SPIEGEL serie schaum variables complexes y73(320s)(37 3m)(2704200203)fr

SERIE SCHAUM MURRAY R SPIEGEL Rensselaer Poly techn lnstitute VARIABLES COMPLEXES COURS ET PROBLEMES Nouveau tirage EDlSClENCE Groupe McGraw-Hill : Paris, New York, Londres, Saint Louis, San Francisco, Dusseldorf Johannesbourg, Madrid, Mexico, Montrộal, New Delhi, Panama, Rio de Janeiro, Singapour, Sydney, Tokyo, Toronto 1976 VARIABLES COMPLEXES, Cours et problốmes, est traduit de : Theory and Problems of Complex Variables, by Murray, R Spiegel Copyright O McGraw-Hill Inc, New York, 1973 ISBN France : 2-7042-0020-3 ISBN Canada : 0-07-084-390-2 Ca LOI du Il mars 1957 n autorisant aux termes des alinộas et de I Article 41 d'une part que les copies ou reproductions strictement r s e ~ e sII l'usage prlv4 du copiate et non destindes A une utili8ation collective et d autre part que les analyses et Iea courtes c~latlonsdan8 un but d'exemple et d illustration toute repr4sentation ou reproduction Int4grale ou partlalie faite sans l e consentement de l auteur ou de se8 ayants.droit ou ayants.cause est illicite (alin& 1' de l'Article 40) Cette repr4sentation ou reproduction par quelque proeOd4 que ce soit constituerait donc une contrefaỗon sanctionnde par les Articles 425 et suivants du Code P6nal Prộface La thộorie des fonctions d'une variable complexe, appelộe par abrộgộ "variables complexes" ou "analyse complexe", est l'une des branches les plus belles et les plus utiles des mathộmatiques Bien que nộe dans une atmosphốre de mystốre, de suspicion et de mộfiance ainsi qu'en tộmoignent les qualificatifs d'"imaginaire" et de "complexe" utilisộs dans la terminologie mathộmatique, cette thộorie reỗut des bases solides au l g e m e siốcle grõce aux travaux de Cauchy, RiemannJWeierstrass, Gauss et d'autres grands mathộmaticiens On considốre de nos jours que cette thộorie constitue une partie essentielle du bagage mathộmatique des ingộnieurs, physiciens, mathộmaticiens et autres scientifiques ; ceci est dỷ, d'un point de vue thộorique, au fait que de nombreuses notions mathộmatiques sont clarifiộes et unifiộes quand elles sont ộtudiộes du point de vue de la thộorie des variables complexes ; d'un point de vue pratique cette thộorie est un outil puissant pour la solution de problốmes de diffusion de chaleur, de thộorie du potentiel, de mộcanique des fluides, d'ộlectromagnộtisme, d'aộrodynamique, d'ộlasticitộ, ainsi que de problốmes concernant d'autres thộories scientifiques ou d'autres aspects de la science de l'ingộnieur Ce livre est conỗu pour ờtre utilisộ comme un complộment d'autres cours classiques ou comme manuel pour un cours formel de thộorie des variables complexes et de leurs applications Il rendra aussi service aux ộtudiants en mathộmatiques, physique, aộrodynamique, ộlasticitộ ou en tout autre domaine oự les mộthodes de l'analyse complexe sont utilisộes Chaque chapitre commence par un exposộ clair des dộfinitions, principes et thộorốmes, illustrộ de nombreux exemples Ceci est suivi d'un ensemble graduộ de problốmes rộsolus e t de problốmes supplộmentaires Les problốmes rộsolus servent illustrer la thộorie et l'ộlargir, ils mettent aussi l'accent sur ces notions sans lesquelles l'ộtudiant se sent en permanence sur un terrain fragile et apportent la rộpộtition des principes fondamentaux, si importante pour une assimilation effective De nombreuses dộmonstrations de thộorốmes et applications de formules figurent parmi les problốmes rộsolus Le grand nombre de problốmes supplộmentaires avec rộponses donne l'occasion d'une rộvision complốte des notions ộtudiộes dans chaque chapitre Les notions ộtudiộes comprennent l'algốbre et la gộomộtrie des nombres complexes, le calcul diffộrentiel et intộgral complexe, les sộries infinies dont les sộries de Taylor et de Laurent, la thộorie des rộsidus et ses applications au calcul d'intộgrales et de sộries, et la reprộsentation conforme avec des applications tirộes de domaines divers On a ajoutộ un chapitre de complộments qui se rộvộleront utiles comme introduction des cours plus avancộs On a mis plus de matiốre dans ce livre, qu'on ne peut ộtudier lors d'un premier cours Ceci a ộtộ fait pour rendre l'ouvrage d'un emploi plus souple, pour donner un livre de rộfộrences qui soit pratique et enfin pour stimuler un intộrờt ultộrieur M.R SPIEGEL Rensselaer Polytechnic Institute Table des matiốres Chapitre - LES NOMBRES COMPLEXES Page L'ensemble des nombres rộels Reprộsentation graphique des nombres rộels L'ensemble des nombres complexes Opộrations fondamentales sur les nombres complexes Valeur absolue Fondements axiomatiques de la thộorie des nombres complexes Reprộsentation gộomộtrique des nombres complexes Forme polaire des nombres complexes Formule de De Moivre,, Racines des nombres complexes Formule d'Euler Equations algộbriques Les racines nlemes de l'unitộ Interprộtation vectorielle des nombres complexes Reprộsentation sphộrique des nombres complexes Projection stộrộographique Produit intộrieur, produit extộrieur Coordonnộes complexes conjuguộes Ensembles ponctuels Chapitre - FONCTIONS, LIMITES, CONTINUITE 33 Variables et fonctions Fonctions uniformes, fonctions multiformes Fonctions inverses Transformations Coordonnộes curvilignes Les fonctions ộlộmentaires Points de branchement, coupures Surfaces de Riemann Limites Thộorốmes sur les limites Le point l'infini Continuitộ Continuitộ dans un domaine Thộorốmes sur la continuitộ Continuitộ uniforme Suites Limite d'une suite Thộorốmes sur les limites de suites Sộries Chapitre - DERIVATION COMPLEXE, EQUATIONS DE CAUCHY-RIEMANN 63 Dộrivộes Fonctions analytiques Equations de Cauchy-Riemann Fonctions harmoniques Interprộtation gộomộtrique de la dộrivộe Diffộrentielles Rốgles de diffộrentiation Dộrivộes des fonctions ộlộmentaires Dộrivộes d'ordre supộrieur Rốgle de L'Hospital Points singuliers Familles orthogonales Courbes Application la gộomộtrie et la mộcanique Opộrateurs diffộrentiels complexes Gradient, divergence, rotationnel et laplacien Quelques identitộs faisant intervenir les gradient,divergence et rotationnel Chapitre - INTEGRATION COMPLEXE, THEOREME DE CAUCHY 92 Intộgrales curvilignes complexes Intộgrales curvilignes rộelles Relation entre les intộgrales curvilignes rộelles et complexes Propriộtộs des intộgrales Changement de variable Ouverts simplement connexes et multiplement connexes Courbes de Jordan Convention concernant l'orientation d'un contour fermộ Formule de Green dans le plan