bài giảng lý thuyết automat

Tạp chí Tin học Điều khiển học, T.26, S.4 (2010), 301 - 311 MỞ RỘNG MÃ VÀ THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ LUÂN PHIÊN VÀ MÃ CỦA CÁC TỪ ĐỊNH BIÊN HỒ NGỌC VINH1 , PHAN TRUNG HUY2 , ĐỖ LONG VÂN3 Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh Khoa Toán - Tin ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà nội Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Abstract In this paper, we consider properties of +-unambiguous products, alternative codes and languages of bounded words ( -languages) A new type of codes ( -codes or codes of bounded words) is defined and an algorithm to determine whether a -recognizable language is a -code is established This provides a new algorithm to verify for alternative codes whose complexity is smaller than the complexity of the previous one A relationship between codes, alternative codes and -codes is considered This shows that -codes is an extension of traditional codes and alternative codes Tóm tắt Bài báo xem xét số tính chất +-tích không nhập nhằng, mã luân phiên ngôn ngữ từ định biên ( -ngôn ngữ) Từ đó, xây dựng hệ mã - mã từ định biên ( -mã) với thuật toán kiểm định -ngôn ngữ đoán nhận có -mã hay không Nhờ thuật toán kiểm định -mã, cho phép nhận thuật toán kiểm định mã luân phiên mới, làm giảm rõ rệt độ phức tạp Ngoài ra, báo đề xuất sơ đồ phân lớp ba lớp mã - mã, mã luân phiên -mã, cho thấy -mã xem mở rộng mã mã luân phiên MỞ ĐẦU Tích không nhập nhằng từ hữu hạn từ vô hạn mang lại nhiều tính chất lý thú nhiều người quan tâm nghiên cứu chúng có quan hệ gần gũi với mã Để làm giàu thêm tính chất lý thuyết mã, gần có nhiều kết nghiên cứu tích không nhập nhằng quan hệ với mã, otomat, đại số Khái niệm tích không nhập nhằng đề xuất M P Sch¨ utzenberger [1] mở rộng J E Pin [2, 3] Trong [4], Pascal Weil đưa vào sử dụng otomat không nhập nhằng, vị nhóm quan hệ không nhập nhằng để làm công cụ thiết lập tích quan hệ X = Y ◦ Z với Y , Z mã hữu hạn quan hệ với lý thuyết đa tạp ngôn ngữ Trong [5], P T Huy Đ L Vân thiết lập kết biểu diễn ω-ngôn ngữ quy từ hữu hạn đoán nhận V-otomat B¨ uchi không nhập nhằng Trong báo này, nhắc lại khái niệm +-tích không nhập nhằng, tích luân phiên, mã luân phiên, mã luân phiên chẵn hai ngôn ngữ X, Y thuộc A∗ đề xuất P T Huy V T Nam [6]; số tính chất +-tích không nhập nhằng, mã luân 302 HỒ NGỌC VINH, PHAN TRUNG HUY, ĐỖ LONG VÂN phiên, mã luân phiên chẵn, đặc trưng cần đủ để cặp (X, Y ) mã luân phiên xem xét H N Vinh, V T Nam P T Huy [7] Từ đó, đưa sơ đồ quan hệ với mã truyền thống (Nhận xét 2.1), cho thấy mã luân phiên mở rộng mã lớp mã luân phiên chẵn Trong phân lớp này, lớp mã lớp nhỏ nhất, lớp mã luân phiên lớp nằm lớp lớn lớp mã luân phiên chẵn Theo [8, 9], dạng ngôn ngữ mới, ngôn ngữ từ định biên ( -ngôn ngữ) giới thiệu từ cho phép thiết lập kết (Định lý 3.1) tương đương tính đoán nhận -ngôn ngữ theo -otomat theo -đồng cấu vị nhóm Một hình thức mã từ định biên ( -mã), thuật toán kiểm định -mã -ngôn ngữ đoán nhận -otomat hữu hạn thiết lập Từ đó, cho phép nhận kết sở báo phân lớp (Định lý 4.1) ba loại mã – mã (truyền thống), mã luân phiên -mã, cho thấy -mã xem mở rộng mã mã luân phiên Cũng báo này, thuật toán kiểm định mã luân phiên thông qua thuật toán kiểm định -mã đề xuất với đánh giá độ phức tạp tính toán (Hệ 4.2) để làm sở so sánh với thuật toán kiểm định mã luân phiên [7] Tiếp cận cho phép giảm rõ rệt độ phức tạp so với thuật toán cũ (dựa vào Định lý 4.3 làm sở toán học thuật toán) Trước hết, ta nhắc lại ký hiệu khái niệm trình bày [10, 11] Cho A bảng chữ hữu hạn Ký hiệu A∗ vị nhóm tự sinh A, với phép toán tích ghép, phần tử đơn vị ε (từ rỗng) A+ = A∗ − {ε} Giả sử u, v ∈ A∗ , ta nói u khúc (khúc đầu, khúc đuôi ) v tồn x, y ∈ A∗ cho v = xuy (tương ứng v = uy, v = xu) Một khúc (khúc đầu, khúc đuôi) thực xy = ε (tương ứng y = ε, x = ε) Số tất xuất chữ từ u độ dài u, ký hiệu |u|, quy ước |ε| = Cho X ⊆ A+ , phân tích từ w ∈ A∗ X dãy {w1 , w2 , , wn }, với n ≥ cho w = w1 w2 wn , wi ∈ X; X gọi mã từ w ∈ A+ có nhiều cách phân tích thành từ X Giả sử X, Y ⊆ A∗ , ta gọi thương trái (thương phải) X với Y ngôn ngữ Y −1 X (tương ứng XY −1 ) xác định Y −1 X = {w ∈ A∗ | yw ∈ X, y ∈ Y } XY −1 = {w ∈ A∗ | wy ∈ X, y ∈ Y } MÃ LUÂN PHIÊN VÀ THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ LUÂN PHIÊN Phần nhắc lại số khái niệm kết theo [6, 7] Cho bảng chữ A X, Y ⊆ A+ Khi đó, tích XY gọi tích không nhập nhằng (hay (X, Y ) tích không nhập nhằng) nếu: x, x ∈ X, y, y ∈ Y : xy = x y ⇒ x = x y = y Lưu ý rằng, mã xem trường hợp đặc biệt tích không nhập nhằng (X mã (X, X) tích không nhập nhằng) Chúng ta mở rộng khái niệm tích không nhập nhằng qua nhiều lần lặp tích, gọi +-tích không nhập nhằng Cho X, Y ⊆ A+ , ta gọi +-tích X, Y tập định nghĩa (XY )+ = (XY ) ∪ (XY )2 ∪ (XY )3 Ta định nghĩa phân tích luân phiên theo cặp (X, Y ) hai tập ngôn ngữ X, Y ⊆ A+ sau: MỞ RỘNG MÃ VÀ THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ LUÂN PHIÊN VÀ MÃ CỦA CÁC TỪ ĐỊNH BIÊN 303 Định nghĩa 2.1 Cho bảng chữ A X, Y ⊆ A+ , w ∈ A+ Khi ta nói rằng: (i) Từ w thừa nhận phân tích luân phiên theo (X, Y ) w = u1 u2 un (n ≥ 2), đó, u1 ∈ X, ui ∈ X ui+1 ∈ Y ui ∈ Y ui+1 ∈ X, với ∀i = 1, , n − (ii) Từ w thừa nhận phân tích luân phiên chẵn theo (X, Y ) w = u1 u2 un (n ≥ 2), đó, u1 ∈ X, un ∈ Y , ui ∈ X ui+1 ∈ Y ui ∈ Y ui+1 ∈ X, với ∀i = 1, , n − n chẵn (iii ) Từ w thừa nhận phân tích luân phiên theo X, Y w thừa nhận phân tích luân phiên theo (X, Y ) (Y, X) Với X, Y ⊆ A+ , ký hiệu SX,Y tập tất từ w ∈ A+ thừa nhận tích luân phiên theo X, Y Khi SX,Y ⊆ (X ∪ Y )+ Ví dụ 2.1 Cho X = {a, ba} Y = {b, aba} Khi đó, từ w = ababaaba có hai phân tích luân phiên theo X, Y sau: f1 : (a).(b).(a).(b).(a).(aba) phân tích luân phiên chẵn theo (X, Y ) f2 : (aba).(ba).