công thức toán

Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên CÔNG THỨC TOÁN HỌC Các tính chất bất đẳng thức: 1.1 Tính chất (tính chất bắc cầu): a > b b > c ⇔ a > c 1.2 Tính chất 2: a>b ⇔ a+c>b+c Tức là: Nếu cộng vế bắt đẳng thức với số ta bất đẳng thức chiều tương đương với bất đẳng thức cho Hệ (Quy tắc chuyển vế): a>b+c ⇔ a–c>b 1.3 Tính chất 3: a > b ⇒ a+c >b+d  c > d Nếu cộng vế tương ứng bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế bất đẳng thức chiều 1.4 Tính chất 4: a > b ⇔ a.c > b.c c > a > b ⇔ c.c < b.c c < 1.5 Tính chất 5: a > b > ⇒ a.c > b.d  c > d > Nếu nhân vế tương ứng bất đẳng thức chiều ta bất đẳng thức chiều Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức chiều 1.6 Tính chất 6: a > b > ⇒ an > bn (n nguyên dương) 1.7 Tính chất 7: a > b > ⇒ n a > n b (n nguyên dương) Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si): a+b ≥ a.b Đẳng thức xảy khi: a = b Định lí: Nếu a ≥ b ≥ Tức là: Trung bình cộng số không âm lớn trung bình nhân chúng Hệ 1: Nếu số dương có tổng không đổi tích chùng lớn số đõ bẳng Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vuông có diện tích lớn Hệ 2: Nếu số dương có tích không đổi tổng chùng nhỏ số Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vuông có chu vi nhỏ Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối: x ≥ x x = x 11.2 Đường thẳng không gian: Góc đường thẳng: r (d1) có vector phương u = (a1 , b1 , c1 ) r (d2) có vector phương v = (a2 , b2 , c2 ) α góc (d1) (d2) cos α = | a1a2 + b1b2 + c1c2 | a + b12 + c12 a22 + b22 + c22 ( d1 ) ⊥ ( d ) ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 12 Mặt phẳng: a Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là: MH = | Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B + C b Chùm mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng: ( P ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (Q) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = phương trình mặt phẳng có dạng: α ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = CÔNG THỨC TOÁN 11 Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên 13.Cấp số cộng: + Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số đó, kể từ số hạng thứ hai tổng số hạng đứng trước với số không đổi khác gọi công sai ∀n ∈ N *, U n +1 = U n + d + Tính chất cấp số cộng : U n +1 − U n = U n + − U n +1 U n +1 = U n + U n+ 2 + Số hạng tổng quát: U n = U1 + d (n − 1) + Tổng n số hạng đầu: Un = (a1 + an )n Un = 2a1 + d (n − 1) n 14 Cấp số nhân: + Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số số hạng đầu khác không kể từ số hạng thứ hai tích số hạng đứng trước với số không đổi khác khác gọi công bội "n Є N*, Un + = Un.q + Tính chất : U n +1 U n + = Un U n +1 U n +1 = U n U n + , Un > + Số hạng tổng quát : Un = U1.qn - 1 − qn + Tổng n số hạng đầu