Chinh phục điểm 8 9 10 Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán

Hướng dẫn giải Định hướng: Ý tưởng về những bài tìm m để phương trình có nghiệm là không xa lạ gì nữa  Ý tưởng của chúng ta là cô lập m để thu được dạng m = fx, sau đó khảo sát fx để k

Trang 1

CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 Kỳ thi THPT Quốc Gia môn Toán LOVEBOOK.VN

CHINH PHỤC ĐIỂM 8; 9; 10

Bài 1: (Trích trang 15 cuốn sách ‘’Chinh phục đề thi THPTQG môn Toán ‘’ tập 1

Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt:

3 x 1    1 x  3 x  1 x  3 m  3 x 1  

Hướng dẫn giải

Định hướng: Ý tưởng về những bài tìm m để phương trình có nghiệm là không xa lạ gì nữa  Ý tưởng của chúng ta là cô lập m để thu được dạng m = f(x), sau đó khảo sát f(x) để kết luận các giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài

Với bài này, muốn cô lập m một cách nhanh chóng thì ta chia hai vế cho  3 x 1   Thế nhưng trước khi chia thì ta phải xét trường hợp x = 2 (để đảm bảo  3 x 1    0) Khi ta thử x = 2 vào vế trái thì thấy rằng vế trái cũng bằng 0  chắc chắn vế trái có thể phân tích được nhân tử (x – 2)  nhân tử (x – 2) có thể chia được cho  3 x 1   (vì cả hai đều có nghiệm bằng x = 2) Thật vậy:

Như vậy chuyển vế ta sẽ thu được hai nhân tử là  3 x 1   và:  3 x  1 x  1 x 3 x    m 3

Cái khó còn lại là đi xử lí nhân tử thứ hai:

Trang 2

Giải bất phương trình:  

2

2 3

x 4x 9x 6

12

Không khó để tìm được điều kiện xác định của phương trình là x  0

Bước tiếp theo là bước biến đổi phương trình Một điều phải thừa nhận là bất phương trình này khá hóc, khi mà ngay trong bước quy đồng cũng rắc rối (muốn quy đồng đúng, phải chia hai trường hợp là x > 0 và

x < 0), trong khi đó lại không đánh giá được x nhờ vào bất phương trình đã cho Không sao, “Nắng đã có

mũ, mưa đã có ô, còn giải bất phương trình điều kiện phức tạp đã có phương trình lo”! Thật vậy, ta đi giải phương trình tương ứng với bất phương trình trên, sau đó dùng bảng xét dấu để kết luận nghiệm của bất phương trình

Bất phương trình đã cho tương đương với:

x –1 3

f ’(x) + 0

− f(x)

5

1

Trang 3

2 3

    và lập bảng xét dấu của g(x)

– Nghiệm của mẫu số: đã tìm trong điều kiện xác định

– Nghiệm của tử số là nghiệm của phương trình:

vế bậc 3, một vế chứa căn bậc 3) đã gợi và “ép” ta đi theo phương pháp dùng hàm số này

Ta sẽ nhẩm tính dùng hàm số bậc ba, bằng cách thêm vào hai vế một lượng đúng bằng lập phương của vế phải (*) Điều này cũng không có gì quá gượng ép, bởi khi cộng thêm vào hai vế một lượng là

4x 3  3x 2  2x 1   thì bên vế phải xuất hiện số hạng có lũy thừa cao nhất là 8x3 = (2x)3, là lập phương của một lượng “đẹp”

(*)  8x312x28x 2 4x  33x22x 1 34x33x22x 1

Vậy hàm số ta dùng trong bài toán này đó là f(t) = t3 + t (là hàm đồng biến)

 cần biến đổi vế trái thành dạng (ax + b)3 + (ax + b) Để tìm a, b thì ta dùng phương pháp hệ số bất định:

8x 12x 8x 2 ax b    ax b a x 3a bx  3ab a x b b

3 2 2 3

Ta xét dấu của vế phải bằng cách tìm nghiệm của tử số và mẫu số:

– Nghiệm của mẫu số: x = 0

– Nghiệm của tử số là nghiệm của phương trình:

x 4x 9x 6  x 4x 3x 2  1 1

Trang 4

Lập bảng xét dấu của vế phải (**):

Dựa vào bảng xét dấu, ta kết luận được tập nghiệm của bất phương trình là:

+ –

0

Trang 5

Đầu tiên ta chứng minh:

Trang 6

2x

3 x 1

có bậc tử bé hơn bậc mẫu, nên lim của nó đến vô cùng là bằng 0 Đồng thời khi thử

các giá trị x 32, x = 2, x = 3,… vào thì thấy giá trị phân số giảm (có thể dùng chức năng TABLE của máy tính để việc này nhanh chóng hơn)  nhận thấy giá trị phân số < 1,3 Vậy nếu 2

 (lưu ý có dấu trừ đi trước phân số này), có bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên lim của nó đến

vô cực chính bằng âm vô cực Dùng chức năng TABLE của máy tính, ta nhận xét chung thấy giá trị của phân

số bé hơn –2,3, chính là điều ta mong đợi Vậy cùng đi chứng minh nó vô nghiệm nhé!

