

=90°, và gọi K là điểm nằm trên T sao

và Œ nằm trên € theo thứ tự đĩ Gọi K là giao điểm

thứ hai của đường trịn ngoại tiếp tam giác BDƑ và

Trang 17

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath bị

đoạn thẳng 4 Gọi 7 là giao điểm thứ hai của đường trịn ngoại tiếp tam giác CGŒE và đoạn thăng

ƠI Giả sử các đường thẳng EK và GL phân biệt và

cắt nhau tại điểm X Chứng minh rằng Y nằm trên

đường thẳng 4O

Bài 5 Gọi E là tập hợp số thực Hãy tìm tất cả các

ham 6 f: R > R thoa man phuong trình:

S(xt fet y)+ fay)=xt fet y)+fQ) với mọi số thực x và y

Bài 6 Dãy số nguyên a,,ø; thỏa mãn các điều

kiện sau:

i) 1<a, $2015 véi moi j> 1; ii) k+a,#£+a, voimoil< k < ¢

Chứng minh rằng tổn tại hai số nguyên dương b và

N sao cho | 3) (¡—Ð)

L% < 10072 với mọi số nguyên

m và n thỏa mãn ø > m > N

s:/Isites google com/site/letrungkienmath

HL KET QUA

Căn cứ kết quả chấm thí và Quy ché IMO 2013, Hội

đồng Quốc tế đã biểu quyết thơng qua ngưỡng điểm

cho các loại Huy chương như sau:

~ Huy chương Vàng (HCV): Từ 26 đến 42 điểm; - Huy chương Bạc (HCB): Từ 19 đến 25 điểm; ~ Huy chương Đồng (HCĐ): Từ 14 đến 18 điểm Theo đĩ, tại [MO 2015 cĩ 282 học sinh được trao Huy chương; gồm: 39 học sinh được trao HCV, trong đĩ cĩ | hoe sinh đạt điểm tuyệt đối 42/42 (học sinh Zhuo Qun (Alex) Song của Đồn Canada); 100 học sinh được trao HCB và 143 học sinh được trao HCD Ca 6 thi sinh của Đồn Việt Nam đều được trao Huy chương, gồm 2 em được trao HCV, 3 em được trao HCB và 1 em được trao HCĐ Kết quả chỉ tiết của các học sinh Đồn Việt Nam như bảng dưới

Với tổng điểm 151, Đồn Nam đứng thứ 5

trong Bảng tổng sắp khơng chính thức của IMO 2015, sau các Đồn: Mỹ (185 điểm), Trung Quốc (181 điểm), Hàn Quốc (161 điểm) và CHDCND Triều Tiên (156 điểm)

5 Điểm thí

= Revels Bi_[B2 [83 [Bs [BS [Bo] Tổng | "©

6 _| Vũ Xuân Trung ce 7 7 | 6 0 34 Vang

THONG BAO

Hiện nay việc trình bày nội dung các chuyên mục của Tạp chí TH&TT trong 32 trang đã

khơng đáp ứng được nhu cầu đọc, viết bài ngày càng cao của bạn đọc về các chuyên đề, các nội dung Tốn Vì vậy việc tăng trang đã trở thành một nhu cầu cấp thiết Tạp chí TH&TT dự kiến:

tăng từ 32 trang ruột hiện nay lên 40 trang ruột bắt đầu từ tháng 10 năm 2015 với giá điều chỉnh là

12 500 đồng/1sổ Với 8 trang tăng này, nhiều chuyên mục như: 7m hiểu sâu thêm Tốn học phổ sẽ được xuất hiện thường

xuyên trên Tạp chí, nội dung các chuyên mục sẽ đầy đủ và phong phú hơn

thơng, Tốn học và đời sống, Sai lầm ở đâu, Câu lạc bộ Tốn học,

'Rất mong các Thầy giáo, Cơ giáo, các em học sinh và bạn đọc yêu tốn ủng hộ đọc, viết bài

cho các chuyên mục, để Tạp chí ngày càng phát triên Tạp chí trân trọng cám ơn!

TH&TT

Số 458 (8-2015) et ee 1 5

Trang 18

CÁC LỚP THCS

Bai T1/458 (Lớp 6) Tìm các số nguyên dương

x, y thỏa mãn: li wale với p là số nguyên tổ

Lá 2T,

đã cho

LÊ VĂN TRẠCH

(1ồ6, áp Gia Hịa, xã Xuân Trường, Xuân Lộc, Đơng Nai)

Bài T2/458 (Lớp 7) Cho tam giác nhọn 48C cĩ trực tâm / Gọi A/ là trung điểm của ØC

Duong thing qua A song song voi MH va đường thẳng qua Z7 song song với Ä⁄4 cắt nhau tại N Chứng minh ring: AH? + BC? = MN?

VO XUAN MINH (GV THCS Nguyén Van Tréi, Cam Nghia, Cam Ranh,

Khánh Hịa)

Bài T3/458 Cho hai số ø, b thỏa mãn: a)=a?+a-5=0

bỀ~2bˆ+2b+4=0

„ Tính ø + ư

LAI TH] HOA

(GY THPT Lé Quỹ Đơn, Thái Bình)

Bài T4/458 Từ điểm 4 nằm ngồi đường trịn

(O) vẽ các tiếp tuyến A⁄4, MB đến đường trịn (Ĩ) (4, 8 là các tiếp điểm) C là điểm bất kỳ

trên cung nhỏ 41 của (Ĩ) Các tỉa AC va BC lan

lượt cắt MB và M4 tại D và E Chứng minh

rằng đường trịn ngoại tiếp của các tam giác ACE, BCD, OCM đồng quy tại một điểm thứ hai khác C

NGUYÊN KHÁNH NGUYÊN (Hải Phịng)

Bài T5/458 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên đương (ø, b, c) thỏa mãn: (aŸ + b)(a+ bŠ)= 2°

TRAN XUAN DANG

(GV THPT chuyén Lé Hong Phong, Nam Dinh)

16 CERES 6 asst-201

CÁC LỚP THPT

Bài T6/458 Giải hệ phương trình:

xey+z+Jgz=4

inary ane

x=min(x, y,z)

TRAN QUANG CHUNG (SV Lép: BTYS12- Hoc viện Kỹ thuật Quân sự) Bài 17/458 Cho hình thoi ABCD cé géc

BAD =120° Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh

BD; H và K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc

của Ä⁄ trên các đường thắng 4ð, 44D; N là trung

diém doan HK Chimg minh rằng đường thẳng 4N luơn đi qua một điềm cĩ định

NGUYÊN QUANG NAM

(GV THPT Qu} Hop 2, Nghệ An) Bài T8/458 Cho tam giác 4C Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=cos”2/4.cos”2B.cos” 2C

„ c0544.c0s4.cos4C HỆ nh

TRAN QUOC LUAT

(GV THPT chuyên Hà Tĩnh) TIẾN TỚI OLYMPIC TỐN

Bài T9/458 Tìm số & nhỏ nhất sao cho:

§=đ` +h + + kabe

les (+0) +644) +e%(a+b)]<0 với mọi a, b, e là độ dài ba cạnh của một tam giác

HỒNG NGỌC TUẦN

1H, Xuân Hịa, Mê Linh, Vĩnh Phúc)

Bài T10/458 Cho dãy đa thức (7„(+))thỏa mãn điều kiện #@)=2x, P(x)=2@2+l) và

T,@)=2x, ¡@)—GŸ ~DP, 20), neĐ,n>3,

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa thức ?(x) chia hết cho đa thức O(x)=x? +1

là n=4k+2,keN

(K27E Tốn, ĐHSP Hà

NGUYÊN THÀNH NHÂN

(GV THPT chuyén Hùng Vương, Bình Dương)

Trang 19

hittps:/iwww.facebook.com/letrungkienmath bị

Bài T11/458 Cho hàm số

ƒ()=1+2n+3MÊ + +2016n”5

và (fqf, mạ), (Sop Soe» Sg) 1 hai hốn vị của (01 2016) Chứng minh rằng trong tập

hợp 4=|{sw/);%/Œ); :5ame/sù)} tồn tại

hai số khác nhau cĩ hiệu chia hết cho 2017 NGUYEN NGỌC HOA

(GV THPT chuyén Lé Khiét, Quảng Ngãi)

Bài T12/458 Cho tam giác ABC và điểm AM bắt kỳ Chứng minh ring

1 2) VY RE: ee meet lộc ni 9

BC? CA)” AB? (MA+MB+MC)`

NGUYEN VĂN QUÝ

{ SV K56A1T1, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội)

Bài L1/458 Một thấu kính mỏng hai mặt lồi cĩ

bán kính bằng nhau Khoảng cách giữa hai tiêu

điểm chính khi đặt thấu kính trong khơng khí và

đặt trong nước lần lượt là 2/¡ và 2/2 Cho chiết

Wlsites google.com/site/letrungkienmath

suất tuyệt đối của khơng khí bằng 1, chiết suất tuyệt đối của nước bằng z

1) Tính chiết suất tuyệt đối của chất làm thầu kính

2) Đặt thấu kính ngập một nửa trong nước sao cho trục chính vuơng gĩc với mặt phẳng phân cách nước và khơng khí.Tính khoảng cách giữa

hai tiêu điểm chính

THANH LÂM (Hà Nội)

Bài L2/458 Một quả cầu lớn dẫn điện cĩ bán

kính # = 0,2 m được tích điện đến V = 1000V

Một quả cầu nhỏ dẫn điện cĩ bán kính r = 0,1m

chưa tích điện, cĩ gắn tay cầm cách điện Cho hai quả cầu tiếp xúc với nhau rồi đưa qua cầu nhỏ ra xa và cho nĩ phĩng điện hệt điện tích thu

được Sau đĩ lại cho hai quả cầu tiếp xúc nhau

Hỏi cần làm như: vậy bao nhiêu lần để điện thế

quả cầu lớn cịn lại bing "= 905 V

VŨ THANH KHIẾT

(NXB Giáo dục Việt Nam)

