Báo cáo đề tài nghiên cứu phân phối student
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC ****** ****** BÁO CÁO ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU PHÂN PHỐI STUDENT Sinh Viên Thực Hiện: Nguyễn Thị Thảo Lớp: Tin 2C Giáo Viên Hướng Dẫn: Nguyễn Chí Long Tp Hồ Chí Minh, Tháng 01 Năm 2010 Mục lục I.Giới thiệu………………………………………….trang II.Sự thành lập…….……………………………… trang III.Đặc trưng……………………………………… trang PHÂN PHỐI STUDENT I.Giới thiệu: Gosset phát minh t-kiểm tra để xứ lý mẫu nhỏ để kiểm soát chất lượng bia Ông viết tên “sinh viên” Sinh: Ngày 13 tháng năm 1876 Canterbury, Anh Mất: Ngày 16 tháng 10 năm 1937 Beaconsfield, Anh William Gosset giáo dục Winchester, sau nhập vào New College Oxford, nơi ông học hóa học toán học Gosset thu nhà hóa học nhà máy bia.Guinness Dublin vào năm 1899 làm việc quan trọng thống kê Gosset phát hình thức phân phối t kết hợp toán học kinh nghiệm làm việc với số ngẫu nhiên, ứng dụng đầu phương pháp Monte-Carlo McMullen nói: Để nhiều giới thống kê “sinh viên” coi cố vấn thống kê để nhà máy bia Guinness, để người khác anh xuất nhà sản xuất bia dành thời gian rãnh rỗi để thống kê… có số thật ý tưởng mà họ bỏ lỡ điểm trung tâm, kết nối thân mật nghiên cứu thống kê vấn đề thực tế mà ông tham gia…”Sinh viên” đẫ làm số lượng lớn thói quen bình thường công tác thống kê ông nhà máy bia, tất cả, thêm vào công tác thống kê tư vấn để chuẩn bị giấy tờ khác ông xuất Từ năm 1922, ông nhận trợ lý thống kê nhà máy bia, ông từ từ xây dựng phận thống kê nhỏ mà ông chạy 1934 Gosset chắn không làm việc cô lập Ông trao đổi thư từ với số lượng lớn thống kê ông thường viếng thăm cha Watlington Anh dịp ông viếng thăm Đại học College, London Rothamsted nông nghiệp Trạm thí nghiệm Ông thảo luận vấn đề thống kê với Fisher, Neyman Pearson Năm 1934 Gosset có tai nạn xe máy Trong thực tế bị giới hạn ngủ cho ba tháng sau vụ tai nạn, ông tập trung vào số liệu thống kê Đó năm trước ông phục hồi ông giữ lại cho cài năm lại đời Trong xác suất thống kê, sinh viên t-phân phối phân phối xác suất phát sanh vấn đề ước tính có nghĩa số dân bình thường kích thước mẫu nhỏ Nó sở t sinh viên phổ biến xét nghiệm cho ý nghĩa thống kê khác biệt hai có nghĩa mẫu, cho khoảng tin cậy cho khác biệt hai có nghĩa dân số Của sinh viên phân phối trường hợp đặc biệt phân phối hypebolic Quát Sinh viên phân phối phát sinh số dân độ lệch chuẩn không rõ phải ước tính từ liệu Khá thường xuyên, nhiên, vấn đề sách giáo khoa xử lý số dân độ lệch chuẩn biết đến tránh nhu cầu sử dụng t học sinh làm kiểm tra Những vấn đề nói chung hai loại: (1) người có kích thước mẫu lớn mà xử lý liệu dựa dự toán phương sai định, (2) minh họa lý luận toán học, vấn đề ước tính độ lệch chuẩn tạm thời bị bỏ qua điểm mà tác