Phương pháp giải phương trình vô tỷ

CHUN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ GV Cao Thanh Phương Bài tốn mở đầu: Giải phương trình: + x − x = x + − x ( 1) Đ/k: ≤ x ≤ Cách 1:   1+ x − x = x + − x ⇔ 1 + x − x2 ÷ =   ( ) ( ( x + 1− x ) ) ⇔ x − x2 − x − x2 = ⇔ x − x2 x − x2 − =  x − x2 = x = ⇔  ⇔ x =  x − x = Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình cho x = 0, x = Cách 2: t2 −1 Đặt t = x + − x ≤ t ≤ ⇒ x − x = Phương trình trở thành: t = x = t2 − 1+ =t⇔ ⇔ x + 1− x = ⇔   t = ( không thỏa mãn ) x = Cách 3: Đặt a = x ; b = − x ; a ≥ 0, b ≥ Ta có:   1 + ab = a + b 3 + 2ab = ( a + b ) ⇔  a + b ) − 2ab = a + b =  (    a + b =  a =   ab =   x = b = ⇔  a + b = ⇔ ⇒  a =  x =  khô n g tồ n tạ i a , b ) (   b = ab =   Cách 4: π Phương trình trở thành: 2 + sin α − sin α = sin α + − sin α ⇔ ( sin α + cos α ) − ( sin α + cos α ) + = Đặt x = sin α ,0 ≤ α ≤ α = sin α + cos α = x = ⇔ ⇔ ⇒ π α = sin α + cos α = ( không tồn α ) x =  Qua ví dụ ta thấy có nhiều cách để giải pt vơ tỷ Sau tơi vào số pp cụ thể Trang 1.Phương pháp 1:Biến đổi tương đương Bài tốn: Giải phương trình sau x + 5x + x3 + x + = x + Đk: x + x + ≥ 0; x + x + x + x + ≥ 0;  x + ≥ x + 5x + x3 + x + = x + ⇔  2  x + x + x + x + = ( x + 1)  x ≥ −1    x ≥ −1 1  −1 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ≥x ⇔ ⇔ x = (TMĐK) 3 x + x + = − x   x = 0; x = 1; x =    x + x + = ( − 3x )  2.Phương pháp2:Đặt ẩn số phụ ) ( 3 3 Bài tốn: Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x = 30 Đặt t = x + 35 − x ⇒ x 35 − x = t − 35 3t Phương trình cho trở thành  x3 = x = t − 35 3 3 t = 30 ⇔ t = 125 ⇔ t = ⇔ x 35 − x = ⇔ x 35 − x = 216 ⇔  ⇔ 3t x =  x = 27 Phương pháp 3:Phương pháp làm xuất biểu thức liên hợp ( Bài tốn: Giải phương trình: Đk: x ≥ ( x −1 + x + )( ( x −1 + x + )( ) ) x2 + x − −1 = ) x + x − − = ⇔ ( x + ) − ( x − 1)  ( ) ( x2 + x − −1 = − x −1 + x +  x2 + x − −1 ≥  ⇔ x + x − −1 = − x −1 + x + ⇔  2  x + x − −1 = − x −1 + x +  x + x − ≥  x + x − ≥  ⇔ ⇔  x = ⇔ x = (TMĐK)  x − x − =   x = −1  Phương pháp 4: Đưa phương trình tích Bài tốn: Giải phương trình: x + + x x + = x + x + x + Đk: x ≥ −1 ) ( ( x + + 2x x + = 2x + x2 + 4x + ⇔ x + − ( ) ( ) ( ( x + 1) ( x + 3) − ( x − x ⇔ x + 1− x +1 − 2x 1− x +1 = ⇔ 1− x +1 1 − x + = x = ⇔ ⇔ (TMĐK)  x + − x = x = Trang )( ) x + − 2x = ) ) x +1 = ) Phương pháp 5:Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Bài tốn: Giải phương trình: x + − x − = Đk: x ≥ −4 Đặt a = x + ≥ 0; b = x − ≥ −17  b = −1  a − b = a = b +  ⇔ ⇒ ( b + ) − b = 17 ⇒  b = −2 Ta có:  3  a − b = 17 a − b = 17 b =  Với b = −1 ⇒ x − = − ⇔ x = b = −2 ⇒ x − = −2 ⇔ x = 73 b = ⇒ 2x − = ⇔ x = 73 Vậy nghiệm pt x = 4, x = , x = 2 Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá: Bài tốn: Giải phương trình: − 2012 x + + 2012 x = x + + x +1 1 ≤x≤ 2012 2012 ≥ Dấu = xảy x = Ta có: x + + x +1 Ta có: Đk: − ( − 2012 x + + 2012 x ) ≤ ( − 2012 x + + 2012 x ) = ⇒ − 2012 x + + 2012 x ≤ Dấu = xảy x = Vậy x = nghiệm pt Phương pháp 7: Phương pháp hàm số Bài tốn: Giải phương trình: x − = − x + x + 17 Đk: x ≥ Dễ thấy Hàm số f ( x ) = x − đồng biến ( 1; +∞ ) Hàm số g ( x ) = − x + x + 17 nghịch biến ( 1; +∞ ) Suy pt cho có nghiệm nghiệm Ta có: f ( 5) = g ( 5) Vậy x = nghiệm Trang Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hóa Bài tốn: Giải phương trình: + − x = x Đk: −1 ≤ x ≤ Đặt x = cos α ,0 ≤ α ≤ π Phương trình trở thành sin α = −1 ( loại ) + − cos α = cos α ⇔ + sin α = cos α ⇔  sin α =  π α = ⇔ ⇒x=± α = 5π  Phương pháp 9: Phương pháp vectơ 2 2 Bài tốn:Giải phương trình: x − x + − x − 10 x + 50 = r r Chọn a = ( x − 2;1) ; b = ( x − 5;5 ) r a = ( x − 2) + = x2 − 4x + r b = ( x − ) + 52 = x − 10 x + 50 Suy ra: r r a − b = x − x + − x − 10 x + 50 r r r r a − b = ( 3; −4 ) ⇒ a − b = r r r r r r r r Ta có: a − b ≤ a − b , dấu xảy a = ( x − 2;1) ; b = ( x − 5;5 ) hướng ⇔ a = kb ( k > )   x − = k ( x − 5) k =  ⇔ 1 = 5k ⇔ k > x =   Vậy x = Trang