ễn cp tc Cỏc dng toỏn c bn hc kỡ I lp phn hỡnh hc Cỏc dng c bn: Tam giỏc, t giỏc ni tip ng trũn, chng minh tam giỏc vuụng hỡnh trũn Chng minh t s, tớch di bng Chng minh vuụng gúc, song song Chng minh gúc bng nhau, ba im thng hng Chng minh ng thng l tip tuyn Qu tớch cỏc im Phng phỏp c th s c núi qua cỏc vớ d Mt s cỏch chng minh im thng hng: Chng minh qua im xỏc nh c gúc bt VD: gúc AễB v AễC k cú AễB+BễC=180 ( Gúc bt) => A,O,C thng hng Chng minh on thng trựng VD: on thng AB trựng vi on thng AC => A,B,C thng hng Chng minh theo tiờn - clớt VD: AB//DE AC//DE => A,B,C thng hng (vỡ theo tiờn t im cú mt v ch mt ng thng song song vi ng thng cho trc) Chng minh cựng vuụng gúc VD: AC vi ng thng d ti C BC vi ng thng d ti C => A,B,C thng hng Chng minh tng hai on thng bng on thng ln VD: AB+BC=AC => A,B,C thng hng Chng minh im cựng thuc ng trung trc , ng phõn giỏc hoc ng trung tuyn Mt s phng phỏp chng minh hai ng thng vuụng gúc Chỳng song song vi hai ng thng vuụng gúc khỏc Hai ng thng // ng thng no vi ng thng th nht thỡ cng vi ng th hai ng kớnh i qua trung im ca dõy cung thỡ vuụng gúc vi dõy cung ú Tớnh cht ca tam giỏc cõn, tam giỏc u, hỡnh ch nht Tớnh cht tip tuyn v bỏn kớnh ti tip im nh lý Pitago Mt s phng phỏp chng minh hai ng thng song song Chỳng cựng song song vi mt ng thng th ba Chỳng cựng vuụng gúc vi ng thng th ba To vi cỏt tuyn hai gúc bng nhau: a v trớ so le (hoc ngoi) S dng tớnh cht hỡnh bỡnh hnh, hỡnh ch nht b v trớ ng v Bi Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn tõm O Cỏc ng cao AD, BE, CF ct ti H v ct ng trũn ln lt ti M, N, P a) b) c) d) Chỳng minh T giỏc CEHD l t giỏc ni tip Bn im B, C, E, F cựng nm trờn ng trũn AE.AC=AH.AD ; AD.BC=BE.AC H v M i xng qua BC Bi gii: a, Phng phỏp: p dng tc tam giỏc vuụng: Trong tam giỏc vuụng, ng trung tuyn ng vi cnh huyn bng na cnh huyn y Gi K l trung im CH Cú: EK= (EHC vuụng ti E) DK=2 ( DHC vuụng ti D) =>EK=HK=DK=CK => E, H, D, C cựng thuc ng trũn tõm K => EHDC l t giỏc ni tip b, Tng t cõu a Gi I l trung im BC c, Phng phỏp: S dng cỏc tam giỏc ng dng, h thc lng tam giỏc vuụng Xột AEH v ADC cú: AEH = ADC = 900 => A l gúc chung AE AEH ADC AH => AD = AC => AE.AC = AH.AD (pcm) Xột BEC v ADC cú: BEC = ADC = 900 => C l gúc chung BC BEC ADC => AD = AC => AD.BC = BE.AC (pcm) d, Phng phỏp: S dng cỏc gúc ph nhau, tam giỏc ng dng, gúc chn cung trũn Cú C1 = A1 (Cựng ph vi B) C2 = A1 (2 gúc ni tip cựng chn cung BM) => C1=C2 => CB l tia phõn giỏc HCM Li cú CB HM => HCM cõn ti C => H v M i xng qua BC Bi 2: Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R t A v B k tip tuyn Ax, By Qua im M thuc na ng trũn k tip tuyn th ct cỏc tip tuyn Ax, By ln lt C v D Cỏc ng thng AC v BD ct ti N Chng minh AC +BD = CD Chng minh COD = 900 Chng minh AB2 = 4.AC.BD Chng minh OC//BM Chng minh AB l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh CD Chỳng minh MN AB Bi gii: Phng phỏp: S dng tớnh cht tip tuyn ct Ax, CD l tip tuyn => AC = CM By, CD l tip tuyn => BD = DM Cng v li ta cú: AC + BD = CM + DM = CD Vy Ac +BD = CD (pcm) Phng phỏp: S dng tớnh cht tip tuyn ct Ax, CD l tip tuyn => OC l tia phõn giỏc gúc AOM => COM = By, CD l