Forme complexe de la formule de Green Thộorốme de Cauchy Thộorốme de Cauchy-Goursat Thộorốme de Morera Intộgrales indộfinies Intộgrales de fonctions particuliốres Quelques consộquences d u thộorốme de Cauchy Chapitre - FORMULES INTEGRALES DE CAUCHY, APPLICATIONS 118 Formules intộgrales de Cauchy Quelques thộorốmes importants Thộorốme de Morera Inộgalitộs de Cauchy Thộorốme de Liouville Thộorốme fondamental de l'algốbre Thộorốme de Gauss sur la valeur moyenne Thộorốme du module maximum Thộorốme du module minimum Thộorốme de l'argument Thộorốme de Rouchộ Formule intộgrale de Poisson pour un cercle Formule intộgrale de Poisson pour un demi-plan Chapitre - SERIES INFINIES SERIES DE TAYLOR, SERIES DE LAURENT Page 139 Suites de fonctions Sộries de fonctions Convergence absolue Convergence uniforme de suites et sộries Sộries entiốres Quelques thộorốmes importants Thộorốmes gộnộraux Thộorốmes sur la convergence absolue Critốres particuliers de convergence Thộorốmes sur la convergence uniforme Thộorốmes sur les sộries entiốres Thộorốme de Taylor Quelques sộries particuliốres Thộorốme de Laurent Classification des singularitộs Fonctions entiốres Fonctions mộromorphes Dộveloppement de Lagrange Prolongement analytique Chapitre - LE THEOREME DES RESIDUS CALCULS D'INTEGRALES ET DE SERIES 172 Rộsidus Calcul des rộsidus Le thộorốme des rộsidus Calcul d'intộgrales dộfinies Thộorốmes particuliers utilisộs dans le calcul d'intộgrales Valeur principale des intộgrales au sens de Cauchy Dộrivation sous le signe d'intộgration Rốgle de Leibnitz Sommes de sộries Dộveioppement de Mittag-Leffler Quelques dộveloppements particuliers Chapitre - REPRESENTATION CONFORME 200 Transformations Jacobien d'une transformation Transformations complexes Reprộsentation conforme Thộorốme de Riemann sur la reprộsentation conforme Points fixes ou invariants d'une transformation Quelques transformations gộnộrales Translation Rotation Homothộtie Inversion Transformations successives La transformation linộaire La transformation homographique Reprộsentation d'un demi-plan sur un cercle La transformation de Schwarz-Christoffel Transformation des frontiốres exprimộes sous forme paramộtrique Quelques transformations particuliốres Chapitre - APPLICATIONS PHYSIQUES DE LA REPRESENTATION CONFORME 232 Problốmes aux limites Fonctions harmoniques et conjuguộes Problốmes de Dirichlet et de Neumann Le problốme de Dirichlet pour le cercle unitộ Formule de Poisson Le problốme de Dirichlet pour le demi-plan Solutions des problốmes de Dirichlet et de Neumann par reprộsentation conforme Applications l'ộcoulement des fluides Notions fondamentales Le potentiel complexe Lignes ộquipotentielles et lignes de courant Sources et puits Quelques ộcoulements particuliers Ecoulements autour d'obstacles Thộorốme de Bernoulli Thộorốme de Blasius Applications l'ộlectrostatique Loi de Coulomb Champ ộlectrique Potentiel ộlectrostatique Thộorốme de Gauss Le potentiel ộlectrostatique complexe Charges linộaires Conducteurs Capacitộ Application la diffusion de la chaleur La tempộrature complexe Chapitre 10 - COMPLEMENTS 265 Prolongement analytique Principe de symộtrie de Schwarz Produits infinis Convergence absolue, semi-convergence et convergence uniforme des produits infinis Quelques thộorốmes importants sur les produits infinis Thộorốme de Weierstrass sur les produits infinis Quelques produits infinis particuliers La fonction gamma Propriộtộs de la fonction gamma La fonction bờta Equations diffộrentielles Solutions d'ộquations diffộrentielles sous forme d'intộgrales Fonctions de Bessel Fonctions de Legendre La fonction hypergộomộtrique La fonction zờta Sộries asymptotiques Dộveloppements asymptotiques particuliers Fonctions elliptiques INDEX 274 CHAPITRE Les nombres complexes L'ENSEMBLE DES NOMBRES REELS Le systốme numộrique tel que nous le connaissons de nos jours est le rộsultat d'un dộveloppement progressif dont les ộtapes sont les suivantes Les entiers naturels , 2, 3, 4, , aussi appelộs entiers positifs furent utilisộs les premiers dans la numộration Les symboles variốrent selon les ộpoques, e.g les Romains utilisaient 1, II, III, IV, Si a et b sont des entiers naturels, la somme a ib e t le produit a b, (a) (b) ou ab sont aussi des entiers naturels Pour ces raisons l'ensemble des entiers naturels est dit fermộ pour les opộrations d'addition et de multiplication, ou satisfait la propriộtộ de fermeture pour ces opộrations Les entiers nộgatifs et zộro notộs -1, 2, - , et O respectivement apparurent pour donner des solutions des ộquations telles que x t b = a oự a et b sont des entiers naturels Ceci conduit l'opộration de soustraction, ou inverse de l'addition, et nous ộcrivons x=a-b L'ensemble des entiers positifs, nộgatifs ou nul est appelộ l'ensemble des entiers, et est fermộ pour les opộrations d'additiori,de multiplication et de soustraction -4, Les nombres rationnels ou fractions tels que +, furent introduits pour donner des solutions des ộquations telles que bx = a, pour tous les entiers a et b oự b f O Ceci conduit l'opộration de division ou inverse de la multiplication et nous ộcrivons x = a/b ou a + b [appelộ le quotient de a par El] oự a est le numộrateur et b le dộnominateur L'ensemble des entiers est une partie, ou un sous-ensemble, de l'ensemble des rationnels puisque les entiers correspondent aux nombres rationnels a/b oự b = L'ensemble des nombres rationnels est fermộ pour les opộrations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division si l'on exclut la division par zộro fl= 1,41423 e t n = 3,14159 sont les nombres qui ne sont pas rationnels, i.e ne peuvent pas ờtre exprimộs sous la forme a/b avec a et b entiers et b f O Les nombres irrationnels tels que L'ensemble des nombres rationnels et irrationnels est appelộ l'ensemble des nombres rộels Nous supposerons que l'ộtudiant est familiarisộ avec les diffộrentes opộrations sur les nombres rộels REPRESENTATION GRAPHIQUE DES NOMBRES REELS Les nombres rộels peuvent ờtre reprộsentộs par les points d'une droite appelộe l'axe rộel (Fig 1-1) Le point correspondant zộro est appelộ l'origine Fig 1-1 Rộciproquement chaque point de la dro:ite correspond un nombre rộel e t un seul Si un point A reprộsentant le nombre rộel a est droite d'un point B reprộsentant le nombre rộel b, nous dirons que a est plus grand que b ou b plus petit que a e t ộcrirons respectivement a > b ou b < a Variables complexes < L'ensemble de toutes les valeurs de x telles