Đáp án HSG 2009 2010

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm 150 phút) Câu Ý Nội dung Điểm Ghi Ta thấy ≤ x, y ≤ 50 Từ x + y = 50 ta có: y = 50 + x – 50 x 0.25 0.25 = 50 + x – 10 x 0.25 0.25 Vì y nguyên nên 2x = 4k2 => x = 2k2, k ∈ Z Với 2k2 ≤ 50 => k2 ≤ 25 => k nhận giá trị:0; 1; 2; 3; 4; Lựa chọn k giá trị để thoả mãn phương trình ta 0.5 nghiệm là: 0.5 ( x; y) = ( 0; 50), (2; 32), (8; 18), (18; 8), (32; 2), (50; 0) a ( 2008 B= a b B= 0.5 (3 + 2)(3 − 2) = − (2 2) = A= b 0.5 A = + 2 ( 6) − ( + 2) = + 2 − (3 + 2) ( )( ) − 2014 20082 + 4016 − 2009 2005.2007.2010.2011 x − x − x + 2x − ( x + 1) )( ) ( x − ) ( x − 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x − ) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) ( x − ) ( x − 1) ( x + ) ( x + ) Đặt x = 2008, 2.0 0.25 = 0.25 = x + = 2009 0.5 y = (m – 3)x + (m + 1) Giả sử M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số, ta có: y0 = mx0 – 3x0 + m+ thỏa mãn với giá trị m ⇔ m( x0 + 1) + (1 − 3x0 − y0 ) = 0, ∀m 0.25  x0 + =  x0 = −1 ⇔ ⇔ 1 − x0 − y0 =  y0 = 0.25 1.5 Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4) Ta có: Đồ thị đường thẳng cắt hai trục tọa độ m – ≠ ⇔ m ≠ m +1 =1 S ∆ ABO = m + m−3 ⇔ (m + 1) = m − Nếu m> ⇔ m2 +2m +1 = 2m -6 ⇔ m2 = -7 ( loại) Nếu m < ⇔ m2 +2m +1 = – 2m ⇔ m2 + 4m – =0 ⇔ (m – 1)(m + +5) = ⇔ m = 1; m = -5 0.5 m+1 A 0.5 B m+1 2 Từ: x + 2xy + 7(x + y) + 2y + 10 = ⇔ 4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = ⇔ 4x2 + 4y2 + 49 + 8xy + 28x + 28y + 4y2 - = O 3.5 m-3 0.25 0.25 ⇔ ( 2x + 2y + 7)2 + 4y2 = 2 Vì 4y ≥ 0, suy ( 2x + 2y + 7) ≤ ⇔ ( 2x + 2y + + 3)( 2x + 2y + – 3) ≤ ⇔ ( x + y + 5)( x + y + 2) ≤ ⇔ x+y+5≥0 x+y+2≤0 ⇔ ( Vì x + y + > x + y + ) S≥-4 S≤-1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Vậy Max S = - y = x = -2 Min S = - y = x = - Hình vẽ xác Gọi H giao AM CN C Xét ∆AMB ∆ CNB hai tam giác vuông có: AB = CB (Cạnh hình vuông) BM = BN (gt) ⇒ ∆AMB = ∆ CNB (c-g-c) · · BAM = BCN (1) D M H Xét ∆AMB ∆ CMH có: (đối đỉnh), kết hợp với (1) ·AMB = CMH · · ⇒ CHM = ·ABM = 900 hay ·ACH = 900 B N ⇒ A H thuộc đường tròn có đường kính AC (tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD) Vậy AM, CN đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy H T M 0.2 0.5 0.5 0.3 T’ ’’ S O A O a) MO,∧ MO’ tia phân giác ’ hai góc kề bù AMT AMT’ o nên OMO’=90 Tam giác OMO’ vuông M có MA OO’ nên: MA2 = OA.OA’, Suy ra: MA = OA.OA ' = R.R ' b) Chứng minh: ∆ SO’M ~ ∆ SMO suy ra: SO' SM = hay SO.SO '= SM SM SO ∆ SAT~ ∆ ST’A suy ra: ST SA = hay ST.ST' = SA SA ST ' c) MA = MT = MT’ nên MA bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ OO’ MA A Do đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ tiếp xúc với OO’ A () Gọi M’ trung điểm OO’ M’M//OT ⇒ SM M’M M mà M’M bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’ điểm 1ñ 1đ 0,5 đ 1.5 Do đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’ tiếp xúc với SM M 0,5 đ ... MA = MT = MT’ nên MA bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ OO’ MA A Do đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ tiếp xúc với OO’ A () Gọi M’ trung điểm OO’ M’M//OT ⇒ SM M’M M mà M’M bán kính đường tròn ngoại