FOR SECONDARY SCHOOL

Problem 11/458 (For 6" grade) For a given prime number p, find positive integers x, y such

feels

xy P

Problem T2/458 (For 7" grade) Given an acute triangle ABC with the orthocenter 7ï Let M be the midpoint of BC The line through A parallel to MH meets the line through H parallel

to MA at N Prove that AH? + BC? = MN

Problem 13/458 Suppose that a’ +a—-5=0

is

bề 2b? +2b+4=0 .Fïnd a+ 5

Problem 14/458 From a point M outside the circle (O) draw to tangents MA, MB to (0) (4,

B are points of tangency) C is an arbitrary

point on the minor are AB of (O) The rays AC and BC intersect MB and MA at D and E respectively Prove that the circumcircles of the triangles ACE, BCD, and OCM meet at another point which is different from C

Problem T5/458 Find all triples of positive

integers (a, b,c) such that (a° +b)(a+b*)=2°

FOR HIGHSCHOOL

Problem 16/458 Solve the following system of equations

x+y+z+Jgz =4

Vie ip =

x=min(x,y,z)

Problem T7/458 Given a diamond ABCD with

BAD=120° Let M vary on the side BD Assume that H and K are the orthogonal projections of M on the lines through AB and AD respectively Let N be the midpoint of HK Prove that the line through MN always passes through a fixed point

Problem 18/458 Given a triangle ABC Find the maximum value and the minimum value of the expression

P=cos224.cos? 2B.cos” 2Œ

_, ©o34.4.eos48:cos4C 8

(Xem tiép trang 26)

TOAN HOC Sé 458 (8-2015) * CTuổityè 17

Trang 20

hittps:/iwww facebook: comi]etrungkienmath: i s:/Isites google com/site/letrungkienmath

Bài TI/454 Voi n > 2, xét cdc s6 ay, đ›, dạ

và các số nguyên tố phân biệt pị, p›, pạ thỏa

man diéu kién p,\a,—a) =p,|a,~a|= =p,|a,—a-

Chứng mình rằng a; =

Loi gidi Dat pila, — a2| = prjar—as| = pslas— as

vs = Paldn — ai] = k v6i k la sé khéng âm

kt, kt, SE eh at ee, ¡ P an

Tir d6 c6 n ding thite: a,

= Me

sey Ant — An rel > a,—a,= —", trong đĩ kt, E

mỗi số í¡, í2„ , f„¡„f„ lấy giá trị 1 hoae —1

Cộng tất cả ø đẳng thức trên c t, ơó+ôẩ}- 0.t eB thm Me thi PoP Ph ah |e t, › ĩ tử MS Da ha leo CỔ, vu g6 ĐĨ PC” Đạo PaiPisP,

số Ợ là số nguyên Từ đĩ (Mi — đ¡) p›p› py = Opi,

hay 14 pi(Mp2 ps Pn — Q) = hp2 ps Pn New Ä⁄ là số nguyên thì trong đẳng thức trên, về trái chia hết cho ø¡ nhưng về phải khơng chia hết cho pi VÌ 7ì, Ø›, p„ là các số nguyên tố

phân biệt, do đĩ AZ khơng là số nguyên, suy ra số AZ#0 Từ đĩ trong đẳng thức &Ä= 0 thì &

=0, dẫn đến py |a— &| = p› la¿— &| = - = px

la„— ai| = 0, suy ra ai = a;= = a, FÍ

> Nhận xét Nhiều bạn đã chú ý xét dãy tỉ số bằng

aay) a,” a,-a,

3i if nhau „ trong d6 x= ' P,

với ï bằng 1,2, ,n,, nhưng chưa dẫn

ến kết quả

VIET HAT

Bài T2/454 Chọn 100 số tự nhiên khác nhau bắt kì, mỗi số khơng lớn hơn 2015 và mỗi số đều chia cho 17 dụ 10 Chứng mình rằng trong

18: Suớïy+ Số 458 (8-2015)

100 số đĩ luơn chọn được 3 số cĩ tổng khơng

lớn hơn 999

Lời giải Giả sử n là số tự nhiên chia cho 17 dư

10, khi d6 #0 va n c6 dang n = 17k + 10

(với keĐ) Gọi 100 số được chọn là 17k, + 10, 17k; + 10, 17k; + 10, , 17kjoo + 10

Khơng mắt tính tổng quát, ta giả sử &¡ < &› < &›

< < kịp Bây giờ ta sẽ chứng minh Kyo S117 (*) Thật vậy, vì nếu &¡„y >118 thì 100 = khi 45 17k) +10217.118+10=2016 diéu

nay trái với giả thiết Tiếp theo ta sẽ chứng

minh k, <20.That vay, giả sử &, >21 khi đĩ k, 2k +122141=22, k, >k,+1>22+1=23, ke 2k, +122341=2 Koo oe Sky +1

>117+1=118, điều này trái với (*) Vì

k, $205k, Sk, -1< 20-1=19; k, Sk,

<19—1=1§ Với các kết quả trên thì t số nhỏ nhất trong 100 số được chọn sẽ là

(17k, +10) + (17k, +10) + (17k, +10)

=17(k, +k, +) +30

$17(18 +19 +20) +30 =17.57 +30 =999 Đây là điều phải chứng minh FJ

Nhận xét Tắt cả các bạn gử

đúng Các bạn sau cĩ lời giải

+ Tạ Kim Thanh Hiền, 6A4, THCS Yên Lac, Yén Lac, Tran Minh Huy, 6A, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên; Nghệ An: Hodng Thi Bao Ngọc, TC, Định Thị Quỳnh Châu, Nguyễn Đình

Tuấn, 7C, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương; Hải

Phong: Vi 7hị Diễm Quỳnh, TA2, THCS Hồng Bảng, Quận Hồng Bàng; Vũng Tàu: Đồn Thị Khánh Vy, 9A9, THCS Võ Trường Tồn, TP Vũng

Tau; Ha Dinh Hồng Nhật Minh, TAS, THCS

Cầu Giấy, Phú Thọ: Nguyễn Chí Cơng, 6A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao

1 g ba

đều cho lời giải

NGUYEN XUAN BINH

Bài T3/454 Chứng minh rằng với mọi n

nguyên đương thì giá trị của biểu thức

luơn là một số vơ tỉ

(Của bạn Nguyễn Đình Tuấn, TC, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An)

Dat A=(1* +4)(2* +4) (n' +4)

Ta sẽ chứng mình © khơng lẽ số chính phương

Trang 21

ht s:/iwww facebook com/letrungkienmath ht

That vay, voi n = 1 thi An 3 v6i đ>1 thì 4

luơn là số chẫn

Ta lại cĩ, với số nguyên dương &, nếu & lẻ thì k*

+ 4 lẻ nếu & chin thi k = 2/ và

+4 = 16Ẽ +4= 2?(4P + 1) trong đĩ 4 + I

luơn là số lẻ Do đĩ số mũ của 2 trong phân tích

ra thừa số nguyên tố của các thừa số trong 4

luơn là 0 hoặc 2 Vì vậy số mũ của 2 trong phân

tích ra thừa số nguyên tố của 4 luơn là

Suy ra số mũ của 2 trong phân tích ra thừa số

nguyên tố của 4 luơn là số lẻ và khơng thể là

số chính phương, suy ra đpcm F > Nhận xét :

1 Hầu hết các bạn sử dụng biến đồi:

ác = RẺ + 4= (Ệ + 2)” — 4 = (Ệ +2 = 2) +2 + 2#) =[Œ- L HL + 1)? + 1] để cĩ ai =1+4=(02+1)2+1) 2!+4=(1?+1)@?+1) na =3!+4=(22+1)(42+ 1) (n-1)'+4 27+ pr +1) n+ lứi — LẺ + 1][Ú: + 1+ 1] Từ đĩ cĩ ai.4a.ai ay = 2.2? + 1" +1)" {ứ ~ ĐỂ + LƑ(m + 1)[@ + D + 1] i

Đến đây, dé chứng minh giá trị của (1) luơn là số vơ

ti, ta can chimg minh P = (n? + 1)[( + 1) + 1]

khơng chính phương Sau đây là một vài cách chứng mình của các bạn: Cách L: (đ° + n+ 1< P< (0P +n+2Ÿ; Cách 2: P= [nín + 1)F + 2n(n + 1) + 2 chia 4 luơn dư2; Cách 3: P= erent ? +n+1)' +1 1a s6 chinh phuong =0, vo If

2 Ngồi bạn Nguyễn Đình Tuần, các

cĩ lời giải tốt là: Vĩnh Phúc: Aø

Trần Đức Duy, 8A4, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Nghệ An: Trần Lê Hiệp, 8A, THCS Lý Nhật Quang,

Độ Lương, Lé Trương Thái Bảo, Nguyễn Trọng Bang, 8A2, THCS thị trấn Quán Hành, Nghỉ Trung, Nghi Léc; Phi Tho: Nguyén Théo Chi, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Hà Nội: Nguyễn Văn Cao, Vương Tiên Đạt, Nguyễn Thành Long, Đặng Thanh Từng, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hịa;

Thanh Hĩa: Đặng Quang Anh, SA, THCS Nguyễn

Chích, Đơng Sơn; Bà Rịa - Vũng Tàu: Đồn Thi Khánh V¡, 9A9, THCS Võ Trường Toản, TP Vũng Tàu; Kon Tum: Lê Viết Lưw Thanh, 9A, THPT chuyên Nguyễn Tắt Thành, Kon Tum; Quảng Bình: Hồng Nhật Tuấn, 9', THCS thị tran Quan Hau, Quảng Ninh

NGUYEN ANH QUAN

Bài T4/454 Cho tam gide ABC và D là một

điểm bắt kì trên cạnh BC (D khác B, D khác C)

Các đường trung trực của các đoạn thăng BD, AB, AC tại M và N Gọi H là

hình chiếu vuơng gĩc của D trên đường thăng

MN: E, F theo thứ tự là trung điểm của BD và

CD Chứng minh rằng EHF = BAC

Lời giải

Xét trường hợp M và N thuộc các cạnh 4Ư, AC

Cịn trường hợp M⁄, N nằm trên các đường thẳng AB, AC ta chứng minh tương tự Gọi D, là điểm