(aba) phân tích luân phiên theo (Y, X) Định nghĩa 2.2 Cho X, Y ⊆ A+ Khi đó, +-tích (XY )+ gọi có +-tích không nhập nhằng (hay (X, Y ) +-tích không nhập nhằng) khi: ∀m, n ≥ 2, x1 , x2 , , xn , x1 , x2 , , xm ∈ X, y1 , y2 , , yn , y1 , y2 , , ym ∈ Y , x1 y1 x2 y2 xn yn = x1 y1 x2 y2 xm ym ⇒ m = n, xi = xi , yi = yi , ∀i = 1, , n Nói cách khác, phân tích từ w luân phiên X, Y dạng x1 y1 x2 y2 xn yn có Chú ý rằng, (X, Y ) +-tích không nhập nhằng (X, Y ) tích không nhập nhằng Đặc biệt, trường hợp cặp (X, Y ) +-tích nhập nhằng tồn từ w ∈ A+ cho Overlap hai phân tích từ w khác ε (xem Hình 2.1) Hình 2.1 Các bao trùm hai phân tích từ w Dựa khái niệm +-tích không nhập nhằng khái niệm phân tích luân phiên trên, cho phép ta định nghĩa lớp mã sau: Định nghĩa 2.3 Cho X, Y ⊆ A+ Khi đó: (i) Cặp (X, Y ) gọi mã luân phiên từ w ∈ A+ thừa nhận không tích luân phiên theo X, Y 304 HỒ NGỌC VINH, PHAN TRUNG HUY, ĐỖ LONG VÂN (ii) Cặp (X, Y ) gọi mã luân phiên chẵn từ w ∈ A+ thừa nhận không tích luân phiên chẵn theo (X, Y ) Ví dụ 2.2 Cho X = {a, aa}, Y = {ab, b}, dễ thấy XY = {aab, ab, aaab} mã prefix cặp (X, Y ) không mã luân phiên, với từ w = ababaab ∈ A+ thừa nhận hai phân tích luân phiên khác theo X, Y là: w = (a).(b).(a).(b).(aa).(b) = (ab).(a).(b).(aa).(b) Mối liên hệ +-tích không nhập nhằng, tích luân phiên mã luân phiên thể qua định lý sau: Định lý 2.1 Cho X, Y ⊆ A+ Khi đó: (i) Cặp (X, Y ) mã luân phiên chẵn cặp (X, Y ) +-tích không nhập nhằng (ii) Cặp (X, Y ) +-tích không nhập nhằng Z = XY mã (X, Y ) tích không nhập nhằng (iii ) Nếu cặp (X, Y ) mã luân phiên cặp (X, Y ) +-tích không nhập nhằng, ngược lại không Nhận xét 2.1 Từ Định nghĩa 2.3 Định lý 2.1, dễ thấy rằng: Mã X trường hợp đặc biệt mã luân phiên (X, Y ), với Y = X mã luân phiên trường hợp đặc biệt mã luân phiên chẵn Nhưng ngược lại không (xem Hình 2.2) Mã M ã luân phiên M ã luân phiên chẵn Hình 2.2 Quan hệ lớp mã Bài toán nghiên cứu lớp mã toán kiểm tra tính chất mã ngôn ngữ (chính quy) cho trước Kết sau thể đặc trưng tổ hợp mã luân phiên, đặc trưng cần đủ cặp (X, Y ) cho trước có mã luân phiên hay không Từ cho phép thiết lập thuật toán kiểm định mã luân phiên X, Y ngôn ngữ quy Định lý 2.2 Cho X, Y ⊆ A+ Khi đó, (X, Y ) mã luân phiên bốn điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (i) XY mã X −1 X ∩ Y Y −1 − {ε} = ∅; (ii) Y −1 (XY )+ ∩ (XY )+ = ∅; (iii) (XY )+ X −1 ∩ (XY )+ = ∅; (iv) (XY )+ ∩ (Y X)+ = ∅ -NGÔN NGỮ ĐOÁN NHẬN ĐƯỢC Phần nhắc lại số khái niệm liên quan đến từ định biên -ngôn ngữ [8] số kết sở [9] Cho A bảng chữ hữu hạn B = {0, 1} tập biên Ta xây dựng tập gồm phần mở rộng từ A∗ xác định bởi: MỞ RỘNG MÃ VÀ THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ LUÂN PHIÊN VÀ MÃ CỦA CÁC TỪ ĐỊNH BIÊN A 305 = {(i, a, j) | a ∈ A a = ε, i, j ∈ B} A∗ = {(i, w, j) | w ∈ A∗ , i, j ∈ B} ∪ {θ, e} A∗ = {(0, w, 1) | w ∈ A∗ } ∪ {θ, e}; A∗ = {(1, w, 0) | w ∈ A∗ } ∪ {θ, e} A∗ = {(0, w, 0) | w ∈ A∗ } ∪ {θ, e}; A∗ = {(1, w, 1) | w ∈ A∗ } ∪ {θ, e} Mỗi (i, w, j), w ∈ A∗ gọi -từ (từ định biên với biên i, j), mở rộng từ w Trong e, θ ∈ / A∗ hai phần tử đóng vai trò phần tử zero phần tử đơn vị tập -từ A∗ ta trang bị phép toán (gọi tích biên) A∗ sau: với ∀x1 = (i1 , w1 , j1 ), x2 = (i2 , w2 , j2 ) ∈ A∗ ,   (i1 , w1 w2 , j2 ) j1 = i2 x1 x2 =  θ j1 = i2 ∀x ∈ A∗ , x.