Cây đỏ đen – lý thuyết và mô phỏng

Cây là một cấu trúc phi tuyến tính. Một cây (tree) là một tập hữu hạn các nút trong đó có một nút đặc biệt gọi là nút gốc (root), giữa các nút có một mối quan hệ phân cấp gọi là quan hệ “cha - con”.

Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .2 II.MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 3 III.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU .3 IV.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .3 V.BỐ CỤC BÀI BÁO CÁO .4 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CẤU TRÚC CÂY .5 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM .5 1.2 CÂY NHỊ PHÂN .9 CHƯƠNG 2: CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM .13 2.1 ĐỊNH NGHĨA CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM .13 2.2 GIẢI THUẬT TÌM KIẾM 13 2.3 PHÂN TÍCH ĐÁNH GIÁ .16 2.4 THAO TÁC XOÁ TRÊN CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM 18 CHƯƠNG 3: CÂY ĐỎ ĐEN .21 3.1 ĐỊNH NGHĨA .21 3.2 CÁC TÍNH CHẤT 23 3.3 THUẬN LỢI KHI SỬ DỤNG 24 3.4 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÂY ĐỎ ĐEN 26 3.4.1PHÉP CHÈN 26 3.4.2PHÉP XOÁ 29 3.4.3TÌM KIẾM .33 PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU 1 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong khoa học máy tính, cấu trúc dữ liệu là một cách lưu dữ liệu trong máy tính sao cho nó có thể được sử dụng một cách hiệu quả. Thông thường, một cấu trúc dữ liệu được chọn cẩn thận sẽ cho phép thực hiện thuật toán hiệu quả hơn. Việc chọn cấu trúc dữ liệu thường bắt đầu từ việc chọn một cấu trúc dữ liệu trừu tượng. Một cấu trúc dữ liệu được thiết kế tốt cho phép thực hịên nhiều phép toán, sử dụng càng ít tài nguyên, thời gian sử lý và không gian bộ nhớ tốt. Chúng ta đều biết tìm kiếm (Searching) là một đòi hỏi rất thường xuyên trong đời sống hàng ngày cũng như trong xử lý Tin học. Vấn đề tìm kiếm xét một cách tổng quát, có thể hiểu là tìm một đối tượng thoả mãn một số đòi hỏi nào đó, trong một tập rộng lớn các đối tượng. Khi không liên quan đến mục đích xử lý cụ thể nào khác, bài toán tìm kiếm có thể được phát biểu độc lập và tổng quát như sau: “Cho một bảng gồm n bản ghi R 1 , R 2 , . , R n . Mỗi bản ghi R i (1 ≤ i ≤ n) tương ứng với một khoá k i . Hãy tìm bản ghi có giá trị khoá tương ứng bằng X cho trước”. X được gọi là khoá tìm kiếm. Công việc tìm kiếm sẽ hoàn thành khi có một trong hai tình huống sau đây sảy ra 1) Tìm được bản ghi có giá trị khoá tương ứng bằng X, lúc đó ta nói phép tìm kiếm được thoả (successfull) 2) Không tìm thấy được bản ghi nào có giá trị khoá bằng X. Phép tìm kiếm không thoả (unsuccessfull). Sau một phép tìm kiếm không thoả có khi xuất hiện yêu cầu bổ xung thêm bản ghi mới có khoá bằng X vào bảng. Giải thuật thể hiện cả yêu cầu này được gọi là giải thuật “tìm kiếm có bổ xung”. Có nhiều phương pháp tìm kiếm cơ bản và phổ dụng, đối với dữ liệu ở bộ nhớ trong nghĩa là tìm kiếm trong, đối với dữ liệu ở bộ nhớ ngoài là tìm kiếm ngoài. Đối với tìm kiếm trong, tìm kiếm nhị phân là một phương pháp khá thông dụng, chi phí ít, đạt kết quả tốt. Tuy nhiên khi sử dụng tìmkiếm nhị phân dãy khoá đã phải được sắp xếp rồi, nghĩa là thời gian