đối xứng của D qua H Vì 8, D, D, nằm trên

đường trịn tâm 4⁄ bán kinh MB, nén BMD =2BD,D (1) Lai thấy D, C, Dị nằm trên đường trịn tâm A bán kính AC nên

DNC =2DD,C (2) Từ (1) và (2) ta suy ra

BMD +DNC 2

BD,C = BD,D +DD,C =

„ 360" =2(180° 5 - BÁC) _ gam @)

Do £, Ƒ theo thứ tự là trung điểm của DB va

DC nên EH, FH lần lượt là các đường trung bình của tam giác 8DD,và DCD, Từ đĩ EH // BD,

và FH // CD) Lúc đĩ EHF =BD,C (4) Từ (3) và (4) suy ra EHF = BAC (dpem) 0

> Nhận xét Tất cả các lời giải gửi về Tịa soạn đều đúng theo hướng biến đổi gĩc Những bạn sau cĩ lời giải ngắn gọn, cĩ lưu ý đến các trường hợp liên quan đến vị trí của các diém M,N trên các đường thẳng

AB và AC Hà Nội: Nguyễn Văn Cao, Vương Tiến

Đạt, Nguyễn Thành Long, Đặng Thanh Tùng, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hịa; Vĩnh Phúc:

Nguyễn Minh Hiểu, 9D, Phùng Văn Nam, 9E, THCS Vĩnh Yên, Trần Đức Duy, Nguyễn Văn Hiếu, Bùi Thị Liễu Dương, 8A4, THCS Yên Lạc; Phú Thọ:

Nguyễn Thảo Chỉ, Nguyễn Hải Dương, Trân Thị Thu Huyền, Trần Quốc Lập, 8A3, THCS Lâm Thao; Hải

Dương: Đổng Xuân Luân, 9B, THCS Hợp Tiến,

Số 458 (8-2015) bic eee 19

Trang 22

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath bị

Nam Sách; Thanh Hĩa: Đặng Quang Anh, 8A, THCS Nguyễn Chính, Đơng Sơn, Tran Quốc Phương, 9A, THCS Thị trấn huyện Thường Xuân; Nghệ An: ƒØ Phương Tâm 7B, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nguyễn Đình Tuấn, 7C, Trấn Lê Hiệp, Nguyễn Thu Giang, Nguyễn Văn Mạnh, Nguyễn Thị Như Quỳnh 4, Nguyễn Thị Như Quỳnh B, Trịnh Thị Kim Chỉ, SA, Hồng Trân Đức, Đồ Viết Ty, 8D, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương; Quảng

Ngãi: Nguyễn Lê Hồng Duyên, 9A, THPT chuyên Nguyễn Tat Thành; Bà Rịa - Vũng Tàu: Đồn Thị

Khánh Vy, 9A9, THCS Võ Trường Tồn, TP Vũng Tàu; Tây Ninh: Dương Anh Kiệt, THCS Lý Tự Trọng, Hịa Thành HỖ QUANG VINH

Bài T5/454 Cho phương trinh ax’ + bx + ¢ = (các hệ số a, b, c nguyên, a > 0) Biết rang phương trình cĩ hai nghiệm dương phân biệt bé

hơn 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hệ số a Lời giải Gọi hai nghiệm của phương trình

ax? tbxtc=0 ld xx, voi0< x, <x, <1 Khi dé f(x)=ax? + bx +c =a(x—x,)(x- x)

Doa>0va0< x, <x, <Inén

f(0) =aO~x,)(O—x,)=ax,x, >0

f)=a(l—x, (1-2) > 0

Mặt khác, a, b, c la các số nguyên nên /{0) = e,

/6)E a+b+c là các số nguyên

Do đĩ /f0) > 1, #1) > 1, suy ra /0)./0) >1) Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số

dương, ta cĩ xen ray al „ đẳng thức 5 5

1 =x, Ox => 3

xây ra khi x, =

Tương tự x;(1—x; sh, đẳng thức xây ra khi

ˆw(1=x),(1=3,)S1 @)

1, 2

%=z:/(0./0)=

Đẳng thức ở (2) xảy ra khi x, =x; =} (mâu

thuẫn với điều kiện x, # x;) Từ (1) và (2) suy

ra {g>I=a>4 (do a > 0) Ma a là số nguyên nên a > 5 Với a= 5 thì 1</(0/0)<15<2, ma 0), /61)<Z nên TỐN HỌC 20: asics Số 458 (8-2016) lisites google.com/site/letrungkienmath #0 c=l th =| 5 (do a=5) Khi đĩ phương trình cĩ đạng Sx” — 5x + ]= 0, 5+5 10

đều dương và nhỏ hơn 1(thỏa mãn điều kiện)

Vậy a = 5 là giá trị nhỏ nhất cần tìm FJ

> Nhận xét Bài này khơng cĩ nhiều bạn tham gia

Một số bạn sử dụng cơng thức nghiệm của phương

trình bậc hai để suy luận loại trừ các khả năng ø = 1, 2, 3, 4 nên lời giải bị dài đồng Tuyên đương các bạn

sau cĩ lời giải tốt: Hải Dương: Đơng Xuân Luân,

9B, THCS Hợp Tiến, Nam Sách; Vĩnh Phúc Nguyễn Minh Hiếu, 9D, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên; Hà Nội: Nguyễi Thanh Long, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hịa

PHẠM THỊ BẠCH NGỌC Bài T6/454 Giải hệ phương trình

phương trình này cĩ hai nghiệm x,; =

z-Jx=jy— Lời giải (Của đa số các bạn)

ĐK: x>I,y>1,2>1,x2>y,J2>z,22>x

Bình phương hai về các PT của hệ (1), ta cĩ:

x—jy=z—2ýz+l y~ýz=x~2/x+1 (ID 2—Vx=y-2/y+1 Cộng từng vế các PT của hệ (II) và rút gọn ta được: Vx+jy+z=3 () Từ ĐK ta cĩ: Ýx>I,(y>I,z>l Suy ra dx+jy+Vz>3 (2)

Để đẳng thức (1) xảy ra thì dấu đăng thức trong

BĐT (2) xảy ra c> x=l,y=l,z=l Các giá trị này thỏa mãn hệ (I) Vậy hệ (I) cĩ nghiệm duy nhất (x; y; z) = (l; l; 1)

> Nhận xé Cĩ thê dùng phương pháp đánh giá để dẫn tới x = y = z Bài tốn này khá dễ và cĩ nhiều bạn tham gia giải, các lời giải đều đúng, Xin nêu tên các bạn cĩ lời giải ngắn gọn và chặt chẽ nhất: Hà Nội Vương Tiến Đại 9B, THCS Nguyễn

Thượng Hiền; Ứng Hịa; Vũ Đức Văn, Trân Bá

Khoi, 10T1, THPT chuyên DHSP Hà Nội Nam Định: Ơng Từng Dương, Ninh Quốc Cường, 11 Tốn 1, THPT chuyên Lê Hồng Phong Bắc Ninh: Nguyễn Thị Hỏng Chỉnh, 1IA1-K10, THPT Yên

Phong 2 - Bắc Ninh Thái Nguyên: Nguyễn Triều Minh, 11 Tốn, THPT chuyên Thái Nguyên Vĩnh

Trang 23

hư :/5www,facebook,comiTetrungkienmath: hi

Phúc: Nguyên Hữu Huy, 10A1 Tốn, THPT chuyên

Vĩnh Phúc Bắc Giang: Dương Thị Hạnh, 11 Tốn, THPT chuyên Bắc Giang Phú Thọ: Võ Tuần Dũng, 10 Tốn, THPT chuyên Hùng Vương Hưng Yêi Triệu Ninh Ngân, 10A9, THPT Dương Quảng Hàm, Văn Giang Hải Dương: Nguyễn Anh Tuấn, 10 Tốn, THPT chuyên Nguyễn Trải Thanh Hĩa:

Trần Quốc Phương, 9A, THCS Thị Tran, Thuong

Xuân; Đặng Quang Anh, 8A, THCS Nguyễn Chích,

Đơng Sơn Nghệ An: Nguyễn Hy Hùng Minh,

10AIK43, THPT chuyên Phan Bội Châu; Đậu Thị Khánh Linh, 10T1, THPT D6 Luong | Ha Tinl

Ngơ Viet Hoang, Nguyén Thi Linh, \0T1; Nguyén Van Thé, 11T1, THPT chuyén Ha Tinh Quang

Ngãi: Nguyễn Thi Ha Vi, 10 Tốn 2, THPT chuyên Lê Khiết Pha Yén: Nguyén Huynh Huy Man, 10 Tốn 1, THPT chuyên Lương Văn Chánh, TP Tuy Hoa Ca Mau: Hoang Cơng Minh, 10 Tốn 1,

THPT chuyên Phan Ngọc Hiển Ninh Thuật Nguyễn Thành Khải, Trần Lê Xuân Trúc, 10 Tốn,

THPT chuyên Lê Quý Đơn Bình Phước: Bùi Cơng Minh, AK11, THPT chuyén Quang Trung

TRÀN HỮU NAM Bài T7/454 Cho P là một điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC Gọi

A, =BCOAP, B, = ACOBP, C, = ABOCP, 4A, =BCOB,C, By =ACNAC,, C, = ABOAB,; Ay =B,C, MAP, B, = BPOAC,, C, = A,B, OCP

di qua Ay; AxCs di qua

Chứng mình rằng B: a AsBs di qua C;

Lời giải (Theo đa số các bạn),

Áp dụng tính chất hàng điểm điều hồ và chùm điều hồ ta cĩ

(4;4,B©) = (42⁄43C(B)) = = 1 nên Ai(4s4i8C) = P(4243C,B\) =— 1 hay

A,(A2PB3C3) = P(A2A1B3C3

Suy ta A,(PA2B3C3) = P(A1A2B3C3)

