ĐỀ THI ĐỊNH KỲ LẦN III NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – Khối A TỔ: TOÁN – TIN Thời gian làm : 180 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 3/3/2016 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − 3x + TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = ln x đoạn 1;e x Câu (1,0 điểm) n n a Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn + 4Cn + 8Cn + + Cn = 59048 b Giải phương trình x −x − 3.2 x −x + = π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân sau I = ∫ ( x −1) cos xdx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1; 2; − 1) , B ( −1;1; ) , C ( 2; − 1; − ) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz cho thể tích khối tứ diện MABC Câu (1,0 điểm) a Giải phương trình cos x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = b Từ tổ gồm 15 em học sinh có em nữ em nam, giáo viên chọn ngẫu nhiên em học sinh tham gia văn nghệ Đoàn trường tổ chức Tính xác suất để em chọn số học sinh nữ nhiều số học sinh nam Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD = AB = BC = 2CD = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AB, SC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC; E F hình chiếu vuông góc D AB AC; I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; đường thẳng EF cắt đường AI BC M N Biết phương trình đường BC x + y + = , A(0;4), M − ; ÷, N (6; − 3) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN 3 tìm tọa độ đỉnh B, C Câu (1,0 điểm) Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: x − 12 x − y + y − 16 = 2 4 x + − x − y − y + m = Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số thỏa mãn: a, b, c ≥1; 32abc −18(a + b + c) = 27 Tìm giá trị lớn biểu thức: bc a −1 + ca b −1 + ab c −1 T= abc - Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỊNH KỲ LẦN III NĂM HỌC 2015 - 2016 (Đáp án – thang điểm gồm 04 trang) Đáp án Câu Điểm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x + • TXĐ: D = ¡ 0,25 • Sự biến thiên *) Giới hạn tiện cận lim y = ±∞ , suy đồ thị hàm số khôngcó tiệm cận x → ±∞ (1,0 điểm) *) Bảng biến thiên y′ = 3x − , y′ = ⇔ x − = ⇔ x = ±1 0,25 Hàm số nghịch biến khoảng ( − 1;1) Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) , ( 1; +∞ ) Hàm số đạt cực đạt cực đại x = −1; ycd = Hàm số đạt cực đạt cực tiểu x = 1; yct = • Đồ thị 0.5 ln x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = đoạn 1;e x (1,0 điểm) ln x − ln x x2 y ′ = ⇔ ln x − ln x = ⇔ x = 1, x = e y (1) = 0, y (e ) = , y (e3 ) = e e • Ta có y′ = 0,25 • 0,25 • Vậy y = 0, max y = 0,25 e2 0,25 a Tìm số nguyên dương n thỏa mãn … n n • Đưa đẳng thức dạng Cn + 2Cn + 4Cn + 8Cn + + Cn = 59049 n Tính VT = • (1,0 điểm) b Giải phương trình x −x − 3.2 x −x • u = 3x −1 du = 3dx ⇒ dv = cos xdx v = sin x Đặt 0,25 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0;1; Tính tích phân … 0,25 + = (1) x = 0, x = 2x −x = ⇔ • (1) ⇔ x − x x = 1± =2 • (1,0 điểm) n n 10 Từ đó, ta có = 59049 ⇔ = ⇔ n =10 (0,5 điểm) ± 0,25 (1,0 điểm) 0, 25 π • Đưa I = ( 3x −1) sin x − • I= π ∫ 0, 25 sin xdx π 3π 3π −1 + 3cos x 02 = + 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm) • Giả sử M ( 0;0; m ) uuu r uuur 0, (0,5 uuuu r Tính AB ( − 2; −1;3) , AC ( 1; − 3; −1) , AM ( −1; − 2; m + 1) (1,0 điểm) • uuu r uuur Tính AB, AC = ( 10;1;7 ) ⇒ VMABC = 7m − 29 m= 7m − =4⇔ • Ta có phương trình m = − 19 29 19 • Từ suy M 0;0; ÷, M 0;0; − ÷ 7 a Giải phương trình (1,0 