tiên: S n = U1 + U + + U n = U1 1− q + Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < U S n = U1 + U + + U n = 1− q 15 Bảng công thức nguyên hàm ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C ∫ xα +1 ∫ x dx = α + , α ≠ −1 ∫ α CÔNG THỨC TOÁN dx x = arctan + C ( a > ) +x a a dx x = arcsin + C ( a > ) 2 a a −x dx = ln x + x + a + C ( a > ) x +a ∫a 12 ( ) Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên dx ∫ x = ln x + C a + x2 + a2 = − +C ∫ x x + a2 a ln x ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ ∫ cos xdx = sinx + C ∫ dx ∫ cos 2 x dx ∫ ∫ shxdx = chx + C = − cot x + C ∫ chxdx = shx + C = arcsinx + C 1− x dx ∫ + x = arctan x + C dx x ∫ a + x = a arctan a + C ∫a 1 x x a − x + arcsin + C, a > 2 a 1 x + adx = x x + a + a ln x + x + a + C 2 a − x dx = = tan x + C x dx ∫ sin dx dx a+x = ln +C −x 2a a − x ∫ e dx = e x x +C dx ∫ x2 + = argshx + C  b ∫ ln ( ax + b ) dx =  x + a ÷ ln ( ax + b ) − x + C α +1  ax + b  ∫ ( ax + b ) dx = a  α + ÷ + C , α ≠ −1 dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ax x a dx = + C , a > 0, a ≠ ∫ ln a α 16.Bảng công thức tính đạo hàm: ( C ) ′ = 0, C = const ( ku ) ′ = k u′ ( x )′ = α x ( u ) ′ = α u′.u α α −1 α α −1  ′  ÷ =− x  x ′ x = x ( sin x ) ′ = cos x ( ) u′  ′  ÷ =− u u u′ ′ u = u ( sin u ) ′ = u′.cos u ( cos x ) ′ = − sin x ( cos u ) ′ = −u′.sin u = + tan x cos x ( cot x ) ′ = − = − ( + tan x ) sin x ( ln x ) ′ = 1x ( log a x ) ′ = x ln1 a ( tan u ) ′ = ( tan x ) ′ = CÔNG THỨC TOÁN ( ) u′ = u ′ ( + tan u ) cos u u′ ( cot u ) ′ = − = −u′ ( + tan u ) sin u ′ ( ln u ) ′ = uu u′ ( log a u ) ′ = u.ln a 13 Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên ( e )′ = e ( a ) ′ = a ln a x ( e ) ′ = u′.e ( a ) ′ = u′.a ln a x x u x u u u ĐẠO HÀM CẤP CAO ( −1) n ! 1  ÷ = x n +1  x ( n) n ( ln x ) ( e ) = a e ( ) ( x ) = m ( m − 1) ( m − n + 1) x ax ( n) m n n (a ) x ax m− n ( n) ( n) ( sin x ) ( ( −1) ( n − 1) ! = n −1 xn = a x ln n a, ( a > ) n) nπ   = sin  x + ÷   17 Một số nguyên hàm khác: a u' -m * Hàm y = (m ≠ 1) với u = x- α m (m ≠ 1) Hàm số có dạng : m = u'.u (x − α ) u a −1 dx = a Nguyên hàm : ∫ +C m (x −α ) (m − 1)( x − α ) m −1 2ax + b Đặt t = ax + bx + c ⇒ t' = 2ax + b ax + bx + c t' ⇒ Họ nguyên hàm hàm số : ln|t| + C = ln| ax + bx + c | + C Hàm số có dạng : t 2ax + b ⇒ ∫ dx = ln | ax + bx + c | +C ax + bx + c * Hàm y = Ta có trường hợp sau : ax + bx + c + Mẫu số ax + bx + c có nghiệm phân biệt x1,x2 giả sử x1 < x2 Ta có : ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Ta viết sau : * Hàm y = ∫ ax 2 1  ( x − x1 ) − ( x − x2 )  dx dx = ∫  dx = ∫  a ( x − x1 )( x − x2 ) a  ( x − x1 )( x − x2 )  x2 − x1 + bx + c  1  − =  dx ∫ a ( x2 − x1 )  x − x1 x − x2  = x − x2 ln +C a ( x2 − x1 ) x − x1 + Mẫu số có nghiệm kép : ax + bx + c = a ( x − m) dx dx −1 ∫ ax + bx + c