chi phí cho sắp xếp cũng phải kể đến. Nếu dãy khoá luôn biến động thì lúc đó chi phí cho sắp xếp lại nổi lên rất rõ và chính điều ấy bộ lộ nhược điểm của phương pháp này. 2 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Để khắc phục nhược điểm vừa nêu trên đối với tìm kiếm nhị phân và đáp ứng yêu cầu tìm kiếm đối với bảng biến động, một phương pháp mới được hình thành dựa trên cơ sở bảng được tổ chức dưới dạng cây nhị phân mà ta gọi là cây nhị phân tìm kiếm. Trong đó cây đỏ đen là một trong những cấu trúc dữ liệu hay, cùng với cây nhị phân tìm kiếm là những cấu trúc dữ liệu có điểm mạnh trong việc lưu trữ và tìm kiếm dữ liệu. Song cây đỏ đen có những đặc tính riêng mà nhờ đó nó đã làm nổi bật những điểm mạnh của mình. Trên cơ sở đó và với sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn Th.S Nguyễn Hữu Dung em đã chọn đề tài “Cây đỏ đen – lý thuyết và mô phỏng ” II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Đề tài nhằm nghiên cứu lý thuyết về cây đỏ đen, một dạng cây tìm kiếm nhị phân tự cân bằng để thấy được những điểm mạng của kiểu cấu trúc dữ liệu này. Trên cơ sở thực hiện mô phỏng các phép toán chèn, xoá, tìm kiếm trên cây đỏ đen, đề tài nhằm khẳng định những tính chất, và việc sử dụng cấu trúc dữ liệu cây đỏ đen vào việc lưu trữ dữ liệu và thực hịên tìm kiếm trong bài toán tìm kiếm là một việc nên làm III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU  Nghiên cứu và làm rõ những khái niệm, tính chất về cấu trúc dữ liệu cây, cây nhị phân, cây nhị phân tìm kiếm. Trên cơ sở đó xây dựng cấu trúc cây đỏ đen.  Nghiên cứu các phép toán chèn, xoá , tìm kiếm trên cấu trúc dữ liệu cây đỏ đen; đánh giá chúng so với cây nhị phân tìm kiếm  Thực hiện mô phỏng các phép toán trên cây đỏ đen IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là tham khảo các tài liệu, bài viết, sách giáo trình liên quan tới cấu trúc cây, cây nhị phân tìm kiếm, cây đỏ đen. Tìm tài liệu trên mạng Internet 3 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Nghiên cứu lý thuyết về lập trình hướng đối tượng của ngôn ngữ lập trình Vissual foxpro, để xây dựng các bước mô phỏng các thuật toán trên cây đỏ đen. V. BỐ CỤC BÀI BÁO CÁO Báo cáo được chia thành 3 chương: Chương 1: Tổng quan về cấu trúc cây Chương này giới thiệu tổng quan về cấu trúc cây, khái niệm và các tính chất của cây, cây nhị phân; Chương 2: Cây nhị phân tìm kiếm Chương này trình bày về cây nhị phân tìm kiếm bao gồm: định nghĩa, các giải thuật tìm kiếm, các thao tác chèn và xoá trên cây nhị phân tìm kiếm, đánh giá về thời gian, độ phức tạp của các thao tác này Chương 3: Cây đỏ đen Chương này trình bày khái niệm, tính chất cây đỏ đen, các phép toán chèn, xoá, tìm kiếm trên cây đỏ đen, đánh giá về thời gian , độ phức tạp của các phép toán này; những thuận lợi khi sử dụng cấu trúc cây đỏ đen. PHẦN NỘI DUNG 4 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CẤU TRÚC CÂY 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM Cây là một cấu trúc phi tuyến tính. Một cây (tree) là một tập hữu hạn các nút trong đó có một nút đặc biệt gọi là nút gốc (root), giữa các nút có một mối quan hệ phân cấp gọi là quan hệ “cha - con”. Có