dùng hàm D-GAP giải bài toán cân bằng, chương 3

tài liệu tham khảo dùng hàm D-GAP giải bài toán cân bằng

Trang 1

Chương 3 DUNG HAM D-GAP GIAI BAI TOAN CAN BANG 3.1 Hàm D-gap của bài toán cân bằng Định nghĩa 3.2.1 Hàm gạg(x): 9” — 9, với 0 < œ < B, được gọi là D-gap nếu #ap(X) = hạ(x) — hạ(x) Khi đó, ta có

Eap(x) = max{- F(x, y)~ H(x, y)}-max{- f(x, y) — BH(x, y)}

min{f(x, y) + BH(x,y)}~ min{f(x, y) + ăx, y)}

f(x, yp(x)) + BH(x, yg(x)) — f{x, yăx)) = œHÉx, yăx)) fx, yp()) — Ñx, yăx)) + BH(X, yp(x)) = œH(x, yăX)) Định lí 3.1.1 - Giả sử H thoả (C1) - (C4) và các giả thiệt ở Định lí 2.5.1 thoả Khi đó , #ap(.) khả vi liên tục và 8 ae) = Ÿ.(x, yạ()) + BH”,Œ, yp(X)) — [Ÿs(X, yăx)) + œH”(x, vă))] Chứng minh Áp dụng Định lí 2.5.1, ta thấy h„(x) và h(x) khả vi liên tục và

Wax) = -P ĂX, YalX)) — HAP (X, YalX)), h’ăx) = -Fx(% yp(x)) — BH’xs yăx))

Vi gap(X) = hạ(x) — hg(x) nên g„;(x) khả vi liên tục và 8 ap(x) = h'ăx) — h'ăx)

Trang 2

Mệnh đề 3.1.1

Giả sử H thoả (C1) - (C4) Khi đó, V x e 9”,

(B - co) H(x, yp(x)) S gap(x) < (B - œ) H(, yăx))

Chimg minh

Ta có

hăx) = - Í, văx)) — œH(x, Yo(x)) =

= max{- f(x,y)— œH(x, y)} 2 ‹ 2 - f(x, yp(x)) -— G(x, yp(x)) Đông thời, hg(x) = - f(x, yăx)) — BH(x, yg(x)) = = max{-f(x, y)—BH(, y)} > 2 -f(x, Yo(x)) — BH(x, y«(%))

Mat khac, vi gag(x) = he(x) — he(x) nén

- Í{x, yp()) = œH(x, yp(X)) — hạ(x) < hăX) — hạ(x) = gap() Do đó - Ñx, yp(x)) — Ăx, yp(x)) + f(x ye(x)) + BHC, yăx)) S$ gap(x) Tức là ; (B - œ)H(x, yp()) < gag(X), (12) va

ap(X) = hăx) — p(x) < hạ(x) + f{x, vu(x)) + BH(x, yăx))

Điều này tương đương với

#ap(X) Š -Ñx, yăx)) — œH(x, yăx)) + f{x, yăx)) + BH(x, yăx)),

hay

#ap(x) < (B - œ)HỌx, Yalx)) (13)

Kết hợp (12) và (13) ta có đpem a

Định lí 3.1.2

Giả sử (C1) — (C4) và các giả thiết của Định lí 3.1.1 thoả mãn Khi đó

gap(x) không âm, V x e 9†”, và gas(x*) =0 khi và chỉ khi x* là nghiệm của (EP) Chứng minh

Theo Mệnh đề 3.1.1 ta có, V x e 9†",

Trang 3

Do (C2) và 0 < œ< B nên, V x e 9”,

#ap(X) >0

Nếu g„g(x*)= 0 thì theo Mệnh đề 3.1.1,

0 <(@ - ơ)H(x*, yp(x*)) < gap(x*) = 0

Do d6, H(x*, yp(x*)) = 0 Theo (C4) thi x* = yp(x*) Ap dung Bé dé 2.5.3 ta

thây x* là nghiệm cuả (EP) Ngược lại, nêu x* là nghiệm của (EP) thì ,theo Bô

đề 2.5.3 ,ta có y„(x*) = x* Theo (C4) thi H(x*, yăx*)) = 0.Theo Ménh dé 3.1.1 thì gu; (X*) <(B— œ)HŒ*,y„(x*)) =0, hay g„; (x*)<0 Vậy g„ (x*)= 0 a Từ các kết quả trên bài toán cân bằng được chuyển thành bai toán Min gap (X) Ta thêm điều kiện mới cho hàm H(,, ) (C5) V x, y € 8", H’x(x, y) + Hy(x, y) =0 Bồ đề 3.1.1 ; Giả sử H thoả (C1) — (CS) và f thoả các giả thiết ở Định lí 2.5.1 Khi đó, Vxe9%t, p(x) - yăx), BH",(x, y(x)) ~ œH”,(, yăx)) ) > 0 Chứng minh