giả hướng dẫn sau giải thích II.Sự thành lập: Một phân phối thống kê phát William S.Gosset năm 1908.Gosset làm việc công ty Guinness quy định ông không xuất tên riêng mình.Vì thế, ông viết bút danh “Student” +Định nghĩa: Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hóa, Y biến ngẫu nhiên độc lập với X có phân phối Chi bình phương n bậc tự Khi biến ngẫu nhiên: T= X n Y (1) gọi phân phối Student với n bậc tự do.Kí hiệu T~Tn n Các số đặc trưng E(T)=0 ( bậc tự n>1 ); V(T)= n − ( với n>2) Bây ta tìm hàm mật độ biến ngẫu nhiên T~Tn Bởi X Y độc lập hàm mật độ đồng thời g(x,y) =g X(x)gY(y) với g X(x) gY(y) hàm mật độc lập biến ngẫu nhiên X Y g(x,y)= 2( n +1) / n 2π Γ 2 y ( n / ) −1 − x2 − exp y Chúng ta xác định hàm mật độ đồng thời f(t, W Bằng cách đặt W=Y T (1), ta có: W = Y X n T = Y tương đương Y = W X = n T W ω) T (2) Jacobian phép đổi biến từ X Y sang T W là: J= ∂y ∂y ∂ω ∂t ∂x ∂x ∂ω ∂t = t nω ω n = ω n Hàm mật độ xác suất đồng thời f(t, ω ) T W thu từ hàm mật độ đồng thời g(x,y) cách thay x y (2) nhân với J= ω n Ta tìm f(t, ω ) v ới - ∞ < t < +∞ ω > sau: f(t, ω )= 2( n +1) / t2 n ω ( n / ) −1e xp − (1 + )ω 2π Γ n 2 (3) Từ (3) ta xác định hàm mật độ lề fT(t) biến ngẫu nhiên T ∞ f(t)= ∫ f (t , ω )dω ta tìm n + 1 Γ − ( n +1) / 1 + t fT(t)= n n nπ Γ 2 Trong Γ hàm Gamma ∞ Γ( p ) = ∫ e − t t p −1dt , với - ∞ < t < +∞ (4) xác định bởi: Γ( p + 1) = pΓ( p ) 1 3 Γ(1) = 1, Γ = π ,Γ = π 2 2 Γ(k ) = (k − 1)! Nếu p=k số 1.3.5 ( 2n − 1) Γ n + = π 2 2n nguyên chẵn >0 Ngoài fT(t) viết dạng: t2 1 + fT(t)= B n , n n 2 − ( n +1) / ,−∞ < t < +∞ Trong B hàm Beta, định nghĩa bởi: α −1 β −1 B( α , β ) = ∫ x (1 − x) dx Do T có phân phối Student với n bậc tự hàm mật độ xác suất T fT(t) (4) Đồ thị hàm mật độ có phân phối Student minh họa hình sau.Giống phân phối chuẩn hóa, hàm mật độ biến ngẫu nhiên có phân phối Student đối xứng qua trục tung T=0 Đồ thị hình chuông tương tự đồ thị phân phối chuẩn có đỉnh tháp hai phần đuôi cao so với đồ thị phân phối chuẩn Hơn n lớn hàm mật độ T, T~Tn giống với hàm mật độ chuẩn hóa vì: X = X 12 + + X n2 với Xi,(i=1…n), biến ngẫu nhiên độc lập phân phối p Cũng từ định chuẩn hóa.Theo định lý luật số lớn X / n → lý Stutsky, T= X n x F → X Vậy n lớn ( thống kê n≥30 ) phân phối biến ngẫu nhiên T~Tn xấp xỉ phân phối biến ngẫu nhiên X với X~N(0;1) X n ∑ Xi n i =1 +∞ ~t n D[t]= ∫ t ft (t )dt = n − −∞ Hàm mật độ xác suất: Hàm phân bố tích: III.