que a < x b est appelộ un intervalle ouvert de l'axe rộel, cependant que a < x < b qui comprend aussi les extrộmitộs a et b , est appelộ un intervalle fermộ Le symbole x qui reprộsente n'importe quel ộlộment de l'ensemble des nombres rộels est appelộ une variable rộelle La valeur absolue d'un nombre rộel a, notộe lai, est ộgale a si a > , -a O si a = O La distance qui sộpare deux points a et b de l'axe rộel est la - b si a O ((2) 142 Montrer que ( ,1+ , + -1 + - 3=1 = - & ) ( l - & ) ( l - &)(I - $) t=-1 = = ?T2 oự 2, 3, 5, 7, dt reprộsentent les nombres pre- miers 143 Montrer que la seule singularitộ de {(z) est un pụle simple en z = 1, dont le rộsidu est 144 Utiliser le prolongement analytique de {(z) donnộ par l'ộquation (33) page 273, pour montrer que (a) 1) = - 1/12, ( b ) 3) = 11120 c(- c(- 145 Montrer que si l'on remplace z par - z, l'ộquation ( 3 ) page 273 est invariante LA FONCTION HYPERGEOMETRIQUE 146 Montrer que ( a ) L o g ( l + z ) = z F ( , l ; 2; - ) = F ( / , ; 312; -22) (b) 147 Montrer que cos 2ỷ.z = F ( a , -a; 112; sin2 2) 148 Montrer que d ab - F ( a , b; c; z ) = - F(a+l, b S l ; c+l; z) c dz 149 Si Re {c - a - b ) > O et c # 0, -1, -2, , montrer que 150 Dộmontrer le rộsultat ( ) page 273 15 Montrer que ( a ) F ( a , b; c; z ) (b) F ( a , b; c; z) = ( - z ) - ~F ( a , c-b; c; z/[z-11) 152 Montrer que pour / z lution F(a, b; a = ( - z)c-a-b F(c-a, c-b; c; z) +b - 11 - c < 1, l'ộquation + l ; l - z) z(1 - z ) Y" + { c - (a -i b + 1) z ) Y ' - abY = O admet la so- DEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES 153 Montrer que et en dộduire le dộveloppement asymptotique de l'intộgrale du premier membre 154 Utiliser le problốme 153 pour vộrifier le rộsultat (48) de la page 275 155 Evaluer 50 ! Rộp 3,04 X 064 3*5- (2n-1) 156 Montrer que pour de grandes valeurs de n , *2.4.6 ( - - Chapitre 101 Complộments 303 157 Etablir les dộveloppements asymptotiques suivants 158 Vộrifier la validitộ du dộveloppement asymptotique ( ) d e la page 275, 159 Utiliser u n dộveloppement asymptotique pour obtenir une valeur approximative de Rộp 0,915, approx 160 Montrer que sous des conditions convenables pour F ( t ) , 161 Prộciser les ộtapes d u raisonnement permettant de passer d e (4) (5) dans le problốme 36 162 Dộmontrer le rộsultat ( ) page 275, qui donne le dộveloppement asymptotique de fonctions d e Bessel 165 Montrer que pour de grandes valeurs de z, FONCTIONS ELLIPTIQUES 166 Si < k < 1, montrer que 167 Montrer que (a) sn 2% = dn ' - kz sn4 z 168 Si k = G / , montrer que ( a ) Sn (K/2) = 169 Montrer que 170 Montrer que Sn A cn A + + cn B (a) sn (4K 171 Montrer que (a) sn z (b) cn z (c) dn z + (b) cn 22 = - s n z k*sn4z - k* sn4 z m, ( b ) cn (Kl2) = m, (c) dn (Kl2) = m = tn + ( A + B ) dn +(A - B) + 4iKr) = O, (b) cn (4K t 4iK') = 1: (c) dn (4K + + + = z - -&(l+ k2)z3 &(1 14k k4)z5 = - 2 + &(l+ 4k2)z4 = - -&k2z2 ;j13k2(k2 4)z4 - + + + + 4iK1) = + + - 172 Montrer que 173 Dộmontrer les rộsultats ( b ) et ( c ) d u problốme 40 l'aide d'une intộgrale d'une fonction d e la variable complexe prise le long de contours convenables 304 Variables complexes 174 (a) Montrer que dg - oự L\/l-k2~in2~ transformation de Landen, tg @ = (sin 291 )/(k (b) Si O k, = f i / ( l - k) en utilisant la + cos & ) k&< < k < 1, montrer que k < ( c ) Montrer que par applications successives de la transformation de Landen on obtient une suite d e modules k n , n = 1, 2, , telle que lim k n = Dans ces conditions montrer que si d! = lim @n, n+m n-rm (d) Expliquer comment le rộsultat d e (c) peut ờtre utilisộ dans l'ộvaluation des intộgrales elliptiques 175 La fonction tn z = (sn z)/(cn z ) est-elle doublement pộriodique ? Expliquer + zz), 176 Dộmontrer les formules d'addition pour (a) cn (zl (b) dn (zl + z2), donnộes la page 276 PROBLEMES DIVERS 177 Si IpI < 1, montrer s,"" tgP = que - (p~/2)]-1 71 [COS m 178 Si O < n < sin t 7~ ; , dt = r ( n ) sin (n 7r/2) , montrer q u e l O m 179 I O < n < 1, montrer E O b d t = queJ tn O 180 Montrer que la solution gộnộrale de Y 181 Montrer que = rụm - z ) Y" - ~ Z A F(512, -1; 112; z2) ' Yf 10Y + = O est Bz F ( , -112; 312; 22) 4r(1/3) = sin t3 d t (a) (1 71 r ( n ) cos (n7~/2) + 182 (a) Dộterminer une solution d e + ZY" Y' zY = O d e la forme(Logz) (23) d e la page 272 ( b ) Quelle est la solution gộnộrale ? 183 Utiliser la mộthode du problốme 182 pour trouver la solution gộnộrale de z Z y " , e t vộrifier le rộsultat + Z Y ' + (z2 - n2) Y = O [voir l'ộquation ( 2 ) , page 2711 184 Montrer que la solution gộnộrale d e 185 ( a ) Montrer que z1I2 J, (2iz1I2) ZU" + ( rn U = + 1) U' CA J, est solution d e + B Y 1(2izll")) que {J,(x))* + 2{J1(z)}2 + { J ( ~ ) )' + zU = O (4 + B est Y m (2)) zU" - U = O ( b ) Quelle est la solution gộnộrale ? Rộp ( b ) Y = zl/* ( A J, ( i z l f ) 186 Montrer 187 Montrer que er a J O ( xsin a ) = & P,, ,,=O 188 Montrer que r'(+i 189 (a) Montrer que = -G(y ( ' z ,-t -dt t + Log (COS a) 11 ! 2" 2), = -y-~ogziz = -2.2! (b) Le rộsultat de (a) peut-il ờtre utilisộ pour calculer 1591 +23 - 3.3! dt? Expliquer [Comparer avec le problốme Chapitre 1O/ Complộments 190 Si rn est u n entier positif, montrer que F ( + , - m : - i x ; ) = 305 2.4.6,.,2m 1.3.5 (2~-1) dd 192 Montrer que 193 Les fonctions de Legendre associộes sont dộfinies par p"' (a) Dộterminer dm p ( (1 - ) m / - = (z) &m II ') q2)(2) (b) Montrer que emf ( z ) vộrifie l'ộquation diffộrentielle ( -%')Yt1 - z Y ' (c) Montrer que ( P:,"" (2) plm)( z ) d z = O Y 71 # ' -1 C'est en cela que consiste la propriộtộ d'orthogonalitộ des fonctions de Legendre associộes Rộp (a) lSz(1 - z2) 194 Montrer que si rn, zi et r sont des constantes positives, [On pourra poser x = (r + 195 Montrer que si m, n , a et 1) y / ( r + y)] b sont des constantes positives, [On pourra poser x = sin28 dans le problốme 194 et choisir r d e faỗon convenable] 196 Montrer que (a) = J I(x) 22 (b) - = + 12J2(z) J,(z) J, ( ) I- + 22J4(z) + 3-J,(z) + 197 Si m est u n entier positif montrer que (a) Pzm (2) = (b) P ~ m + l ( z ) = ( m )! F(-rn, rn+ 2"" ( m!)Z (-1)"' 22"'( (2) m n !