Hình học không gian

Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (Tài liệu Tổng Ôn Môn Toán cho kì thi THPT Quốc Gia 2016 ) Ví dụ (Đề thi Đại học khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a, AD  a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Giải Phân tích: Do B1C // (A1BD) nên nên thay việc tính d  B1 ,  A1BD   ta tính d  C ,  A1BD   * Gọi O giao điểm AC B1 C1   ABCD  BD  AO Gọi E trung điểm AD A1  OE  AD & A1E  AD D1  A1 EO  600 AO  OE.tan A1EO  S ABCD  a a B Vlt  AO S ABCD C K 3a3  O H A D E * Tính d  B1 ;  A1BD   : Cách 1: Do B1C // (A1BD)  d  B1 ;  A1BD    d  C ;  A1BD   Hạ CH  BD  CH   A1 BD   d  C;  A1BD    CH  Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ CB.CD CB  CD 2  a - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ Cách 2: d  B1 ;  A1BD    d  C ;  A1BD    d  A;  A1BD    3VA ABD S A BD Trong đó: SA BD VA ABD 1 a3  Vlt  1 a a2  AO BD    2a  2 2 a3 a  d  B1 ;  A1 BD     a 3 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D' có A' D' cạnh a Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( AB ' D ' ) (C ' BD ) C' B' Giải A Cách 1: D Vì (AB’D’)//(C’BD) nên O d  ( AB ' D '),(C ' BD)   d  A,( AB ' D ')  H B C Gọi O giao điểm AC BD Trong mặt phẳng (ACC’A’), kẻ AH  C’O (C ' BD)  ( ACC ' A ')  Ta có: (C ' BD)  ( ACC ' A ')  C ' O  AH  (C ' BD)  d ( A,(C ' BD))  AH  AH  ( ACC ' A '), AH  C ' O  + Tính AH:  a2   2S AOC ' a  AH     OC ' a 3 a 2 a 3 OC '  OC  CC '2    a  2    S AOC ' 1 a2  S ACC ' A '  a.a  4 Vậy d  ( AB ' D '),(C ' BD)   a Cách 2: Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc z Oxyz sau : O  A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) B (a;0;0) ; B ' ( a;0; a ) ; C (a; a;0) ; C ' (a; a; a ) A' D' ; D (0; a;0) ; D' (0; a; a) Tính d ( AB' D' ), (C ' BD) C' B' ( AB ' D' ) : x  y  z  Ta có : y A (C ' BD ) : x  y  z  a  D  ( AB ' D ' ) // (C ' BD ) a  d  ( AB ' D '),(C ' BD)   d  A,(C ' BD)   x B C Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC  AD  4cm ; AB  3cm ; BC  5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Giải z Cách 1: Vì AC  4cm ; AB  3cm ; BC  5cm D nên tam giác ABC vuông A Do tứ diện ABCD vuông A H y A C Vậy gọi H hình chiếu vuông góc A mp(BCD) d  A,( BCD)   AH I B x AH  AB  AC  Vậy d  A,( BCD)   AD  32  42  42  17 34  AH  72 17 34 17 Cách 2: ABC có : AB  AC  BC  25 nên vuông A Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O  A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0) D (0;0;4) x y z Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD):     x  y  z  12  Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d  A, ( BCD )    12 16    12 34  17 34 Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Giải Cách 1:  MP / / AD ;  MP  AD Ta có:  S E  NC / / AD    NC  AD P M nên tứ giác MNCP hình bình hành  MN / /  SAC  D A O Do hình chóp S.ABCD B C N  BO  SO   BO   SAC   BO  AC z 1 a  d  MN ; AC   d  N ;  SAC    d  B;  SAC    BO  BD  2 4 Cách 2: Gọi O tâm hình vuông S E ABCD  SO  ( ABCD ) P M y Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ D A O B N C x - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O (0;0;0) ; S 0;0; h ;  a   a   a  a  ;0;0  ; C  ;0  ; B  0; ;0  ;0;0  D  0; 2 2         A    a h  a  a Toạ độ trung điểm P SA P   ; ;  ; E   ; ; h  2 2     a a h a a  ; ; ;  N  ;0  4     M     a h ah  Ta có  MN , AC    0;  ;  ;0  , AM   0;     2 a2h    nên MN AC chéo Vì  MN , AC  AM  d  MN , AC   [ MN , AC ] AM  [ MN , AC ] a 2h a  2 a h Cách 3:         Đặt : OA  a, OB  b, OS  c     S E    Ta có : a c  0, b c  0, a b  M 1 MN  MA  AC  CN  SD  AC  CB 2    1  SO  OD  AC  CO  OB 2  a c 2    P c A D a B b O N C  AC  2 a Gọi PQ đoạn vuông góc chung MN AC , ta có: PQ  PM  MA  AQ  xMN  SD  y AO  1     x   a  c   c  b  ya    y  x  a   x  1 c  b  2      Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/  3  y  x  a   x  1 a   x  1    PQ  MN         y     PQ  AC  2 y  x a       1 a2 a  PQ   b  PQ  OB   PQ  Ví dụ ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C Giải A' B' Cách 1: Gọi E trung điểm BB’ C' Khi (AME)//B’C nên E d ( AM , B ' C )  d ( B ' C,( AME))  d (C,( AME))  d ( B,( AME)) Gọi h khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) B A Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi vuông góc nên: h   BA Do h  BM  BE  a  a  a  a C a a Vậy d ( AM , B ' C )  7 Cách 2: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: B(0;0;0) ; A  0; a;0  ; C  a;0;0  ;  M  a  z A' B'   B’ 0;0; a ; M  ;0;0  C' y B A M C Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ x - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/  a2  a  ;a  AM   ; a;0  ; B ' C  a;0; a ; AB '  0; a; a ,  AM , B ' C    a 2; 2        a3 Vì  AM , B ' C  AB '  nên AM B’C chéo a3  AM , B ' C  AB ' a   d  AM , B ' C      AM , B ' C    2a  a  a Ví dụ (Đề thi đại học khối D năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABC  BAD  900 , BA  BC  a , AD  2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD) Giải Cách 1: Đặt AB  a; AD  b; AS  c S Ta có: a  c  0; b  c  0; a  b  SB  a  c; SC  a  b  c; SD  b  c N E H K Gọi N chân đường vuông góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD) A D Q P B C  d ( H ;( SCD))  HN Dễ dàng tính SH  SB M Khi : HN  HS  SN   SB  xSC  ySD 2  x  2    x   a    y b    x  y c 3  2  3  2 1 x   2  x  a   y b   x  y c  x          HN  SC   3 2  3   Ta có:     HN  SD   x  y  b    x  y  c  y  1       3  Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ 1 1   a  HN  a  b  c  HN  a  b  c  12 6   Cách 2: Gọi d1 , d2 khoảng cách từ điểm H B đến mp(SCD), ta có: d1 SH 2 3V 2V    d1  d   BSCD  BSCD d2 SB 3 SSCD SSCD Trong VBSCD 1 1 a3  SA  S BCD  SA  S BID  SA  AB  ID  3 3 CD  AC Ta có:   CD  SC CD  SA 1  SSCD  SC  CD  SA2  AB  BC  CE  ED  a 2  d1  a 2 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Gọi M trung điểm BC, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  AMD  Giải Cách 1: D' A' Gọi K hình chiếu A MD  AK  MD (1) Gọi H hình chiếu A AK  AH  AK (2) C' B' Có AA   ABCD   AA  MD (3) H Từ (1) (3)  MD   AAK   MD  AH (4) A D Từ (2) (4)  AH   AMD   d  A,  AMD    AH K B C M Xét AMB vuông B  AM  AB  BM    Xét CMD vuông C  DM    Chu vi tam giác AMD p    p  Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ 1 - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ Áp dụng công thức Hê-rông ta có diện tích tam giác AMD SAMD  p  p  AM  p  MD  p  AD   Mặt khác ta có: SAMD 1  1         1      2      2S  AK MD  AK  AMD  MD Xét tam giác vuông AAK có 2 5 2 1       AH   2 AH AA AK 4 Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng  AMD  d  A,  AMD    AH  Cách 2: Chọn hệ tọa độ hình vẽ, có z A  0; 0;  , B 1; 0;  , D  0; 1;  , A  0; 0; 1 , M 1; 1;  D' A' Kéo dài DM cắt AB E , MB // AD C' B' MB  MC  BA  BE  E  2;0;0  Phương trình mặt phẳng  ADE  theo đoạn chắn là: A x y z     x  y  2z   1 B y C M Ta có: E M  ED  M   AED    AMD    AED   d  A,  AMD    d  A,  AED    D 2 1  x  Vậy khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng  AMD  Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ - Trang | - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB  2a SBC  300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD  600 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD  a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc OA  OB  OC  Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng o (SBC) (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’,I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ·  300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy vuông A, ABC Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ - Trang | 10 - Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Bài (Đề thi Đại học khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) V a3 d(A, SCD)= a Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với · ·  450 Tính theo a thể tích khối  1200 , M trung điểm cạnh BC SMA đáy, BAD chóp S.ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) V=  a3 d(D, (SBC))= d(A, (SBC))= 1a a SM  2 2 Bài 10 (Đề thi Đại học khối D năm 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông,  A’AC vuông cân, A’C = a Tính a) VABB ' C '  a3    48    a 6    b) d ( A,( BCD '))   Bài 11 (Đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, h.c.v.g S lên (ABC) điểm H thuộc AB cho HA = 2HB, góc SC (ABC) 600 Tính a) VS ABC  a3    12   b) d ( SA, BC ) ( = Tổng đài tư vấn : +84 (4) 3519-0591 CTV : LÊ ĐỨC THỌ a 42 ) - Trang | 11 - [...]... thi Đại học khối D năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với · ·  450 Tính theo a thể tích của khối  1200 , M là trung điểm cạnh BC và SMA đáy, BAD chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) V=  a3 4 d(D, (SBC))= d(A, (SBC))= 1 1a 3 a 6 SM  2 2 2 2 4 Bài 10 (Đề thi Đại học khối D năm 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông,...Hoc mai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Bài 8 (Đề thi Đại học khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng... D năm 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông,  A’AC vuông cân, A’C = a Tính a) VABB ' C '  a3 2    48    a 6  6   b) d ( A,( BCD '))   Bài 11 (Đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, h.c.v.g của S lên (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB, góc giữa SC và (ABC) bằng 600 Tính a) VS ABC  a3 7    12   b) d ( SA, BC ... a  a Ví dụ (Đề thi đại học khối D năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABC  BAD  900 , BA  BC  a , AD  2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu vuông góc A... mai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Tài liệu học tập group https://www.facebook.com/groups/luyenthi.toan2016.thaytuan/ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC... 2 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Gọi M trung điểm BC, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  AMD  Giải Cách 1: D' A' Gọi K hình chiếu A MD  AK  MD (1) Gọi H hình chiếu A