Do đĩ ba điểm 4p, Bs, C; thang hang

Tương tự ta cĩ 8;, C;, 4› thắng hang va Cy, 4›, By thing hang O

-/isites google.com/site/letrungkienmath

>Nhdn xét Bài tốn khơng khĩ nên cĩ nhiều bạn tham gia giải và đa số cho lời giải đúng Sử dụng định 1í Menelaus và định lí Ceva cũng là định hướng khá tự

nhiên, được nhiều bạn lựa chọn khi trình bảy lời gi

Cũng cĩ thể sử dụng định lí Desargues đề giải bài tốn trên Xin nêu tên một số bạn cĩ lời giải ngắn gọn 'Vĩnh Phúc: Đỗ Văn Quyớ, 10A1, THPT chuyên Vĩnh

Phúc; Phú Thọ: Aguyổn Đức Thuận, 10T, THPT

chuyên Hùng Vương, Phú Thọ; Hà Nội: Phạm Ngọc Khánh, 10 T2, Phạm Khánh Hà, Vũ Đức Văn, Hồng Anh Quân, THPT Chuyên ĐHSP; Trẩn Thiện Nam, IAL, THPT Ứng Hoi A, Ung Hoa; Vii Ba Sang, 11T1, THPT chuyên Nguyễn Huệ; Nam Định: Phạm Hơng Trường, 10T2, THPT chuyên Lê Hồng Phong; Hà Tĩnh: Nguyễn Văn Thế, Bùi Huyễn Trang, TI, Phan Anh Tuấn, Chu Thuý Hàng, Ngơ Việt Hồng, 10T1, THPT Chuyên Hà Tĩnh; Nghệ An: Cao Ƒữu Đạt, 10A1, THPT chuyên Phan Bội Châu; Phú Yên: Hồ Minh Hồng, Đặng Bảo Vinh, 10T1, THPT chuyên Lương Văn Chánh NGUYÊN THANH HỎNG

Bài T8/454 Cho các sĩ thực dương a, b, c

Chứng mình rằng

(sz}( (et)

Lời giải Đặt x= “tra : Vi a,b,c la cdc sé dương nên —]< x,y,z <1

l+x, b _lty c_l+z i do ee cố cản Wide es ei a ©(+z)d+y)d+z) Y)(~z) ®x#+y+Z=—92 b+c

Bat đẳng thức phải chứng minh tương đương

với (lưu ý (1):

Latch har aks

lata +(+yŸ+(+z) )+3>3@+xz+y+z)

erty 4+2-3(xtytz)20 erty +2? 43ayz20 (2)

Trang 24

hư / www facebook com/letrungkienmath i

Ap dung bất đẳng thức Cauchy và lưu ý rằng |az|<1, ta cĩ

x2+y? +z? >3(|(ayz)” >3|yz|>—3ayz

Suy ra bất đẳng thức (2)

Vậy bất đẳng thức trong đầu bài được chứng minh

Dầu đẳng thức đạt được khi va chỉ khi :

> Nhận xét Một số bạn đã giả thiết a<b<c Điều

đĩ là khơng đúng vì trong bài tốn vai trị của ø, b, ¢ khơng như nhau Tuy nhiên, nếu thực hiện hốn vị vịng quanh theo thứ tự ø->b->c->a thì bài tốn

khơng thay đồi Do đĩ cĩ thé giả thiết a=min{a,b,c}

Một số bạn đặt

địt, 11eyuƯh

vì J8” 2) 5sbie2

Kết quả và lời giải cũng như trên

Các bạn sau đây cĩ bài giải tốt: Long An: Phạm: Dang Khoa, Dang Thành Trung, 1012, THPT

chuyên Long An; Phú Thọ: Lê Bảo Anh, 10 Tốn,

THPT chuyên Hùng Vương

NGUYÊN ANH DŨNG

Bài T9/454 7zong mặt phẳng toa dé cho

đường thẳng d cĩ phương trình y =3, +4

Gọi a, và a› là hai đường thẳng (phân biệt) song song và bass đều đường thing d một

Aa) cages

2

'c+a

khoảng bằng a Hỏi miễn mặt phẳng chứa đường thẳng d với biên là q, và a› cĩ chứa điểm nguyên nào khơng? (Điểm nguyên là điểm cĩ hồnh độ và tung độ đều là số nguyên) Lời giải (Theo bạn Lê Duy Dũng, 10 Tốn, THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương) Giả

sử trong miền đã cho cĩ điểm nguyên 1 (m, n) Œm.ne7Z) Theo giả thiết

mn ‘ 1 “| AMA) $5 33" Tưng Số 468 (8-90 Wisites.google.com/site/letrungkienmath oY <= {3m-2n+2) 4_ 13 = eee

i) Néu 3m—2n 2 0 Tit(1) suy ra 9 T144

13 5 Em (1) Ta cĩ 3m—2n e Z vơ lý Ù) Nếu 3m~2n <0 => 3m—~2n <—1 2 3m~2n+< =3m-2n+2 > (3m-2n+3) ae

Vậy trong miền đã cho khơng tồn tại điểm

nguyên nào FT

> Nhận xét Các bạn tham gia giải bài tốn này đều làm đúng (trừ một bạn) Một số lời giải đúng nhưng hoi dai Các bạn cĩ lời giải tốt bao gồm: Quảng Binh: Hoang Thanh Việt, 11 Tốn, THPT chuyên 'Võ Nguyên Giáp; Bình Phước: đùi Văn Bình, 11A,

THPT chuyén Quang Trung, Phú Thọ: Lê Bảo Anh,

10 Tốn, THPT chuyên Hùng Vương; Hà Nội: Hồng Anh Quân, 10 Tốn 1, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, Bình Thuận: Đương Đức Tín, 10 Tốn,

THPT chuyên Trần Hưng Đạo; Thai Binh: Tran

Quang Minh, 1OAI, THPT Đơng Thụy Anh, Thái

Thụy

DANG HUNG THANG

Bài T10/454 Cho phwong trinh 2014° + nx =

2013.Chứng tỏ rằng với mọi số n nguyên dương

phương trình trên cĩ đẳng một nghiệm xạ, tìm lim Xp

lãi Đặt ƒ,(x) = 2014" + nx va xeR Ta , xelR và nxxel là các hàm liên

tục, đồng biến Suy ra ƒ,(x) là hàm số liên tục,

đồng biến Chú ý ƒ(0=1 vi) 2B oa,

Do đĩ theo định lý Bolzano - Cauchy phương

trình ƒ(+) = 2013 cĩ duy nhất một nghiệm

thực x, và 0<, < "5, Mặt khác lim “=0, Phượng:

Bởi vậy theo định lý kẹp lim x, =0 71

Nhận xét Đây là bài tốn giải tích cơ bản, khơng khĩ Hoan nghênh các bạn học sinh lớp 10 sau đã tham gia giải và cĩ lời giải đúng: Vĩnh Phúc: Đổ

Văn Quyết, 10A1, THPT chuyên Vĩnh Phúc; Hà

Nội: Trấn Bá Khĩi, 10T1, THPT chuyên ĐHSP; Hải

Duong: Nguyén 4nh Tuấn, 10T, THPT chuyên

Nguyễn Trãi; Hưng Yên: ương Hồng Sơn, 10A9, THPT Dương Quảng Hàm, Văn Giang; Nam Định: Trịnh Tuấn Giang, 10T2, THPT chuyên Lê Hồng Phong; Thái Binh: Tran Quang Minh, 10A1, THPT

Trang 25

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath

Đơng Thụy Anh, Thái Thụy; Nghệ An: Nguyén

Hồng Quốc Khánh, 10A1, THPT chuyên Phan Bội Châu; Hà Tĩnh: Ngơ Việt Hồng, 10T1, THPT chuyên Hà Tinh; Phú Yên: Đặng Bảo Vinh, 10T1, THPT chuyên Lương Văn Chánh; Bình Thuận: Đương Đức Tín, 10T, THPT chuyên Trần Hưng Đạo; Long,

An: Phạm Quốc Thắng, 10T1, THPT chuyên Long

An

NGUYEN MINH BUC Bai T11/454 Tim tdt ca các hàm số liên tục

f:R—R théa man

(xt y)f(rty) =f) + yf) +229 (I) Vx, ye R

Tời gidi (Theo da s6 cdc bạn) Thay y=x vào (1) ta được 2y(2x) = 2y(w) + 2x”, Wx ER <> 2x) —2x= fe) — x, WxeR hay g(2x)= g(x), VreR (2)

trong đĩ ø(x)= ƒ(x)—x Từ (2), bằng quy nạp

tốn học ta đễ đàng suy ra

4@0=e)=4 3) -(z }w»eRseR @

Sử dụng tính liên tục của hàm g(x) (do f(x) liên tục trên 8 ), ta thu được

(x)= lim (=) = 9(0), Vx eR Vay g(x)

hay f(x)

Thử lại ta thấy hàm sé f(x)=x+c théa man

điều kiện bài ra ứng với mọi hằng số c FT > Nhi Đây là dạng tốn về phương trình hàm

dạng Cauchy trong lớp hàm liên tục thuộc dang quen thuộc nên cĩ nhiều bạn giải được Đa bạn giải theo cách trình bày ở trên, một số khác đặt ân số phụ

để đưa về giải phương trình hàm Cauchy tương ứng

Các bạn sau đây cĩ lời giải đúng

Bắc Ninh: /ê /y Cưởng, I]T, THPT chuyên, Nghiêm Chỉ, 11A1K10, THPT Yên Phong 2; Bình ịnh: Trấn Văn Thiên, 10T, THPT chuyên Lê Quý Đơn; Bình Phước: Bùi Văn Bình, Bùi Cơng Minh,

AKII, THPT chuyên Quang Trung; Bình Thuận:

Dương Đức Tín, Tơ Quốc Hưng, 10T, THPT chuyên

Trần Hưng Đạo; Hà Nội: Hoảng Lê Nhật Tùng,

11T2, THPT chuyén KHTN, Vii Ba Sang, 11T1,

THPT chuyên Nguyễn Huệ, 7rẩn Bá Khơi, 10TI,

THPT chuyên ĐHSP; Hải Dương: Aguyể: Anh

Tuần, 10T, THPT chuyên Nguyễn Trãi; Hà Tĩnh:

Việt Hùng, Nguyễn Đức Thắng, Nguyễn Anh

Triêu, 10T1, Nguyên Văn The 11T1, THPT chuyên

Ha Tinh; Hưng Yên: Nguyễn Mạnh Hiệp, Dương Hồng Sơn, Triệu Ninh Ngân, 10A9, THPT Dương Quảng Hàm: Khánh Hịa: Nguyén Kim Hồng, A12, THPT Nguyễn Trai; Long An: Pham Quoc

Tháng, 10T1, THPT chuyên Long An, Nguyễn Giáp

Phương Duy, 11A1, THPT Hậu Nghĩa; Nam Định:

+e hittps:/Isites.google.com/site/letrungkienmath

Trịnh Tuấn Giang, 10T2, Ơng Tùng Dương, Ninh

Quốc Cương, 11T1, THPT chuyên Lê Hồng Phong; Nghệ An: Trân Quang Huy, 10A1, THPT chuyén

DH Vinh, Nguyễn Cảnh Hồng, Cao Hữu Đại, Nguyễn Hồng Quốc Khánh, 10A, THPT chuyên Phan Boi Chau; Phi Tho: Lé Bao Anh, 10T, THPT chuyên Hùng Vương; Phú Yên: Nguyễn Chí Lương, 10TI, THPT chuyên Lương Văn Chánh; Quảng Binh: Hoang Thanh Việt, 10T, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp: Thái Nguyên: 7rẩn Quang Minh, I0AI, THPT Đồng Thụy Anh, Nguyễn Triều Minh,

LIT, THPT chuyên Thái Nguyên; Thanh Hĩa: Vữ

Duy Mạnh, 1ÚT, Nguyễn Tiến Tài IIT, THPT chuyên Lam Sơn, Vĩnh Phúc: Đổ Văn Quyết, 10A1, 'THPT chuyên Vĩnh Phúc; Yên Bái: Vữ Ifồng Quán,

IIT, THPT chuyên Nguyễn Tắt Thành,

NGUYÊN VĂN MẬU

Bài T12/454 Cho tam giác ABC Điểm M di động trên đoạn BC (I), (Ix) theo thứ tự là

đường trịn nội tiếp tam giác ABM, ACM Tiép

tuyển chung XY khác BC của (1h), (I2) cat AM

tai N (Xe(h)); Ye(h)) Z, T theo thié we là tiếp

điểm của AM và (h), (l) K là giao điểm của

XT và YZ Chứng mình rằng NK luơn đi qua

một điểm cổ định

Lời giải Trước hết ta cần cĩ một bồ đề

Bỗ đề Nếu MP, NQ theo thir tự là tiếp tuyến

chung ngồi và tiếp tuyến chung trong của các

đường trịn (Ø\), (0) (M,N e(0,);P,Ø e(Ø,) )

thi MNLPQ va MN, PO, 0,0; déng quy

(hl),

Hình 1

Phép chứng minh bổ dé trên rất quen thuộc,

khơng trình bày ở đây

Goi (J) là đường trịn nội tiếp AABC; P, R theo ự là tiế của (1) và BM, BA; Q, S theo thứ tự là tiếp điểm của (›) va CM, CA; D, E theo thứ tự là tiếp điểm của (1›) và CB, C4; F,

L theo thứ tự là giao điểm của XZ, NK va YT

Trang 26

Kết hợp với FYX=TYN=NTY=FTZ, suy ra

các tam giác YEX, 7PZ đồng dạng

Vậy

Dễ thấy các tam giác /XZ, XY7 đồng dạng

cùng hướng (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác 7X, NYL đồng dạng cùng hướng Theo bề đề trên, Ƒ thuộc 7/›

Vậy, chú ý rằng M/ L /,X, ta cĩ

(NL,1,I,) = (NL,1,F)= NY1,.X) =F (mod ®)

Do đĩ ME L71, Kết hợp với YO 1 H1, suy ra NL/1YO (3) Mặt khác 2AN=AZ—NZ+AT-NT=AR—NX+AS—NY =AB~RB+ AC—SC—XY =AB+AC~PB-QC~PO=AB+AC~BC=2AE Do đĩ NY=NT=AT~AN=A§~AE= ES =CE—CS =€CD~CQ=DQ Vậy ND//YQ (4) Từ (3) và (4) suy ra ND = NL

Điều đĩ cĩ nghĩa là đường thang NK di qua mét điểm cĩ định (điểm D) r1

bạn tham gia giải bài tốn này và giải đúng Ngồi cách giải trên một vài bạn cịn giải băng cách sử dụng cực và đối cực 5 2) Xin néu tén tit ca cdc ban: Yén Bai: Vit Hong

Quân, 1T, THPT chuyên Nguyễn Tất Thành, TP

Yên Bái; Phú Thọ: Nguyến Đức Thuận, 10T, THPT chuyên Hùng Vương, TP Việt Trì; Vinh Phiic, Ha Hữu Linh, 10A1, THPT chuyên Vĩnh Phúc, TP Vĩnh Phúc; Hưng Yên: Duong Hong Sơn, 10A9, THPT Dương Quảng Hàm, Văn Giang; Thanh Hố: Vi Duy Mạnh, Nguyễn Đình Lương, 10T, THPT chuyên Lam Sơn, TP Thanh Hố; Hà Tĩnh: Ngơ Việt Hồng, 10T1, Bùi Huyền Trang, Chu Thuý Hang,

24 Toe Hee Sé 458 (8-2015)

/isites.google.com/site/letrungkienmath

Nguyễn Van Thé, Vo Duy Khénh, \1T1, THPT

chuyén Ha Tinh, TP Ha Tinh; Quang Binh: H6 Anh

Tiền, LIT, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, TP Dong

Hới; Bình Định: Tran Van Thién, 10T, THPT

chuyên Lê Quý Đơn, TP Quy Nhơn; Bình Phước: Bùi Văn Bình, 11A, THPT chuyên Quang Trung, TP Đồng Xồi: Long An: Phạm Quốc Tháng, 10T1,

THPT chuyên Long An; Hà Nội: Lê Duy Anh, 10A1, THPT Nguyễn Tat Thanh, Tạ Khánh Hà, Vũ

Văn Đức, Trần Bá Khơi, 10T1, THPT chuyên ĐHSP

Hà Nội

NGUYÊN MINH HÀ

Bai L1/454 Đặt điện áp xoay chiều u = Us

cost (Up va œ khơng đổi) vào hai đầu đoạn

mạch nĩi tiếp gồm điện trở R, tụ điện cĩ điện

dụng C, cuộn cảm thuân cĩ độ tự cảm L thay

đổi được Khi L = Lị và L = Lạ điện áp hiệu

dụng ở hai đầu cuộn cảm cĩ cùng giá trị: độ

lệch pha của điện áp ở hai đầu đoạn mạch so với cường độ dịng điện lần lượt là ạ\ và Q›

Khi L = Lạ điện áp giữa hai đầu cuộn cảm đạt

cực đại; độ lệch pha của điện áp hai đầu đoạn

mạch so với cường độ dịng điện là g Tim ọ theo ọ\ và @› Ấp dụng bằng số: ạị = 0.52 rad, 2 = 1,05 rad

Lời giải Theo bai ra ta cĩ:

tang, = (1) tang, R?+rZ2 cont) = (2)

= E Rn Z 7}

L

au 2, 4®

lộ ca

Từ các phương trình trên ta thu được phương trình n tang:

tang[ tan? (tang, +tanep,)+2tang(1—tang, tan, ) ~(tang, +tang,)|=0 (5)

Giải phương trình (5) va ldy nghigm tang >0 tà cĩ:

« Nếu tan(p, +@,) > 0 thì:

ee AO A

fn in mổ

tang

Thay số ta được: @ = 0,785rad O

> Nhận xét Các bạn cĩ lời giải đúng: Nghệ An:

Trang 27

Hồ Thanh Tùng, 12CL, THPT Kim Liên, Nam Đàn; Nam Dinh: Pham Ngọc Nam, 11 Lý, Nguyễn Nam Khánh, 12 Lý, THPT chuyén Lé Hong Phong

NGUYÊN XUÂN QUANG Bài L2/454 Ba con lắc lị xo 1, 2, 3 dao động điều hồ quanh vị trí cân bằng trên ba trục nằm

ngang song song với nhau nam trong cing một

mặt phẳng và con lắc lị xo thứ 2 cách đều hai

lị xo cịn lại, vị trí cân bằng của vật cĩ cùng

toa độ, trục toạ độ cùng chiều “ương Biết kị =

2Ä; = 0,Sk› = 100 Am, khĩi lượng các vá

mắc vào lị xo cĩ khối lượng lần lượt mị = 0,5m; = 100g Ở thời điểm ban đầu truyễn

cho vật mạ vận tố

đương, cịn đưa vật m› lệch khỏi vị trí cân bằng

một đoạn nhỏ cĩ toạ độ 1,5 cm rơi thả nhẹ và

kích thích con lắc thứ 3 dao động Trong quá

trình dao động cả ba vật nặng năm trên một đường thẳng Tinh vận tốc ban đầu của vật

nding ms Lời giải Tần số gĩc: _jJk _]00_ ú “lấp “(0T = l0 rads c? Lai si|£507 — : 0= lạc = laos 710 rads; =iE - |200051 21g tu mà 01 + Xét con lắc lị xo thứ (1): x, =A,cos(®/+@,) Lúc a

Bài tốn Giải bắt phương trình : G=9)/2x—T c0 ve) x-205 ~ —- (x=9)N2x=T 10% gidi se Tập xác dinh : D= {x <0) ts x# 203} slisites google.com/site/letrungkienmath = xị =3cos(10a =2) (em) + Xét con lắc lị xo thứ (2) : x; =A,eos(œ+@,) Lúc =0: +;=A,.eosọ,=lố _ ÍA;=l,5em ¥, =-0,4, sing, =0 |, =0 => x, =1,5.cos(10zt) (cm)

+ Trong quá trình dao động cả ba vật nặng nằm

trên một đường thẳng : +; a x =2,-3, =32 cos(lOnt +) (cm) =w= 30//2msin(10xr +2) (em) Lúc =0: vụ =-30m cm/s > Nhận xét : Chỉ cĩ bốn bạn đã hồn thành trọn vẹn

đề bài này: Nam Định: Nguyễn Nam Khánh, 12 Lý, Phạm Ngọc Nam, 11 Lý, THPT chuyên Lê Hồng Phong; Thái Bình: Ngơ Văn Khoa, 11A2, THPT

Bắc Đơng Quan, Đơng Hưng; Hà Tĩnh: Trdn Bao

Trưng, 11T1, THPT chuyên Hà Tĩnh

ĐINH THÁI QUỲNH

9 Loi gididatronven?

NGUYEN HOU THO (GV THCS Nguyễn Trãi, Nghỉ Xuân, Hà Tĩnh)

Với mọi xeD thì /2x—1>0 nên

Đối chiếu với tập xác định ta được nghiệm của

bắt phương trình đã cho là : 9< x<2015

Theo các bạn thì lời giải trên đã đúng chưa?

