TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn thi: Toán, khối A,B ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút( không kể thời gian giao đề) A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( Câu I : ( 2,0 điểm ) Cho hàm số : y = 7,0 điểm ) 2x − có đồ thị ( C ) x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) Tìm đồ thị ( C ) điểm M có hoành độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị ( C ) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn : IA2 + IB = 40 Câu II : ( 2,0 điểm ) 1) Giải phương trình : 3sin x + cos x + cos3x = 3cos x − cos x + 2) Giải phương trình: + 2x + ( x + 1) − 2x = Câu III : ( 1,0 điểm ).Tính tích phân: I = ∫ ( x − 2) 27 x dx 4− x · · Câu IV : ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S ABC có AB = AC = 4, BC = 2, SA = 3, SAB = SAC = 300 Tính thể tích khối chóp S ABC Câu V : ( 1,0 điểm ).Cho a, b, c ba số thực không âm thoả mãn : a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức : P = a b + b c + c a − abc B PHẦN TỰ CHỌN: ( 3,0 điểm ).( Thí sinh làm phần,phần A phần B) A.Theo chương trình chuẩn: Câu VIA : ( 2,0 điểm ).1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A ,biết phương trình đường thẳng AB, BC x + y + = x − y + = ,đường thẳng AC qua điểm M ( 3;0 ) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C 2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng : x −1 y −1 z −1 x y +1 z − d1 : = = = = d : 2 −1 −2 Tìm toạ độ điểm I giao điểm d1 d ,lậpphương trình đường thẳng d3 qua điểm P ( 0; −1; ) ,đồng thời d3 cắt d1 d A, B khác I thoả mãn AI = AB 2009 2011 Câu VII A.(1,0 điểm):Tính tổng S = C2011 − C2011 + C2011 − C2011 + L + C2011 − C2011 B.Theo chương trình nâng cao x2 y2 = với hai tiêu Câu VIB : ( 2,0 điểm ) 1)Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho e líp ( E ) : + 25 · F = 1200 Tính diện tích tam giác PF1 F2 điểm F1 , F2 Điểm P thuộc elíp cho góc PF x −1 y − z = = 2) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz,cho hai đường thẳng : ∆1 : −3 x −5 y z +5 ∆2 : = = ,mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Tìm điểm M ∈ ∆1 , N ∈ ∆ cho MN −5 song song với mặt phẳng ( P ) cách mặt phẳng ( P ) khoảng Câu VII B:(1,0 điểm): Tìm phần thực,phần ảo số phức z = ( (1+ i) 2012 3+i ) 2011 -Hết - TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn thi: Toán, khối A,B (gồm trang) ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Điểm I 2,0 1,00 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y = 2x − x +1 +Tập xác định D = ¡ \ { −1} +Sự biến thiên • -Chiều biến thiên: y ' = ( x + 1) 0,25 > ∀x ≠ −1 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) • Cực trị : Hàm số cực trị • Giới hạn vô cực tiệm cận: 2x −1 lim y = lim = ,đường thẳng y = tiệm cận ngang x →±∞ x →±∞ x + 2x −1 2x −1 lim− = +∞; lim+ = −∞ , đường thẳng x = −1 tiệm cận đứng x →−1 x + x →−1 x + • Bảng biến thiên : x y' y -∞ +∞ -1 || + + +∞ || 0,25 0,25 −∞ 1 +Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm A ;0 ÷ 2 Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm B ( 0; −1) Đồ thị hàm số nhận giao điểm tiệm cận I ( −1; ) làm tâm đối xứng -10 -5 -2 -4 -6 0,25 10 Tìm đồ thị ( C ) điểm M có hoành độ dương 1,00 2x −1 TCĐ ( d1 ) : x = −1 ,TCN ( d ) : y = ⇒ I ( −1; ) Gọi M x0 ; ÷ x0 + ∈ ( C ) , ( x0 > ) Phương trình tiếp tuyến với ( C ) M : ( ∆ ) : y = ( ∆ ) ∩ ( d1 ) = A −1; ( x0 + 1) ( x − x0 ) + 0,25 x0 − x0 + x0 − ÷ , ( ∆ ) ∩ ( d ) = { B ( x0 + 1; ) } x0 + 0,25 36 + ( x0 + 1) = 40 ( x0 + 1) − 10 ( x0 + 1) + = 2 IA + IB = 40 ⇔ ( x0 + 1) ⇔ x0 > x > ( y0 = 1) ⇔ x0 = 0,25 ⇒ M ( 2;1) 0,25 2,00 1,00 II Giải phương trình : 3sin x + cos x + cos3x = 3cos x − cos x + 4 Pt ⇔ ( sin x − cos x ) + ( cos x − 1) + ( cos x + cos x ) = ⇔ −3cos x + cos x + cos x cos x = ⇔ 4cos x − 6cos x + cos x cos x = cos x = 0(*) ⇔ cos x cos 2 x − + cos x = ⇔ cos x − + ( cos x − 1) = 0(**) π kπ ,k ∈Z +Pt (*) ⇔ x = + ( **) ⇔ ( cos x − 1) ( cos x + 1) + ( cos x − 1) = ⇔ 8cos x − sin x + ( cos x − 1) = ( ) ( ) ( ) ⇔ 8cos x ( cos x − 1) + ( cos x − 1) = ⇔ ( cos x − 1) 8cos x ( cos x + 1) + 1 = cos x = ⇔ ⇔ x = k 2π , k ∈ Z cos x cos x + + = ( ) ( ) π π Phương trình có họ nghiệm: x = + k & x = k 2π , k ∈ Z 2 Giải phương trình: Điều kiện : x ∈ − ; Ta có ( + 2x + − 2x + 2x + − 2x = ) = 9+2 ( x + 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 27 ( + 2x ) ( − 2x ) ≥ ⇒ + 2x + − 2x ≥ Mặt khác ∀x ∈ − ; ⇒ −9 ≤ x + ≤ ⇒ ≤ ( x + 1) ≤ 81 ⇒ ≤ ( x + 1) ≤ 27 ( **) Từ (*) (**) suy phương trình tương đương với: + x + − x = x=− ⇔ So với điều kiện ta nghiệm phương ( x + 1) = x = (*) 0,25 0,25 0,25 0,25 x=− trình x = III Tính tích phân …… I = ∫ ( x − 2) 1,00 x dx = ∫ ( x − ) 4− x − ( − x) dx + ( − x) 0,25 π đặt − x = 2cos 2t với t ∈ 0; ⇒ dx = 4sin 2tdt 2 x t π 0,25 π I = ∫ ( x − 2) − ( − x) sin t dx = ∫ ( −2cos 2t ) sin 2tdt + ( − x) cos t π π 0,25 I = 8∫ cos 2t ( cos 2t − 1) dt = ∫ ( + cos 4t − 2cos 2t ) dt I = t + sin 4t − sin 2t ÷ IV π 0,25 =π −4 · · Cho hình chóp S ABC có AB = AC = 4, BC = 2, SA = 3, SAB = SAC = 300 Theo định lí cô sin tam giác ta = = SC Gọi M , N trung điểm SA, BC ⇒ ∆BAS , ∆CAS cân nên BM ⊥ SA, CM ⊥ SA ⇒ SA ⊥ ( MBC ) SB = AS + AB − AS