Theo quan hệ giữa y„(x) và hạ(x) (xem Định nghĩa 3.Ị1), ta có ,V z eK,

(œ, yăx)) + œH”,(x, yăX)), Z— yăX) ) = 0 (14)

Tương tự, với yp(x) và hạ(x), ta có, V z e K,

@(x, yăx)) + BH”y(x, yp()), Z— yg(X) } > 0 (15)

Thay z = ys(x) ở (14), ta được

Œ$(, yu(X)) + œH'(x, yăX)), Ye(ŒX) — yă®) ) > 0 (16)

Trang 4

(PyO% Yalx)) = f0, yp()) + œH”(x, ye(x)) - BH”y(, yp(X)), Yạ(X) — yăX) ) >0

Do đó

(f”y(x, yă)) — Ê”yŒX, yp()), yp(X) — Ye(X) ) >

> -(œH”,(x, yăx)) - BHỶy(x, yp(X)), yp(X) — YăX) ) (18)

Mat khác theo (C5), ta có

H¿(x, yăx)) + H?y(x, yăx)) = 0,

H0, yp@)) + H’y(x, yp(x)) = 0

Vi vay

~ HX, YăX)) = H's yăX)), ~ H’y(x, yp(x)) = H”,(, yp(*))

Từ đây và (18) , ta được

(P(X, Yăx)) — PX Yp(X)), YeŒ) — ya@S) ) >

> (œH,(x, yăx)) = BH”,(x, yp(X)), yp(X) — YăX) )- (19)

Vì f(x,.) lồi nên

Œ y(x, yăX)), Yp(X) — yăX) ) Š fỌX, yăx)) — ÍX, ye(X)), (20) Œ(x, yạ(X)) YăX) — yg(X) ) < Ñx, yăX)) — Í{x, yp(x)) (21) Cộng về theo về của (20) và (21), ta có Œ”y(X, yăX)) — fy@X, ypÓ@©), YăX) — YăX) ) $ 0 (22) Từ (19) và (22), ta có , 0 > (œH”,(x, yu(x)) — BH”x(x, yạ()), yp(X) — yăX) ), ay <yp(x) — Yăx), BH’x(x, yp(x)) — œH”„(, yă)) ) > 0 @ Định lí 3.1.3

Giả sử H thoả (C1) - (C5) và giả sử g'4;(x*) = 0 Nêu ,V x e K, P;(x, )

Trang 5

+ @H',(X*, yg(@X*)) — HH? x(x", Yo(X*)), yạ(XŠ) — yăX#))

Vi f(x, ) đơn điệu chặt trên K, V x e K, nên, V ys(x*) # yu(x*),

(Px(X*, yp(x*)) — P(X*, Yo(X*)), Ye(X*) — Yăx*)) > 0 (23) Mặt khác , theo Bồ dé 3.1.1, ta có

@H”.(x*, yg(x*)) = œH”,(x*, yu(x*)), yp(x*) — yăx*)) > 0

Cộng về theo về ta được, V yp(x*) # y„(x*),

gu; (X*), Yp(X*) — YăX*)) > 0 Vi vay, khi g',, (x*)=0 thi

(gi (X*), Yp(X*) — Yăx*)) = 0 Do đó yp(x*) = yo(x*) Vì vay

Slug (X*) = (B - ø)H”,(x*, yp(x*)) = 0,

hay H”„(x*, yg(x*)) = 0 Từ (C5) ,ta có H”y(x*, yp(x*)) = 0 Theo Bồ đề 2.5.2, ta có x* = yp(x*) Đến đây Bồ đề 2.5.3 suy ra x* là nghiệm của (EP) m