Số 468 (8-2018) TREN HOS 25

Trang 28

hittps:/www.facebook.com/letrungkienmath i

HƯỚNG DẪN GIẢI (Tiếp theo trang 6) đỉ qua đúng 2 điểm ⁄

của 8 Giả sử L là tập

hợp các đường thẳng

đi qua ít nhất 2 điểm 1

ctia S Vi Š,L là các tập Mua Giai tá hợp hữu hạn suy ra ta cĩ điểm AeS và đường

thẳng /eL sao cho khoảng cách từ 4 đến / là

nhỏ nhất (A£/) Gọi # là chân đường cao hạ

từ 4 đến đường thẳng /, điểm B chia đường

thang / thành 2 nửa đường thẳng và ta chứng mỉnh ở mỗi phía của # chỉ tồn tại nhiều nhất

một điểm của S Giả sử phản chứng cĩ một nửa đường thẳng cĩ chứa 2 điểm của S, là C¡, C2

(CG,)

Ta cĩ 0<|BC,|<|BC;| và AAC,C; là tù hoặc

vuơng (khi C,=B) suy ra AC,C, là lớn nhất

Ta cĩ |GG|<|AG| khi đĩ khoảng cách từ C, đến AC, nhỏ hơn khoảng cách |AB| (mâu thuẫn với

giả thiết khoảng cách từ A đến /là nhỏ nhấp) Suy ra / đi qua nhiều nhất 2 điểm của S =>! đi

26 be ie Số 458 (8-2015)

((siVes.google.comsitelletrungikienmaatl:

qua đúng 2 điểm của Š Ta chứng minh tiếp bài tốn bằng quy nạp theo ø >3

+ ø=3 là hiển nhiên

+ Giả sử kết luận đúng với ø—1 ta chứng minh

kết luận của bài tốn đúng với n

Áp dụng kết quả trên với tập Š ta cĩ tổn tại một đường thẳng đi qua đúng hai điểm, gọi hai điểm

đĩ là A,B Ta xét tập S'=S\{A} khi đĩ cĩ 2

trường hợp xây ra:

THỊ: Tất cả các điểm của S$’ (S' gm n-1

điểm) cùng nằm trên một đường thẳng / Ta

nhận được tập ø đường thẳng phân biệt

{Ax:xes}©{t

TH2: Tắt cả các điểm của S$’ khơng thuộc cùng một đường thẳng Khi đĩ theo giả thiết quy nạp

cĩ ít nhất ø—1 đường thăng nối các điểm của

$' Vì đường thẳng ¡= AB phân biệt với n1 đường thẳng trên (17+S'={B}) Với n=2015,

ta được điều phải chứng minh

NGUYÊN VŨ LƯƠNG - PHẠM VĂN HÙNG

(GV THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội) Giới thiệu

Trang 29

UNG DUNG SO PHUC (Tiép theo trang 13)

trong hai cách tính trên ta được: 1 D= zmc ~3C?, +3” C§y— 359C +3”Cÿ~3”C§)=—2 Thí dụ 4 Tính tổng: Be Gs Fon Fo st nạ ys teeta Cos (*)

Thay x=1 vao dang thtrc (*) ta duge

22 = Cũng + Căn; +Cău; ++ Canis C1) Thay x ai vào đẳng thức (*) ta được

2015 — cĩ 1 42 2015 Caos

(+6) =C§,, +ECig)5 +E’ Cais + tO Coors

= re eee 3 4 = Cấn; +EC2u; + Cạn; ‡ Cai; + Canis

22s Coots

= (Chis + Cong +-—Cans) #81 Ging + Cis ++ Coots)

Spat (ape Cee IME) (2)

Thay x=£ vào đẳng thức (*) ta được:

(1+£)Ÿ”” =Củu, +ếˆCầu, + Cần, + + Coos

=(Cáy; + Cơ; + tCáng)+E (Cịn; +Cặng +.-t Cổng) +e(Cẩn; + Cần; + + Căng) Cộng về theo về (1), (2) và (3) ta được: 3E =22P5 + (1+ø)P5 ¿(1+ s2 5 amis ms -2(3-$)) (+ ) = 2341, 27S 41 aa

Thi du 5 Tinh tong:

F= Cặn, +3Cộn, +Ố Cu, + + 3ÄC2n,, + + 15CY, + 20130333 +e°Củu, + +£ Vậy E=

Lời giải Xét khai triễi

(1+2) = Cos +X Cigys +3 Cây + t+”ĐCũg Œ)

Dao ham hai về ta được:

DIS L+ xP" =Chy, +2x Ch, + + 2014S (*)

Nhan hai vé ciia dang thite (*) voi x ta duge:

s:/isites.google.com/site/letrungkienmath

2015.x(1+ x)?" = xChy,, +2x7Coyg +

wet 20152 C215 (#*)

Thay x=1 vào (**) ta được:

2015.271 =Cl „+ 2Cơng + +2015C2m (1)

Thay s=2=-4- 3; vao (*#) ta được :

20156(1+e)"# =eCĩ; +2e°Cĩ¡; + +2015675 CC: =e(Cjj¡; +4C§¡; + +2014C?ng

+e?(2C?; +5Cặyy; + +2015Cn; +3C§n; +6C§n; + +2013Càn; (2)

Thay x=e” vào (**) ta được:

2015£?(1+e?)? =s?C2 ý +2£°Câug +

„+20158225C = e(2Cđn; + SCặn,; + +2015C2;)

$8? (Choi5 + 4C ois +7 Canis + + 2014C opi + 3GỆ1; +6Cơn, + +2013C TT @)

Cộng về theo về của các đẳng thức (1), (2), (3)

ta được:

Mặt khác: e+l =—e”, I+e? =—e Dẫt

(1+6) =£?, (1+e?)" =e Vậy

p= 2015.2" +4033 3 Bài tập vận dụng Tính các tổng sau: 1.6, = Cán; ~3Cn; +ŠCặu; — 7Càn; + s222015C On) 2 S, = 2Cogis ~4Cặn; + 6Cĩ,; —8Cau, + v= 2016C313 3 5, =C?, +4C4, £765, + 10C,, Fi 40C2a:

4 5, =1Capys 3° Cops #5°Canis — Coors +

a 2015: Care

2? Cầu, —4” Căn; +6” Căn; —B Coors +

+2014? C2:

=c! 2 ice 2013 6 S,=Caois + Canis + Cais + + Canis:

Số 458 (8-2015) bai 27

Trang 30

hittps:/;www facebook.com/letrungkienmath hi im HIEU SÂU | THEM!) TOAN HQC PHG THONG

Re dé LTE (Lifting The Exponent) cĩ rất nhiều

ứng dụng trong các bài tốn số học liên quan

đến số mũ, nhất là các phương trình Diopham' bác

cao Bổ đề này sẽ giúp đưa các bài tốn số học liên số mũ cao về bài tốn cĩ số mũ thấp hơn

các bổ đề, tơi xin giới thiệu định nghĩa v„(x) và một

vài tính chất cơ bản của

1 Định nghĩa Cho số nguyên x và p là một số nguyên tố bất kì ta định nghĩa v,(x) là

nhất của p mà chia hết x, tức là: nếu x # 0 thì

v„()=neĐ nếu p*lx và p°*'[x Nếu x =0 thì v, (0) = +00

2 Các tính chất Từ định nghĩa v„(x), ta dễ dàng

chứng minh được tính chất 1 sau đây:

Tính chất 1 Cho x, y là hai số nguyên và p là số nguyên tố Khi đĩ, ta cĩ:

i) w„Qy

v(x) + ¥, (9) ii) v, (x+y)2min{v,(2),v,()}

iii) v,(x+y) =min{v,(x),y, (y)} nếu v„(x)# ,

9),

Tính chất 2 Cho x, y là hai số nguyên và ø là số nguyên dương, p là số nguyên tố sao cho (n, p) = 1

và pl(+~y), pIx,pIy Khi đĩ, v„@*—y?)=v,(x=}) Chứng minh Ta cĩ:

x®=y" =(x—y)(Emr! +x"2y + x98 yÊ + + y"n1), Tạ

chỉ cần chứng minh pl(*!+x*2y+xr2y?+ +y"1) }")=w,(X—y)-

Thật vậy, ta cĩ: pl(x— y) => x=y (modp)

sẽ suy ray, (x"—

= xml ge tys dy? tty

Sxm lyr typ mat tb! = nx! z£ 0(modp),

Tính chất 3: Cho x, y là 2 số nguyên và ø là số nguyên dương lẻ, p là số nguyên tổ sao cho (0, p) = 1 và pi(x+y), pIx,pLy Khi đĩ, v,(e+y")=v, (r+)

Chứng minh: Theo tính chất 2 ta cĩ: 28 Ti Số 458 (8-2015) BO DELTE //sites google.com/site/letrungkienmath Aa TUẦN NGỌC

