Con lắc lò xo và con lắc đơn trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến

Vì trong hệ quy chiếu không quán tính các định luật của Niutơn không được nghiệm đúng nữa.. Để trả lời những câu hỏi này tôi bước vào nghiên cứu đề tài: “Con lắc lò xo và con lắc đơn tro

Mở ĐầU

1 Lý do chọn đề tài

Vật Lý Học là một trong những bộ môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất của tự nhiên, nghiên cứu tính chất, cấu trúc của vật chất và những định luật vận động của vật chất

Cơ Học nghiên cứu những vấn đề đơn giản nhất nhưng lại là những vấn

đề cơ bản nhất trong hệ thống kiến thức vật lý Dao động là một phần của giáo trình cơ học, trong đó dao động của con lắc là một vấn đề trọng tâm

Trong các bài toán về con lắc, ta thường xét dao động của con lắc trong

hệ quy chiếu quán tính Trong hệ quy chiếu này, dao động của con lắc được coi là dao động điều hoà (với con lắc đơn thì biên độ dao động phải nhỏ) và năng lượng dao động của con lắc được bảo toàn Tuy nhiên trong thực tế hệ quy chiếu gắn với các vật cụ thể thường là hệ quy chiếu không quán tính Ví dụ: con lắc được gắn vào một thang máy chuyển động biến đổi đều… Khi đó việc giải bài toán sẽ phức tạp hơn Vì trong hệ quy chiếu không quán tính các

định luật của Niutơn không được nghiệm đúng nữa Vậy phải làm thế nào để

có thể áp dụng được các định luật Niutơn? Và trong hệ quy chiếu không quán tính, dao động của con lắc có còn là dao động điều hoà hay không? Năng lượng của con lắc biến thiên hay được bảo toàn? Để trả lời những câu hỏi này tôi bước vào nghiên cứu đề tài: “Con lắc lò xo và con lắc đơn trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến”

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về dao động của con lắc trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về chu kỳ, năng lượng của con lắc đơn và con lắc lò xo trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến

- Đưa ra phương pháp giải bài toán dao động của con lắc đơn trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến

- Đưa ra phương pháp giải bài toán dao động của con lắc lò xo trong

hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến

- Minh họa bằng việc giải một số bài toán

4 Đối tượng nghiên cứu

- Dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo

- Hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp đọc sách và tài liệu

- Phương pháp phân tích tổng hợp

- Phương pháp đối chiếu so sánh

NộI DUNG CHƯƠNG 1

Lý THUYếT Về CON LắC Lò XO

Và CON LắC ĐƠN 1.1 Con lắc lò xo

1.1.1 Phương trình dao động

Con lắc lò xo là một hệ thống gồm một vật nặng có khối lượng m được treo dưới một lò xo đàn hồi có độ cứng k và khối lượng không đáng kể

Tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn  Vật nặng chịu tác dụng của x0

các lực:

+ Lực đàn hồi: Fr đh

+ Trọng lực: 

P Chọn trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng

xuống, gốc O là vị trí cân bằng của con lắc

Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:

Kết luận: Trong quá trình dao động của con lắc luôn luôn có sự chuyển

hoá động năng thành thế năng và ngược lại nhưng tổng của chúng không đổi 1.2 Con lắc đơn

1.2.1 Phương trình dao động

Xét chuyển động dao động của con lắc:

Kéo lệch con lắc khỏi vị trí cân bằng một góc

α0 nhỏ rồi buông tay, con lắc sẽ dao động xung

Như vậy, vật nặng dao động điều hoà với tần số g

Khi góc lệch của con lắc nhỏ hơn 100, các công thức của chu kỳ, tần số

chính xác tới 0,2% Ta có thể nói rằng chu kỳ của con lắc đơn không phụ

thuộc khối lượng và biên độ dao động của nó

1.2.2 Năng lượng dao động

Chọn mốc thế năng là mặt phẳng vuông góc dây treo tại vị trí cân bằng

Tại vị trí con lắc hợp phương thẳng đứng một góc  nhỏ bất kỳ:

- Thế năng của con lắc: W t mghmgl(1 cos ) 