+) +; 8;2 ) F(-m, ,n+i: 5;9 ) 198 (a) Montrer que l/(sn z) a un pụle simple en 200 Si l z 202 < 1, dộmontrer l'identitộ d'Euler : ( & z = O , et ( b ) calculer le rộsidu en ce pụle + z)(l + z')(1 + 9) = ( 1- Z ) ( I - z q - 25) 22 z4 Montrer que ( z)(l 2 ) + ( + z)ll + * ' ) ( + z4) + converge pour lzl < et lzl > (b) Montrer que dans chacune d e ces rộgions la sộne considộrộe reprộsente une fonction analytique (8) (c) + + + Soit F l ( z ) et F2 ( z ) les deux fonctions ainsi obtenues F l ( z ) et F2(z) sont-elles prolongement analytique l'une d e l'autre ? A-t-on F l ( z ) = F ( z ) identiquement ? Justifier les rộponses 306 Variables complexes zn converge en tout point d u domaine l z < n = l n2 ( b ) Montrer que la fonction reprộsentộe par tous les prolongements analytiques de la sộrie de ( a ) possốde une singularitộ en z = 1, ceci est-il compatible avec le rộsultat de ( a ) ? O n suppose que la sộrie C a , zn possốde un cercle d e convergence C de rayon fini, o n dộsigne par F ( z ) la fonction reprộsentộe par tous les prolongements analytiques de cette sộrie Montrer que F ( z ) a a u moins une singularitộ sur C 203 ( a ) Montrer que la sộrie 204 205 Montrer que Cn 2 + dn 22 = dn2 t cn 22 206 Montrer qu'une fonction non constante ne peut avoir deux pộriodes dont le rapport soit un nombre irrationnel 207 Montrer qu'une fonction non constante ne peut avoir trois pộriodes ou plus, indộpendantes 208 ( a ) Si une fonction doublement pộriodique est analytique en tout point d'un parallộlogramme d e pộriodes, cette fonction est constante (b) En dộduire qu'une fonction doublement pộriodique non constante possốde au moins une singularitộ dans u n parallộlogramme d e pộriodes 209 Soit F ( z ) une fonction doublement pộriodique ( a ) Montrer que pộriodes alors f C est la frontiốre d'un parallộlogramme de F ( z ) dz = O ( b ) Montrer que le nombre de pụles situộs l'intộrieur d'un parallộlogramme de pộriodes est ộgal au nombre de zộros chacun ộtant comptộ avec son ordre d e multiplicitộ 210 Montrer que les fonctions elliptiques de Jacobi sn z , cn z , et d n z ( a ) ont exactement deux zộros et deux pụles dans chaque parallộlogramme de pộriodes et ( b ) que chacune de ces fonctions prend exactement deux fois toute valeur donnộe, dans chaque parallộlogramme d e pộriodes 212 Montrer que - e-ztgede 213 Montrer que P , (cos e) 2! 23 1.3.5 2.4.6 = [On peut utiliser - t cos e -4 !- - +6 ! -A + t2 ' 25 25 (2n-1) (2n) ' 2n cos ( n - ) e = ( - t@)(1 - te-ia).] 214 ( a ) Montrer que r ( z ) est une fonction mộromorphe et ( b ) dộterminer sa partie principale en chaque pụle 215 Si Re { n ) > 112, montrer que zn - cos (z cos e) sinZn e d e 2n r ( m + t + l ) 216 Montrer que tn J , ( t ) d t = (m 217 Montrer que i;/2 cosp e cos q e de 218 Montrer que {r(&)}z= Tl2 4fi (U -; t = de )/l-fsinze' I'(P +1) Index alphabộtique Abel (thộorốme d'), 142 Absolue convergence, 140, 141, 147, 148, 159 des produits infinis, 266, 267 des sộries entiốres, 152 Absolue (valeur absolue d'un nombre complexe) 2, valeur absolue d'un nombre rộel, Accộlộration, 69, 82, 90 Addition (associativitộ de l'), 3, (commutativitộ de l'), (opộration inverse de l'), 1, des nombres complexes, 2, des nombres rộels, des vecteurs, 10, 11, 15 Addition formules d'addition pour les fonctions elliptiques, 276, 295 Aộrodynamique, 224, 234 Aile d'avion, 224, 238 Aire, limitộe par une courbe fermộe simple, 113 , 114 d'une ellipse, 113, 230 d'un parallộlogramme, 6, d'une rộgion, 113, 114 d'un triangle, 201, 14 Algốbre (thộorốme fondamental de l'), 5, 119 dộmonstration l'aide du t h k r ố m e de Liouville, 125 dộmonstration l'aide du thộorốme de Rouchộ, 128, 129 Algộbriques fonctions, 36 nombres, 23 Alternatifs, courants, Alternộes, sộries, 142 Amplitude, Analytique, prolongement, 146, 159, 265, 277-279 fonction analytique et continuitộ, 63, 1, 72 ộlộment d'une fonction analytique, 146, 265 fonction harmonique et fonction analytique, 13 partie imaginaire d'une fonction analytique, 84 partie rộelle d'une fonction analytique, 84 partie analytique d'une sộrie de Laurent, 144 Angle de deux vecteurs, 21 Angles (conservation des), 201, 213, 214, 229 (voir aussi Reprộsentation conforme) Annulaire (rộgion), 143, 1 reprộsentation d'un domaine annulaire, 21 Arc, 68 (voir ộgalement Courbes) Argand (diagramme d'), Argument, 4, 18 Argument (thộorốme de l'), 19 dộmontration du, 127, 128 gộnộraiisation du, 137 Arg z (voir Argument) Associativitộ de l'addition, 3, de la multiplication, 3, Associộes (fonctions de Legendre), 305 Asymptotiques (dộveloppements), 274, 275, 288290, 294 de l'exponentielle intộgrale, 275 de la fonction d'erreur, 275 de la fonction gamma, 275, 289, 290 des fonctions de Bessel, 275, 294 de Stirling, 275 particuliers, 275 Asymptotiques (sộries), 274 (voir aussi Dộveloppement asymptotique Attraction des charges ộlectriques, 23 Axes, 3, Axiomatiques (fondements axiomatiques de la thộorie des nombres complexes, 3, 13, 14 Bande (reprộsentation conforme d'une), 205, 206, 210, 21 1, 219 Base de logarithmes, 35 Bernoulli (nombres de), 171, 273 Bernoulli (thộorốme de), 238 Bessel (ộquation de), 276, 271, 272, 284 Bessel (fonctions de), 161, 270, 271 de premiốre et seconde espốces, 271 dộveloppements asymptotiques des, 275, 294 fonction gộnộratrice des, 271 relations de rộcurrence pour les, 271 286 Bờta (fonction), 222, 269, 282 relation avec la fonction gamma, 269, 282 Biharmonique (ộquation), 263 Bilinộaire (transformation) voir Homographique Binụme (coefficients du), 16 Binụme (formule du), 16, 143 emploi pour les dộveloppements en sộrie de Laurent, 157, 158 Birapport, 203, 216 invariance du, 203 Blasius (thộorốmes de), 238, 250-252 Bolzano-Weierstrass (thộorốme de), 8, 23 Borel (thộorốme de Heine-Borel), Borne supộrieure prộcise, 62, 93 Bornộes (fonctions), 39 suites, 14 ensembles, 7, 22, 23 308 Index alphabộtique Branche d'une fonction, 33 Branchement (point de), 37, 44, 48-50, 55, 56, 67, 76, 80, 145 d'un prolongement analytique, 265 d'une fonction logarithmique, 46, 76, 80 intộgrale utilisant des, 185, 186, 193, 194 Branche principale, 33, 44, 46, 48 Canal (reprộsentation conforme d'un), 208, 21 Capacitộ, 240, 255, 256 Cardioùde (reprộsentation d'une), 10, 229 Casorati-Weierstrass (Thộorốme de), 145 Cauchy (critốre de convergence de), 141 Cauchy-Goursat (thộorốme de), 95, 103-106 (voir aussi Thộorốme de Cauchy) dộmonstration pour un polygone fermộ, 104, 105 dộmonstration pour une courbe fermộe simple, 105, 106 dộmonstration pour un domaine multiplement connexe, 106 rộciproque du, (voir thộorốme de Morera) Cauchy (inộgalitộs de), 18, 124, 169 dộmonstration des, 124 Cauchy (intộgrales de), 18, 120-123 dộmonstration, 120-1 22 emploi dans le prolongement analytique des, 278 pour des ouverts multiplement connexes, 123 Cauchy-Riemann (ộquations de), 63, 72, 74 dộmonstration des, 72, 73 fonctions harmoniques