(GV THPT chuyên Tiền Giang)

v, Cet +y")=¥, a" Cy") =

Bo dé LTE 1

Cho x, y là hai số nguyên và ø là số nguyên duong, p

là số nguyên tố lẻ sao cho pl(x=y) và pÏx,ply Khi đĩ: v, (x" =y")=v,(x— y)+ v,(0),

Chứng minh Ta chứng minh bằng qui nap theo

v, (n) Trước tiên ta chứng minh:

„(x~(Cy))=Y,(x+})

v, (a? =yP)=v,(x=y)+1 Thật vậy

XP =yP =(Y—y)QP"I + xP 2y +xP 3y) +, + yPĐ1), =w,(P =y")

=v, (x—y) +, (a7 tary xray? tye), Do đĩ, ta chỉ cần chứng minh

v (art ear ty tary? tty =T

hay pÏ(XP"+xP*2y+xP-5y2 + + y2!) và

pÈ LG" +xP"2y + xây? + yP")), Vì x=y (modp) nên ta cĩ:

G21+xP2y+xP3y? +, + yP1) = px"! =0(mođp)

Đặt y=x-+kp,keZ Voi moi sé nguyén te [1;p) ta cb: xe! = P(x py

axel (= +n Pappy )

= xP + (kp) xt!) = x? + tkpx?-2(mod p*) Do dé: (xP! +.xP2y +x? By? + yh)

XPV (xP + px?) + (xP + DkpxP 2) + wot (Pt + (p—Dkpx?-?) & pxP) +(142+ + pol) kpxP? p(=l) p= 2 Akp.xr = px?! 0 (mod p*) =px?'+ = prt + "Trở lại bài tốn, gid sit n=p".g , trong 46

(,4)=1, m„eĐ

Tacé: vi xt-ytix-y=> xt

đo đĩ, theo tính chất 2 ta cĩ:

yiip, VkeZr

Trang 31

hittps:/www.facebook.com/letrungkienmath i /isites.google.com/site/letrungkienmath

v, (x" —y")=v, [Ce — vr" =v, Cx?" — yh)

=v, [GY OF ]=v, Gr" yr") +1

v,(x-y)+m=v,(x-y)+v, (2)

Bồ đề LTE 2

Cho x, y là hai số nguyên va n là số nguyên dương lẻ, p

là số nguyên tố lẻ sao cho p |(x + y) và plx,ply

„(x+y)+,(n)

Chứng minh Áp dụng bổ đề LTE 1, ta cĩ: v„(x"+y")=v„(x" =(-y)")

=v,(x=(Cy)+v,(B)= „(+ y) +», (0) Bỗ đề LTE 3

Cho 7 là số nguyên dương và x, y là hai số nguyên lẻ sao cho 41(x—y) Khi dé:

v(x" —y"

Chứng minh Giả sử n=2".q , trong đĩ (2, g) = 1,

qeZ*, meN.Tacé: Khi đĩ: v„(x" +y")=v x-y)+¥,(n)

Do 46, theo tinh chat 2:

v(x" —y") =v [2 —O* =v," —y*)

Ta co: x2 —y?" =(12"' + y2™" Ox? + yh?) „Œ? +y?)(x+y)(x—y)

1 (mod4)

=x# =y?' =1 (mod4),VkeZ"

Do đĩ, x? +y? =2 (mod4),VkeZ+

Vix, ylé va 41(x—y) nén x+y=2(mod4)

Suy ra: xí =2"(x-y).A, trong đĩ 4 là số

nguyên lẻ => v,(x" = y")=v,(x2" — yê*)

v(x y) +m =v, (x—y)+ v(m)

Bỗ đề LTE 4

Cho x, y là hai số nguyên lẻ và ø là số nguyên dương chẵn Khi đĩ: ¥,00" -y")=1,0r-y) ty (ety) +0, (0) -L

Chứng minh Giả sử ø =2., trong đĩ

(2,q)=1, qmeZ* Ta 06: vì x, y là 2 số nguyên lẻ nên +2 Do đĩ, theo tính chất 2: „[G”#=@*y ]=v,@#=y"),

Vì x, y là hai số nguyên lẻ nên +? =1 (mod4),

y2 =1(mod4) = x2 — y2 =0(mod4)

Áp dụng bỗ đề LTE 3, ta cĩ:

nam —y")=v, [G7 -07"']

9;(42 =yÊ)+v,(1)

9;(x—y)+v;(x+ y)+m—1 Suy ra đpem, Bổ đềLTES — t

Cho x, y là hai số nguyên lẻ và ø là số nguyên dương chẵn Khi đĩ: v;(+" +y")=l

Chứng mình Áp dụng bỏ đề LTE 4, ta cĩ:

v;("=y")=,(=y)#9y(x+y)+v¿Œ@)—1 Vì x, y lễ nén v,(x-y)21y,(x+y)21y,()21 => HO" -y)22 Mà v,(2y")=1 (do y lẻ) nên v;(x” + y*)

=U,(x" =y" +2y")=v;(2y")=1 (theo tính chất 1) Một số thí dụ ứng dụng

Thí dụ 1 Chứng mình rằng: 3”

2"*2 và khơng chia hết cho 2"*` dương n

1 chia hét cho

với mọi sỐ nguyên ¥, 3% -1) =v, 3-1)+¥,841)+yv,(2")-1=nt2 từ đĩ ta cĩ đpem

Thí dụ 2 Cho a, b là hai số nguyên, p là số nguyên lố Chứng mình rằng: nếu a=b(modp) thì

z

Lời giải Ta thấy nếu a, b chia hết cho p thì

ae", be chia hét cho p?",WneZ*, do đĩ chia hết

cho p™!,WneZ*

(đo p* =[1+(p=D]Ï>1+n(p—1)>n+Ð

Vì vậy a”' =b”" =0 (mod p**!),Vn € Z*

Ta xét a, b khơng chia hết cho p Ta chia hai trường

hợp sau: ~ THỊ: p=2 thi a, b lẻ (đo a, b khơng chia hết cho

p) nên v,(a—b) > 1,v, (a+b)>1, theo bổ đề LTE 4

ta cĩ:

¥, (a —b*) =v,(a—b) +y,(a+b)+¥,(2")-12 041 Do d6, a —b* :2"!, VneZ* hay

** (mod 2"), Vne Zt

~ TH2: p là số nguyên tố lẻ thì theo bổ để LTE 1 ta cĩ: vạ(aP' =b?")=v„(a—b)+v„(p")>n+1

Do đĩ, a"' =b”" (mod p"*!), Vn cZ*

"(mod p"""), Vn eZ"

Thí dụ 3 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa

mãn: 2295| 11" — 1,

Lời giải Giả sử n là số nguyên dương sao cho 2?°|

17" 1 Vi 41(17=1) nén theo bé 48 LTE 3 ta c6:

¥,(17* -1") =v, (17-1) + v,(n) =4+v,(n)

Số 458 (8-2016) Tonnes 29

Trang 32

hittps:/iwww.facebook.com/letrungkienmath i

Suyra: 4+y,(n)22015 => v,(m)2 2011 n> 2",

Hơn nữa cũng theo bổ đề LTE 3 ta cĩ:

vạ(17?”" =1)=v,(17~1)+v,(2290) =4+2011=2015 Do đĩ, 2295|(172"

nhỏ nhất thỏa mãn bài tốn là 2",

Thí dụ 4 (Ireland 1996) Cho số nguyên tổ p và a, n là hai số nguyên dương Chứng minh rằng: nếu

2 +3 =a" thì m= 1,

1) Vậy số nguyên dương

Lời giải

~ Nếup=2 thì a"=13 =a= 13 và n=1 — Nếnp=Sthì a"=275=52.11=a=275, n=1

~ Nếu pI5 thì vì 5 |(2 + 3) và 512,513 nên theo

bổ đề LTE 2 ta cĩ: v,(20 +3” v;(2+3)+ ws(p) m, với me", Suy ra: 4" =2” +ận (5, m) = van=1 (do 5 la sé nguyên tổ)

Thi du 5 (Czech Slovakia 1996) Tim tất cả các bộ

ba (x; yị p) gơm hai số nguyên khơng âm x, y và số nguyén 16 p thỏa mãn: p`~ y? =1

Do dé: a"5=> a?!

Loi gidi Dé thay néu x = 0 thi y = 0 và ngược lại,

=0 thì x = 0 Ta xét x, y > 0

+ Nếu p= 2 thì ta cĩ 2* =y2 +1 => y lẻ nên theo bổ

đề LTE 5 ta cĩ: x=v¿(2*)=v;(y2+1)=1=>y=l

* Nếu p lẻ thì p*=y? +1

“Theo định lí Fermat nhỏ ta cĩ:

p*=y?+]=y+1(modp) => ply+1

Hiển nhiên y và 1 đều khơng chia hết cho p, nên theo bổ để LTE 2 ta cĩ:

y,Q? +D=v,(y+D+v,(p)=v, (y+) +1

Vì y?+I=p* =v,(yP +1)=x=v,(y+1)=x—I Tac

PASO Tor eyes ety —y tl)

_ã

boas [eter yrlaye244¢y?-ytlep (loai vì p lẻ)

x =2 (thỏa mãn)

—y?"? + +y?

