A first coures in electrical and computer engineering by louis scharf

A First Course in Electrical and Computer Engineering By: Louis Scharf A First Course in Electrical and Computer Engineering By: Louis Scharf Online: < http://cnx.org/content/col10685/1.2/ > CONNEXIONS Rice University, Houston, Texas ❚❤✐s s❡❧❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ♦❢ ❝♦♥t❡♥t ❛s ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♣②r✐❣❤t❡❞ ❜② ▲♦✉✐s ❙❝❤❛r❢✳ ■t ✐s ❧✐❝❡♥s❡❞ ✉♥❞❡r t❤❡ ❈r❡❛t✐✈❡ ❈♦♠♠♦♥s ❆ttr✐❜✉t✐♦♥ ✸✳✵ ❧✐❝❡♥s❡ ✭❤tt♣✿✴✴❝r❡❛t✐✈❡❝♦♠♠♦♥s✳♦r❣✴❧✐❝❡♥s❡s✴❜②✴✸✳✵✴✮✳ ❈♦❧❧❡❝t✐♦♥ str✉❝t✉r❡ r❡✈✐s❡❞✿ ❙❡♣t❡♠❜❡r ✶✹✱ ✷✵✵✾ P❉❋ ❣❡♥❡r❛t❡❞✿ ❖❝t♦❜❡r ✷✻✱ ✷✵✶✷ ❋♦r ❝♦♣②r✐❣❤t ❛♥❞ ❛ttr✐❜✉t✐♦♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠♦❞✉❧❡s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥✱ s❡❡ ♣✳ ✸✵✶✳ ❚❛❜❧❡ ♦❢ ❈♦♥t❡♥ts ❉❡❞✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ✧❆ ❋✐rst ❈♦✉rs❡ ✐♥ ❊❧❡❝tr✐❝❛❧ ❛♥❞ ❈♦♠♣✉t❡r ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣✧ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✶ Pr❡❢❛❝❡ t♦ ✧❆ ❋✐rst ❈♦✉rs❡ ✐♥ ❊❧❡❝tr✐❝❛❧ ❛♥❞ ❈♦♠♣✉t❡r ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣✧ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✸ ✶ ❈♦♠♣❧❡① ◆✉♠❜❡rs ✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ✶✳✹ ✶✳✺ ❈♦♠♣❧❡① ◆✉♠❜❡rs✿ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ❈♦♠♣❧❡① ◆✉♠❜❡rs✿ ●❡♦♠❡tr② ♦❢ ❈♦♠♣❧❡① ◆✉♠❜❡rs ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ 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P♦rt✉❣✉❡s❡✱ ❛♥❞ ❚❤❛✐✳ ❈♦♥♥❡①✐♦♥s ✐s ♣❛rt ♦❢ ❛♥ ❡①❝✐t✐♥❣ ♥❡✇ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ s②s✲ t❡♠ t❤❛t ❛❧❧♦✇s ❢♦r Pr✐♥t ♦♥ ❉❡♠❛♥❞ ❇♦♦❦s✳ ❈♦♥♥❡①✐♦♥s ❤❛s ♣❛rt✲ ♥❡r❡❞ ✇✐t❤ ✐♥♥♦✈❛t✐✈❡ ♦♥✲❞❡♠❛♥❞ ♣✉❜❧✐s❤❡r ◗❖❖P t♦ ❛❝❝❡❧❡r❛t❡ t❤❡ ❞❡❧✐✈✲ ❡r② ♦❢ ♣r✐♥t❡❞ ❝♦✉rs❡ ♠❛t❡r✐❛❧s ❛♥❞ t❡①t❜♦♦❦s ✐♥t♦ ❝❧❛ssr♦♦♠s ✇♦r❧❞✇✐❞❡ ❛t ❧♦✇❡r ♣r✐❝❡s t❤❛♥ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❛❝❛❞❡♠✐❝ ♣✉❜❧✐s❤❡rs✳ [...]... z2 = − ab c a = ✭✶✳✸✻✮ ❨♦✉ s❤♦✉❧❞ ❛❧✇❛②s ❝❤❡❝❦ ②♦✉r s♦❧✉t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❈♦♠♣❧❡t✐♥❣ t❤❡ ❙q✉❛r❡✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ s♦❧✈❡ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ z 2 + ab z + ac = 0 ✭♦r✱ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧②✱ t♦ ✜♥❞ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ z 2 + ab z + ac ✱ ✇❡ ✏❝♦♠♣❧❡t❡ t❤❡ sq✉❛r❡✑ ♦♥ t❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✭✶✳✸✸✮✿ z+ 2 b 2a − 2 b 2a + c = 0 a ✭✶✳✸✼✮ ❚❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ♠❛② ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s