Đặc tính: Phân phối student phân phối xác suất tỉ lệ: *Z bình thường với giá trị dự kiến phương sai *V có phân phối-chi vuông với độ v tự *Z V độc lập Trong khi, µ định, biến ngẫu nhiên t noncentral-phân phối với tham số noncentrality µ Hàm mật độ xác suất: -Phân phối student có hàm mật độ xác suất fT(t)= n + 1 Γ − ( n +1) / 1 + t n n nπ Γ 2 với - ∞ < t < +∞ n mức độ tự Ґ hàm Gamma a.Derivation:(nguồn gốc) Giả sử X1,…,X2 độc lập biến ngẫu nhiên bình thường với giá trị kì vọng µ phương sai σ2 Xn=(X1+…+Xn)/n Được mẫu có nghĩa là, Sn2=1/(n-1) Là phương sai mẫu Có thể thấy biến ngẫu nhiên (n-1)Sn2/σ2 có phân phối-chi vuông với n-1 bậc tự Nó dễ dàng cho thấy số lượng Phát hành bình thường với nghĩa phương sai 1, kể từ mẫu có nghĩa Xn phát hành bình thường với nghĩa µ tiêu chuẩn lỗi σ/sqrt(n) Hơn nữa, cho thấy hai biến ngẫu nhiên-một hành bình thường chi-square-phân phối độc lập Do số lượng chủ chốt, Mà khác với Z xác độ lệch chuẩn σ thay biến ngẫu nhiên Sn, có t học sinh phân phối theo định nghĩa Thông báo dân số chưa biết phương sai σ2 không xuất hện T, cải thiện hai tử số denominators, đó, bị hủy bỏ Về mặt kĩ thuật, (n-1)Sn2/σ2 có Xn-1 phân phối định lý Cochran Gosset công việc cho T thấy có hàm mật độ xác suất: fT(t)= n + 1 Γ − ( n +1) / 1 + t n n nπ Γ 2 với - ∞ < t < +∞ Phân phối T gọi t-phân phối Tham số n gọi số lượng mức độ tự do, phân phối phụ thuộc vào n, không µ σ; thiếu phụ thuộc vào µ σ diieeuf làm cho t-phân phối quan trọng lý thuyết thực hành b.Hàm phân bố tích: Các chức phân bố tích lũy cho chức Beta regularized không đầy đủ, Với 2.Confidence khoảng: Giả sử số A để lựa chọn mà Pr(-A[...]... cũng ước chừng là do việc phân phối t với kích thước khoảng 20 mẫu ở trên 3.Liên quan đến phân phối: *X~t(n) có t -phân phối nếu σ2~Inn-χ2(n,1) một nghịch đảo quy mô phân phối χ2 và X~N(0,σ2) có một phân bố chuẩn *Y~F(n1=1,n2=n) có F -phân phối nếu Y=X2 và X~t(n) t có của một sinh viên phân phối *Y~N(0,1) có một phân bố chuẩn như Y=limn→∞ X ở đâu X~t(n) *X~Cauchy(0,1) có một phân bố Cauchy nếu X~t(n=1)... 4.Trường hợp đặc biêt: Một số các giá trị của n cho một hình thức đặc biệt là đơn giản a n=1: Phân phối chức năng: F(x)=1/2+1/πarctan(x) Mật độ chức năng: f(x)=1/π(1+x2) Xem Cauchy phân phối b n=2: Phân phối chức năng: F(x)=1/2[1+x/sqrt(2+x2)] Mật độ chức năng: f(x)=1/(2+x2)3/2 **Định nghĩa phân vị Student) : Phân vị Student mức α với n bậc tự do, kí hiệu là tα,n là giá trị của biến ngẫu nhiên T~Tn thỏa1... dụ: Ví dụ1: Cho T~T12.Tính P( T ... có phân phối Student với n bậc tự hàm mật độ xác suất T fT(t) (4) Đồ thị hàm mật độ có phân phối Student minh họa hình sau.Giống phân phối chuẩn hóa, hàm mật độ biến ngẫu nhiên có phân phối Student. .. đảo quy mô phân phối χ2 X~N(0,σ2) có phân bố chuẩn *Y~F(n1=1,n2=n) có F -phân phối Y=X2 X~t(n) t có sinh viên phân phối *Y~N(0,1) có phân bố chuẩn Y=limn→∞ X đâu X~t(n) *X~Cauchy(0,1) có phân bố... việ phân phối p xếp hạng hệ số tương quan Spearman’s, trường hợp NULL(không tương 10 quan) ước chừng việc phân phối t với kích thước khoảng 20 mẫu 3.Liên quan đến phân phối: *X~t(n) có t -phân phối