Nếu y>2 thì ta cĩ: p=y”¬

=yP2(y~1)+»**(y~1)+

~+J(y~1)+I>y+I=p=

-y+1

30" PENCE Số 458 (8-2016)

:sifes.google.corisiteÏetrunigkkienrmar: =x=1=> v,(y+1)=0, vơ lí vì ply+1

'Vậy bộ ba các số (x; y; p) cần tìm là (1; 1; 2), (2; 2; 3), (0; 0; p), trong đĩ p là số nguyên tổ tùy ý

Thí dụ 6 Cho a, b là 2 số hữu tỉ phân biệt sao cho an —b° €7Z,,Vn €2* Chứng mình rằng: a, b cũng là SỐ nguyên,

Lời giải Nếu a = -b thì ta cĩ: 2a=me7 và

3

TT <Z=mi2=aeZ và

2a eZ Do đĩ, 2a

be7 Xét a # + b Giả sử a=Sb= trong đĩ

wy eZ,2,2'€Z* (x,2)=(.2')=1 Tacé: *ŠeZ Vì (x,z)=1 nên Tương tự: z'lz Do đĩ, z' Vậy a=

trong đĩ (x,z)=(y.z)=l, x#+y (doa#+ 0)

Ta sẽ chứng minh:

Thật vậy, gia sir phan ener laz

tacd: 2"1x"-y",Wne Zt

Gọi p là ước nguyên tố của z thì

phlz"lx"=y",VneZi", nĩi riêng với n = 1

> 1, Theo giả thiết một

thi pl(x~y) Suy ra: nSv,(x"-y"),VneZ>

Vi (x,2)=(y,2)=1 nén pIx,p ly Ta xét 2 trường hop

+ THI: p = 2 Khi đĩ, 2Ix,2!y => x, y là hai số

nguyên lẻ Theo bổ để LTE 4 ta cĩ:

2m <v,(x?T =y2")=vy(X—y)+9;(x+y) + v¿(27)—1

›(x~y)+;(X+y)+im—l, VmeZ*

=2” =m<v,(x—y)+,(x+y)—1, Vơie72*,

Điều này vơ lí vì 2” =zm=(1+l)" =m ~ mứm =1) >Œ~ —m,Ym > lm €Z" nên lìm (2” ~m)=+s, mà x # + y nên y,(x=y)+v,(x+y)~1 là hữu hạn

+ TH2: p là số nguyên tổ lẻ thi theo bé dé LTE | ta

cĩ: p™ Sv, (xP" —yP")=v,(x—y)+v,(p™)

=v,(x-y)+m,Vme Zt

Trang 33

hittps:/iwww facebook.com/letrungkienmath i

Điều này vơ lí vì: lìm (p”~m)=+ø và v;(x—y) là hữu hạn (do x # y) Vậy z = 1 và ta cĩ đpem

Thí dụ T Cho a, b là 2 số thực phân biệt sao cho a" —b" 'VneZ⁄* Chứng mình rằng: a, b cũng là SỐ nguyên a-b=keQ =meZ~ a+b=7eQ aeZ be2` Lời giải Ta cĩ: a-b=keZ.kz0 (a~b)(a+b)=a? =bỲ = {ae »e0'

Thí dụ 8 Cho a, b la 2 số hữu tỉ sao cho

7.Vne7i' Chứng mình rằng: a, b cũng là

Ap dung thi dụ 6 ta cĩ hộ

a" +b" eZ,

i, Néu a = — thi ta c6: 2a?=meZ va

2a* eZ Do đĩ, 24* Nớn =a eZ,

ma aeQ nén aeZ, suyra beZ

Xét a # -b Giả sử a= trong đĩ Tương tự: trong đĩ (x,z) =( Ta sẽ chứng minh:

Thật vậy, giả sử phản chứng là z > 1 Theo giả thiết

ta cĩ: z"Ìx"+y",VneZ*

Gọi p ước nguyên tố của z thi

phlz"L(x"+y"),Vae/Z*, nĩi riêng với n = 1 thì

là một

pI(x+y) Suy ra: n<v,(x" +yh),Vn c7",

~1 nên pÏ x,p1 y Ta xét 2 trường

+ THỊ: p= 2 Khi đĩ, 21x,2[y = x, y là hai số

nguyên lẻ Theo bỗ đề LTE 5 ta cĩ:

2m <v;(x2" +y2")=1, Vớne7Z* Điều này vơ lí *'TH2: p là số nguyên tố lẻ thì theo bổ đề LTE 2 ta cĩ: p”<v,(+f" +y?")=v,(x+y)+v,(Pp”)

=v, (a+ y)+m,¥meZ*

Usites, google.com/site/letrungkienmath

Điều này vơ lí vì lim (p" =m)=+e và v;(x+y)

là hữu hạn (do x # —y) Vậy z = 1 và ta cĩ đpem > Chú ý Tồn tại hai số vơ ti a, b sao cho a+b" eZ,VneZ*

That vay, voi a=1-V2,b=14V2 thì ta cĩ a, ở là

i s6 v6 ti Dat a" +b" = (1-2) +14 v2)" =

Ta cĩ: a, b là 2 nghiệm của phương trình: -2x-1=0

Tir d6, dé dang thay ring: S,_,

0 Và do S=2,9,=6eZ nên dễ dàng bằng quy nạp ta

chứng minh được rằng Š„ eZ,Vn7Z*

Thí dụ 9 Tìm tắt cả các số nguyên dương x sao cho:

2+ —1 là số chính phương

lời giải Giả sử: 2*=

nguyên dương nên 2* —1 là số lẻ, suy ra y là số lẻ

Nên theo bổ đề LTE 5 ta cĩ:

x=w,(2*)=w,(y2+1)=1

yeZ+ Vì x là số

Cuối cùng xin dành cho bạn đọc một số bài tập rèn luyện sau đây:

1 Cho m là một số nguyên dương Tìm các số

nguyên dương x, y, ø sao cho: (x2 + y2)" =(3y)",

2 Tìm tắt cả các số nguyên đương x, y, z sao cho:

200 + y2 =7,

3 (Olympic 30 ~ 4 = 2012, Lớp 10) Chứng minh rầng với mọi số nguyên tố ø, khơng tồn tại hai số nguyên dương x, y sao cho: 2 +3? = x?*!

4, Tim tat cả các số nguyên đương a, b > 1 sao cho

belah =1,

5 (IMO 1990) Tìm tất cả các số nguyên dương „

sao cho ø? |2" +1

6 (IMO 2000) Cĩ tồn tại hay khơng một số nguyên

đương n sao cho n cĩ đúng 2000 ước nguyên t6 va n

chia hết 2° +12

7 Tìm tất cả các số nguyên dương ø sao cho

nI2!+1,

8 Tìm tất cả các số nguyên khơng âm x, y, z thỏa man: 2° +3°

9 Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

(n=U)H1

10 (Bulgaria 1997) Cho n 1a số nguyên đương sao

cho 3” —2" là lũy thừa của một số nguyên tố Chứng

minh rằng ø là một số nguyên tố

Trang 34

:/wwee.fncebook, cori/letrunigiienrmatl; i

Tap chi TOAN HOC va TUOH TRE

Mathematics and Youth Magazine

llsites google.com/site/letrungkienmath

XUAT BAN TU 1964

Số 458 (8.2015)

Tủa sạn : 1878, phố Giang Va, Ha NOI

ĐT Biên lập: 04.35121807 ‘BT Fax Phát hành, Tr| sự : 04.35121608 Email: oanhoctuoltrevietram@email.com

BAN CO VAN KHOA HOC GS TSKH NGUYEN CANH TOAN

GS TSKH TRAN VAN NHUNG TS NGUYEN VAN VONG

GS DOAN QUYNH PGS.TS TRẤN VAN HAO

CHIU TRACH NHIEM XUAT BAN

Chủ tịch Hội đồng Thành viên

'NX Giáo dục Việt Nam

MAC VAN THIEN “Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập

NXE Giáo dục Việt Nam

GS.TS VU VAN HUNG

HOI DONG BIEN TAP

Tổng biên tập : TS TRẦN HOU NAM Thư kí Tịa soạn : ThS HỒ QUANG VINH

TS TRAN DINH CHAU, ThS NGUYEN ANH DONG, TS TRAN NAM DUNG, 7S NGUYỄN MINH ĐỨC, 79 NGUYỄN MINH

HA, TS NGUYEN VIET HAI, PGS TS LE QUỐC HAN, ThS PHAM VAN HUNG, PGS TS VO THANH KHIẾT, GS TSKH NGUYEN VĂN MAU, Ong NGUYEN KHAC MINH, TS PHAM THI BACH NGOC, PGS TS NGUYEN DANG PHAT,

PGS TS TA DUY PHUONG, TAS NGUYEN THE THACH, GS TSKH DANG HUNG THANG, PGS TS PHAN DOAN THOẠI,

ThS VU KIM THUY, PGS TS VU DUONG THUY, GS TSKH NGO VIET TRUNG

TRONG SO NAY

bành cho Trung học Cơ sở

For Lower Secondary School

Nguyễn Phước — Khai thác Bài tốn đi tìm kho báu

Hướng dẫn giải Để thi tuyển sinh vào lớp 10 ‘Trung THPT chuyên KHTN, ĐH Quốc Gia Hà Nội, năm học 3015 ~ 3016

Dé thi tuyén sinh vào lớp 10 Trường THPT

chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2015 — 2016 Diễn đàn dạy học tốn

Hồng Gia Hứng - Bình luận Để thì

THPT Quốc gia năm 2015

Diễn đàn phương pháp giải tốn Trần Dink Nam — Ứng dụng số phức vào bài tốn giải hệ phương trình và tính tổng

liên quan đến C2

Tin tức tốn học

Nguyễn Khắc Minh - Kỳ thì Olympic Tốn

học Quốc tế (MO) lần thứ 56 năm 2015

Để ra kì này

Problems in This Issue

11/458, ., T12/458, L1/458, L2/458

®

@ Gii bi kỡ trc đ

âđ

Solutions to Previous Problems

Sai lầm ở đâu?

Nguyễn Hữu Thọ ~ Lời giải đã chọn vẹn? Tìm hiểu sâu thêm Tốn học sơ cấp

Nguyễn Tuấn Ngọc - Bổ đề LTE và ứng

dụng

Ảnh Bìa 1 Đồn Việt Nam tai Ki thi IMO 2015

Từ trái qua phải: Thây Lé Bé Khénh Trinh, em Nguyễn Tuấn Hỏi Đăng, em Vũ Xuân Trung, em Hồng Anh Tài, em Nguyễn Thị Việt Hà, em

Nguyễn Huy Hồng, em Nguyễn Thế Hồn,

Thay Lé Anh Vinh

Trang 36

ISSN: 0866-8035 Giấy phép XB số 510/GP-BTTTT cấp ngày 13.4.2010

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	15,38 MB