1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

chỉnh hóa một số phương trình tích chặp, chương 3

15 241 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 15
Dung lượng 3,21 MB

Nội dung

tài liệu tham khảo chỉnh hóa một số phương trình tích chặp

Chu(Jng 3: MQl s(/ bai loan quy v~ phuang trinh tfch chi;ip CHu'dNG 3: " , ", ~ M9TSOBAITOANqUYVE 1-IIUdNG TIIINII rrtcll CII~I Qua tdnh giai quye't nhi@u b~ti loan c1iav~t ly, ky thu~t nhu' cac b~ti to 0) vI trang thl!c te Jlhi~t dQ eung nhli t6c (1Qbien thie n clla nbi~ t (1Qtbeo khong gian va thai gian khong th@ tang den va h 0, 38 >0 saGcho voi x ~ thl I I u(x) Vi u bi ch~n tren R nen ta d~t M = I E u(O)1 < lIulloo Tll' (3.2) SHYfa: Voi >0 cO'dinh, no E N cho \i n no ta c6: r f (x)dx < ~ 2M ~xl>/j II ChU'cIng 3: Mell s{/ hdi loan quy v€ phU'(fng lrll1h ([eh eh~lp Suyra: II~XJfl1(x).u(x)dx - U(o)!=1£:'[11(x).u(x)dx -£:fl1 (X).U(O)d~S; s;r:f" (x)lu(x)- u(O)ldx = f f"(x)lu(x)- u(O)ldx+ IxJ:58 + f (, (x)lu(x)- u(O)ldx< ~ f f"(x)dx + M f fn (x)dx < Ixl>8 S 8 S f (x)dx+M =-.I+-=s -if) n 2M 2 r: f" (x)u(x)dx = u(O) J!~XJ 86' d~ 1.2 Hams6r(x,t,~,1:)= -(X-~)2 thoa phu'dng tr)nh truy€n nhiet exp 2~n(t - 't) [ 4(t - 1:) ] (3.1) va c1~ng th((c: o2r or o(i 7); ClllJ'ng minh: o2r Ta clul'ngminh: or -1 -= ax -1 exp ox 4.Jn(t -1:)2 -1 : , 1- 4vn(t-1:)2 ~ [ or = ~ at = 2.Jn { [ { 2(t-1)2 -1 ~ ] - - ) '" [ 4(t -1:) ] exp [ _(X-~)2 (X-~)2 J exp 2(t - 1:) [ 4(t -1:) J} _(X-~)2 4(t - 1:) ] exp ~ix - ~)2 + -~ (X-~)2 ,[ 4vn(t -1:)2 o2r D[ => =ax Ut _ (X_!: 4(t -1:) (x- ~)22(t - 1) -1 or = - at -(X-_~)2 ~= = oX2 (x-~).exp ,~ 4vn(t-1:)2 o2r (x - ~)2 exp =-(x -:~ [ 4(t-1:) ] )t-1 4(t-1) _(X-~)2 exp 2(t'-1:) ] [ 4(t-1:) ] V~y r (hc'SaplU(dng (dnh (rUY€llllhi~( (3.1) - 4(t-1:) ]j Chuang 3: M(jl sf)' bel; loan quy v€ phuang lrlnh tfch dl(lP a2r ar Ta ch((ng lTIinh: a~ ==- at ar x ~ - - == a~ exp [ 4(t - t) ] 4-Fn(t - t)3/2 a2r -== a~2 -exp 4l;;(t-t)3/2' { == exp I ~ 4\111:(t-t)2 ar ==~ at t 2(t-t)2 I a2r [ ~ exp [ 4(t-1) - II J (X-~)2 ]{ 1- 2(t-~) } ar a1 == a~ I (X-~)2 ]{ 2(t-t) 4(t-t) _(X-~)2 4\111:(t-1)2 ===> _(X-~)2 ]} r == _(X-~)2 _(X-~)2 (X-~)2 + ex p[ 4(t-t) [ 4(t-t) ] 2(t-t) -(X-~)2 -(X-~)2 (X-~)2 1 cxp exp ~ [ 4(t - t) ] [ 4(t - t)2 ] [ 4(t -1) ] ~ 2J11: - (x - ~)2 Menh d~ 3.1.3 Bai loan nhi9t gia td dfiu co nghi9lTIdliQcxac djnh bdi cong th('(c: ~2J;t fOOexp- u(x, t) == [ -00 (x 4t ~)2 X E R, t > v(~)d~; CluIng min/1l D?t r(x, tf ~f 1:) == (x-=-~~ exp [ 4(t 1:) ] 2~n(t - 1:) Voi (x, t) c6 (1jnh,ham s6 r xac djnh vOl: - 00 < ~ f < Ft 11I > cis )- Tli (3.7) va (3.8) ta SHYfa: 11 )- co LI 'Ly lu~n tl(dng t~(nhu' tren Ll, ta cling co ke't que! tre11L, nhl( san: > f ds ~ n ~ Cf) L, + Tren L2 : 'T -t = 0, - 11 < ~< n, n2 = (0;-1) II ( OCJ 11= -JU(~,O).r(x,t,~,O)d~ = -J2-fnt ~)2 exp [ - X4~ ] V(~)'X[-II,II](~)d~ Do ham s6 v bj ch~n, ap d\l11gd1nh ly hQi t~1b1 ch~n (1.5, Chl(dng 1) tren R, do: _(X-~)2 _(X-~)2 (~) = exp - 4t 'X[-I1I1](~)' n = 1,2,3, f(~) = g(~) = exp 4t [ ] [ [II ta dl(c;Jc: + f< F,n2 > ds ~ I - _(X-~)2 +OCJ fexp 2-vnt -OCJ , L2 [ ] 4t v(~)d~ n ~ 00 + TrenL4: 'T=to' -> -n tadtiQc, +00 Jds-+ J (t-t) -00 2~n L, khl n-+oo - (x - ~)2 exp- j [ 4(t-to) () u(~,to)d~ Nhti v~y, tli (3,6) ta suy fa: +00 f "ex -002-v71:t { (~)2 x4t v B ~t t-to =-, n +oo {-4(t-to) (x - ~)2] ;?' -2 [ x-~ =-,ta -ex 71: { , n luTI -e n-,oo-00 71: fJ¥ ] { n(x - ~)2 - u(~,t )d~ j 11 11 -nt2 -e 71: iu(x-2tl't ~)dt111 f~ u(~,t )d~= n -00 taco: -nt2 iu(x-2t[,t -)dt] Suyra: - -ex f~~.171: 2-00 +OO Apd~1l1gkStquacuab6d~3,l.l, +oo 11(~,to)d~ ' ): ~ f ,u(~,to)d~=- - n(x - , ) n l d tidc: +OO -00 +oo I ex I ",:,,: ' B 01 tJlenso:t ~)2 suyra: -002~71:(t-to) ] ( f ex - x{ 4(t-to) -002~71:(t-to) ,v(~)d~= f +00 u(x,t)= =u(x,t) n - (x Sex 71:t-00 4t +00 ; { ~)2 ] v(~)d~; x E R,t > (3.9) Bay 1a ham phan b6 nhi~t dQ (j V1tri x t~i thai di€m t > cua b?ti tmll1 nhi~t gia trj dfiu, Bay giG ta xet bai tmln nhi~t ngl(c,1cthai gian: a2u au ax-2 - [ u(x,l) Tt( cong th((c (3,9), thay t at ' = u(x), X E R, t > TIm vex) = lI(X,O)? = 1, ta dl(QCphu'dng trtnh tich pilau Fredholm Im~i (fin v): +00 ):2 - - ( x-C;) 2';; -!exp [ ] ,v(~)d~ = HeX),x E R (3.10) Chu'(jng 3;' MQ[ so' bili loan quy v~ phuong [dnh tfch ch(ip E>~t K, (x) = 2}; exp(_x: ) Khi phuong trlnh (3.10) duQc vie't dtfoi cI~lI1g tich ch~p: (Kl*v) (x) = U (x) 3.2 Bai tocm nhh~t 16 khoan thorn Ta xem 16 khoan tren m~t da't nhti 1a nlia cl5n nhi~t dai vo Iwn va t~li di0m khoan ling voi tQa dO x = 0, Ngudi ta mu6n xac dinh nhi~t dO t?i t?i m?t c1a't(ling voi x = 0) vao thai di~111 t nao Do nhi€u lac dOng eua moi tnidng hen ngoai qua (HItl11ake't qua thu du'Qc d~fa tren tinh loan tr~e tie'p se co sai sO',VI the' ngtfdi ta xae dinh nhi~t dO d vi tri x> t?i thdi di0m t, san SHYra gia tri c~n tIm Truoe lien, ta xet b~tiloan nhi~t gia tri bien: Cho bie't u(O,t) = v(t), TIm phan b6 nhi~t u(x,t) t?i vi tri x >0 vao thai c1i~mt B~d loan khong ma't Hnh t6ng quat ne'u gia sli ding t?i mQi vi tri x >0 dell c6 nhi~t dO bfing t?i thdi di0m t =0, B~titmln nhi~t gia tfi bien co phuong trlnh: au a2u -, ax2 at u(x,O) = , u(O, t) = v(t); x> t >0 (3.11) x> t > 0, ? TIm u ( x, t) ? au au 1" , sox a caCUlill " , I TtfOn g tti n 1lU (I b al loan n hlet gm tn (1au, ta g m tllet u, - ,'A" ' ;1; '? 