Kết luận: Trong quá trình dao động của con lắc luôn có sự chuyển hoá

động năng thành thế năng và ngược lại nhưng tổng của chúng không đổi

CHƯƠNG 2

Hệ QUY CHIếU KHÔNG QUáN TíNH

2.1 Hệ quy chiếu không quán tính

Các định luật Niutơn được xây dựng trong các hệ quy chiếu quán tính

Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó các định luật Niutơn được nghiệm đúng Hệ quy chiếu này sẽ bao gồm một hệ tọa độ để xác định vị trí của vật trong không gian và một đồng hồ để đo thời gian Hệ tọa độ này phải

đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều

Còn hệ quy chiếu không quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó các định luật Niutơn không được nghiệm đúng Trong thực tế hệ quy chiếu gắn với các vật cụ thể hầu hết là hệ quy chiếu không quán tính Để áp dụng được định luật Niutơn và giải quyết các bài toán trong hệ này người ta đưa vào hệ quy chiếu không quán tính một loại lực gọi là lực quán tính

2.2 Lực quán tính trong hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến có gia tốc 2.2.1 Biểu thức của lực quán tính

Giả sử (k) là hệ quy chiếu quán tính có gốc tại O, (k’) là hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến với gia tốc a0

so với (k)

Xét chuyển động của chất điểm m trong hệ quy chiếu (k) và (k’)

Gọi Rur là vectơ bán kính xác định vị trí của m trong hệ quy chiếu (k)

r r là vectơ bán kính xác định vị trí của m trong hệ quy chiếu (k’)

Lấy đạo hàm 2 vế của phương trình trên theo thời gian:

Rr&= rr&' + rr&

Tiếp tục lấy đạo hàm lần thứ hai:

R&r = r&r' + r&r hay R a0a

(1)

Trong đó:

' 0

a r là gia tốc của hệ (k’) đối với hệ (k)

a r = r r&&

là gia tốc của chất điểm m trong hệ (k’)

Rr&&

là gia tốc của chất điểm m trong hệ (k)

Nhân 2 vế của phương trình (1) với khối lượng m của chất điểm:

Như vậy, trong hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến có gia tốc ngoài các lực thật tác dụng lên vật còn có một lực nữa cũng làm cho vật chuyển động đó

là lực quán tính kéo theo Fq  ma0

Lực này có chiều ngược với chiều gia tốc của hệ (k’)

2.2.2 Một số đặc điểm của lực quán tính

- Các lực quán tính chỉ xuất hiện và tồn tại trong các hệ quy chiếu không quán tính

- Các lực quán tính có tác dụng thực sự vào vật chuyển động truyền cho vật gia tốc Chúng cũng có thể sinh công, đo được bằng lực kế như mọi lực khác Điều khác nhau cơ bản giữa lực quán tính và các lực thông thường khác là các lực quán tính không có phản lực, ta không thể chỉ ra được cụ thể vật nào đã gây ra lực quán tính

- Độ lớn của lực quán tính tỉ lệ với khối lượng của vật bị tác dụng Trong cùng một điều kiện như nhau các lực quán tính tác dụng vào các vật khác nhau sẽ truyền cho chúng cùng một gia tốc Tính chất này giống tính chất của lực hấp dẫn: ở cùng một nơi trong trường hấp dẫn, các lực hấp dẫn cũng truyền cho các vật có khối lượng khác nhau cùng một gia tốc Ta có thể coi lực quán tính tương đương với lực hấp dẫn Chuyển động trong trường hấp dẫn và chuyển động trong trường quán tính là tương đương nhau

CHƯƠNG 3 CON LắC Lò XO TRONG Hệ QUY CHIếU KHÔNG QUáN

TíNH CHUYểN ĐộNG TịNH TIếN

3.1 Chu kỳ dao động

3.1.1 Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng thẳng đứng lên trên Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng

Vật nặng chịu tác dụng của các lực:

+ Trọng lực: Pr

+ Lực đàn hồi: Fr đh

+ Lực quán tính: Frq

- Tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn Dx o

Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:

F r đh + Pr + Frq  0

(1)

Chiếu (1) lên 0x: - F đh + P + F q  0 hay k x 0 mgma0 (*)

- Tại vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x  Phương trình định x0

luật 2 Niutơn của con lắc: F

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng thẳng đứng lên trên

thì con lắc vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T 2 m

k p

3.1.2 Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng thẳng đứng xuống dưới Chọn trục toạ độ như hình vẽ

Vật nặng chịu tác dụng của các lực:

(1)

Chiếu (1) lên ox: - F đh + P  F q  0

Hay: k x 0 mg ma0 (*)