θ = θ.x = θ, x.e = e.x = x Dễ thấy A∗ lập thành vị nhóm với phép toán tích biên, có phần tử zero θ đơn vị e Ta gọi A∗ -vị nhóm (kết hợp với bảng chữ A) Ta quy ước rằng, ký hiệu , , , , toán tử mở rộng A∗ thành A∗ , A∗ , A∗ , A∗ , A∗ tương ứng Tiếp theo, ta định nghĩa tập: ε = {(i, ε, j) | i, j ∈ B}; A∗ \ε = A∗ − ε A+ = A∗ − {e}; A+\ε = A+ − ε A+ = A∗ − {e}; A+\ε = A+ − ε A+ = A∗ − {e}; A+\ε = A+ − ε A+ = A∗ − {e}; A+\ε = A+ − ε A+ = A∗ − {e}; A+\ε = A+ − ε Một tập L ⊆ A∗ gọi ngôn ngữ mở rộng ( -ngôn ngữ ) A Với x = (i, w, j) ∈ A∗ , không sợ hiểu nhầm ta sử dụng ký hiệu |x| độ dài -từ x, theo nghĩa |x| = x ∈ ε |x| = |w| khác, |θ| = +∞, |e| = Giả sử X, Y ⊆ A∗ , ta gọi thương trái (thương phải) X với Y Y −1 X (tương ứng XY −1 ) A∗ xác định bởi: Y −1 X = {x ∈ A∗ | ∃y ∈ Y : y.x ∈ X} XY −1 = {x ∈ A∗ | ∃y ∈ Y : x.y ∈ X} Ta định nghĩa phép chiếu P roj : A∗ → A∗ ∪ {0}, ∈ / A∗ , hàm xác định : P roj(e) = ε, P roj(θ) = P roj(i, w, j) = w Cho X ⊆ A∗ x ∈ A∗ Ta nói x thừa nhận phân tích (với tích biên) X x biểu diễn dạng x = x1 x2 xn , với n ≥ 1, ∀xi ∈ X, ∀i = 1, , n 306 HỒ NGỌC VINH, PHAN TRUNG HUY, ĐỖ LONG VÂN Ví dụ 3.1 Cho X = {(1, a, 0), (0, ab, 1), (1, ba, 0)} Khi x = (1, baabaabba, 0) thừa nhận phân tích X là: (1, baabaabba, 0) = (1, ba, 0).(0, ab, 1).(1, a, 0).(0, ab, 1).(1, ba, 0) Định nghĩa 3.1 Cho M vị nhóm có chứa phần tử đơn vị phần tử zero ϕ : A∗ → M ánh xạ Khi đó, ϕ gọi -đồng cấu vị nhóm thỏa mãn điều kiện sau: (1) ∀x, y ∈ A∗ , x.y = θ ϕ(x.y) = ϕ(x).ϕ(y) (2) ϕ(e) = (3) ϕ(θ) = Định nghĩa 3.2 Cho L ⊆ A∗ vị nhóm M Ta nói vị nhóm M thỏa L tồn -đồng cấu vị nhóm ϕ : A∗ → M cho L = ϕ−1 (N ), với N ⊆ M Nếu L = ϕ−1 (N ) ta nói L thỏa ϕ Các kết sau hiển nhiên, kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa Tính chất 3.1 Cho N1 , N2 ⊆ M , ϕ−1 (N1 ∩ N2 ) = ϕ−1 (N1 ) ∩ ϕ−1 (N2 ) ϕ−1 (N1 ∪ N2 ) = ϕ−1 (N1 ) ∪ ϕ−1 (N2 ) ϕ−1 (N1 \N2 ) = ϕ−1 (N1 )\ ϕ−1 (N2 ) Hơn nữa, ϕ toàn ánh ta có ϕ−1 (N1−1 N2 ) = ϕ−1 (N1 )−1 ϕ−1 (N2 ) ϕ−1 (N1 N2−1 ) = ϕ−1 (N1 )ϕ−1 (N2 )−1 Với -ngôn ngữ L ⊆ A∗ , áp dụng cách thức tương tự S Eilenberg [11] ta xây dựng vị nhóm M thỏa L A∗ Ký hiệu R(A, M ) tập tất -ngôn ngữ A∗ thỏa M Theo [9], R(A, M ) đóng với phép toán Boole Hơn nữa, ϕ toàn cấu R(A, M ) đóng với phép lấy thương trái thương phải Kết hợp với otomat đa định hữu hạn A = (A, Q, δ, q0 , T ), [8] định nghĩa hình thức đặc biệt otomat (gọi -otomat) A = (A , Q , δ , I , T ) đoán nhận tập -từ A∗ Từ cho phép định nghĩa -đoán nhận thiết lập kết sở dựa -otomat, -đoán nhận tập từ định biên sau: Một dãy x1 , , xn , xi ∈ A đoán nhận -otomat A tồn trạng thái q ∈ T , cho q ∈ δ (δ (δ (q0 , x1 ), ), xn ) trường hợp này, -từ x = x1 xn đoán nhận -otomat A Ký hiệu L(A ) tập tất -từ đoán nhận -otomat A , ta có L(A ) = { x ∈ A∗ | ∃q0 ∈ I cho δ (q0 , x) ∩ T = ∅} Định nghĩa 3.3 Một -ngôn ngữ L ⊆ A∗ gọi -đoán nhận ( -ngôn ngữ đoán nhận được) L = L(A ), với A -otomat 307 MỞ RỘNG MÃ VÀ THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ LUÂN PHIÊN VÀ MÃ CỦA CÁC TỪ ĐỊNH BIÊN Mối quan hệ không tầm thường tính đoán nhận A∗ A∗ cho mệnh đề sau: Mệnh đề 3.1 Cho L ⊆ A∗ Nếu L đoán nhận P roj −1 (L) -đoán nhận Tồn L ⊆ A∗ không -đoán nhận P roj(L) đoán nhận Từ định nghĩa mệnh đề trên, ta có kết sau: Định lý 3.1 Cho L ⊆ A∗ Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) L đoán nhận -otomat đa định hữu hạn (ii) L đoán nhận -otomat đơn định hữu hạn (iii) L thỏa vị nhóm hữu hạn MÃ VỚI TỪ ĐỊNH BIÊN VÀ THUẬT TOÁN Trong phần này, ta nhắc lại khái niệm mã với từ định biên (hay gọi -mã ) A∗ số kết trình bày [9] Từ đó, thiết lập số đặc trưng cho -mã, mã mã luân phiên (Định lý 4.1) đề xuất thuật toán kiểm định mã luận phiên theo tiếp cận thông qua thuật toán kiểm định -mã với việc phân tích đánh giá độ phức tạp thuật toán Định nghĩa 4.1 Cho X ⊆ A+ Khi đó, Xđược gọi x thừa nhận nhiều phân tích X -mã với x = θ thuộc A+ , Ví dụ 4.1 Cho X = {(0, a, 1), (0, b, 1), (1, c, 0), (1, d, 0)} Khi đó, X -mã Ví dụ 4.2 Cho X = {(0, a, 1), (1, b, 0), (0, ab, 0), (0, ba, 1)}, ta dễ dàng nhận thấy X không -mã, -từ x = (0, ababab, 0) có hai phân tích X: f1 : (0, ab, 0).(0, ab, 0).(0, ab, 0) ; f2 : (0, a, 1).(1, b, 0).(0, ab, 0).(0, a, 1).(1, b, 0) Nhận xét 4.1 Các ví dụ sau cho ta thấy rằng, có X -mã P roj(X) không mã ngược lại, có X không -mã P roj(X) mã Ví dụ 4.3 Cho X = {(0, a, 1), (0, b, 1), (1, aa, 1)} không mã -mã, P roj(X) = {a, b, aa} Ví dụ 4.4 Cho bảng chữ A = {a, b} X = {(i, a, j) | a ∈ A, i, j ∈ B} không P roj(X) = {a, b} mã Định lý sau biểu diễn mối quan hệ phân lớp mã, mã luân phiên với -mã, mã luân phiên xem hình thức mở rộng mã -mã, -mã, cho thấy Định lý 4.1 Cho C ⊆ A+ Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) C mã (ii) Cặp (C, C) mã luân phiên (iii) (C ∪ C ) -mã, với C = {(0, w, 1) | w ∈ C}, C = {(1, w, 0) | w ∈ C} 308 HỒ NGỌC VINH, PHAN TRUNG HUY, ĐỖ LONG VÂN Chứng minh (i) ⇒ (ii) Ta chứng minh C mã cặp (C, C) mã luân phiên Từ giả thiết C mã suy ra: Nếu từ w ∈ A+ thừa nhận phân tích luân phiên w1 w2 w2k phân tích phân tích luân phiên theo (C, C) Vì vậy, cặp (C, C) mã luân phiên (ii) ⇒ (iii) Đặt Z = (C ∪ C ), ta chứng minh cặp (C, C) mã luân phiên Z Phản chứng, giả sử ngược lại Z không A+ có hai phân tích khác Z -mã Khi đó, tồn -mã -từ x = θ, x thuộc x = z1 z2 zn = z1 z2 zm , với z1 = z1 , m, n ≥ 1, zi , zj ∈ Z Trường hợp z1 ∈ C , z2 ∈ C , z1 ∈ C , z2k−1 ∈ C z2k ∈ C , với ∀k ≥ 1, z2l−1 ∈ C z2l ∈ C , với l ≥ Do vậy, ta có x1 y2 xn−1 yn = P roj(z1 z2 zn ) = P