'X ' ax bi ch~n, Ngoai fa, ta md rOng ham sO'u(x,t) bfing each b6 sung: u(x,t) = 0, x < 0, t >0 Khi c16:ham u xac dinh tren R x R+ B6 c1~3.2.1 E>~t r(x, t,~, T)= 2~1t(t - T) exp - (x - ~)2 [ 4(t - T) ] (-CX)O ] ':> , 2(t-T) t J = aT x +1 + _(X+~)2 ] 2(t-T) 2(t-T) _(X+~)2 - ] (X-_~)2 expo [ 4(t-T) s (X-~)2 - J ':> aG =:>-=-a~2 ) 4( t - T)l 4(t-T)2 ][1 ] 4(t-T) 4(t - T) l - + sexp, _(X-~)2 [ - + ] (X+~)2 4(t-T) { exp 2(t-T) _(X-~)2 _(X+~)2 - [ 4(t-T) ~ (X+~)2 [ [ (x - ~)2 - 2(t - T) (X-~)2 4(t-T) exp 2(t-T)2 - [ { 4Fn(t-T)% ] -(X-~)2 exp ] 4(t - T) _(x+~)2 [ { 4FnCt-T)% = [ { (x - 02 + } -(x+~)2 +(x+~)exp ] 4(t-T) - (x - ~) - exp [ ] '2(t-T) ] +exp [ 4(t-T) -(X-~)2 ~ (x-~),exp { 4FnCt-T)2 x+~ - ]} Chuang 3: M6t seJbd(todn quy vi phu'ang trinh tfch ch(zp Xet ham Green cho bai loan Direchlet: G(x, t,~, 1) = r(x, t,~, T)- r(x, t,-~, 1) Lffy U(~,1 ) la mOt nghi~m cua phuong trlnh (3,11) (3.12) CO'dinh (x,t), x> , t> 0, Xet tntong vect(i F: F(~,1) = u(~, 1)~G(X, ( , a~ t,~, 1) - G(x, t,~, 1)~ a~ u(~, 1); u(~, 1).G(X, t,~, T) ] (0< ~ ds Nho b6 d€ 3,2.1 va (3.12) ta co: , a aG au dlVF(~ 1)=u -G' a~ [ a~ a~ ] a(uG) + a1 = u a2G -G a2u + a(uGl a~ a~ ch =- u aG - G au + a(uG) a1 a1 a1 =0 (3.14) l' (Hlnh 2) -> -> ~ x Ky hi~u nhl! tren Hinh 2, ta co: 11 ~ ChLCang3: M()[ sf)' bili [Dan quy v~ phLCang trinh tfch ch4p -> > f fds+ fds un s, s) > f< F, n + > > ds + S, f< F, 114 (3.15) > ds S4 Tli (3.13), (3.14) va (3.15) ta suy fa: > L f cIs =0 (3.16) i=1 s; > Tren 51: T = 0, < ~< n, 111 = (0; -1) Vi u(~,O) =0 nen ta co: f< F,l~ > ds = s, - I u(~,O).G(x, t,~,O)d~ = (3.17) > < T < to, Tren 52: ~ =11, 112 = (1; 0) CG a fds= u(I1,T) (x,t,n,T)dT-1)G(x,t,n,T)-u(n,T)ch= a; a; > r" r" S2 = A I " x-n '+V7T i ex ) -(x-n)2 : (t-T)2 r" { 4(t-T) -(x-n)2 2[;; 1)) -exl-~t-T [ )cl ( un, T T+ A I ] '+V7T " x+n i ) (t-T)2 aIr" -(x+n)2 ~ ex! { 4(t-T) ] -(x+n)2 -_exl 4(t-T) ] -u(n,T)ch-+ -=)) a; 2J7T) ft-T LIen,T)dT f 4(t-T) ] a -u(n,T)clT a; 5ti dl,ll1gket qua oil tlnh tren Ll chling ll1jnh m~nh c1~3.1.3, ta SHYfa: > Jds 5, -~Okhjn-~oo (3.18) -> Tren 53: T = to, < ~ < n , 113 = (0;1) > f< F,n] > ds = - [u(~, to)G(x, t,~, to)d~ = S, = [u(~, to)r(x, t,~, to)d~ - [u(C; to)r(x, t,~ to)d~ Thea ket qUC!oil tlnh tren L4 chling minh ll1~nh c1~3.1.3, ta co: _Chu'o'ng3: M()l so' bcii loan guy v~ pluiong tdnh tlch ch(ip 11 11 ~ U( c"to) f~ 0fl1(~,to)l(x,t,~,to)d~= -n2 -1-0') -0') 4(t-to) ~ J d~ (~ ) uc,t -x-) [- n,n ](~)d~ ~ n ( t' toO) exp [ 4((t - t~ ) ] X f = -(x-c,) ,exp [ net-to) - JU(~,lo)r(X, M~c khac: I,-~, 10)d~ = ~ HeX,t) -112 net-to) J Jl(~, 10) n exr [- - )- 00 (x ~ ~)2 d~ 4(t to) ] J: -I- _(X+~)2 d f ] [ = _Cf)2~n(t-to) exp 4(t-to) X[-n.n](~)~~ O') u(~,to) -IO') u(~,to) f ~ _(X+~)2 exp [ 4(t - to) ]d _CI)2~n(t- to) IV vat t ' kl1J n -~ ,:?, n 2' oo oo 00 ' K c1 to =- 1, va c1 01 bJen soK t l = -,X + ~ talidc: - + u(~,to) f _002~n(t-to) ;_(X+~)2 J: - + exp -c, exp [ 4(t to) ]d 2-00 n f~ +oo ~ fe 11 = ~ c, -n -l1li -00 -11(X+~)2 [ - J ~ U(c"t )d c, n u(2t,-x,t -)dt, n Apch;ll1g k€t qua ci'1ab6c1€3,l.I,tac1l(Qc: +OO , IHn I~-en 11-'DO -DO I -1112 (VJ (-x) < 0) 'u(2t,-x,t )dt,=u(-x,t)=0 7t n -> V~y : (3.19) I< F,n, > ds -+ u(x,t) n-+ co s) Tren 54: ~ = 0, -> < 1" < to , I" Ids=s, -, 114=(-1;0) au l"au(O,1") , fu(O,1") (X,t,O,'t:)d1" + a~ f U(x,t,O,1")ch a~ t , v I U (x, t, 0,1")d 1"= 0, ta soy - I " au(O,1") , I" au IU(O, 1")-(x, aJ: ° c, I" (j(x, t, ,1")d 1"= a~ x2 xv(1") t,O, 1")d1"= J-~ ~exp I °2\i7t(t-1")2- - (h [ ( t - 1") ] Chuang 3: M()[ so' bai loan quy vi phuang [dnh tich ch4p x - 2Fn [ - oo X2 v ('t ) 00 (t-'t)2 ('t)d't [ ] - exp [ 4(t-'t) ] X o,t_.! 11 Ap d~lllg dinh 19 hQi tv bi ch~n, ta c6: x ro vCt) 11) ex 2- ;n ) - (t-1)2 " V ] d1~- - K€t hQp tli (3.17) o€n (3.20), J i - n) v( 't) (t - 't)2 { 4(t { 4(t-'t) - X2 3exl (t - 1f x :1 ex ~ v(1) ! 2- ;n ) $4 HeX,t) = ! (t-1)2 X I J < F ,n4>cs~ 1 2- ;n) -x vCt) ' J ch kIll n~Cf) ' - 1) ]d 1: khIn~Cf) (3.20) ta SHY ra: -x exp d't, x > 0, t > [ 4( t - 't) ] (3.2l) Day 1a ham phan b6 tinh nhi~t dQ d vi tri x >0 VaG thai c1i@mt clJa bai tmln nhi~t gia tri bien Bay gia ta xet bai loan nhi~t 16 khoan tham do: a2u ax au at' u(x,O)= ; x> 0, t> x>O t>0 u(1,t) = net); Tli cong thltc (3.21), thay x ,TIm vet) = tI(O,t)? = 1, ta Ol(\jCphl(Ong trlnh rich phan Fredholm lo (3.22) -1 .exp(-);t> ~ 4t , ] 2t2Fn t va md rQng ham s6 v voi v (t) ;t sO = t s O Khi d6 phl(Ong trlnh (3.22) dl(QC viet du'oi d f< F, n + > > ds + S, f< F, 114 (3. 15) > ds S4 Tli (3. 13) , (3. 14) va (3. 15) ta suy fa: > L f cIs =0 (3. 16) i=1 s; > Tren 51: T = 0, < ~< n, 111 = (0; -1)... 11EN} Ki hi~u 30 la bien clla mien md Q Ap d\l1lgdjnh ly divergence cho tHrong vectd F tren Q, ta co: , f divF(~, 1)d~d1 =,Xlf < n (3. 13) F(~, 1), n(~, 1) > ds Nho b6 d€ 3, 2.1 va (3. 12) ta co:... f< F,l~ > ds + f< F,t;: > ds + f< F,t~:> cis (3. 6) aD LI L2 L] -> Tiy (3. 4), (3. 5) va (3. 6) ta SHYfa: I J < F(~,T),11;(~,T)> cis= ;=1L; L''I Chu''ong 3: M()t sc/ b!!i loan quy v~ phuong trlnh rich

Ngày đăng: 28/04/2013, 16:26