- Tại vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x  Phương trình định x0

luật 2 Niutơn của con lắc: F

Nghiệm của phương trình là: x Acos(t)

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng thẳng đứng xuống

dưới thì con lắc vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T 2 m

k p

3.1.3 Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng ngang sang phải 3.1.3.1 Trường hợp con lắc được treo thẳng đứng

Chọn hệ trục tọa độ oxy như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng

Vật nặng chịu tác dụng của các lực:

Chiếu (1) lên Ox: F- đhPcos0F qsin0  0

Hay: k x 0 m g( cos0a0sin0) (*)

Chiếu (1) lên Oy:

0 0

0 0

tanarctan

- Tại vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x  Phương trình định x0

luật 2 Niutơn của con lắc: Fr đh + P r + Frq ma

Chiếu (2) lên 0x: F đhPcos0 F qsin0  m a

Hay: k(x0 x)m g( cos0 a0sin0)mx

Nghiệm của phương trình là: x Acos(t)

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng ngang sang phải thì

con lắc vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T 2 m

k p

- Tại vị trí cân bằng lò xo bị nén một đoạn  Phương trình định luật 2 x0

Niutơn của con lắc:

Frđh + P

r + Frq+ Nr 0

(1)

Chiếu (1) lên Ox: F đhF q  hay 0 k x 0 ma0 (*)

- Tại vị trí con lắc có li độ x , lò xo bị nén một đoạn x  phương trình x0

định luật 2 Niutơn của con lắc: Fr đh + P

+ Frq + Nr ma r (2) Chiếu (2) lên Ox: F đhF q ma

Nghiệm của phương trình là: x Acos(t)

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng ngang sang phải thì

con lắc vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T 2 m

k p

3.1.4 Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng xiên lên Giả sử a0

hợp phương ngang một góc b 3.1.4.1 Trường hợp con lắc lò xo được treo thẳng đứng

Hay: F qsin( 0)Pcos0 Fđh= 0

0

cosarctan

0 0

0

cosarctan

- Xét vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x  phương trình định x0

luật 2 Niutơn của con lắc: Fr đh + P

+ Frq ma r (2) Chiếu (2) lên Ox: 0

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng xiên lên thì con lắc

vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T 2 m

k p

3.1.4.2 Trường hợp con lắc được đặt trên một mặt phẳng nghiêng

Giả sử mặt phẳng nghiêng hợp phương ngang một góc b(bỏ qua ma sát)

- Tại vị trí cân bằng lò xo giãn một đoạn  Phương trình định luật 2 Niutơn x0

- Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng theo phương Ox một đoạn rồi buông

tay con lắc sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng

- Xét vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x  Phương trình định x0

luật 2 Niutơn của con lắc: Fr đh + P

+ Frq + Nr ma r (2) Chiếu (2) lên Ox: - F đh + F q + P sinb = m a

Nghiệm của phương trình là: x Acos(t)

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng xiên lên thì con lắc

vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T 2 m

k p

3.1.5 Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng xiên xuống Giả sử a0

hợp phương ngang một góc b 3.1.5.1 Trường hợp con lắc được treo thẳng đứng

k x m g  a  

Chiếu (1) lên Oy: F qcos(0 )Psin0  0

Hay: F qcos0cos F qsin0sin Psin0  0

(F qsin P)sin0 F qcos0cos

0 0

0

cosarctan

- Xét vị trí con lắc có li độ x , lò xo giãn một đoạn x  Phương trình định x0

luật 2 Niutơn của con lắc: Fr đh + Pr + Frq ma r (2)

Chiếu (2) lên Ox: F qsin(0 )Pcos0Fđh= ma

Hay: F qsin(0)Pcos0 k x(  x0)mx

Nghiệm của phương trình là: x Acos(t)

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng xiên lên thì con lắc

vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T 2 m

k p

3.1.5.2 Trường hợp con lắc được đặt trên một mặt phẳng nghiêng

Giả sử mặt phẳng nghiêng hợp phương ngang một gócb (bỏ qua ma sát) Chọn hệ trục Ox như hình vẽ

Con lắc chịu tác dụng của các lực:

+ Lực đàn hồi: Fr đh

+ Trọng lực: Pr

+ Lực quán tính:

q

F+ Phản lực: Nr

Hay: k x 0 m g( sin a0) (*) 0

- Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn rồi buông tay con lắc sẽ dao