AB.cos300 = 48 + 16 − 2.4 3.4 V ta có ∆BAS = ∆CAS ( c − c − c ) ⇒ MB = MC ⇔ ∆MBC cân M ⇒ MN ⊥ BC · = 300 ⇒ BM = AB = tương tự Trong tam giác vuông ABM , MAB CM = = BC suy ∆MBC có cạnh dtVMBC = 22 = Từ thể 1 tích khối chóp S.ABC là: VSABC = SA.dtVMBC = 3 = (đvtt) 3 …Tìm giá trị lớn biểu thức : P = a b + b c + c a − abc Đặt a = x, b = y, c = z ,thì điều kiện trở thành: x, y , z ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức P = x y + y z + z x − xyz 2 x + y + z = Ta thấy P ≥ theo bất đẳng thức Côsi Không tính tổng quát giả sử y số có giá trị nằm x & z ta 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 2 có: z ( y − x ) ( y − z ) ≤ ⇒ y z + z x − yz − xyz ≤ ⇔ x y + y z + z x − xyz ≤ x y + y z ⇒ P ≤ ( x y + y z ) 0,25 1 y + x2 + z + x2 + z ⇔ P ≤ y ( x + z ) ≤ ÷ = (bất đẳng thức Côsi.) 2 0,25 a = b = c = x = y = z a = z = ⇔ ⇔ P ≤ dấu xẩy trường hợp b = x = y c = Vậy Pmax = ⇔ a = b = c = ∨ a = 2; b = 1; c = hoán vị VIA …Tìm toạ độ đỉnh A, B, C x + 3y + = x = −2 ⇔ ⇔ B ( −2; −1) B = AB ∩ BC nên toạ độ B nghiệm hpt: x − y +1 = y = −1 r Đường thẳng AB có vtpt n1 = ( 1;3) r Đường thẳng BC có vtpt n2 = ( 1; −1) r Đường thẳng AC có vtpt n3 = ( a; b ) với đ/k a + b > Do tam giác ABC cân A nên ·ABC = ·ACB < 900 ⇒ cos ·ABC = cos ·ACB ⇔ r r r r n1.n2 n2 n3 a −b r r r r cos ( n1 ; n2 ) = cos ( n2 ; n3 ) ⇔ r r = r r ⇔ = n1 n2 n2 n3 10 2 a + b2 0,25 2.00 1,00 0,25 0,25 ⇔ ( a + b ) = 10 ( a − b ) ⇔ ( a − 3b ) ( 3a − b ) = ⇔ a − 3b = ∨ 3a − b = r • a − 3b = chọn a = 3, b = ⇒ n3 = ( 3;1) AC qua M ( 3;0 ) ⇒ ( AC ) : ( x − 3) + 1( y − ) = ⇔ ( AC ) : x + y − = 0,25 x + 3y + = x = ⇔ ⇔ A ( 4; −3) A = AB ∩ AC nên toạ độ A nghiệm hpt: 3 x + y − = y = −3 x − y +1 = x = ⇔ ⇔ C ( 2;3) C = BC ∩ AC nên toạ độ C nghiệm hpt: 3 x + y − = y = r r • 3a − b = chọn a = 1, b = ⇒ n3 = ( 1;3) = n1 ⇒ AB / / AC (loại ) 0,25 …Tìm toạ độ điểm I giao điểm d1 d ,lậpphương trình đường thẳng d3 … 1,00 Vậy toạ độ đỉnh A ( 4; −3) , B ( −2; −1) , C ( 2;3) y +1 z − x x = −1 = −2 = ⇔ y = ⇔ I ( 1;1;1) Toạ độ I nghiệm hpt: x − y − z − z = = = 2 mặt phẳng ( Q ) chứa d1 , d ( Q ) qua I ( 1;1;1) có vtpt r r r r nQ / / [ u1 ; u2 ] = ( 8; −4;0 ) ⇒ nQ = ( 2; −1;0 ) ⇒ ( Q ) : x − y − = ta thấy P ( 0; −1; ) ∈ ( Q ) Giả sử có d3 qua P, d3 ∩ d1 = A, d3 ∩ d = B khác I 0,25 0,25 cho IA = AB Lấy A1 ( 2;3;3) ∈ d1 , B1 ( −t ; −1 − 2t ;3 + 2t ) ∈ d chọn t cho A1 I = A1B1 với B1 ≠ I ⇒ t nghiệm phương trình B1 ( 1;1;1) ≡ I (loai ) 11 A1 I = A B ⇔ 9t + 20t + 11 = ⇔ t = −1 ∨ t = − ⇔ 11 13 B ; ; 9 ÷ u u u u r r r 14 22 đường thẳng d3 có vtcp u / / B1 A1 = ; ; ÷ ⇒ u = ( 7;14; 22 ) 