roj(z1 z2 zm ) = x1 y2 xm−1 ym Dễ thấy (C, C) không mã luân phiên, mâu thuẫn Chứng minh tương tự cho trường hợp z1 ∈ C Do đó, Z = (C ∪ C ) -mã (iii) ⇒ (i) Đặt Z = (C ∪ C ), ta chứng minh rằng, Z -mã C mã Phản chứng, giả sử ngược lại Z -mã C không mã Khi đó, tồn từ w ∈ A+ có hai phân tích khác C : w = w1 w2 wn = w1 w2 wm (w1 = w1 ) Từ biểu thức trên, suy ra: w = w1 w2 wn w1 w2 wn = w1 w2 wm w1 w2 wm Bởi 2n, 2m số chữ hai vế chẵn w có hai phân tích khác C, hai phân tích tương đương với hai phân tích luân phiên -từ Z : (0, w1 , 1).(1, w2 , 0) (1, wn , 0) = (0, w1 , 1).(1, w2 , 0) (1, wm , 0) Nghĩa là, tồn mã -từ có hai phân tích khác Z, mâu thuẫn Do đó, C Trong trường hợp Z = X ∪ Y -mã, với X ⊆ A+\ε Y ⊆ A+\ε ta gọi Z mã luân phiên A∗ Từ Định lý 4.1, ta nhân thấy, Z -mã P roj(Z ∩ A∗ ), P roj(Z ∩ A∗ ) mã cặp (P roj(Z ∩ A∗ ), P roj(Z ∩ A∗ )) mã luân phiên Tương tự phương pháp Sardinas-Patterson (xem [10]), ta thiết lập thủ tục sau để kiểm định -ngôn ngữ cho trước có -mã hay không Thủ tục kiểm định -mã Input: Cho X ⊆ A+ Output: Kết luận X -mã không Bước_1 U1 = (X −1 )X − e − {(i, ε, i) | i ∈ B} , n = Bước_2 (Loop) Un = (Un−1 )−1 X ∪ (X −1 )Un−1 Bước_3 If e ∈ Un Then goto Bước_5 MỞ RỘNG MÃ VÀ THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ LUÂN PHIÊN VÀ MÃ CỦA CÁC TỪ ĐỊNH BIÊN 309 If Un = ∅ or Uk = Un = ∅ (for any k = 1, , n−1) Then goto Bước_4 Else n = n + 1, Loop Bước_4 Thông báo "X -mã" Kết thúc Bước_5 Thông báo "X không -mã" Kết thúc Tính đắn thủ tục dựa Bổ đề Định lý sau [9]: Bổ đề 4.1 Cho X ⊆ A+ Un xác định Với ∀n ≥ 1, k = 1, , n, e ∈ Un tồn -từ z ∈ Uk d, l ≥ cho z.x1 x2 xd = x1 x2 xl , k = n − d − l, xi , xj ∈ X Định lý 4.2 Cho X ⊆ A+ Un xác định Khi đó, X với n ≥ 1, e ∈ / Un Với X -ngôn ngữ, trường hợp X -mã -đoán nhận ta có kết sau: Hệ 4.1 Cho X ⊆ A+ -đoán nhận Các bước kiểm tra X có -mã hay không thủ tục luôn dừng sau số hữu hạn bước lặp Tồn thuật toán định X có -mã hay không Từ Mệnh đề 3.1, Định lý 4.1 Hệ 4.1, ta nhận kết sau: Hệ 4.2 Cho X, Y ⊆ A+ đoán nhận Tồn thuật toán để định cặp (X, Y ) mã luân phiên hay độ phức tạp thời gian cỡ O(2|M | ), với M vị nhóm hữu hạn thỏa đồng thời X Y Chứng minh Giả sử Z = (X ∪ Y ) -đoán nhận được, ta xây dựng -otomat đoán nhận tất tập Z, {e} {(i, ε, i) | i ∈ B} Dựa vào Định lý 3.1, ta xây dựng -toàn cấu ϕ : A∗ → M , M hữu hạn, cho ϕ thỏa Z, {e}, {(i, ε, i) | i ∈ B} Sử dụng Tính chất 3.1: ϕ−1 bảo toàn với phép toán Boole, phép lấy thương trái, thương phải tập M Ta kết luận tất tập Un≥1 định nghĩa thỏa ϕ Vì M hữu hạn, nên thủ tục dừng sau không 2|M | bước lặp Vì vậy, độ phức tạp thời gian thuật toán kiểm định mã luân phiên trường hợp xấu O(2|M | ) Trước đánh giá hai thuật toán kiểm định mã luân phiên, ta thiết lập định lý sau: Cho M vị nhóm với đơn vị 1M Đặt M = {(i, m, j) | m ∈ M, i, j ∈ B} ∪ {0, 1}, với , ∈ / M đóng vai trò zero M , đóng vai trò đơn vị M M = {(0, m, 1) | m ∈ M } ; M = {(1, m, 0) | m ∈ M } ; M = {(0, m, 0) | m ∈ M } ; M = {(1, m, 1) | m ∈ M } Định lý 4.3 Cho X ⊆ A∗ đồng cấu vị nhóm α : A∗ → M thỏa X Xét nhóm α : A∗ → M cho (1) ∀x, y ∈ A∗ , x.y = θ α (x.y) = α (x).