thể định nghĩa cây một cách đệ quy như sau: 1. Một nút là một cây. Nút đó cũng là gốc của cây ấy. 2. Nếu T 1 , T 2 , ., T n là các cây, với n 1 , n 2 , . n k lần lượt là các gốc, n là một nút và n có quan hệ cha - con với n 1 , n 2 , . n k thì lúc đó một cây mới T sẽ được tạo lập, với n là gốc của nó. n được gọi là cha của n 1 , n 2 , . n k ; ngược lại n 1 , n 2 , . n k được gọi là con của n. Các cây T 1 , T 2 , ., T n được gọi là các cây con (substrees) của n. Ta quy ước : Một cây không có nút nào được gọi là cây rỗng (null tree). Có nhiều đối tượng có cấu trúc cây. Ví dụ : • Mục lục của một cuốn sách, hoặc một chương trong sách, có cấu trúc cây. • Cấu trúc thư mục trên đĩa cũng có cấu trúc cây, thư mục gốc có thể coi là gốc của cây đó với các cây con là các thư mục con và tệp nằm trên thư mục gốc. • Gia phả của một họ tộc cũng có cấu trúc cây. • Một biểu thức số học gồm các phép toán cộng, trừ, nhân, chia cũng có thể lưu trữ trong một cây mà các toán hạng được lưu trữ ở các nút lá, các toán tử được lưu trữ ở các nút nhánh, mỗi nhánh là một biểu thức con. Chẳng hạn chương 1 trong PHẦN NỘI DUNG của bài báo cáo này : CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CẤU TRÚC CÂY 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM 1.2 CÂY NHỊ PHÂN 1.2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1.2.2 BIỂU DIỄN CÂY NHỊ PHÂN 1.2.3 PHÉP DUYỆT CÂY NHỊ PHÂN 5 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng 1.3 ÁP DỤNG 1.3.1 CÂY BIỂU DIỄN BIỂU THỨC 1.3.2 CÂY BIỂU DIỄN CÁC TẬP 1.3.3 CÂY QUYẾT ĐỊNH Ta có thể biểu diễn bằng một cây có dạng như sau: Hình 1.1  Biểu thức số học x + y * (z – t) + u/v, ta có thể biểu diễn dưới dạng cây như hình 1.2 Hình 1.2 Các tập bao nhau như hình 1.3 có thể biểu diễn bởi cây như hình 1.4 1 1.1 1.2 1.3.3 1.3 1.3.21.3.11.2.31.2.1 1.2.2 + /+ v u x * y - z t 6 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Hình 1.3 Hình 1.4  Đối với cây, chẳng hạn xét cây ở hình 1.4 o Nút A được gọi là gốc của cây o B, C, D là gốc của các cây con gốc của A o A là cha của B, C, D còn B, C, D là con của A.  Số các con của một nút gọi là cấp (degree) của nút đó. Ví dụ nút A có 3 con là B, C, D nên cấp của A là 3, cấp của H là 2. • Nút có cấp bằng 0 gọi là lá (leaf) hay nút tận cùng (termimal node). Ví dụ các nút E, C, K, I , v.v. Nút không là lá được gọi là nút nhánh (branch node). • Cấp cao nhất của nút trên cây gọi là cấp của cây đó. Cây ở hình 1.4 là cây cấp 3. A D B C H G I E F J K A B C D E F G H I J K 7 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng  Gốc của cây có số mức (level) là 1. Nếu nút cha có số mức là i thì nút con có só mức là i + 1 . Ví dụ nút A có số mức là 1. o Các nút B, C, D cùng có số mức là 2 o Các nút E, F, I, H, G có số mức là 3 o Các nút K, J có số mức là 4  Chiều cao (heigh) hay chiều xâu (depth) của một cây là số mức lớn nhất của nút có trên cây đó. o Cây ở hình 1.2 có chiều cao là 5 o Cây ở hình 1.4 có chiều cao là 4  Nếu n 1 , n 2 , … , n k là dãy các nút mà n i là cha của n i+1 với 1 ≤ i < k, thì dãy đó gọi là đường đi (path) từ n 1 đến n k . Độ dài của đường đi (path length) từ nút n k đến n q là số nút phải đi qua để đi từ n k đến n q (bằng chiều cao của n q - chiều cao của n k ). Ví dụ trên cây hình 1.4 độ dài đường đi từ A đến G là 2, từ A tới K là 3.  