dộduites des, 73, 74 forme polaire des, 83, 84 gradient et, 70 Cauchy (thộorốme de), 95, 103-106 (voir aussi Thộorốme de Cauchy-Goussat) consộquences du, 103 Cavitation, 259 Centre de gravitộ, 14 Centripốte (accộlộration), 82 Cercle, fonctions harmoniques pour un, 19, 120 de convergence, 140, 143, 150 formules intộgrales de Poisson pour un, 19, 129, 130, 233 reprộsentations d'un, 203, 204, 207, 216, 217 unitộ, 5, 20 Changement de variable dans l'intộgration, 93 Charges (distribution de), 208, 211 Charges ộlectriques, 238 ligne de, 239, 240 potentiel crộộ par des, (voir Potentiel) Christoffel-Schwarz (transformation de), 204, 18223 Circulaire (ộcoulement autour d'un obstacle), 237 238,246, 250 Circulation, 234, 249 autour d'un tourbillon, 249 ộcoulement avec, 236, 249, 250 Cis , Coefficients du binụme, 16 Commutativitộ de l'addition, 3, de la multiplication, 3, Compact (ensemble), 7, 22, 23 Composition (critốres de), 14 dộmonstration des, 148 Complộmentaire (module d'une fonction ellip tique) 276 Complộmentaire d'un ensemble, 8, 22, 23 Composantes d'un vecteur, 10 Composộes (fonctions), 39, 65 Condensateur, 240 Conductivitộ thermique, 240 Conducteurs, 240 Conforme (reprộsentation), 200, 23 conditions de, 201 dộfinition de la 201 dộmonstration pour des fonctions analytiques, 213, 214 problốmes de Dirichlet et Neumann, 233, 234 solutions de problốmes aux limites par, 232-264 transformation des fonctions harmoniques par, 242 Conjuguộes (coordonnộes), 7, 22, 69 expression du thộorốme de Green en, 95, 102, 1O3 Conjuguộes (fonctions), 63, 232 Continuitộ, 38, 39, 53-54 ộquation de, 234 et analycitộ,63, 71, 72 et convergence uniforme, 142, 15 thộorốmes sur la, 39 uniforme, 39, 40, 54 Contour, 69 Convergence cercle de, 140, 143, 150 critốre de Cauchy, 141 critốres de, 141, 142, 148-150 des produits infinis (voir Produits infinis) des sộries,41, 54, 55, 139, 147 des suites, 40, 54, 55, 139, 146, 147 rayon de, 140, 150 rộgion de, 139, 149, 150 uniforme (voir Uniforme convergence) Coordonnộes (courbes), 34 Coordonnộes curvilignes, 34, 42 polaires, rectangulaires, 3, 34 Courbe (s) i-ontmues par morceaux, 69 de Jordan, 94 de longueur infinie, 1 1, 12 rectifiable, 92 tangeante une, 69, 83 vitesse le long d'une, 69, 82 Cycloùde, 13 reprộsentation d'une, 13 C y h d n q u e s (obstacles), 25 , 252 Index alphabộtique Degrộ d'une ộquation algộbrique, d'une polynụme, 34 De Moivre (thộorốme de), 4, 5, 15-18 Dộnominateur, Densitộ, 238 Dộpendante (variable), 33 Dộrivation complexe, 63-9 de fonctions de fonctions, 65, 77, 84, rốgles de, 65, 74-78 sous le signe d'intộgration, 174, 175, 182 Dộrivộes, 63, 71, 72 des fonctions ộlộmentaires, 65, 66, 74-78 des fonctions multiformes, 65, 66, 76, 77 des sộries entiốres, 142, 143, 152, 153 d'ordre supộrieur Dộterminants (rốgle de multiplication des) 15, 230 Diagramme d'Argand, Diộlectrique (constante), 238, 256 Diffộrentiabilit ộ, continuitộ et, 63, 71, 72 Diffộrentielle (ộquation) 91, 269, 270, 283-285 aux dộrivộes partieiles, 85, 86, 232 de Bessel, 270-272, 284 de Gauss, 273 de Legendre, 272, 273 point ordinaire d'une, 269 point singulier d'une, 269, 283, 284 solution au moyen d'intộgrales d'une, 270, 284, 285 Diffộrentiels (opộrateurs complexes), Dipụle, 237, 240 moment d'un, 237 Dirichlet (problốme de) 232, 233, 243-245 (voir ộgalement Problốme de Neumann) pour le demi-plan, 233 pour le cercle unitộ, 233 solution par reprộsentation conforme, 233, 234 unicitộ de la solution, 256, 257 Discontinuitộs, 39 apparentes, 39, 53 Disjoints (ensembles), Disque unitộ, 201 Distance entre deux points, 2, 4, 12 Distributivitộ, 3, 9, 14 pour des ensembles, 23 Divergence, de fonctions, 70, 82, 83 Divergence de suites et sộries, 40, 41, 139 (voir aussi Convergence) Division des nombres complexes, des nombres rộels, Double (pụle), 158 Doublement pộriodique (fonction), 276 Doublet, 237, 240 Duplication (formule de duplication pour la fonction gamma), 26 Dynamique des fluides, 234 (voir Ecoulement fluide) 309 Ecoulement fluide autour d'un obstacle circulaire, 237, 238, 246, 250 autour d'obstacles, 237, 238, 250 dỷ une source ou un puits, 237 permanent, 234 spộcial, 236, 237 stationnaire, 234 superposition d', 23 tourbillon, 249 uniforme, 236, 245 Egalitộ de nombres complexes, 2, de couples ordonnộs de nombres rộels, de vecteurs, Elasticitộ (thộorie de l'), 263 Electrique (champ), 238, 239 Electriques (charges), 238 Electrostatique (potentiel), 238, 239, 252-254 sources et puits en, 240 Elộmentaires (fonctions), 34, 37, 44-48 dộrivộes des 65, 66, 74-78 Elộments d'une fonction analytique, 146, 265 d'un ensemble, Ellipse, aire d'une, 13, 230 reprộsentation d'une, 209, 224 Elliptiques (fonctions), 276, 277, 290-293 de Jacobi, 276 formule d'addition pour les, 276, 295 pộriodes des, 276, 292, 293 Elliptiques (intộgrales), 276, 277 (voir aussi Fonctions eIIiptiques) de premiốre espốce, 2'16 de seconde et troisiốme espốces, 277 Ensembles compacts, 7, 22, 23 complộmentaires, 8, 22, 23 connexes, 7, 22, 23 dộnombrables, 8, 22, 23 ộlộments, intersections d', 8, 23 orthogonaux, 287 points extộrieurs, points frontiốres, 7, 22, 23 points intộrieurs, 7, 22, 23 sous-ensembles, 1, 2, union d', 8, 23 vides, 8, 23 Entiốres (fonctions), 145 reprộsentation sous forme de produit infini, 267 Equation biharmonique, 263 de continuitộ, 234 de Laplace (voir Lapiace) d'un cercle en coordonnộes conjuguộes, 22 d'une droite, 13 produit des racines d'une, 20 quadratique, 19 racines d'une, 5, 18, 20 solutions d'une, 18 somme des racines d'une, 20 Equations paramộtriques, 1, 62 Equipotentielles (lignes ou courbes), 235, 239, 252 Erreur (fonction d'), 275 dộveloppement asymptotique de la, 275 Essentielles (singularitộs), 67, 80, 157 comportement d'une fonction au voisinage d'une, 160 dộfinition partir des sộries de Laurent, 144 thộorốmes sur les, 145 Euler (constante d'), 268 Euler (formule d'), Euler (identitộ d'), 305 Existence des solutions de problốmes aux limites, 232 Exponentielle (fonction), relation avec les fonctions trigonomộtriques, 16, 17 35 Extộrieur (d'une courbe fermộe simple), 94 Extộrieur (point), Factorielle (fonction) voir Fonction gamma Factorisation d'une ộquation algộbrique, Familles de courbes, 68, 81 Fermeture (propriộtộ de), 1, d'un ensemble, 7, 22, 23 Finie (suite), 40 Fixe (point), 202, 21 Fluide (voir aussi Ecoulement fluide) idộal, 234 incompressible, 234 pression dans un, 238, 25 rộel, 234 visqueux, 234 Flux de chaleur, 240 lignes de, 