TRƯỜNG THPT LÊ VĂN THỊNH ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2010- 2011 Môn: TOÁN ;Khối A Thời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH(7,0điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 3 2 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt x − x = m + 3m − Câu II (2,0 điểm) s inx + sin x + sin x = cos x + cos2 x + cos3 x Giải phương trình x + xy = y10 + y 8 x − 3 x − − = 12 y − y Giải hệ phương trình sin x + cos x I = ∫ x2x + ÷dx 2x + −1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ·ABC = 600 , O giao điểm hai Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân sau: đường chéo AC BD, SO vuông góc với (ABCD), góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Gọi H hình chiếu O lên SB, tính VS ABCD khoảng cách từ H đến (SCD) Câu V (1,0 điểm) Cho a, b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 Tìm GTNN biểu thức: P = a + b4 + 8c PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn ( C1 ) : ( x − 1) + y = 2 ; ( C2 ) : ( x − ) + ( y − ) = Viết phương trình đường thẳng d biết d tiếp xúc với đường tròn ( C1 ) cắt đường tròn ( C2 ) hai điểm M,N cho MN = 2 Trong không gian tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng (P) biết (P) qua điểm A(1;1;1), song song với đường thẳng d : x −1 y +1 z + = = cách điểm O khoảng 3 Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình sau tập số phức: z − z + ( + 2i ) z + + i = B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(3;3), trung điểm cạnh BC M(5;4) chân đường cao ∆ABC cạnh AB C’(3;2) Viết phương trình cạnh ∆ABC Trong không gian tọa độ Oxyz lập phương trình đường thẳng d biết d qua A(1;2;0) song song với mặt phẳng (P): y-z+2=0 cách điểm O khoảng x + mx + m Câu VII.b (1,0 điểm Tìm m để đường thẳng d: y=-x+1 cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt nằm x +1 phía so với trục Oy …………………Hết………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ và tên thí sinh ;Số báo danh ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 Câu ý Nội dung TXĐ: D = R\{1} lim y = −∞; lim+ y = +∞ ⇒ x = tiệm cận đứng x →1− x →1 lim y = 2; x → −∞ lim y = x → +∞ Điểm 0.25 ⇒ y=2 tiệm cận ngang −3 < 0; ∀x ≠ ⇒ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) ; ( x − 1) Hàm số không đạt cực trị Lập đúng, đầy đủ BBT Vẽ đồ thị Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C) là: x − (m + 1) x − 2m = ( ) 2x + m = x + 1( 1) ⇔ x−m x ≠ m (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác m ( m + 1) + 8m > ⇔ ⇔ m ∈ −∞; −5 − ∪ −5 − 6; +∞ \ { 0} ( *) 2 m − m − m − 2m ≠ y’ = I ( ) ( 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ) 2 Khi đó A ( x1 ; x1 + 1) ; B ( x2 ; x2 + 1) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 0.25 Theo hệ thức viet ⇒ AB = ( m + 10m + 1) m = ( L ) Do đó ⇒ AB = ⇔ m + 10m + = ⇔ m = −10(TM ) x ĐK: cos ≥ ( *) 2 x cos = ( 1) 2π 2π 2 + k 4π ; x = − + k 4π ( k ∈ Z ) pt cho ⇔ ; ( 1) ⇔ x = 3 cos x + cos x + 2sin x − = ( ) ( ) ⇔ cos x ( cos x + 1) + 2sin x − = ⇔ ( − sin x ) ( sin x + cos x + sin x cos x − 1) = π + k 2π ; x = k 2π ( k ∈ Z ) Kết hợp với điều kiện (*) ta có phương trình đã cho có nghiệm 2π 2π π x= + k 4π ; x = − + k 4π ; x = + k 4π ; x = k 4π ( k ∈ Z ) 3 2 Điều kiện: x ≥ y ( ) ( ( x− y ) ) ⇔ x = x − y ⇔ y2 = x − x2 0.25 0.25 ( ) 2 2 = ⇔ x x − ( x − y ) + ( x − y ) x − x − y = ⇔ x − x − y2 x x + x − y2 + ( x − y2 ) = 0.25 0.25 Giải (2) ta được x = Pt ⇔ x ( x − y ) + x − 0.25 0.25 0.25 II ⇒ 96 x − 20 x + = x ( x + 1) Khi đó pt (2) ⇔ ( x − 1) + 8x + 8x + +1 = x ( x + 1) 0.25 Sử dụng BĐT Cô si cho số ……ta tìm được nghiệm nhất của phương trình x = III Xét I1 = ∫ x x + 1dx Đặt x + = u … ⇒ I1 = ∫ (u − 1) u du π Xét I = ∫ sin x cos x + 4sin x 0.25 π dx = ∫ sin x cos x cos x + 4sin x Đặt + 4sin x = u ………… Ta tính được I = Tính được S ABCD = dx 0.25 ln 7+3 3 a 0,25 SH ⊥ AD( H ∈ AD ) Kẻ SH ⊥ AD ⇒ ( SAD ) ∩ ( ABCD ) = AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) Kẻ HK ⊥ AB ( K ∈ AB ) ⇒ ( SHK ) ⊥ AB ⇒ SK ⊥ AB · ⇒ ⇒ SKH = 450 Đặt SH=x ⇒ HK = x; AH = IV 0,25 HK 2x = sin 60 2 2 Xét tam giác vuông SAH ta có : SA = AH + SK ⇔ 3a = x + 0,25 x2 3a ⇔x= a 21 Khi đó : VS ABCD = SH S ABCD = 20 a b c ,y= ;z = Đặt x = ta có x+y+z=1 x,y,z dương a+b+c a+b+c a+b+c 2 2x + y + z ) 2y + z + x) 2z + x + y ) ( ( ( ⇒P= + + 2 2 2x + ( y + z ) y + ( z + x) 2z + ( z + y ) V x2 + 2x + y2 + y + z + 2z + + + 3x − x + y − y + 3z − z + x2 + x + 2 Ta có ≤ x + ⇔ ( x + x + 1) ≤ ( x − x + 1) ( 12 x + ) 3x − x + ⇒P= 0.25 0.5 u u 2+2 = − ÷ = 15 1 0.25 0.25 0.5 ⇔ ⇔ ( 3x − 1) ( x + 1) ≥ Do đó P ≤ ( x + y + z ) + = (Luôn đúng với mọi x dương) Dấu xảy a=b=c 0.25 VI.a Ta có d( I ; AD ) = ⇒ ID = ( Do AD=2AB ) 0.25 ⇒ D ∈ ( C ) : ( x + 3) + ( y − ) = 25 2 ( x + 3) + ( y − ) = 25 x = 1; y = −1 ⇔ Do đó tọa độ D là nghiệm của hệ : x = −3; y = x + y − = ⇒ D ( 1; −1) (Vì D có hoành dộ dương) uur uur IB = −2 ID ⇒ B ( −11;8 ) Phương trình AB: x-2y+27=0 ;A(-5;11) uuur uuur AB = DC ⇒ D ( −5; −4 ) 0.25 Giả sử mặt cầu (S) có tâm I ,bán kính R x = −1 + t Phương trình IH: y = − t (Vì IH qua H và vuông góc với (P)) z = − t 0.25 0.25 Do đó I = IH ∩ ( Q ) ⇒ Tọa độ I(0;1;2) 0.25 Phương trình mặt càu (S): x + ( y − 1) + ( z − ) = 67 IH = ⇒ R = r + IH = 67 Đặt z=a+bi(a,b là số thực) ( z − 1) z + 2i = a + b − a − 2b + ( 2a + b − ) i là số thực ⇒ 2a + b − = ( 1) ( ) ( a − 1) 0.25 Từ (1) và (2) ta có (a;b) =(0;2);(2;-2) Vậy z=2i;z=2-2i 0.25 0.25 ( ) ( 0.25 ) C∆ABC = AB + BC + CA = + R ⇒ + R = + ⇒ R = 1 0.5 0.25 Giả sử (C) có tâm I và bán kính R Ta có d1 và d2 giao tại O và góc AOB =300 VI.b + b2 = ( 2) : z −1 = ⇔ VII.a 0.25 OI=R=1 ⇒ I ( 2;0 ) ; I ( −2;0 ) 0.25 ⇒ phương trình đường tròn:(C): ( x − ) + y = ; ( x + ) + y = Giả sử d ∩ d1 = A; d ∩ d = B 0.25 uuur A ( + a;1 + 2a;1 + a ) ; B ( + b; + 3b; + b ) ⇒ AB ( + b − a;1 + 3b − a;1 + b − a ) 0.25 0.25 uuur r uuur r d vuông góc với (P) ⇔ AB; n cùng phương ⇔ AB = k n 2 + b − a = k a = 2,5 ⇔ 1 + 3b − 2a = −2k ⇔ b = ⇒ B(4;5;3) 1 + b − a = −k k = 0,5 VËy ph¬ng tr×nh d: x −4 y −5 z −3 = = −2 −1 0.5 0.25 Đk:x>0;y>0 VII 2 log xy = xy = ⇔ ⇔ Hệ phương trình 4 x + y = 16 x + y = 16 x = 2 Giải hpt ta được ⇔ y = 2 0,5 0,5