9 9 2 1 0,25 đường thẳng d3 qua P ( 0; −1; ) từ pt d3 x y +1 z − d3 : = = 14 22 VII A Xét khai triển ( + i ) 2011 2011 2011 = C2011 + C2011 i + C2011 i + C2011 i + + C2011 i i k = 1, i k +1 = i, i k + = −1, i k +3 = −i, ∀k ∈ ¥ ta có ( 1+ i) 2011 2010 2011 = ( C2011 − C2011 + C2011 − − C2011 − C2011 + C2011 − − C2011 ) + ( C2011 ) i (1) mặt khác ( + i ) VIB · F = 120 Tính diện tích tam giác PF1 F2 …Điểm P thuộc elíp cho góc PF 2 2a = 10 a = 25 a = x2 y ⇒ ⇒ ( E ) : + = có 2 25 b = c = a − b = 16 c = ⇒ F1 F2 = theo định nghĩa elip định lí cô sin ta có: PF1 + PF2 = 2a = 10 PF2 = 10 − PF1 ⇒ 2 2 PF2 = PF1 + F1 F2 − PF1.F1 F2 cos120 ( 10 − PF1 ) = PF1 + + PF1.8 PF1 = 1 18 ⇒ S ∆PF1F2 = PF1.F1 F2 sin1200 = = (đvdt) 61 2 7 PF = …Tìm điểm M ∈ ∆1 , N ∈ ∆ cho MN … x = + 2t x = + 6s M ( + 2t ;3 − 3t ; 2t ) ∈ ∆1 ⇒ pt tham số ∆1 : y = − 3t & ∆ : y = s z = 2t z = −5 − 5s N ( + s;; s; −5 − 5s ) ∈ ∆ t = =2⇒ t = uuuuu r t = ⇒ M ( 3;0; ) ⇒ M N = ( 6s + 2; s; −5s − ) uuuuu r r uuuuu rr M N / /( P) ⇒ M N ⊥ nP = ( 1; −2; ) , M N nP = ⇒ MN / / ( P ) ⇒ d ( MN ; ( P ) ) = d ( M ; ( P ) ) = • 12t − ( 6s + ) − 2.4s + ( −5s − ) = ⇒ s = −1 ⇒ N1 ( −1; −4;0 ) uuuuur • t = ⇒ M ( 1;3;0 ) ⇒ M N = ( 6s + 4; s − 3; −5s − ) uuuuur r uuuuur r M N / /( P ) ⇒ M N ⊥ nP = ( 1; −2; ) , M N nP = ⇒ ( 6s + ) − ( 4s − 3) + ( −5s − ) = ⇒ s = ⇒ N ( 5;0; −5 ) Đáp số : M ( 3;0; ) , N ( −1; −4;0 ) & M ( 1;3;0 ) , N ( 5;0; −5 ) VII B 2012 z= ( ( 1+ i) 2012 +i ) 2011 1.00 0,25 0,25 1005 1005 = ( + i ) ( + i ) = ( 2i ) ( + i ) = −21005 + 21005 i (2) 2009 2011 1005 Từ (1) (2) ta được: S = C2011 − C2011 + C2011 − C2011 + L + C2011 − C2011 = 2011 0,25 π π cos + i sin ÷ 21006 ( cos π + i sin π ) = = 2011 7π 7π π π 22011 cos + i sin ÷ cos + i sin ÷ 6 6 π π π π ⇒ z = 1005 cos − ÷+ i sin − ÷ = 1005 cos − i sin 6 6 0,25 0,25 2,00 1,00 0,25 0,25 0,5 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ Phần thực z 1005 cos π π , Phần ảocủa z − 1005 sin 6 ... − 3b ) ( 3a − b ) = ⇔ a − 3b = ∨ 3a − b = r • a − 3b = chọn a = 3, b = ⇒ n3 = ( 3; 1) AC qua M ( 3; 0 ) ⇒ ( AC ) : ( x − 3) + 1( y − ) = ⇔ ( AC ) : x + y − = 0,25 x + 3y + = x = ⇔ ⇔ A ( 4; 3) ...TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ THI TH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn thi: Toán, khối A,B (gồm trang) ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Điểm I 2,0 1,00 Khảo sát vẽ đồ th hàm số : y = 2x −... độ A nghiệm hpt: 3 x + y − = y = 3 x − y +1 = x = ⇔ ⇔ C ( 2 ;3) C = BC ∩ AC nên toạ độ C nghiệm hpt: 3 x + y − = y = r r • 3a − b = chọn a = 1, b = ⇒ n3 = ( 1 ;3) = n1 ⇒ AB / / AC