DE PHAN LOAI HS KHA GIOI

Đề THI vào lớp chọn khối năm học 2010 2011 Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Bài (1, điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 x 12 ; b) x2 + 2xy + 4y ; Bài 2: (2, điểm) Cho biểu thức: P = ( x + x x + x + x + 1) ìx( x + 1)3 (1 + x) x x +1 x x a, Tìm x để P xác định ; b, Rút gọn P c, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên? Bài 3: (2,0 điểm) a, Chứng minh tổng ba số nguyên chia hết cho tổng lập phơng ba số nguyên chia hết cho b, Chứng minh bất đẳng thức: 1 Với a; b số dơng + a b a+b Bài 4: (3, điểm) Cho tam giác ABC cân A, D trung điểm cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho: MDN = ABC Chứng minh: a, Hai tam giác BMD CDN đồng dạng với ; b, MD2 = MN MB Bài 5: (1, điểm) Cho tam giác ABC trung tuyến AD Gọi G trọng tâm tam giác Một đờng thẳng qua G cắt cạnh AB, AC lần lợt M N Chứng minh rằng: AB AC + =3 AM AN Đề THI vào lớp chọn khối năm học 2010 2011 Thời gian: 90 phút (không kể phát đề) Bài (1, điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 x 12 ; b) x2 + 2xy + 4y ; Bài 2: (2, điểm) Cho biểu thức: P = ( x + x x + x + x + 1) ìx( x + 1)3 (1 + x) x x +1 x x a, Tìm x để P xác định ; b, Rút gọn P c, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên? Bài 3: (2,5 điểm) a, Chứng minh tổng ba số nguyên chia hết cho tổng lập phơng ba số nguyên chia hết cho b, Chứng minh bất đẳng thức: 1 Với a; b số dơng + a b a+b Bài 4: (2, điểm) Cho tam giác ABC cân A, D trung điểm cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho: MDN = ABC Chứng minh: a, Hai tam giác BMD CDN đồng dạng với ; b, MD2 = MN MB Bài 5: (1, điểm) Cho tam giác ABC trung tuyến AD Gọi G trọng tâm tam giác Một đờng thẳng qua G cắt cạnh AB, AC lần lợt M N Chứng minh rằng: AB AC + =3 AM AN đáp án biểu điểm Bài 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3) b, x2 + 2xy + 4y - = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2) Bài 2: a, Điều kiện: x (0,5điểm) (0,5điểm) (0,75điểm) 2 2 b, P = x + x x + x + x + x + x + x x (0,5điểm) x x4 + x2 + x2 x4 + x + = = x3 x x3 (0,5điểm) c, P = x +3 x + = x( x 1) 3+ x + x + = x + x x (0,25điểm) x Với x nguyên P nhận giá trị nguyên x-1 ớc 1: (0,25điểm) TH1: x-1 = => x = (thõa mãn đk) TH2: x - = -1 => x = (thõa mãn đk) (0,25điểm) Bài 3: a, Giả sử a + b + c chia hết cho Ta có: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- (a+b)(b+c)(c+a) (0,5điểm) Ta chứng minh đợc (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho Thực vậy: Nếu tích (a+b)(b+c)(c+a) có thừa số chia hết cho tích chia hết cho Nếu ba thừa số không chia hết cho ta có: a+b = 2k + 1; b+c = 2q+1 => 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l Chứng tỏ a+c chia hết cho Khi tích sẻ chia hết cho (0,5điểm) Vì (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho nên: 3(a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho Mà (a+b+c)3 chia hết cho (vì a+b+c chia hết cho ) Do (a+b+c)3- (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho Hay: a3 + b3 + c3 chia hết cho (0,5điểm) b, Ta có : => 1 ( a b) + = a > 0; b > a b a + b ab( a + b) (0,5điểm) 1 Dấu = xảy a b = a = b + a b a+b (0,5điểm) Bài 4: a, Ta có: ABC + BMD= MDC ( Tính chất góc ngoài) (0,25 điểm) Hay: ABC + BMD = MDN+ NDC Mà ABC= MDN(gt) => BMD = NDC (0,5điểm) Xét hai tam giác BMD tam giác CDN có: B = C ( tam giác ABC cân); BMD = NDC => BMD ~ CDN ( g g ) (0,5 điểm) B BM MD BM BD b, Ta có BMD ~ CDN (Vì BD = CD) = = CD DN MD DN Xét hai tam giác: BMD DMN có: MBD = MDN (gt) BM BD ( chứng minh trên) = MD DN (0,5điểm) BMD ~ DMN (c-g-c) MD MB = MD = MN MB MN MD M N C (0,25điểm) D A (0,5điểm) Bài 5: - Qua B kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD P Vì BP song song với MG nên ta có: A AB AP (1) (0,25điểm) = AM AG M B G N P D Q C - Qua C kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD Q AC AQ (2) (0,25 điểm) = AN AG AB AC AP + AQ Từ (1) (2) ta có: (3) (0,25điểm) + = AM AN AG Vì CQ song song với NG nên ta có: Mặt khác: Xét hai tam giác DPB DQC có: BDP = CDQ (đối đỉnh) DBP = DCQ ( Vì BP Và CQ song song với MN nên song song với nhau) DB = DC (AD trung tuyến) => DPB = DQC ( c-g-c) => DP = DQ (0,25điểm) => AP +AQ=AD-DP+AD+DQ=2AD (4) (0,25điểm) Từ (3) Và (4) ta có: => AB AC AD + = AM AN AG AB AC AD + = ( Vì G trọng tâm nên = ) AM AN AG (0,25điểm) -Lu ý: - Các cách giải khác có kết cho điểm tối đa - Bài4, 5: Vẽ hình sai hình không chấm