động xung quanh vị trí cân bằng

- Xét vị trí con lắc có li độ x , lò xo bị nén một đoạn x  phương trình x0

định luật 2 Niutơn của con lắc: Fr đh + Pr + Frq + Nr ma r (2)

Chiếu (2) lên Ox: Fđh - F q + P sinb = m a

Nghiệm của phương trình là: x Acos(t)

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng xiên lên thì con lắc

vẫn dao động điều hoà với chu kỳ T 2 m

k p

Kết luận: Như vậy, trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến, con lắc lò xo dao động điều hoà với chu kỳ như trong hệ quy

chiếu quán tính T 2 m

k p

3.3 Một số bài tập ví dụ

Bài 1

Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 1,00 kg gắn vào một lò xo có

độ cứng 100 Nm-1 Một đầu của lò xo treo trong thang máy Chiều dài tự nhiên của lò xo là 30,0 cm

a Tính chiều dài của lò xo khi vật cân bằng không dao động trong mỗi trường hợp sau:

- Thang máy chuyển động đều

- Thang máy chuyển động với gia tốc có độ lớn

5

g

- Thang máy đứt dây rơi tự do

b Thang máy đang đứng yên, cho con lắc dao động Sau đó thang máy chuyển

+ Trọng lực: Pr = mgr hướng xuống + Lực quán tính: Frq ngược chiều với gia tốc a0

- Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:

- Khi thang máy có gia tốc a0

hướng lên (thang máy đi lên nhanh dần đều

hoặc đi xuống chậm dần đều)

- Khi thang máy có gia tốc a0

hướng xuống (thang máy đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần dều)

0,080( )5.100

mg x

Trong hệ quy chiếu không quán tính chuyển động tịnh tiến, con lắc lò

xo dao động điều hoà với chu kỳ T 2 m

k p

= Như vậy trong tất cả các trường hợp con lắc lò xo dao động với cùng chu kỳ là:

Cho một lò xo khối lượng không đáng kể, độ dài tự nhiên l0 0,37m

Độ giãn của lò xo tỉ lệ với khối lượng vật treo vào nó: Cứ 6 mm cho 23 g Bỏ qua lực ma sát và lực cản môi trường Treo con lắc vào trong một chiếc xe

đang chuyển động nằm ngang người ta thấy lò xo lệch khỏi phương thẳng

đứng một góc 300 Tìm gia tốc của xe và độ dài của lò xo Biết khối lượng của vật là 120 g (cho g = 10 m/s2)

Bài làm Cho biết:

- Xét con lắc trong hệ quy chiếu gắn với xe

Chọn hệ trục tọa độ oxy như hình vẽ, gốc O là vị trí cân bằng

Vật nặng chịu tác dụng của các lực:

Chiếu (1) lên Ox: F- đhPcos0F qsin0  0

Hay: k x 0 m g( cos0a0sin0) (2)

CHƯƠNG 4 CON LắC ĐƠN TRONG Hệ QUY CHIếU KHÔNG QUáN TíNH

4.1 Chu kỳ dao động

4.1.1 Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng thẳng đứng lên trên Chọn vị trí cân bằng làm gốc tọa độ

Đường tọa độ trùng quỹ đạo chuyển động,

- Tại vị trí cân bằng dây treo thẳng đứng

Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc: PFq T0

- Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ rồi buông tay con lắc sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng

- Xét vị trí dây treo hợp phương thẳng đứng một góc  nhỏ bất kỳ:

Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:     

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

g a

4.1.2 Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng thẳng đứng xuống dưới Chọn vị trí cân bằng làm gốc tọa độ

Đường tọa độ trùng quỹ đạo chuyển động,

- Tại vị trí cân bằng dây treo thẳng đứng

Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc: PFq T0

- Xét vị trí dây treo hợp phương thẳng đứng một góc  nhỏ bất kỳ:

Phương trình định luật 2 Niutơn của con lắc:     

Như vậy, khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng thẳng đứng xuống dưới thì dao động nhỏ của con lắc vẫn là dao động điều hoà với tần số

 g hd

l , chu kỳ 2 0



l T

g a

4.1.3 Khi điểm treo con lắc có gia tốc a0

hướng ngang sang phải Chọn vị trí cân bằng làm gốc tọa độ

Đường tọa độ trùng quỹ đạo chuyển động, chiều dương hướng xa vị trí cân bằng