3.2 Giới hạn toàn cục

Ta chứng minh H',(x, ) là đơn điệu mạnh với hằng số 22 Từ (C3) ta có, V y¡, y; e 9,

H(x, y¡) — HŒx, y;) > (Hy, y2), yì — y2) # Alyi — y2|,

H(x, yo) — H(x, yi) = (H’y(x, y1), yo -y1) + Ally2—yill’

Cong về theo về , ta được

0 = (H’\(x, yo) H'y, y), yì — y2) + 2A|lyi — v3ÍŸ,

tức là

(H(, yị) = Hy, y2), yị — y›) = 2Ally1 — yall’

Bây giờ ta thêm điều kiện mới cho H(,, )

‹C6)H”y(x, ) liên tục Lipschitz, tức là 3 L > 0 sao cho, V yi, y2 € R",

Trang 6

Bo dé 3.2.1

Giả sử H thoả (C1) — (C4) va (C6) Gia str f thoa các giả thiết của Bồ đề 3.1.1 va f(.,.) là liên tục Lipschitz với hằng số Lự, có nghĩa là, V(x, y) & (z, t)

c9?x 9t,

II, y) — Ÿy, Đ|| < LÍ, y) — œ, ĐỊ

Khi đó, 3 e > 0 sao cho || x — x*|| < e||yp(x) - x||, V x e 9”, ở đây x* là

nghiệm duy nhât của (EP)

Chứng minh

Vì f là đơn điệu mạnh với hằng số ö > 0 nên, V x, y e K,

fix, y) + fly, x) $ -8l|x- yl)’, tức là f(x, y)— Ñy, x) > ð||x — y| Do d6 ,V x,y EK, fix, x) — f(x, y) - fly, x) + fly, y) 28 |x — yl Trước hết ta cần chứng mỉnh rằng

Œ$@, x)— fyỚ, y), x—y) > ð | — y|Ÿ

That vậy, vì f(x,.) lồi theo y ứng với mỗi x nên f(x, y) — f(x, x) > (y(, x), y — X), tức là -f(x, y) + f(x, x) < Py(x, X), X— y), (24) va fly, x) - fly, y) 2 (Py(y, y), xy), tức là

-f{y, x) + fly, y) $ CPyQ, y), X-y) (25)

Cộng về theo về của (24) và (25) , ta được

f(x, x) — f(x, y) — fly, x) + fly, y) < (Py(x, x) — Ÿy(, y), X— yÒ

Do do, V x, y € K,

3 |Ix—yll < (Py(x, x) — Pyly, y), X-y) (26)

Viet = argmin f(x*,y) nên, V z e K, ye

Trang 7

Thay z = yp(x) ta được

Œy(x*, x*), yp(x) — x} > 0 (27)

Theo quan hệ giữa yg(x) và hạ(x) ta có, V z e K,

(Py(X, yp(x)) + BHỶy(x, yg(%)), Z— yạ(x) ) > 0 Thay z = x*, ta được Py yăx)) + BH V(x, yp(x)), x* - yp(x) ) = 0 (28) Cộng về theo về của (27) và (28) dẫn đến ; (Py(X, yp(x)) — fy(x*, x*), x* - yp(x) ) + BCH’ (x, yg(X)), x* - yp(X) ) > 0, ay (Py(x, yp(x)) — Py(x, x), x* - yp(x) ) + (Py, x) — Py(*, x*), x* = yp(x) ) + + BH’ s(x, yp(x)), x* - yp(x) ) > 0 (29) Theo (26), ta có ð||x — x*| < Œy(X*, x*) — y(x, x), XỶ - X) (30) Cộng về theo về của (29) và (30), ta có ð||x — x*|Ủ < fy(x*, x*) - Py(x, x), yp(x) — x) + + €0, yeŒ)) — ŸJÚX, X), XẾ - x) + + Py Ye) — Py, x), X — Yg(X) } +

* (BEDS, yp(x)), x* - x) + ( BH’y(x, yes), x — yăx) ) G1)

Mặt khác, vì f(x, y) lồi theo y ứng với mỗi x nên f(x, yp(x)) — f(x, x) 2 (P(x, x), yp(x) — x), f(x, x) — f(x, yăx) 2 (Py, yp(x)), x — yp(X) ) Cộng về theo về ta được 0> (P4(x, yạ(X)) — Ÿy(X, X), X — yp(X) ) (32) Theo Bé dé 2.5.2 , tacd