α (y) (2) α (θ) = -đồng cấu vị 310 HỒ NGỌC VINH, PHAN TRUNG HUY, ĐỖ LONG VÂN (3) α (e) = (4) α (i, ε, j) = (i, 1M , j) Khi đó, α thỏa đồng thời A∗ , A∗ , A∗ , A∗ , A∗ , X , X Chứng minh Theo giả thiết α : đó, ta có A∗ → M thỏa X, nghĩa X = ,X ,X ,X α−1 (N ), với N ⊆ M Khi α−1 (M ) = A∗ ; α−1 (M ) = A∗ ; α−1 (M ) = A∗ ; α−1 (M ) = A∗ ; α−1 (M ) = A∗ Đặt X = {(i, w, j) ∈ A∗ | w ∈ X, i, j ∈ B} X = X ε ∈ / X; X = X ∪ {e} ε ∈ X Khi tồn N ⊆ M cho X = α−1 (N ) Do X = X ∩ A∗ = α−1 (N ) ∩ α−1 (M ); X = X ∩ A∗ = α−1 (N ) ∩ α−1 (M ); X = X ∩ A∗ = α−1 (N ) ∩ α−1 (M ); X = X ∩ A∗ = α−1 (N ) ∩ α−1 (M ) Từ đó, suy A∗ , A∗ , A∗ , A∗ , A∗ , X , X , X , X , X thỏa α * Độ phức tạp thuật toán kiểm định mã luân phiên qua tiếp cận Cho X, Y ngôn ngữ quy thỏa đồng cấu vị nhóm α : A∗ → M β : A∗ → N tương ứng Khi đó, bước (B1 - Kiểm tra Z = XY mã) thuật toán (|M |+|N|) ) kiểm định mã luân phiên [7] có độ phức tạp cỡ O(22 Mặt khác, xuất phát từ tiếp cận thông qua thuật toán kiểm định -mã Định lý 4.3, suy α : A∗ → M thỏa X β : A∗ → N thỏa Y , với |M | = 4|M | + 2, |N | = 4|N | + Do đó, ta xây dựng -toàn cấu ϕ = α ◦ β thỏa (X ∪ Y ) ϕ : A∗ → M × N Khi đó, thuật toán kiểm định (X, Y ) mã luân phiên (tương ứng với thuật toán kiểm định Z = X ∪ Y -mã) có độ phức tạp trường hợp tồi (theo Hệ 4.2) cỡ O(2|M ×N | ) = O(2(4|M |+2).(4|N |+2) ) Vì vậy, thực Với |M |, |N | đủ lớn, dễ thấy 2(4|M |+2).(4|N |+2) < 22 bước (B1 ) thuật toán kiểm định mã luân phiên [7], có độ phức tạp cỡ (|M |+|N|) ) Trong đó, tiếp cận thông qua thuật toán kiểm định -mã, thuật O(22 toán kiểm định mã luân phiên có độ phức tạp giảm xuống cỡ O(2(4|M |+2).(4|N |+2) ), với M , N vị nhóm hữu hạn thỏa X, Y tương ứng Điều cho thấy phần khả nghiên cứu -ngôn ngữ -mã (|M |+|N|) KẾT LUẬN Bài báo đưa hệ mã - mã từ định biên thiết lập thuật toán kiểm định mã từ định biên -ngôn ngữ đoán nhận Thông qua thuật toán này, cho phép xây dựng thuật toán để kiểm định mã luân phiên [7], làm giảm rõ rệt độ phức tạp Một sơ đồ quan hệ phân lớp ba loại mã - mã, mã luân phiên -mã đề xuất, cho thấy -mã mở rộng mã mã luân phiên Nghiên cứu tính quy, độ trễ giải mã, làm đầy mã -ngôn ngữ hướng lý thú, nghiên cứu công trình MỞ RỘNG MÃ VÀ THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ LUÂN PHIÊN VÀ MÃ CỦA CÁC TỪ ĐỊNH BIÊN 311 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M P Sch¨ utzenberger, On a question concerning certain free submonoids, Journal of Combinatorial Theory (4) (1966) 437–442 [2] Jean-Eric Pin, “Variété des Languages Infinis et variete de semigroupes”, These Docteur d’Etat (1982) [3] Jean-Eric Pin, Pascal Weil, Polynomial closure and unambiguous products Theory of Computing Systems 30 (1977) 383–422 [4] Pascal Weil, Groups, Codes and unambiguous automata Theoretical aspects of computer science, 2nd ann Symp., Saarbrcken/Ger 1985, Lect Notes Comput Sci Vol 182 (1985) 351-362 [5] Phan Trung Huy, Do Long Van, On Non-Ambiguous B¨ uchi V-automata Proceedings of the Third Asian Mathematical Conference, Philippines, Oct., 23-27, 2000 (World Scientific 2002) [6] Phan Trung Huy, Vũ Thành Nam, Mã luân phiên mã tiền ngữ cảnh, Kỷ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ VII, Một số vấn đề chọn lọc công nghệ thông tin, Đà Nẵng, 8/2004 (188–197) [7] Ho Ngoc Vinh, Vu Thanh Nam, Phan Trung Huy, Codes base on unambiguous products, Proceedings of the 2nd International Conference on Computational Collective Intelligence - Technologies and Applications (ICCCI 2010), Lectures Notes on Artificial Intelligence Vol 6423 (2010), 252-262 Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 [8] Hồ Ngọc Vinh, Vũ Thành Nam, Phan Trung Huy, Mã với hình thức tích mới, Kỷ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ XII, Một số vấn đề chọn lọc công nghệ thông tin truyền thông, Biên Hòa, 5-6/8, 2009 (186–197) [9] Ho Ngoc Vinh, Phan Trung Huy, Codes of bounded words, Proceedings of the 3rd International Conference on Computer and Electrical Engineering (ICCEE 2010) Vol (2010) 89–95 IEEE 2010 [10] Jean Berstel, Dominique Perrin, Theory of Codes, Academic Press Inc., NewYork, 1985 [11] Samuel Eilenberg, Automata, languages and machines, Vol B, Academic Press, New York , 1976 Nhận ngày 16 - - 2010 Nhận lại sau sửa ngày 15 - 11 - 2010 [...]... unambiguous products Theory of Computing Systems 30 (1977) 383–422 [4] Pascal Weil, Groups, Codes and unambiguous automata Theoretical aspects of computer science, 2nd ann Symp., Saarbrcken/Ger 1985, Lect Notes Comput Sci Vol 182 (1985) 351-362 [5] Phan Trung Huy, Do Long Van, On Non-Ambiguous B¨ uchi V-automata Proceedings of the Third Asian Mathematical Conference, Philippines, Oct., 23-27, 2000 (World Scientific... Engineering (ICCEE 2010) Vol 2 (2010) 89–95 IEEE 2010 [10] Jean Berstel, Dominique Perrin, Theory of Codes, Academic Press Inc., NewYork, 1985 [11] Samuel Eilenberg, Automata, languages and machines, Vol B, Academic Press, New York , 1976 Nhận bài ngày 16 - 9 - 2010 Nhận lại sau sửa ngày 15 - 11 - 2010 ... (ab).(a).(b).(aa).(b) Mối liên hệ +-tích không nhập nhằng, tích luân phiên mã luân phiên thể qua định lý sau: Định lý 2.1 Cho X, Y ⊆ A+ Khi đó: (i) Cặp (X, Y ) mã luân phiên chẵn cặp (X, Y ) +-tích không... không P roj(X) = {a, b} mã Định lý sau biểu diễn mối quan hệ phân lớp mã, mã luân phiên với -mã, mã luân phiên xem hình thức mở rộng mã -mã, -mã, cho thấy Định lý 4.1 Cho C ⊆ A+ Khi đó, điều... dựa Bổ đề Định lý sau [9]: Bổ đề 4.1 Cho X ⊆ A+ Un xác định Với ∀n ≥ 1, k = 1, , n, e ∈ Un tồn -từ z ∈ Uk d, l ≥ cho z.x1 x2 xd = x1 x2 xl , k = n − d − l, xi , xj ∈ X Định lý 4.2 Cho X ⊆