dx = ∫ a( x − m)2 = a ∫ ( x − m)2 = a x − m + C + Mẫu số nghiệm (vô nghiệm): ax + bx + c = a ( x + m )2 ± n Đặt u = ( x + m) Ta có : * ax + bx + c = a.u + n CÔNG THỨC TOÁN 14 Vũ Viết Tiệp ⇒ Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên n dx Đặt u = tgt +n a ∫ au dx Nguyên hàm : −n n u− 1 1 a +C ∫ au − ndx = a ∫ n = a n ln n u − u+ a a a * ax + bx + c = a.u − n ⇒ ∫ au 18 Họ nguyên hàm hàm vô tỉ : 18.1 Hàm số có dạng : f ( x ) = ; f ( x) = x2 + k * Cách : Đặt x + k = -x + t ⇒ t = x + x + k ⇒ dt = (1 + ⇒ dx x +k 2 x x2 + k = x2 + k + x )dx = dt Do : t ∫ *Cách 2: Biến đổi : x +k x +k dx 2 = x +k dx = =∫ t x2 + k x + k (x + x + k ) x2 − k dx dt = ln | t | +C = ln | x + x + k | +C t x + x2 + k 2 2 ( Nhân tử mẫu với x + x + k ) x +1 x + k2 ( Chia tử mẫu cho x + k ) 2 (x + x + k ) dt x dt = (1 + )dx ⇒ f ( x) dx = Đặt t = x + x + k Suy : 2 t t x +k Ta có : f ( x) = ∫ f ( x)dx = ln | t | +C = ln | x + Vậy nguyên hàm : Tương tự : ∫ x −k 2 dx = ln | x + x − k | +C 18.2 Hàm số dạng : f ( x ) = Đặt x = k sin t với x ∈ [ ⇒ dx = k cos tdt ⇒ x + k | +C ∫ k − x2 f (u ) = k − u2 −π π ; ] (hoặc x = k cos t với x ∈ [0; π ] ) 2 k cos t.dt =∫ k cos t.dt k (1 − sin t ) k cos 2t ) cos t.dt cos t −π π =∫ dt = ∫ dt = t + C ; ] nên cost > ⇒ ∫ Vì t ∈ [ | cos t | cos t 2 du = t + C Tương tự: ∫ k − u2 CÔNG THỨC TOÁN k − x2 dx = ∫ 15 =∫ cos t.dt | cos t | Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên 18.3 Hàm số dạng : f ( x ) = x − k ; f (u ) = u − k x k2 Nguyên hàm : ∫ x − k dx = x − k + ln | x + x − k | +C 2 k k π Cách khác: đặt x = x = với t ∈ [0; ] sin t cost 2 18.4 Hàm số dạng : f ( x ) = ax + bx + c 2 ⇒ Ta biến đổi hai dạng sau: f ( x ) = u − k f ( x) = u + k áp dụng theo mục 18.5 Hàm số dạng : f ( x ) = x + k f (u ) = u + k π π Đặt x = ktgt , u = ktgt với t ∈ [- ; ] 2 1 f (u ) = 18.6 Hàm số dạng : f ( x ) = 2 x −m u − m2 1 + Phân tích thành : f ( x) = áp dụng theo công thức học = x−m x+m x −m 18.7 Hàm số dạng : f ( x ) = f (u ) = x +m u + m2 π π + Đặt x = mtgt , u = mtgt với t ∈ [- ; ] 2 1 m | cost | dx = ∫ dt = ∫ dx ⇒ ∫ 2 cos t x + m2 m (tg t + 1) cos t π π Vì t ∈ [- ; ] nên 2 | cost | 2 cost ∫ cos t dx = ∫ − sin 2 t dt + Đặt tiếp : u = sin t ⇒ du = costdt Do : cost ∫ − sin t dt = ∫ u −1 +C du = − ln 2 u +1 1− u 18.8 Các trường hợp tổng quát cần ý : a Trường hợp: f(x) hàm lẻ cosx : Đặt: t = sinx b Trường hợp: f(x) hàm lẻ sinx : Đặt: t = cosx c Trường hợp: f(x) hàm chẵn đới với sinx cosx : R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx) d Trường hợp: f(x) hàm lẻ sinx cosx : Đặt: t = tgx x e.Trường hợp: f(x) chứa sinx cosx : Đặt t = tg * Phương pháp chung: A Dạng f(x) = sin2nx.cos2mx : − cos x 2n ) dx (a) ∫ sin xdx = ∫ ( + cos x 2m ) dx (b) ∫ cos xdx = ∫ ( 2n 2m (c) ∫ s in xcos xdx Thay cos2x = – sin2x thay sin2x = – cos2x rối chuyển dạng (a) (b) CÔNG THỨC TOÁN 16 Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên s in x + a Đặt t = tgx cos 2m + b 19.Tính chất lũy thừa: Với a > 0, b > ta có: B Dạng : f ( x) = 2n α α β a a = a α +β aα aα α α −β α β αβ α α a ; β = a ; ( a ) = a ; ( ab ) = a b ;  ÷ = α a b b a > 1: aα > a β ⇔ α > β < a < 1: aα > a β ⇔ α < β 20.Tính chất Logarit: log a = 0;log a a = 1; a log a b = b log a ( bc ) = log a b + log a c b log a  ÷ = log a b − log a c c log a bα = α log a b Đặc biệt: 1 log a = − log a b;log a n b = log a b b n log a c log b c = ⇒ log a b.logb c = log a c log a b log a b = 1 ;log aα b = log a b log b a α a > 1: log a b > log a c ⇔ b > c > 0 < a < 1: log a b > log a c ⇔ < b < c 21 Các dạng phương trình, bất phương trình mũ logarit: a )0 < a ≠ a f ( x) = a g( x) ⇔ f ( x ) = g ( x )  f ( x ) > hay log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔   f ( x ) = g ( x ) b) a > ( g ( x ) > 0) a f ( x) > a g( x) ⇔ f ( x ) > g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x ) > c)0 < a < a f ( x) > a g( x) ⇔ f ( x ) < g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ < f ( x ) < g ( x ) CÔNG THỨC TOÁN 17 [...]... gọi là công bội "n Є N*, Un + 1 = Un.q + Tính chất : U n +1 U n + 2 = Un U n +1 U n +1 = U n U n + 2 , Un > 0 + Số hạng tổng quát : Un = U1.qn - 1 1 − qn + Tổng n số hạng đầu tiên: S n = U1 + U 2 + + U n = U1 1− q + Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 U S n = U1 + U 2 + + U n = 1 1− q 15 Bảng công thức nguyên hàm ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C ∫ xα +1 ∫ x dx = α + 1 , α ≠ −1 ∫ α CÔNG THỨC TOÁN dx... phẳng có dạng: α ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 CÔNG THỨC TOÁN 11 Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên 13.Cấp số cộng: + Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai ∀n ∈ N *, U n +1 = U n + d + Tính chất của cấp số cộng : U n +1 − U n =... 2 x 1 ( cot x ) ′ = − 2 = − ( 1 + tan 2 x ) sin x ( ln x ) ′ = 1x ( log a x ) ′ = x ln1 a ( tan u ) ′ = ( tan x ) ′ = CÔNG THỨC TOÁN ( ) u′ = u ′ ( 1 + tan 2 u ) cos 2 u u′ ( cot u ) ′ = − 2 = −u′ ( 1 + tan 2 u ) sin u ′ ( ln u ) ′ = uu u′ ( log a u ) ′ = u.ln a 13 Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên ( e )′ = e ( a ) ′ = a ln a x ( e ) ′ = u′.e ( a ) ′ = u′.a ln a x x u x u u u... bx + c dx = ∫ a( x − m)2 = a ∫ ( x − m)2 = a x − m + C + Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm): ax 2 + bx + c = a ( x + m )2 ± n Đặt u = ( x + m) 2 Ta có : * ax 2 + bx + c = a.u 2 + n CÔNG THỨC TOÁN 14 Vũ Viết Tiệp ⇒ Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên 1 n dx Đặt u = tgt +n a ∫ au 2 1 dx Nguyên hàm là : −n n u− 1 1 1 1 1 a +C ∫ au 2 − ndx = a ∫ 2 n = a n ln n u − 2 u+ a a a * ax 2 + bx + c... cos t.dt k 2 (1 − sin t 2 ) k cos 2t ) cos t.dt cos t −π π =∫ dt = ∫ dt = t + C ; ] nên cost > 0 ⇒ ∫ Vì t ∈ [ | cos t | cos t 2 2 1 du = t + C Tương tự: ∫ 2 k − u2 CÔNG THỨC TOÁN k 2 − x2 dx = ∫ 15 =∫ cos t.dt | cos t | Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên 18.3 Hàm số dạng : f ( x ) = x 2 − k 2 ; f (u ) = u 2 − k 2 x 2 k2 2 Nguyên hàm là : ∫ x − k dx = x − k + ln | x + x 2 − k 2... 