239, 24 Fonctions, 33, 41-50 algộbriques, analytiques (voir Analytique) bornộes, 39 branches de, 33 composộes, 39, 65 conjuguộes, 63, 232 divergence de, 70, 82, 83 doublement pộriodique, 276 elliptique (voir Elliptique) entiốre, 145, 267 exponentielle, factorielle, 268 (voir aussi Fonction gamma) harmonique (voir Harmonique) hypergộomộtrique, 273, 288, 293 inverse, 33 lacunaire, 146 de Legendre (voir Legendre) logarithmique (voir Logarithmique) multiforme (voir Multiforme) de Neumann, 271, 272 polynụmiale, 34 sộries de, 146, 147 suites de, 139, 146, 147 transcendantes, 36, 37 trigonomộtriques (voir Trigonomộtrique) uniformes, 3 uniformộment continue, 39, 40 valeur d'une, 3 Forces (champ de), 11 Force sur un obstacle cylindrique, 25 1, 252 sur un obstacle dans un fluide, 23 8, 250-252 Fourier (sộries de), 170 Fractions, Gamma (fonction), 222, 267-269, 280-282, 294 dộveloppement asymptotique de la, 275, 289, 290 formule de duplication de la, 268 prolongement analytique de la, 268, 269, 281 relation de rộcurrence pour la, 268, 280 Gauss (ộquation diffộrentielle de), 273 critốre de, 142 fonction 71 de, 268 thộorốme de la valeur moyenne de, 19, 125 thộorốme ộlectrostatique de, 23 Gộnộratrice (fonction) des fonctions de Bessel, 271 des polynụmes de Legendre, 272 Gộomộtrique (sộrie), 148, 149 Goursat-Cauchy (voir Cauchy-Goursat) Gradient, 69, 70, 82, 83, 85 comme vecteur normal d'une courbe, 70, ộgalitộs utilisant le, 70 Graphique (reprộsentation) des nombres complexes, 3, 4, 10- 13 des nombres rộels, des racines, 18, Green (premiốre et deuxiốme identitộs de), 117 Green (thộorốme de) dans le plan, 95, 99-102 dộmonstration du thộorốme de Cauchy l'aide du, 103 dộmonstration pour des domaines multiplement connexes du, 101 dộmonstration pour des domaines simplement connexes du, 99, 100 en coordonnộes conjuguộes, 95, 102, 103 gộnộralisation du, 11 Hardy, 274 Harmonique (fonction), 63, 64, 70, 73, 74, 85, 232, 233, 241-243 dộduite des ộquations de Cauchy-Riemann, 73, 74 et formules intộgrales de Poisson pour un cercle, 19, 120 pour un demi-plan, 120 relation avec les fonctions analytiques, 131 transformation par repiesentation conforme, 24 Heine-Borel (thộorốme de), Hexagone (reprộsentation d'un), 230 Holomorphe, 63 (voir aussi Analytique) Homographique (transformation), 35, 203, 21 6, 217 birapport d'une, 203, 216 transformation de cercles en cercles l'aide d'une, 21 ~itilisationdans la reprộsentation d'un cercle sur un demi-plan, 203, 204, 16, 17 Hydrodynamique, 234 Hyperbole, reprộsentation d'une, 228 Hyperboliques (fonctions), inverses des, 36, 48 propriộtộs des, 35, 46 relations avec les fonctions trigonomộtriques, 36 Hy pergộomộtrique ộquation diffộrentielle, 273 fonction, 273, 288, 293 sộrie, 169 Hypocyclciide, 113, 14 reprộsentation d'une, 228 Idộal (fluide), 234 Imaginaire (axe), Imaginaire (partie) d'une fonction analytique, 84 d'un nombre complexe, Incompressible (fluide), 234 Indộfinie (intộgrale), 95, 107 Indộterminộe (forme) (voir rốgle de L'Hospital) Induction mathộmatique, 16 Infini, 38 point l', 6, 38, 47, 80, 81 singularitộ l', 68, 145 Infinis (produits), 266, 267, 279, 280, 293, 294 convergence des, 266, 267 regroupement des termes des, 266 thộorốmes importants sur les, 267 Intộrieur d'une courbe fermộe simple, 94 Intộgrale, curviligne, 92 dộrivation d'une, 174, 175, 182 elliptique, 276, 277 (voir Fonction elliptique) exponentielle, 275 Intộgrale, prolongement analytique d'une, 265, 279 de fonctions particuliốres, 96, 109, 110 ộvaluation par la mộthode des rộsidus, 173, 174, 179-188, 193 valeur principale de Cauchy d'une, 174 Intộrieur d'une courbe fermộe simple, Intirieur (point), 7, 22, 23 Intersection d'ensembles, 8, 23 Intervalle fermộ, ouvert, Inverses (fonctions), 33 hyperboliques, 36, 48 trigonomộtriques, 6, 48 Inversion, 202, 21 Involutive (transformation), 230 Irrationnels (nombres), Irrộgulier (point singulier), 269, 283, 284 Isogonale (transformation), 201 Isolộe (singularitộ), 67, 79, 80, 144 comportement d'une fonction analytique dans le voisinage d'une, 160 Isothermes (lignes), 24 Jacobi (fonctions elliptiques de), 276 Jacobien, d'une transformation, 200, 14-2 16 d'une transformation conforme, 14-2 16 Jensen (thộorốme de), 138 Jordan (courbe de), 94 Joukowski (profil de), 224 Joukowski (transformation de), 224, 229 Lacunaire (fonction), 146 Lagrange (dộveloppement de), 145, 159 Landen (transformation de), 304 Laplace (ộquation de), 63, 64, 232, 233 et problốmes de Dirichlet et Neumann, 232, 233 sous forme polaire, 84 Laplace (mộthode de), 275 Laplacien, 63, 70, 82, 83 Laurent (sộrie de), 143, 144 classification des singularitộs d'aprốs la, 114, 145, 157, 158 dộveloppement d'une fonction en, 133, 144, 155-158 partie analytique d'une, 144 partie principale d'une, 144 rộsidus et, 172 Laurent (thộorốme de), 143, 144, 155-157 dộmonstration du, 155-157 Legendre (ộquation diffộrentielle de), 272 solution gộnộrale de l', 272, 273 Legendre (fonctions de), 272, 273, 287, 288 associộes, 305 propriộtộ des, 272 Legendre (polynụmes de), 161, 162, 272, 293 fonction gộnộratrice des, 272 formule de Schlaefli pour les, 161, 162 orthogonalitộ des, 287 relation de rộcurrence pour les, 272, 287, 288 relation avec la fonction hypergộomộtrique, 293 Leibnitz (rốgle de), 174, 175, 182 Lemniscate, reprộsentation d'une, 229 L'Hospital (rốgle de), 67, 78, 79 emploi dans le calcul de rộsidus, 177 Limite (point), 7, 22, 23 Limites, 37, 38, 50-53 de fonctions, 37, 38, 5ỷ-53 de suites, 40, 1-53, 5 (voir aussi suites) interprộtation gộomộtrique des, 50 thộorốme sur les, 38, 1-53 unicitộ des, 38, 40, 51, 140 Linộairement indộpendantes (solutions des ộquations diffộrentielles), 269, 270 Linộaire (transformation), 34, 203 Ligne, ộquipotentielle, 235, 239, 252 isotherme, 24 Liouville (thộorốme de), 19, 124, 12 5, 145 thộorốme fondamental de l'algốbre et, 125 Logarithmique (fonction), 36, 46 branche principale de, 36, 46 point de branchement d'une, 46, 76, 80 relation avec les fonctions hyperboliques, 36 12 Index alphabộtique Maclaurin (sộrie de), 143 Maximum (thộorốme du module), 119, 125, 126 Mộromorphe (fonction), 145 Minimum (thộorốme du module), 19, 126, 127 Mittag-Leffler (thộorốme de), 175, 191, 192 Module, de nombres complexes, de fonctions elliptiques, 276 Moment d'un dipụle, 237 des forces de pression, 238, 251 Monotones (suites), 14 Morera (thộorốme de), 95, 110, 11 1, 118, 160 utilisation dans le prolongement analytique, 278 Moyenne (thộorốme