điểm) • Đưa phương trình ( sin x − cos x ) ( cos x − sin x + 1) = (1,0 điểm) π π sin x − cos x = ⇔ sin x − ÷= ⇔ x = + kπ 4 π x = + k 2π π cos x − sin x +1 = ⇔ cos x + ÷= − ⇔ 4 x = − π + k 2π • b Tính xác suất • Phép thử T: “Chọn ngẫu nhiên em học sinh số tổ đó” • Số cách chọn em số 15 em C15 = 6435 (cách) ⇒ Ω = 6435 • Biến cố A: “ Trong số em chon có số học sinh nữ nhiều học sinh nam” ⇒ Ω A = C95 C63 + C96 C62 + C97 C61 + C98 C60 = 4005 Xác suất biến cố A: P ( A ) = 0,25 (1, điểm) Ω 4005 89 = = ΩA 6435 143 0, 25 • S Tính VS ABC = SA.S ∆ABC Gọi M trung điểm AD Tam giác ABM cạnh a, gọi N trung điểm a a2 S ∆ABC = BN BC = a a3 ⇒ VS ABC = a = 4 AM, BN = (1,0 điểm) H 0,5 E M A D C B • AB / / MC ⇒ AB / / ( SMC ) ⇒ d ( AB; SC ) = d ( AB; ( SMC ) ) = d ( A; ( SMC ) ) Trong mp(ABCD), dựng AE ⊥ MC ( E ∈ MC ) ; mp(SAE), dựng AH ⊥ SE ( H ∈ SE ) Chứng minh AH ⊥ ( SMC ) ⇒ d ( A; ( SMC ) ) = AH • Gọi F trung điểm MC, tam giác BMC cạnh a nên a a ⇒ AE = BF = 2 1 1 a a Vậy d ( AB; SC ) = = 2+ = + = ⇒ AH = 2 AH SA AE 6a 3a 2a 3 BF = (1,0 điểm) 0,25 Tìm tọa độ đỉnh C 0,25 (1, điểm) 0,5 A I M F E N D B Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ( ) 2 2 Giả sử ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = a + b − c > ( *) Do (C) qua điểm A, M, N nên có hệ phương trình C 11 a = 16 − 8b + c = 80 16a 8b − + c = ⇔ b = − thỏa mãn (*) + 3 9 45 − 12a + 6b + c = c = − 20 2 Suy ( C ) : x + y − 11 x + y − 20 = D giao điểm BC với (C) nên tọa độ D nghiệm hệ phương trình x + 3y + 3= 2 11 x + y − x + y − 20 = Giải hệ phương trìn ta hai nghiệm ( − 3;0 ) , ( 6; − 3) Suy D ( − 3;0 ) Đường thẳng ID qua D vuông góc với BC nên có PT: x − y + = AM qua hai điểm A, M nên có PT: x − y + = 3 I = AM ∩ ID ⇒ I − ; ÷ 2 Tính AI = , suy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 5 25 ( T ) : x + ÷ + y − ÷ = 2 2 x + 3y + 3= Tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình: 5 25 x + + y − ÷ ÷= 2 2 Giải hệ phương trình ta hai nghiệm ( − 6;1) ( 0; − 1) Từ suy B ( − 6;1) , C ( 0; − 1) B ( 0; −1) , C ( − 6;1) 0,25 0,25 Tìm tham số m để hệ phương trình … (1,0 điêm) • Từ pt(2) suy x y – thuộc đoạn [ −2;2] (*) 0,25 Từ pt(1) suy x − 12 x = (y − 2) − 12( y − 2) (**) • (1,0 điểm 3 Xét hàm số f ( t ) = t − 12t liên tục ¡ Ta có f ′ ( t ) = 3t − 12 ≤ 0, ∀t ∈[ − 2; 2] nên nghịch biến [ −2; 2] 0,25 Do đó, ( **) ⇔ f ( x ) = f ( y − ) ⇔ x = y − • • Thay vào (2) − x = x + m Đặt t = − x ⇒ t ∈ [0;2] , pt thành: 4t + 3t − 16 = m (***) 0,25 Phương trình có nghiệm t ∈ [0;2] ⇔ m ∈ [-16;6] 0,25 10 (1,0 điểm Tìm GTLN biểu thức … Ta có: T = (1, điêm) bc a −1 + ca b −1 + ab c −1 1 = 1− + 1− + 1− abc a b c 0,25 1 1 1 ≤ 3 − + + ÷ ⇒ T ≤ − + + ÷ a b c a b c • Mặt khác từ giả thiết suy 1 27 1 1 1 1 32 = 18 + + ÷+ ≤ 6 + + ÷ + + + ÷ ab bc ca abc a b c a b c 1 • Từ suy + + ≥ a b c • KL: MinT = Hết - 0,25 ... Đưa I = ( 3x −1) sin x − • I= π ∫ 0, 25 sin xdx π 3 3 −1 + 3cos x 02 = + 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm) • Giả sử M ( 0;0; m ) uuu r uuur 0, (0,5 uuuu r Tính AB ( − 2; −1 ;3) , AC... phương trìn ta hai nghiệm ( − 3; 0 ) , ( 6; − 3) Suy D ( − 3; 0 ) Đường thẳng ID qua D vuông góc với BC nên có PT: x − y + = AM qua hai điểm A, M nên có PT: x − y + = 3 I = AM ∩ ID ⇒ I − ;... tổ đó” • Số cách chọn em số 15 em C15 = 6 435 (cách) ⇒ Ω = 6 435 • Biến cố A: “ Trong số em chon có số học sinh nữ nhiều học sinh nam” ⇒ Ω A = C95 C 63 + C96 C62 + C97 C61 + C98 C60 = 4005 Xác