(Hy, yp()), X— yp(X) ) = (H’ (x, yp(x)) — H’y(x, x), x — yg(X) )

Vì H”y(x, ) đơn điệu mạnh nên

Trang 8

Từ (31), (32) và (33), ta có ð||x— x*| < Œy(x*, x*) — Fy(, x), ypŒ) — x) + +P y(X; yp(x)) — f(x, x), x* - x) + + BCH (x, yăx)), x* - x) (34) Ta lại có

€y(X*, x*) — Ÿy(x, x), yp(x) — X) < ||Py(x*, x*) — Ÿy(, x)|| llysŒ) - x||, €y(x, yp(x)) — Ÿy(x, x), x* — x) < ||Fy(x, ys(x)) — Py(x, x)|| lx*—xt, B‹4H”,(x, y¿(x)), x* - x) < B|IH”y(x, yp(%))|| ||x* - x||

Mặt khác, vì P¿(.,.) lién tue Lipschitz với hằng số L; > 0 nên

I|Py(x*, x*) = Ÿy(x, x)|| < 2Li|x* - x||, (35) lIPyGx, yo(x)) — PyCx, x)I] $ Lallyp(x) — x (36) Vì (C6) và Bồ đề 2.5.2 nên IIH x, y;(@))|| = ||H”;(x, yạ(x)) — H’yCx, x)|| < L|x — yp@)|| 37) Từ (34), (35), (36) và (37), ta được ð||x — x*|Ÿ < 3Ldlyg(x) — xỊ| [lx — x*|| + BLllx — yạ()|l ll* - x|| Tức là ð||x — x*|| < @L¿ + BL)||x — yạ(x)|l Chọn HE HH EE ta có, V x e 9, llx — x*ll < e|lx ~ ys()|l- i Bỗ đề 3.2.2

Giả sử H thoả (C1) ~(C4) và (C6) Khi đó, V x e 9i",

Trang 9

Vì Bồ đề 2.5.2 nên H'y(x, x) = 0 Từ (38) ta có, V x e 9, V œ>0, H(x, yăx)) > A||x — yă)|Ứ (39) Ta lại có Ăx, Yo(x)) = HỌC, Yăx)) — H(x, x) = = fx H', (x, x + t(y, (x) —x)), y,(x) — x > dt fe Hy (x,x+t(y„(x)—x))— H, (x,x),y„(x)—x >dt II < [LIx~y,G9IÊ tứt=ZIx=y,@9)l, — 0) Kết hợp (39) và (40), ta suy ra, V x e 9‡",V œ>0,

AJ|x — yă@)|Ÿ < HŒ, yă%)) < 1/2 lÌx — yă%)|Í

Kết hợp với Mệnh đề 3.1.1 ,ta suy ra, V x e 9",

MB - œ)|x— yạ(%)| < gạy (x) < L⁄2 (B - ø)|x— yă®)|É (41)

a

Dinh lí 3.2.1 oe

Gia sit H thoa (C1) — (C4) va (C6) Giả sử f thoả các giả thiết ở Bổ đề

3.2.1 Khi đó, Vxe9" và x* là nghiệm duy nhất của (EP), Ix—x*|l< Tera (x) Chứng minh Vì Bồ đề 3.2.1 và (41) nên, V x e 9i, € x— x*|| < c||x - yăx)||< —————— X): a | l < e|Ix — yă)|| Boa ves ( ) Hệ qua 3.2.1

Gia str H thoa (C1) — (C4) và (C6) và f thoả các giả thiết ở Bồ dé 3.2.1 Khi đó lim g„„ (x) =+œ và tập mức của g„„ là compact

Trang 10

3.3 Thuật toán dùng hàm D-gap giải bài toán cân bằng

Ham H(x, y) = ; ||x—y|? thoa ede giả thiết (C1) — (C6) Từ chứng minh của

Định lí 3.1.3 ta nhận thay d(x) = yăx) — yp(x) là hướng giảm của E„; tại x, tỨc

là d(x) #0 va néu g',, (x) #0 thi

C8, (X), d(X)) = -đvŒ, yp(X)) — FxŒX, YăX)), ypŒX)— YăX))- - Ø§(%) = yăx), BH„(x, yp(x)) = œH”„(x, yăX)) ) < 0, do Bỏ đề 3.1.1 và tính đơn điệu chặt trên K của f„(x, )