Nếu thứ tự các cây con của một nút được coi trọng thì cây đang xét là cây thứ tự (ordered tree), ngược lại là cây không có thứ tự (unordered tree). Thường thứ tự các cây con của một nút được đặt từ trái sang phải. Hình 1.5 cho ta hai “cây có thứ tự” khác nhau : Hình 1.5 Đối với cây, từ quan hệ cha con người ta có thể mở rộng thêm các quan hệ khác phỏng theo các quan hệ như trong gia tộc.  Nếu một tập hữu hạn các cây phân biệt thì ta gọi đó là rừng (forest). Khái niệm về rừng ở đây phải hiểu theo cách riêng vì: có một cây, nếu ta bỏ nút gốc đi ta sẽ có 1 rừng! Như ở hình 1.4 nếu bỏ nút gốc A đi, ta sẽ có một rừng gồm 3 cây. A B C A C B 8 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Ví dụ: Cây ở hình 1.2 : degree = 2; level = 5; root: + 1.2 CÂY NHỊ PHÂN Cây nhị phân là một dạng quan trọng của cấu trúc cây. Cây nhị phân có các đặc điểm là: Mọi nút trên cây chỉ có tối đa là 2 con. Đối với cây con của một nút người ta cũng phân biệt cây con trái (left subtree) và cây con phải (right subtree). Như vậy cây nhị phân là cây có thứ tự. Ví dụ : Cây ở hình 1.2 là cây nhị phân với toán tử ứng với gốc, toán hạng 1 ứng với cây con trái, toán hạng 2 ứng với cây con phải. Các cây nhị phân sau đây là khác nhau, xong chúng đều là cây nhị phân không có thứ tự (hình 1.6). A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E 9 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Hình 1.6  Một số dạng đặc biệt của cây nhị phân (hình 1.7) a) b) c) d) e) f) A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E F G H I J A B C D E F G 10 [...].. .Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng A B C D E J F G I H g) Hình 1.7 • Các cây a) b) c) d) được gọi là cây nhị phân suy biến (degenerate binary tree) vì thực chất nó có dạng của một danh sách tuyến tính o Cây a) được gọi là cây lệnh trái o Cây b) được gọi là cây lệnh phải o Cây c) và cây d) được gọi là cây zic - zắc Cây e) được gọi là cây nhị phân hoàn chỉnh (complete... tắc trên gọi là quy tắc đỏ đen Nếu được tuân thủ, cây sẽ được cân bằng 1 1 2 1 4 7 1 5 1 5 8 Hình 3.1 : Ví dụ về một cây đỏ đen Số lượng node đen trên một đường dẫn từ gốc đến lá được gọi là chiều cao đen (black height) Ta có thể phát biểu quy tắc 4 theo một cách khác là mọi đường đi từ gốc đến lá phải có cùng chiều cao đen 22 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Bổ đề: Một cây đỏ đen n-node Có: height... phải, bên cạnh đó cây đỏ đen còn được bổ sung một số đặc điểm Trong cây đỏ đen, việc cân bằng được thực thi trong khi chèn, xóa Khi thêm một phần tử thì thủ tục chèn sẽ kiểm tra xem tính chất cân bằng của cây có bị vi phạm hay không Nếu có, sẽ xây dựng lại cấu trúc cây Bằng cách này, cây luôn luôn được giữ cân bằng 25 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng 3.4 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÂY ĐỎ ĐEN Có thể áp dụng... kiếm đã được thoả 33 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Vg,VV 1 1 2 1 4 7 1 5 1 5 8 Như vậy, thời gian tìm kiếm khi sử dụng cấu trúc