tip tuyn => OD l tia phan giỏc gúc BOM => DOM = 1 1 Cng v li ta c: COM +DOM = + = (+) = 1800=900 Hay COD = 900 (pcm) Phng phỏp: S dng h thc lng tam giỏc vuụng, cỏc tam giỏc ng dng Cú Ax, CD l tip tuyn => AC = CM (tớnh cht tip tuyn) By, CD l tip tuyn => BD = DM (tớnh cht tip tuyn) => AC.BD = CM.DM (1) Theo ý ta cú COD = 900 => COD vuụng ti O Cể OM CD p dng h thc lng h2=b.c tam giỏc vuụng ta cú: CM.DM = OM2 (2) M OM = R = (3) Nờn t (1) (2) v (3) ta cú AC.BD =OM2=R2 Hay AB2 = 4.AC.BD (pcm) Phng phỏp: Chng minh song song thng cú cỏch l cng gúc hoc cỏc nh lớ t vuụng gúc n song song õy dựng cỏch l dựng nh lý t vuụng gúc n song song v cng gúc vi Cỏch 1: Cú COD = 900 nờn OC OD (1) Theo tớnh cht tip tuyn ct ta cú: DB = DM; li cú OM = OB =R => OD l trung trc ca BM => BM OD (2) T (1) V (2) => OC // BM ( Vỡ cựng vuụng gúc vi OD) Cỏch 2: Cú COM + MOD =COD= 900 MOD + OMB = 900 (2 gúc ph nhau) => COM = OMB M gúc ny v trớ so le => OC // BM (pcm) Phng phỏp: Chng minh ng thng ta xột vuụng gúc vi bỏn kớnh ti im thuc ng trũn Khi ú ng thng ca ta s l tip tuyn u tiờn cn xỏc nh tõm ca ng trũn ng kớnh CD Gi I l trung im CD D dng chng minh I l tõm ng trũn ngoi tip COD (Gi ta cn chng minh AB OI na l xong!!!) Cú ABDC l hỡnh thang (AC//BD) I l trung im CD; O l trung im AB => OI l ng trung bỡnh ca hỡnh ABDC => OI//AC//BD M AC AB => OI AB => AB l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh CD (pcm) Phng phỏp: Cng gúc, s dng nh lý talet, talet o Cú AC//BD (ý trờn) => = (nh lý talet) M CA = CM; DB =DM nờn suy => = => MN//BD M BD AB => MN AB (pcm) Bi 3: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB, v M bt kỡ trờn na ng trũn (M khỏc A, B) Trờn na mt phng b AB cha na ng trũn k tip tuyn Ax Tia BM ct Ax ti I Tia phõn giỏc ca gúc IAM ct na ng trũn ti E, ct tia BM ti F, tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K Chng minh EFMK l t giỏc ni tip CHng minh AI2=IM.IB Chng minh BAF l tam giỏc cõn Chng minh AKFH l hỡnh thoi Bi gii: Phng phỏp: Vn s dng tớnh cht ca tam giỏc vuụng ng trung tuyn ng vi cnh huyn thỡ bng na cnh y Gi D l trung im FK Cú: ED = (EFK vuụng ti E) DM = (MFK vuụng ti M) => DF = DE = DK = DM => F, E, K, M cựng thuc trũn tõm D => EFMK l t giỏc ni tip Phng phỏp: S dng h thc lng tam giỏc vuụng Xột ABI (A=900) AM l ng cao => AI2=IM.IB (h thc lng tam giỏc vuụng) (pcm) Phng phỏp: Mun chng minh tam giỏc cõn, ta chng minh theo cỏch: l chng minh cnh, gúc bng nhau; l chng minh ng cao va l ng trung tuyn, phõn giỏc õy ó cú BE AF nờn ta chng minh theo cỏch th 2, l chng minh BE l tia phõn giỏc gúc B Xột AKE v BKM cú: E = M (=900) => AKE BKM (g.g) AKE = BKM (i nh) => A2 = B2 (1) Cú A1 + EAB = 900 (=HAB) B1+EAB = 900(phu nhau) => A1 = B1 (2) T (1) v (2) ta cú B1 = B2 hay BE l tia phõn giỏc gúc B Li cú BE AF => BAF l tam giỏc cõn Phng phỏp: S dng du hiu nhn bit ca hỡnh thoi: T giỏc cú ng chộo vuụng gúc vi ti trung im mi ng l hỡnh thoi Theo ý trờn ta cú ABF l tam giỏc cõn nờn E l trung im AF (3) v BEAF hay HKAF (4) Cú AF l tia phõn giỏc gúc A (gt) m li cú AE HK => AHK cõn ti A => E l trung im HK (t/c cõn) (5) T (3) (4) v (5) => t giỏc AKFH l hỡnh thoi (pcm) Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng A (AB > AC), ng cao AH Trờn na mt phng b BC cha im A, v na ng trũng ng kớnh Bh, ct AB ti E, na ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F Chng minh AFHE l hỡnh ch nht AE.AB = AF.AC Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai na ng trũn Bi gii: Phng phỏp: S dng du hiu nhn bit ca hỡnh ch nht: T giỏc cú gúc vuụng l hỡnh ch nht BEH = 900 (DO BEH l tam giỏc cú tõm ng trũn nm trung im cnh huyn ) => AEH = 900 (bự vi BEH) (1) Chng minh tng t ta cú CFH = 900 => AFH = 900 (bự vi CFH) (2) Li cú tam giỏc ABC vuụng A (3) nờn t (1) (2) v (3) => AEHF l hỡnh ch nht (pcm) Phng phỏp: Dựng h thc lng tam giỏc vuụng Xột ABH cú H = 900 ; HE AB => AH2=AE.AB (h thc lng vuụng) (1) Xột ACH cú H = 900 ; HF AC => AH2=AF.AC (h thc lng vuụng) (2) T (1) v (2) => AE.AB = AF.AC (pcm) Phng phỏp: Mun chng minh mt ng thng l tip tuyn ta chng minh ng thng ú vuụng gúc vi bỏn kớnh ti im tip xỳc bi ny im tip xỳc l E v F nờn ta chng minh O1E EF v O2F EF Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1 O1EF cân O1 (vì có O1E = O1H =R) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chứng minh t ơng tự ta có O2E EF Vậy EF tiếp tuyến chung hai nửa ng trũn Bi 5: Cho ng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên ng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm ng tròn Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển ng thẳng d Bi gii: Phng phỏp: p dng tớnh cht ca tam giỏc vuụng Gi E l trung im OM Nh cỏc bi trc thỡ tứ giác AMBO nội tiếp ng trũn tõm E ng kớnh OM Phng phỏp: T ý trờn ta ó cú im A, M, B, O cựng thuc mt ng trũn, ta chng minh K cng thuc ng trũn ú Vì K trung điểm NP nên OK NP (quan hệ ng kính v dõy cung) => OKM = 900 => OKM vuụng ti K => KE = EO = OM (t/c ng trung tuyn vuụng) => K thuc ng trũn tõm E ng kớnh OM T ý Ca bi ta cú năm điểm O, K, A, M, B nằm ng tròn (pcm) Phng phỏp: S dng du hiu nhn bit ca hỡnh thoi: Hỡnh bỡnh hnh cú cnh k bng l hỡnh thoi Ta có: OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi Phng phỏp: Chng minh on thng cú chung u cựng vuụng gúc vi ng thng Theo ý OAHB hình thoi => OH AB; Li cú OM AB (tớnh cht tip tuyn) => O, H, M thẳng hàng ( Vì qua O có đờng thẳng vuông góc với AB) Phng phỏp: Chng minh on thng cú u l H luụn cú s o khụng i (trong bi ny ta so vi R) bng cỏc cỏch nh h thc lng, t s ng dng ca tam giỏc Theo ý thỡ OAHB hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động d H di động nhng cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R ... chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1 O1EF cân O1 (vì có O1E = O1H =R) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHB = 90 0 => E1 + E2 = O1EF = 90 0 => O1E EF Chứng minh t ơng tự ta có O2E... Xột AKE v BKM cú: E = M ( =90 0) => AKE BKM (g.g) AKE = BKM (i nh) => A2 = B2 (1) Cú A1 + EAB = 90 0 (=HAB) B1+EAB = 90 0(phu nhau) => A1 = B1 (2) T (1) v (2) ta cú B1 = B2 hay BE l tia phõn giỏc... gúc vuụng l hỡnh ch nht BEH = 90 0 (DO BEH l tam giỏc cú tõm ng trũn nm trung im cnh huyn ) => AEH = 90 0 (bự vi BEH) (1) Chng minh tng t ta cú CFH = 90 0 => AFH = 90 0 (bự vi CFH) (2) Li cú tam