2n ) dx (a) ∫ sin xdx = ∫ ( 2 1 + cos 2 x 2 2m ) dx (b) ∫ cos xdx = ∫ ( 2 2n 2m (c) ∫ s in xcos xdx Thay cos2x = 1 – sin2x hoặc thay sin2x = 1 – cos2x rối chuyển về dạng (a) hoặc (b) CÔNG THỨC TOÁN 16 Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên s in x + a Đặt t = tgx cos 2m + b 19.Tính chất của lũy thừa: Với a > 0, b > 0 ta có: B Dạng : f ( x) = 2n α α β a a = a α +β aα aα α α −β α β... f ( x) > a g( x) ⇔ f ( x ) > g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x ) > 0 c)0 < a < 1 a f ( x) > a g( x) ⇔ f ( x ) < g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) < g ( x ) CÔNG THỨC TOÁN 17 ... ∫ ln ( ax + b ) dx =  x + a ÷ ln ( ax + b ) − x + C α +1 1  ax + b  ∫ ( ax + b ) dx = a  α + 1 ÷ + C , α ≠ −1 dx 1 ∫ ax + b = a ln ax + b + C ax x a dx = + C , a > 0, a ≠ 1 ∫ ln a α 16.Bảng công thức tính đạo hàm: ( C ) ′ = 0, C = const ( ku ) ′ = k u′ ( x )′ = α x ( u ) ′ = α u′.u α α −1 α α −1 1  1 ′  ÷ =− 2 x  x 1 ′ x = 2 x ( sin x ) ′ = cos x ( ) u′  1 ′  ÷ =− 2 u u u′ ′ u = 2... x 2 + k 2 và f (u ) = u 2 + k 2 π π Đặt x = ktgt , u = ktgt với t ∈ [- ; ] 2 2 1 1 f (u ) = 2 18.6 Hàm số dạng : f ( x ) = 2 2 hoặc x −m u − m2 1 1 1 + Phân tích thành : f ( x) = 2 rồi áp dụng theo công thức đã học 2 = x−m x+m x −m 18.7 Hàm số dạng : f ( x ) = 1 hoặc f (u ) = 1 x +m u + m2 π π + Đặt x = mtgt , u = mtgt với t ∈ [- ; ] 2 2 1 1 m | cost | dx = ∫ dt = ∫ dx ⇒ ∫ 2 2 cos 2 t x + m2 m 2 (tg... C ∫ xα +1 ∫ x dx = α + 1 , α ≠ −1 ∫ α CÔNG THỨC TOÁN dx 1 x = arctan + C ( a > 0 ) 2 +x a a dx x = arcsin + C ( a > 0 ) 2 2 a a −x dx = ln x + x 2 + a + C ( a > 0 ) 2 x +a ∫a 12 2 ( ) Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên dx ∫ x = ln x + C 1 a + x2 + a2 = − +C ∫ x x 2 + a2 a ln x ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ ∫ cos xdx = sinx + C ∫ dx ∫ cos 2 2 x dx ∫ ∫ shxdx = chx + C = − cot x + C ∫ ... a) = t ana 2 8.3 Một số công thức lượng giác 8.1 Công thức cộng sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b cos(a ± b) = cos a cos b msin a sin b 8.2 Công thức nhân CÔNG THỨC TOÁN t ana ± tan b mtan... B C cot = tan 2 sin tan 8.Các công thức hàm số lượng giác 8.1 Hệ thức hàm số lượng giác sin a + cos a = sin a t ana = cos a CÔNG THỨC TOÁN Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên... + 32 16 32 16 15 cos6 a = cos6a + cos4a + cos2a + 32 16 32 8.3 Công thức biến đổi tổng thành tích CÔNG THỨC TOÁN Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên a+b a −b a+b a −b cos