Với các nhận xét trên thì bạn hãy thử cách chứng minh f’(x) < 0 nhé!

Trang 7

Từ đó suy ra (*) vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là x = 3

Bài 4: (Trích T59cuốn sách ‘’Chinh phục đề thi THPTQG môn Toán ‘’ tập 1)

x 1  , x 2  cũng không thấy hi vọng gì Vậy nên, để có một cách đánh giá khách qua hơn về bất phương trình, ta gần như phải bình phương hai vế lên (mục đích khử mất căn – trong bài toán này thì nhẩm tính bình phương hai lần để mất căn thì sẽ thu được một bất phương trình bậc 6):

Trang 8

Giải bất phương trình: x 3

x 3 3 x

3 4 xx1

Ta đi tìm nghiệm của tử số bằng cách giải phương trình

x 3 3 x 1 3 4       x 0 trên miền xác định của nó là [–1; 4] Giải phương trình này thì không khó, nhưng nhận thấy vế phải là hàm tăng (khi x tăng thì vế phải tăng)  dễ nhẩm được nghiệm duy nhất x = 0 Vậy tóm lại thì nếu chia hai trường hợp x > 0 và x < 0 thì cũng không khó để lí luận về nghiệm của bất phương trình nữa 

Thực ra việc định hướng trên là cho những bạn nào “thường lao vào bài toán ngay” mà không tìm điều kiện trước Nếu tìm điều kiện trước thì ta phát hiện vấn đề một cách đơn giản:

 → chứng tỏ mẫu số có hai nghiệm là x = 0 và x = 3 → tức là

mẫu số này có thể phân tích thành dạng x(x – 3)  Định hướng rút gọn của bài toán

Trang 9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [–1; 4] \ {0; 3}

Bài 6: (Trích T21cuốn sách ‘’Chinh phục Hệ Phương Trình‘’ )

đã là phương trình bậc hai đối với một ẩn, ta không dại gì cố gắng mò mẫm số hạng để thêm bớt rồi nhóm

ra thành nhân tử, mà ta sẽ tính ∆ Khi ∆ chính phương, có nghĩa là ta sẽ biểu thị được ẩn này qua ẩn kia và ngược lại ∆x và ∆y sẽ cùng chính phương hoặc không cùng chính phương Cụ thể với ví dụ trên, ta làm như sau:

(2) ⇔ y2− (4x + 8)y − 5x2+ 16x + 16 = 0

Δ′y= (2x + 4)2+ (5x2− 16x − 16) = 9x2⇒ [x = (2x + 4) + 3x = 5x + 4x = (2x + 4) − 3x = 4 − xĐương nhiên thì các bước trên chỉ là “nháp”! Khi trình bày, ta sẽ viết luôn về phương trình tích cho nhanh; còn nếu trình bày như trên vào bài làm thì bạn chắc chắn sẽ không được điểm nào! Lý do là vì chưa biết x

âm hay dương mà có thể khai căn của ∆’ thành 3x

tự chọn Vì ta chỉ cần một phương trình đầu tiên là vấn đề của bài toán sẽ được giải quyết nhanh chóng Bài 7: (Trích T24cuốn sách Chinh phục hệ phương trình‘’

Trang 10

Hướng dẫn: Cả hai phương trình trong hệ đều có hình dạng không thiện cảm cho lắm.Tuy nhiên nếu

để ý một chút thì bạn sẽ nhận thấy rằng (x2− x − y) − y2 = (x + y)(x − y − 1) Cái tích này có liên quan ít nhiều đến thành phần (x − y) ở dưới mẫu Nên ta sẽ biến đổi như sau:

(1) ⇔ √x − y3 = y

√x2− x − y⇔ √x − y3 − 1 = y

√x2− x − y− 1 ⇔ x − y − 1

Khi thế vào (2), ta lại được một phương trình cũng hơi cồng kềnh chút:

(2x − 1)2− 3√2x − 1 − 10 = 0 Tuy nhiên, bạn nên coi phương trình này là phương trình bậc bốn đối với ẩn √2x − 1 Kết quả là bạn sẽ giải được phương trình này mà không phải bình phương lên như những phương trình vô tỉ khác

Bài giải chi tiết

- Với x2− x − y > 0; ta có:

(1) ⇔ √x − y3 = y

√x2− x − y⇔ √x − y3 − 1 = y

√x2− x − y− 1 ⇔ x − y − 1

Khi đó:

(2) ⇔ (2x − 1)2− 3√2x − 1 − 10 = 0 ⇔ (√2x − 1 − 2) [√(2x − 1)3+ 3(2x − 1) + 4√2x − 1 + 5] = 0 (vì x ≥12)

⇔ √2x − 1 = 2 ⇔ x =52⇒ y =3

2 (thỏa mãn)

Trang 11

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là:

5232

xy Bài 8: (Trích T28cuốn sách ‘’Chinh phục Hệ Phương Trình‘’ )

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất    x, y  2; 0

Bài 9: (Trích T52cuốn sách ‘’Chinh phục Hệ Phương Trình‘’ )

Trang 12

(x2+ 1

x2) + (y2+ 1

y2) = 49(x +1

x) + (y +

1

y) = 5Đến đây, bạn đã có thể nhìn ra hai ẩn mới xuất hiện trong hệ phương trình Và rất hay là hệ của hai ẩn mới này cũng là hệ đối xứng loại một, do đó cách giải quyết không hề khó khăn khi không dính phải mẫu số như việc để nguyên ban đầu

Bài giải chi tiết Điều kiện: xy ≠ 0

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

(x2+ 1

x2) + (y2+ 1

y2) = 49(x +1

{x =7 ± 3√5

2

y = −1{y =7 ± 3√5

2

x = −1

(thỏa mãn)

Trang 13

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: 7 23 5 7 23 5

Bài giải chi tiết

x2+ 9y2− 6xy − 44x − 48y + 124 = 0 (3)Lấy (2) + 5 (3), ta được:

x2− y2− xy + 9x + 9y + 5(x2+ 9y2− 6xy − 44x − 48y + 124) = 25

⇔ (3x − 4y − 1)(2x − y + 1) = 0 ⇔ [3x − 4y − 1 = 02x − y + 1 = 0 Với 3x − 4y − 1 = 0; kết hợp với (2) ta được:

{x2− y23x − 4y − 1 = 0− xy + 9(x + y) = 25⇔ { y =

3x − 14

−5x2+ 262x − 437 = 0

⇔{

x = 131 ± √14976

5

y =388 ± 3√14976

20Với 2x − y + 1 = 0; kết hợp với (2) ta được:

y =395Nguồn gốc: Thật ra để tạo ra một hệ phương trình như trên cũng không phải khó Bạn có thể nhận thấy rằng phương trình chứa căn thức là phương trình mà ta sẽ phải chọn đầu tiên, vì ta không thể nắn ra được phương trình này Sau đó ta tiếp tục đi từ một phương trình bậc hai tổng quát rồi trừ đi kết quả bình phương của phương trình chứa căn thức Các phương trình hệ quả cuối cùng chỉ toàn phương trình bậc hai,

do đó ta luôn có thể giải được

Cụ thể, ta sẽ thử tạo như sau:

- Chọn phương trình căn thức trước: √x + y − 1 − √x − 2y + 1 = 1

Trang 14

- Bình phương hai lần để tạo thành một phương trình thành phần:

Bài giải chi tiết:

Phương trình ⇔ {4x3+ 12x3xy − 3x + 3y = 92+ 9x = −y3+ 6y + 5Trừ theo vế hai phương trình trong hệ cho nhau, ta được:

3 172

1 172

xy

 Cách 2: Rút – thế:

- Với x = −1 không thỏa mãn hệ phương trình

Trang 15

- Với x ≠ −1, phương trình (1) tương đương với:

(1) ⇔ y(x + 1) = x + 3 ⇔ y =x + 3x + 1Đem thế vào phương trình (2), ta được:

 Cách 3:

{4(x + 1)y(x + 1) = x + 1 + 23− 3(x + 1) = −y3+ 6y + 6Đặt t = x + 1 Khi đó hệ phương trình trở thành:

{4t3− 3t = −yyt = t + 23+ 6y + 6⇔ {4t3+ y3− 3(t + 2) − 6y = 0yt = t + 2

⇔ {4t3+ yyt = t + 23− 3yt − 6y = 0⇔ {4t3+ y3yt = t + 2− 3y(t + 2) = 0

⇔ {4t3+ yyt = t + 23− 3y2t = 0⇔ {(t + y)(2t − y)yt = t + 22 = 0⇔ {

yt = t + 2[t + y = 0y = 2tĐến đây, bạn có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng

 Cách 4:

4(x + 1)3− 3(x + 1) + (y − 1)3+ 3(y − 1)2− 3(y − 1) − 11 = 0Đặt {u = x + 1v = y − 2

Ta có thể giải quyêt bài toán bằng phương pháp Thế

Nhận xét: Tóm lại thì trong bốn cách giải quyết của bài toán đã được nêu ra, ta thấy rằng cách 1 là cách có sẵn, tuy nhiên công đoạn trình bày hơi mất thời gian Cách 2 cũng rất tự nhiên theo quan điểm rút – thế, tuy nhiên sẽ vướng phải phương trình bậc bốn và phương pháp hệ số bất định trong phương trình