z+ b 2a 2 = 1 2a 2 b2 − 4ac ✭✶✳✸✽✮... b2 − 4ac > 0 ✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ r♦♦ts z1 ❛♥❞ z2 ❛r❡ z1,2 = − b 1 ± 2a 2a b2 − 4ac ✭✶✳✹✵✮ ❚❤❡s❡ t✇♦ r♦♦ts ❛r❡ r❡❛❧✱ ❛♥❞ t❤❡② ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ s②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❛❜♦✉t t❤❡ ♣♦✐♥t b − 2a ✳ t❤❡ ♣♦✐♥ts ❲❤❡♥ b = 0✱ √ 1 ± 2a −4ac✳ ✭■♥ t❤❡② ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ s②♠♠❡tr✐❝❛❧❧② ❛❜♦✉t ✵ ❛t t❤✐s ❝❛s❡✱ −4ac > 0.✮ ❚②♣✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ❛r❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✵✳ ✭❛✮ ✭❜✮ ✭❝✮ ❚②♣✐❝❛❧ ❘♦♦ts ✐♥ t❤❡ ❖✈❡r❞❛♠♣❡❞ ❈❛s❡❀ ✭❛✮ b/ 2a > 0, 4ac >... r♦♦t ♦❢ ❡❛❝❤ s✐❞❡ t♦ ✜♥❞ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s z1,2 = − b 1 ± 2a 2a b2 − 4ac ✭✶✳✸✾✮ ❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✹✳✶ ❲✐t❤ t❤❡ r♦♦ts z1 ❛♥❞ z2 ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❊q✉❛t✐♦♥ ✶✳✷✾✱ ♣r♦✈❡ t❤❛t (z − z1 ) (z − z2 ) ✐s✱ ✐♥❞❡❡❞✱ ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ z 2 + ab z + ac ✳ b c ❈❤❡❝❦ t❤❛t z1 + z2 = − a ❛♥❞ z1 z2 = a ■♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ t❤❛t ❞❡✜♥❡s t❤❡ r♦♦ts z1 ❛♥❞ z2 ✱ b2 − 4ac ✐s z1 ❛♥❞ z2 ✳ ■♥ b2 − 4ac✳ t❤❡ t❡r♠ ❝r✐t✐❝❛❧ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ♥❛t✉r❡... jr1 sinθ1 ) (r2 cosθ2 + jr2 sinθ2 ) = ( r1 cos θ1 r2 cos θ2 − r1 sin θ1 r2 sin θ2 ) ✭✶✳✶✾✮ + j ( r1 sin θ1 r2 cos θ2 + r1 cos θ1 r2 sin θ2 ) = r1 r2 cos (θ1 + θ2 ) + jr1 r2 sin (θ1 + θ2 ) = r1 r2 ej(θ1 +θ2 ) ❲❡ s❛② t❤❛t t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡s ♠✉❧t✐♣❧② ❛♥❞ t❤❡ ❛♥❣❧❡s ❛❞❞✳ ❆s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✶✳✺✱ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ✹ ❲❡ θ✷ ❛♥❞ z1 z2 ❧✐❡s ❛t t❤❡ ❛♥❣❧❡ ❤❛✈❡ ✉s❡❞ t❤❡ tr✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝ ✐❞❡♥t✐t✐❡s sin (θ1 + θ2 ) = sinθ1... 0✱ ✭❜✮ b/ 2a > 0, 4ac < 0✱ ❛♥❞ ✭❝✮ b/ 2a = 0, 4ac < 0 ❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✵✿ ❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✹✳✷ ❈♦♠♣✉t❡ ❛♥❞ ♣❧♦t t❤❡ r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❛❞r❛t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❛✳ ❜✳ ❝✳ z 2 + 2z + 12 = 0❀ z 2 + 2a − 12 = 0❀ z 2 − 12 = 0✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❝❤❡❝❦ t❤❛t ✭✐✐✮ ❈r✐t✐❝❛❧❧② ❉❛♠♣❡❞ z2 z1 + z2 = − ab b2 − 4ac = 0 ✳ ❛♥❞ z1 z2 = c a ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ r♦♦ts z1 ❛♥❞ ❛r❡ ❡q✉❛❧ ✭✇❡ s❛② t❤❡② ❛r❡ r❡♣❡❛t❡❞✮✿ z1 = z2 = − b 2a ❚❤❡s❡ s♦❧✉t✐♦♥s... ✭✭✶✳✸✾✮✮ ♣r♦❞✉❝❡s ❛♥ ✐♠❛❣✐♥❛r② ♥✉♠❜❡r✳ ❲❡ 2 2 ❛♥❞ ✇r✐t❡ z1,2 ❛s ♠❛② ✇r✐t❡ b − 4ac ❛s − 4ac − b ✭✐✐✐✮ ❯♥❞❡r❞❛♠♣❡❞ z1,2 b = − 2a ± b = − 2a ± 1 2a − (4ac − b2 ) √ 1 4ac − b2 j 2a ✭✶✳✹✷✮ ❚❤❡s❡ ❝♦♠♣❧❡① r♦♦ts ❛r❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✷✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ r♦♦ts ❛r❡ ♣✉r❡❧② ✐♠❛❣✐♥❛r② ✇❤❡♥ b = 0✱ ♣r♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ r❡s✉❧t z1,2 = ±j c a ❆✈❛✐❧❛❜❧❡ ❢♦r ❢r❡❡ ❛t ❈♦♥♥❡①✐♦♥s ❁❤tt♣✿✴✴❝♥①✳♦r❣✴❝♦♥t❡♥t✴❝♦❧✶✵✻✽✺✴✶✳✷❃ ✭✶✳✹✸✮... s❛t✐s✜❡❞✿ az 2 + bz + c = 0 ❋♦r a= 0 ✭✶✳✸✷✮ ✭❛s ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡✮✱ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ♠❛② ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s b c z 2 + z + = 0 a a ✭✶✳✸✸✮ ▲❡t✬s ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞✲❞❡❣r❡❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦♥ t❤❡ ❧❡❢t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ❜② p (z)✿ c b p (z) = z 2 + z + a a ❚❤✐s ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ♠♦♥✐❝ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✭✶✳✸✹✮ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ♦❢ t❤❡ ❤✐❣❤❡st✲ z 2 ✐s ✶✳ ❲❤❡♥ ❧♦♦❦✐♥❣ ❢♦r s♦❧✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ b c 2 z + a z+ a = 0✱... ❘♦♦ts ✐♥ t❤❡ ❈r✐t✐❝❛❧❧② ❉❛♠♣❡❞ ❈❛s❡❀ ✭❛✮ b/ 2a > 0✱ ❛♥❞ ✭❜✮ b/ 2a < 0 ❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✶✿ ❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✹✳✸ ❈♦♠♣✉t❡ ❛♥❞ ♣❧♦t t❤❡ r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❛❞r❛t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✿ ❛✳ ❜✳ ❝✳ z 2 + 2z + 1 = 0❀ z 2 − 2z + 1 = 0❀ z 2 = 0✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❝❤❡❝❦ t❤❛t z1 + z2 = − ab ❛♥❞ z1 z2 = c a b2 − 4ac < 0 ✳ ❚❤❡ ✉♥❞❡r❞❛♠♣❡❞ ❝❛s❡ ✐s✱ ❜② ❢❛r✱ 2 t❤❡ ♠♦st ❢❛s❝✐♥❛t✐♥❣ ❝❛s❡✳ ❲❤❡♥ b − 4ac < 0✱ t❤❡♥ t❤❡ sq✉❛r❡ r♦♦t ✐♥ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥s... t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ♥✉♠❜❡r z ✳ ■♥ t❤✐s ♣♦❧❛r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ |z| = r t♦ ❜❡ t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦❢ z ❛♥❞ arg (z) = θ t♦ ❜❡ t❤❡ ❛♥❣❧❡✱ ♦r ♣❤❛s❡✱ ♦❢ z ✿ ❲❡ ❝❛❧❧ ❛ s❛② t❤❛t t❤❡ ♣♦❧❛r ♣❛✐r |z| = r ✭✶✳✶✸✮ arg (z) = θ ✭✶✳✶✹✮ ❲✐t❤ t❤❡s❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ❛♥❞ ♣❤❛s❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ♥✉♠❜❡r z ❛s z = |z|ejarg(z) ❆✈❛✐❧❛❜❧❡ ❢♦r ❢r❡❡ ❛t ❈♦♥♥❡①✐♦♥s 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) √ 4ac − b2 j 2a ✭✶✳✹✷✮ ❚❤❡s❡ ❝♦♠♣❧❡① r♦♦ts ❛r❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ❋✐❣✉r❡