de Gauss sur la valeur), 19, 125 Multiforme (fonction), 33, 37, 43, 44, 67, 76 dộrivộe d'une, 65, 66, 76, 77 Multiplication associativitộ de la, 3, commutativitộ de la, 3, ộlộment neutre de la, inverse de la, 1, Multiplement connexe (domaine), 93, 94 Thộorốme de Cauchy-Goursat pour des, 106 Thộorốme de Green pour des, 101 Nộpộriens (logarithmes), 35, 36 Neumann (fonction de), 271, 272 Neumann (problộme de), 232, 233, 243-24.5 solution par reprộsentation conforme, 234, 235 solution par le problốme de Dirichlet, 262 unicitộ de la solution du, 262 Nombres, algộbriques, de Bernoulli, 171, 273 irrationnel, premier, 274 rộel, thộorie des, 273 transcendants, 23 Obstacles, ộcoulement autour d', 237, 238, 250 forces agissant sur un obstacle cylindrique, 25 1, ?C? Opộrateur, 17, 82 de dộrivation, Laplacien, 63, 70, 82, 83 Ordre, d'un pụle, 67, 144 d'un zộro, 67 Ordinaire (point), 67, 269 d'une ộquation diffộrentielle, 269 Origine, Orthogonale (famille) 68, 81 Orthogonalitộ des fonctions de Legendre associộes, 305 des polynụmes de Legendre, 287 Ouvert (ensemble), 7, 22, 23 Parabole, reprộsentation d'un domaine limitộ par une, 208, 210, 228 Parallốles (vecteurs), Parallộlogramme, aire d'un, 6, des pộriodes, 276, 293 diagonales d'un, Paramộtriques (ộquations), 13, 1, 68 utilisation pour les reprộsentations conformes, 205, 221, 228 Partielles (sommes partielles d'une sộrie), 40, 139 Pộriode de la fonction exponentielle, 45 Pộriodes, des fonctions elliptiques, 276, 292, 293 parallộlogramme des, 276, 293 Picard (thộorốme de), 145 Planốtes (mouvement des), 82 Point l'infini, 6, 38, 47, 80, 81 Points, critiques, 201, 214 distance entre deux, 2, 4, 12 extộrieurs, ordinaires, 67, 269 Poisson (formules intộgrales de) pour un cercle, 19, 129, 130, 233 Polaire (forne) des ộquations de Cauchy-Riemann, 83, des nombres complexes, 4, 14, 15 de l'ộquation de Laplace, 84 Polaires (coordonnộes), Pụles, 67, 79, 157, 158 dộfinis partir des sộries de Laurent, 144 doubles, 158 nombre de, 119 ordre des, 67, 144 simples, 67, 80 Polygụne (reprộsentation sur) le cercle unitộ, 220, 221 un demi-plan, 204, 218, 219, 223 Polynụme de Legendre (voir Legendre) Polynomiales (ộquations), 5, 19, 20, 23, 36 degrộ des, factorisation des, thộorốme fondamental de l'algốbre pour les, 5, 119, 125, 128, 129 Potentiel, 238, 252, 253 complexe, 235, 245-250 crộộ par une charge et un plan, 253 crộộ par une charge entre deux plans parallốles, 253, 254 des vitesses, 234, 235 ộlectrostatique, 238, 239, 252-254 Pression (dans un fluide), 238, 25 Premier (nombre),274 Principale (branche), 33, 44, 46 des fonctions hyperboliques inverses, 48 des fonctions logarithmiques, 36 des fonctions trigonomộtriques, 48 Principale (valeur), 4, 33 des intộgrales, 174 des logarithmes, 36, 46 Produits infinis, 266, 267, 279, 280, 293, 294 convergence des, 266, 267 modification de l'ordre des termes dans les, 266 particuliers, 267, 280 Index alphabộtique Produit, extộrieur, 6, 20, 21, 70 scalaire, 6, 21, 70, 82, 83 Profil de Joukowski, 224 Prolongement analytique, 146, 159, 265, 277-279 de la fonction gamma 268, 269, 281 de la fonction zờta 273 d'in tộgrales, 265, 279 de sộries, 146, 159, 265, 279 intộgrales de Cauchy et, 278 thộorốme de Morera et, 278 thộorốme d'unicitộ, 265 Projection stộrộographique, 6, 229 Puits, 235, 236, 240 (vok aussi Sources) Quadratique (ộquation), 19 R Raabe (critốre de), 141 Rackes (nombre des racines d'une ộquation), 129 Rayon de convergence, 140, 150 Rộei (nombre), Reprộsentation conforme, 33, 1-43, 200 d'un canal, 208, 21 d'un demi-cercle, 206, 207 d'un demi-plan sur un cercle, 203 d'un domaine limitộ par une cardio'ide, 210, 229 une cyclo.ide, 228 une ellipse, 209, 221, 224 un hexagone, 230 une hyperbole, 228 une hypocycloùde, 228 une lemniscate, 229 une lunule, 207 une parabole, 208, 210, 228 un polygone, 204, 18-221, 223 un rectangle, 209-2 1 un secteur circulaire, 205, 207 un triangle, 209, 22 1, 222 Rộsidus 172, 173, 176-179 calcul des, 172, 173, 176-179 calcul d'intộgrales par la mộthode des, 133, 173, 174, 179, 188, 193 Rộsidus (thộorốme des), 173, 176-179 Riemann-Cauchy (voir Cauchy-Riemann) Riemann conjecture de, 274 thộorốme sur la reprộsentation conforme de, 201, 202, 233 sphốre de, fonction zờta de, 273, 274, 288 Rodrigue (formule de), 16 Rotationnel, 70, 82, 83, 95 Rouchộ (thộorốme de), 19, 128 dộmonstration du, 128 Scalaire (produit), 6, 21, 70, 82, 83 13 Schlaefli (formule de), 161, 162 Schwarz-Christoffel (transformation de), 204, 21 8223 Schwarz (inộgalitộ de), 32 principe de symộtrie de, 266, 279 thộorốme de, 132 Semi-convergence de produits infinis 266, 267 de sộries: 140, 141 Sộries 40, 41, 54, 55, 57, 139-171 absolue convergence des, 140, 141, 147, 148, 152, 159 alternộes, 142 asymptotiques, 274 convergence des, 41, 54, 55, 139, 147 convergence uniforme des, 140, 147, 148 de fonctions, 146, 147 de Fourier, 170 de Maclaurin , i 43 de Mittag-Leffler, 175, 191, 192 dộrivation des, 142, 143, 152, 153 gộomộtriques, 148, 149 hypergộomộtriques, 169 rayon de convergence des - entiốres , 140, 150 Suites 40, 54, 55, 57, 139, 146, 147 bornộes, 141 convergence des, 40, 54, 55, 140, 147, 148 divergentes, 40 limite des 40, 51-53, 55 monotones, 14 Simples ( courbes fermộes), 68, 93 Simples (pụles) 67-80 zộros, 67 Simplement connexe (ouvert), 93, 94 Singularitộ d'une ộquation diffộrentielle 269, 283 et convergence des sộries entiốres, 143, 146 fonction analytique au voisinage d'une, 160 intộgration autour d'une, 184 isolộe, 67, 79, 80, 144, 167 Solutions linộairement indộpendantes d'une ộquation, 18 d'une ộquation diffộrentielle, 269, 270 Sommes de sộries, 175, 188-191 Sources, ộlectrostatiques, 240 en ộcoulement de fluides, 235-237, 247, 248 force de, 236, 247 ligne de, 235, 247, 252 Sphốre de Riemann, Stationnaire (ộcoulement), 234 Stộrộographique (projection), 6, 229 Stirling (formule asymptotique de), 275 Superposition d'ộcoulement, 237 Surfaces de Riemann, 37, 48-50, 265 Symộtrie (principe de), 266, 279 Tangente une courbe, 69, 83 Taylor (sộrie de) 143, 153-155 thộorốme de, 143, 153-155 Tempộrature, complexe 240, 24 ộtat permanent de, 240, 254, 255, 257, 258 Termes, d'une suite, 40 changement, dans une sộrie, de l'ordre des, 141 Thermique, conductivitộ, 240 Trajectoires orthogonales, Transcendantes, fonctions, 36, 37 Transcendants, nombres, 23 Transformations conformes (voir Conforme) inversion, 202, 217 jacobien des, 200, 201, 214-216 points invariants des, 202, 217 rotation, 