Bài 12: (Trích T254cuốn sách ‘’Chinh phục Hình giải tích Oxy)

Phân tích:

Trang 16

Trên cơ sở của bài toán gốc, mình sẽ sử dụng trực tiếp

tính chấtAM BN để giải quanh làmyết bài tập này

Về cơ bản trong bài toán này, mình cần chứng minh được

tính chất hình học của bài toán gốc; khéo léo áp dụng linh hoạt

các điều kiện đề cho và điều kiện tìm được Mình sẽ quan tâm

hơn tới việc lập phương trình đường thẳng chứa A (do giả thiết

cho A thuộc 1 phương trình đường thẳng không có tính chất

đặc biệt với hình Sau đó, mình sử dụng thêm tính chất cơ bản

của hình để giải (trong bài này, mình đã sử dụng tính chất

vuông góc để xử lí nốt bài toán) Vì vậy trước tiên với 2 điểm B

và H mình sẽ lập được phương trình BH và phương trình AM

doAM BN

Khi đã lập xong cạnh AM thì sử dụng thêm giả thiết A

thuộc   :x 2y 4 0   để tìm ra tọa độ điểm A bằng cách giải hệ phương trình tương giao giữa AM và ∆ Tiếp tục tham số hóa tọa độ điểm M trên đường thẳng AM đã lập và sử dụng thêm tính chất vuông góc của

2 cạnh kề hình vuông: AB và BM; mình sẽ tìm được tọa độ điểm M Đoạn BC khi đã biết B và trung điểm M, chúng ta sẽ tìm được tọa độ điểm C Hình vuông ABCD khi đã có tọa độ 3 đỉnh A, B, C thì mình sẽ tìm được nốt điểm D

Bài 13: (Trích T258 cuốn sách ‘’Chinh phục Hình giải tích Oxy)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh B(0; 4) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD Gọi H 4 8

Trang 17

Bài toán này đã tạo cho mình 1 ấn tượng về điểm H  lại 1 lần nữa điểm H xuất hiện Và mình vẫn có quan điểm lập 2 đường quan trọng qua H Nhưng mà không có bất kì điểm nào trên 2 đường quan trọng đó Chẳng nhẽ mình lại phải “bó tay” Hay là không lập phương trình qua H nữa, nhưng cũng chẳng còn gì để lập, để tạo 1 hướng giải mới Nhớ lại chút kiến thức

cơ bản thôi! Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết điểm và pháp tuyến Có điểm rồi, bây giờ tìm pháp tuyến thôi Chưa có gì cả thì đừng nản nhé các bạn, mình cứ gọi pháp tuyến đã rồi tìm cách tính pháp tuyến sau Việc tìm pháp tuyến có lẽ sẽ dựa vào góc giữa 2 đường thẳng thôi, vì ngoài

H ra thì mình chỉ có thêm đường BC để tìm tòi

Bây giờ thì mạnh dạn tính góc trên hình thật đã, rồi mới ghép tọa độ vào  yeah!! Mình tính được

Trang 18

Tọa độ điểm B là nghiệm của

16

B5

Bài 14: (Trích T21cuốn sách ‘’Chinh phục Hình giải tích Oxy)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các

Theo định hướng bài toán trên, mình sẽ nghĩ tới việc

tínhcosMAN, nhưng mà tam giác này không vuông nên

mình sẽ sử dụng định lí cos để tính góc này Cũng từ

cosMAN, mình gọi pháp tuyến đường AN (qua H; nhằm

mục tiêu quan trọng vẫn là lập 2 đường thẳng qua H) Sau

đó mình sẽ vẫn tìm ra 1 điểm là giao của 2 đường vuông

góc vừa lập với đường thẳng đề cho sẵn (đó là AN) đồng

thời mình cũng tìm được tọa độ N bằng cách giải hệ tương

giao giữa AN và BN

Tiếp tục hướng làm bài tập trước nào! Gọi B và M,

mình sẽ suy ra được tọa độ điểm C

Và dùng vecto tiếp nhé: AB 2NC và giải hệ ra tọa độ 2 điểm B và C thôi nào Tìm ra B và C thì việc tìm D khi biết A là cơ bản quá rồi 

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABM, MNC, AND ta được

Trang 19

13nm

n5

Bài 15: (Trích T274 cuốn sách ‘’Chinh phục Hình giải tích Oxy)

Trong không gian tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình phân giác trong góc A và phân giác ngoài tại C lần lượt là y-5 = 0 (d1) và x-y-6 = 0 (d2) Tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC lần lượt là I 5

12( ; ) và J(1;5) Tìm tọa độ A,B,C

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	1,25 MB