Như vậy, ta có thê xây dựng phương pháp tìm ra dãy {x*}hội tụ về x* sao

cho x! ;= xÊ + t.d(x5) và d(x*) = yo(x*) — yp(x*) = 0 Tuy nhién, véi y(x*) =

yp(x*), x* cũng chưa chắc là nghiệm của (EP) Theo Định lí 3.1.3 , nếu Yo(x*) = yp(x*) va x* là điểm dừng của g„; thì x* mới là nghiệm của (EP)

Để khắc phục ,ta xây dựng d(x) := r(x) + p s(x), voi p > 0 đủ nhỏ và r(X) = yăX) — yp(%),

8(x) = OH?x(X; Yăx)) — BH’x(x, yp(x)) Bo dé 3.3.1

Giả sử H và f thoả các giả thiết ở Định lí 3.2.1 và ,V x e 9" ,f,(x,.) liên tuc Lipschitz với hằng số Í > 0 và đơn điệu mạnh với p> 0 Giả sử x” là điểm

bất kì trong 9° Khi đó, 3 p > 0 sao cho ,V xe T(x’) = {x /

Sap (X) S Sag (X°)} va VOI d(x) =1(x) + p s(x), ta cd

(d(x), 81 (x))< al r(x) || +P || s@9 ||)’

Chimg minh

Từ Định lí 3.1.1, ta có

(d(x), Slap CD) =O), POX ye()) — Px(X, yăX))) - Œ(X), (x) ) + + p (s(x), P(X ăx) — Px(, văX)) ) - pIls@S)|Ẻ

Vi f’,(x, ) liên tục Lipschitz với hằng số F > 0 nên

Trang 11

> ((x), P(x, yp(x)) — Ÿs(, yă%)) } < - Hllr@)|Ủ (43) Theo Bồ đề 3.1.1 thì -(r(x), s(x) ) <0 (44) Ta lại có (s(), P(, yăx)) = Ÿ, yăX)) ) < Jls(*)| IIPxC Ye) — Px y«(x))|| <lIs@)| Fllr)| (45) Do (42), (43), (44) và (45), ta được

Về phải của (46) có thê viết lại như sau

-wll(x)IÊ +E plies) Iso - pl(x)|Ê =

= “ (Ir@)lI+plIs(x)IŸ -2Ñu Ii r(x) || - IIs() lŸ +

+5 p-Dpl s(x) |? +Vp(u/p +P /p — VII rx) I-80) 1-47)

Thé thi chon p thoa man be in 1à (we (weỷ J up-1<0, up +P Vp -p<ọ (48) Ta có Từ (46), (47) và (48), ta có (đ@), g„ @))< —“(Ir@)lI+plIs@)l =

Ta xây dựng thuật toán với hàm f thoả các giả thiết sau: (A1) f đơn điệu mạnh trên 9” với hằng số 8 > 0;

(A2) V x e 9†", F,(x, ) đơn điệu mạnh trên K với hằng số p1 > 0; va liên tục

Trang 12

Thuật toán 3.3.1 Bước I Chọn x? e 9" và tham số p > 0, y € (0, 1) và Q > 0 Đặt k := 0 Bước 2 Nêu Sa (X" )= 0 thì dừng Ngược lại thì qua Bước 3 Bước 3 Dat d* = r(x*) + p s(x‘) Bước 4 - - Tìm m là sô nguyên không âm nhỏ nhât sao cho 8¿¿ (XẺ +y”đ*)—=g„ (x") <—y”.Q(|[r(x*) || +p ||s(x*)|DŸ và đặt xT = x8 +t dk voit =y" Trở về Bước 2 với k: =k + l Mệnh đề 3.3.1

Trang 13

Giả sử H thoả (C1) ~ (C6) và f thoả (A1) — (A4) Giả sử p thoả Bồ dé 3.3.1 và Q < 1⁄2 Khi đó {x"} của Thuật toán 3.3.1 hội tụ về nghiệm x* duy nhất của (EP)