cây đỏ đen là O(log n) PHẦN KẾT LUẬN Giống như cây tìm kiếm nhị phân thông thường, cây đỏ đen có thể cho phép việc tìm kiếm, chèn và xóa trong thời gian O(log2N) Thời gian tìm kiếm là gần như bằng nhau đối với hai loại cây, vì những đặc điểm của cây đỏ đen không sử dụng... trong cây nhị phân thường Bởi vì trong hầu hết các ứng dụng, có nhiều thao tác tìm kiếm hơn là chèn và xóa, có lẽ không có nhiều bất lợi về thời gian khi dùng cây đỏ đen thay vì cây nhị phân thuờng Dĩ nhiên, điều thuận lợi là trong cây đỏ đen, dữ liệu đã sắp xếp không làm giảm hiệu suất O(N) 34 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Xuân Lôi – Cấu trúc dữ liệu và giải thuật – NXB... Có nhiều cách tiếp cận khác để bảo đảm cho cây cân bằng: chẳng hạn cây 2-34 Tuy vậy, trong phần lớn trường hợp, cây đỏ đen là cây cân bằng hiệu quả nhất, ít ra thì khi dữ liệu được lưu trữ trong bộ nhớ chứ không phải trong những tập tin Trước khi khảo sát cây đỏ đen, hãy xem lại cây không cân bằng được tạo ra như thế nào 24 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Hình 3.2 Các node được chèn theo thứ tự... đỏ thành đen Kết quả là số các nút đen trên đường đi này không thay đổi 32 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Như vậy, số các nút đen trên các đường đi là không thay đổi Do đó các tính chất 4 và 5 đã được khôi phục Nút trắng trong hình vẽ có thể là đỏ hoặc đen, nhưng phải ghi lại trước và sau khi thay đổi Hình 3.12 3.4.3 TÌM KIẾM Khi đã xây dựng được cấu trúc cây đỏ đen thì thao tác tìm kiếm trên cấu... thì cây nhị phân suy biến có chiều cao lớn nhất, cây nhị phân hoàn chỉnh hoặc cây nhị phân gần đầy có chiều cao nhỏ nhất, loại cây này cũng là cây có dạng “cân đối” nhất 2) Số lượng tối đa các nút ở mức i trên một cây nhị phân là 2 i – 1 , tối thiểu là • 1 (i ≥ 1) 11 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng 3) Số lượng tối đa các nút trên một cây nhị phân có chiều cao là 2 h - 1, tối thiểu là h (h ≥ 1) 4) Cây. .. không nhiều hơn số nút đen Đường đi ngắn nhất là đường đi chỉ có nút đen, đường đi dài nhất có thể là đường đi xen kẽ giữa các nút đỏ và đen Theo tính chất 5, số các nút đen trên hai đường đi đó bằng nhau, và do đó đường đi dài nhất không vượt quá hai lần đường đi ngắn nhất 23 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Trong nhiều biểu diễn của dữ liệu cây, có thể có các nút chỉ có một con và có các lá có chứa... ông G có thể vi phạm tính chất 2 (Gốc là đen) hoặc 4 (Cả hai con của nút đỏ là nút đen) (tính chất 4 bị vi phạm khi cha của G là đỏ) Để sửa chữa trường hợp này gọi một thủ tục đệ quy trên G từ trường hợp 1 27 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng G P G P U N U N Hình 3.5 Trường hợp 4: Nút cha P là đỏ nhưng nút chú bác U là đen, nút mới N là con phải của nút P, và P là con trái của nút G Trong trường hợp . đã chọn đề tài Cây đỏ đen – lý thuyết và mô phỏng ” II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Đề tài nhằm nghiên cứu lý thuyết về cây đỏ đen, một dạng cây tìm kiếm nhị. tới cấu trúc cây, cây nhị phân tìm kiếm, cây đỏ đen. Tìm tài liệu trên mạng Internet 3 Cây đỏ den – lý thuyết và mô phỏng Nghiên cứu lý thuyết về lập