202, 21 2-2 14, 217 de Schwarz-Christoffel, 204, 18-223 Translation, 202, 21 2, 21 Triangle (reprộsentation conforme d'un), 209, 22 1, 222 Trigonomộtriques (fonctions), 35 branches principales des, relation avec les fonctions hyperboliques, 36 zộros des, 45 Uniforme, continuitộ, 39, 40, 54 Uniforme (convergence), 140, 142, 147, 148, 150-153, 160 des produits infinis, 266, 267 des sộries, 140, 147, 148 des sộries entiốres, 142, 152, 153 et continuitộ 142, 15 Uniforme (ộcoulement), 236, 245 Unicitộ, de limites, 38, 40, 51, 140 des solutions du problốme de Dirichlet, 256, 257 des solutions du problốme de Neumann, 262 thộorốme d'unicitộ pour le prolongement analytique, 265 Unitộ, cercle, 5, 201 formule intộgrale de Poisson pour le, 19, 129, 130,233 problốme de Dirichlet pour le, 233 reprộsentation sur le, 203, 204, 207, 21 6, 21 Unitộ, disque, 20 Unitộ, sphốre, Unitộ (racine n-iộme de 1') 5, Valeur absolue d'une fonction,33 Variables, 2, 33 changements de, 93 complexes, 2, 33 dộpendantes, 3 indộpendantes, 33 rộelles, Vecteurs, 5, 10-13 addition des, 10, 1, 15 angles de, 21 ộgalitộ de, extrộmitộs de, interprộtation des nombres complexes comme, normaux une courbe, 70, 83 parallốles, perpendiculaires, rotation de, 14, 15, 17 Vitesse, le long d'une courbe, 69, 82 complexe, 235 potentiel des, 2, 34, 245 Visqueux (fluide), 234 Voisinage, 7, 22 Weierstrass (thộorốme de factorisation de), 267, 282 Weierstrass - Bolzano (thộorốme de), 8, 23 Weierstrass - Casorati (thộorốme de), 145 Weiertrass (critốre de), 142, 150, 15 pour les produits infinis, 267 Zộros, des fonctions trigonomộtriques, 45 des polynụmes 5, 20 nombre de, 19 ordre des, 67 simples, 67 Zờta (fonction zờta de Riemann), 273, 274, 288 prolongement analytique de la fonction, 273 [...]... dans la figure 1.4,sont considộrộs comme ộtant ộgaux On ộcrit alors OP = AB = x + iy Y A P b ,Y) 2 O Fig 1-4 6 Variables complexes L'addition des nombres complexes correspond alors la construction du parallộlogramme pour la somme de vecteurs [voir figure 1.51 Ainsi pour additionner les nombres complexes z, e t z,, nous complộtons le parallộlogramme OABC dont les cụtộs OA et OC correspondent z, et z,... imaginaires 3x + On pose x , = x , iyli z2 = a2 S iy2 D'oự o ự nous avons utilisộ le fait que le conjuguộ d'un produit d e deux nombres complexes est ộgal au produit des conjuguộs de chacun des facteurs (voir problốme 55) 10 Variables complexes REPRESENTATION GRAPHIQUE DES NOMBRES COMPLEXES VECTEURS 5 Effectuer les opộrations indiquộes, la fois analytiquement et graphiquement (a) (3 4 4 (5 r 2i), ( b ) (6... Chapitre 1/ Les nombres complexes 7 COORDONNEES COMPLEXES CONJUGUEES Un point du plan complexe peut ờtre repộrộ par ses coordonnộes rectangulaires (x, y) ou polaires ( r , O) On peut opộrer de beaucoup d'autres maniốres L'une d'entre elles utilise le fait que x = 1(z 2 + F),y = 2-1i (z - z ) oự z = x + iy Les coordonnộes ( z , y ) qui dộterminent un point sont appelộes coordonnộes complexes conjuguộes,... + y 2 / 1 6 = 1 (voir problốme 74) FONDEMENTS AXIOhlATIQUES DE LA THEORIE DES NOMBRES COMPLEXES 14 En utilisant la dộfinition d'un nombre complexe comme un couple ordonnộ de nombres rộels et la dộfinition de la page 3, montrer que ( a , b) = a ( 1 ,O) 4- b ( 0 , 1 ) avec ( 0 , l ) ( 0 ,1) = (- 1,O) 14 Variables complexes A partir de la dộfimition de la somme et du produit de la page 2 nous avons (a,... (10117) (f) 21 i ( g ) -1512 + 5i ( h ) -1112 - (2312)i ộvaluer chacune des expressions suivantes : 9+ (1 En prenant les complexes conjuguộs des deux membres de (1) o n obtient La multiplication de ( 1 ) par (2) l'aide de ( 1 - e2kri/rn)(l- e-2kniIm) = 2 + (i) 2 +i ( j ) -3 - 2i 26 Variables complexes 55 Montrer que le rộsultat ( b ) ( z ? ~ =) ~ ~ 2 ~ 2Gộnộraliser ~ ( a ) ( z i ? ) = 2,&, 57 Trouver des... vecteur OP dont l'origine est l'origine de z l et dont z2 z3 z4 = 2 - 2 i l'extrộmitộ est l'extrộmitộ de z 4 , i.e OP = z l (-3 1 5 i ) - + + + Fig 1-9 Fig 1-10 Chapitre 1/ Les nombres complexes 6 Si zl et z2 sont deux nombres complexes donnộs (vecteurs) tels que dans la figure 1-11,construire graphiquement 11 Y 5 (b) + z 2 + 3 z 1 ( a ) 3Z1 - 2 2 2 , (a) Dans la figure 1-12 ci-dessous, O A = 321 est u... Graphiquement Le rộsultat est la consộquence de la propriộtộ gộomộtrique qui ộtablit que dans u n plan la ligne droite rộalise le trajet le plus court entre deux points O et P (voir fig 1-15) 12 Variables complexes ( c ) Analytiquement A l'aide de ( a ) , i z l l = lzl - z 2 + z21 5 l z l - z 2 / + 1 ~ ~ D'oự 1 lzl Un rộsultat ộquivalent obtenu en remplaỗant z2 par - z2 est l z l + z21 2 - Z21 2 1~~1-1221... nombres complexes associộs aux points A ( x , , y , ) et B ( x 2, y, ) (a) Quel est le nombre complexe associộ au vecteur A B ? ( b ) Trouver la distance sộparant les points A et B ( a ) D'aprốs la figure 1-16, OA + A B = OB soit A B = O B - O A = 22 - 21 = ( x , iy,) - (x,i iy,) = ( ~ -2 21) + i ( y 2 - yl) + Fig 1-16 ( b ) La distance sộparant A et B est donnộe par 9 On considốre les nombres complexes. .. ensemble est appelộ l'ensemble vide et est notộ @.Si deux ensembles S, et S, n'ont aucun point en commun (dans ce cas on les appelle disjoints) nous noterons cette propriộtộ en ộcrivant S, n S , = @ 8 Variables complexes Tout ensemble obtenu en choisissant quelques points de S ou tous les points de S, est appelộ un sous-ensemble de S Si nous excluons le cas oự tous les points de S sont choisis, l'ensemble... , nous voyons que ( a , b ) = a + bi + 15 + + Si z1 = ( a l , bl ), z2 = ( a 2 , b2 ) et z 3 = ( a 3 , b 3 ) dộmontrer la distributivitộ z 1 ( 2 , + 2,) = FORME POLAIRE DES NOMBRES COMPLEXES 16 Mettre chacun des nombres complexes suivants sous forme polaire (a) 2 +'2 J3i Module ou valeur absolue, r = / 2 +2 6 i / = = 4 Amplitude ou argument, 0 = Arc sin 2 4314 = Arc sin d3/2 = 60 = n / 3 (radians) ... ( 5- i ) } { ( 2- i ) ( - + 22))(5 4i) (h) (2 - i){ (-3 (i) - + + = ( - i) {-1 5 12i T loi - Bi2} = ( 2-4 - 22i) = -1 4 44i = (-6 4i - 3i - i ) ( 5- i ) = (-4 i ) ( 5- ; ) = -2 0 16i + + + + i - 22i2... i ) = -1 + i + Si + 2i){( 7- 5i) + (-3 + d i ) ) = (-1 C 2i)(7 tl i ) ] = (-1 2i2 = -2 9i - 5i) - (-1 - 2i) (-3 4i) = {-7 5i 14i - 10i2) ( - 4i - 6i i ) = ( 19i) S (-5 - l o i ) = -2 9i - - + +... l = - , z2 = - i et z = 21 Alors d'aprốs la figure 1-1 9, + + AC 23-z, = - 2 - ( - = 1A4, B C = z3 - z2 2i - ( - + i ) = - 21 A B = nz - zl = -3 + 4i - ( - i ) = -4 '- j A D = i A B = A (-4 -CL)