Chứng minh

Do cách xây dựng dãy {x"} của Thuật toán 3.3.1 nên {x*}\CT(@&°) =

={X/ Bap (X) S Sag (X")}-

Theo Hé qua 3.2.1 thi tap mite T(x°) 1a compact Do do ,tén tai day con của dãy {x") hội tụ Vì {Bop (x*)} la dãy không âm và giảm nên hội tụ về g*,,2 0 nao

dọ Gia str x là giới hạn của dãy con {x } Vì Yal- ) va yặ) liên tục nên giới

hạn của ix } dẫn đến giới hạn của {r(x*)} và {s(x9)} Từ đó, dẫn đến giới hạn

của {d(x9}

Trang 15

3.4 Áp dụng vào bất đẳng thức biến phân

Bài toán bất đăng thức biến phân phát biểu như sau : (VIP): Tim x € S CR" sao cho, Vy € S, (F(x), yx) 20, ở đây F: 9‡" —> 9” khả vi liên tục và S c 9† là tập lồi đóng khác rỗng Đặt WĂx, y) = (F(x), X—y)- œ HỌC, y), f, (x)= max W(x, 'y)- Ta có các tinh chất sau (a) Ê,(x)>0,VxeS;

(B) f (x*) =0 va x* € S khi và chỉ khi x* là nghiệm cua (VIP);

(y) f,() kha vi lién tuc va

£', (8) = F(x) + F°(x)( = YalX)) - OH? CX, Yol)),

ở đây y„(x) là nghiệm duy nhất của bài toán min— W(x, y) ye

Ham g,, : 2" duge định nghĩa nhu sau , với 0 < œ << B,

Bay (x)= f(x) -f,)

= max 'Y, (x, y)—max ¥, (x, y) yes yeS

Trang 16

Các kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của các kết quả tổng quát tương ứng cho bài toán cân bằng ở các mục trước Vì vậy , ta chỉ phát biểu mà không trình bày chứng minh

Định lí 3.4.1

Giả sử H thoả (C1) ~ (C4) Khi dé ,g,, kha vi va

uy (X) =F’) Yp(X) — Vax) + BHA, yp(X)) — CHC Ye(X)) Định lí 3.4.2

Giả sử H thoả (C1) - (C4) Khi đó,g„ không âm trên 9" Hơn nữa

g„¿ (x*) = 0 khi và chỉ khi x* là nghiệm của (VIP)

Định lí 3.4.3 / ;

Giả sử H( ) thoả các giả thiết (C1) - (C5) Giả sử g'„„ (x*) =0 Nếu F”(x)

là xác định dương thì x* là nghiệm của (VIP)

Ví dụ 3.4.1

Giả sử F: 9† —> 9† xác định bởi F@) = & - 3Ÿ + 1, S = [0, +00) va HQy)=2 |x~y :

F đơn điệu chặt trên S nhưng F”(x) không phải là xác định dương khi x = 3 Với œ= ⁄ và B = 2 thì g'„ (3)=0 nhưng x = 3 không phải là nghiệm

(VIP), x =2 mới là nghiệm của (VIP)

Bồ đề 3.4.1

Giả sử H(.,.) thoả (C1) — (C4) và (C6) Giả sử F đơn điệu mạnh trên 9ï”

Nếu F liên tục Lipschitz trên 9†" hoặc nếu S compact thi ton tai hằng số c > 0 sao cho, V x e 9,

Trang 17

Định lí 3.4.4

Cho H(., ) thoả (C1) — (C4) và (C6) Giả sử F đơn điệu mạnh trên 9" Nếu

F liên tục Lipschitz trên 9†" hoặc nếu S compact, thì ø„,; tạo nên một cận trên toàn cục cho (VIP)

Bồ đề 3.4.2

Giả sử H thoả (C1) — (C6) Giả sử F đơn điệu ae với modul k trên 9†” và F liên tục Lipschitz trên 9” hoặc S compact Cho x” là điểm bắt kì thuộc R".Khi đó, tồn tại hằng số p>0 sao cho với mọi x trong tập mức

T(x"): = {x/ g„y (X) < gạy (x9)} ;và d(x) = r(x) + p.s(x) thoả (d(x), Bip (X)) roo + plls(x)|))

Định lí 3.4.5

Giả sử H thoả (C1) — (C6) Giả sử F đơn điệu mạnh với modul p trén 8" va

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	4,12 MB