®Ò thi THö §H ( Sè 2) M«n: To¸n Thời gian làm bài: 180 phút Câu (2.0 điểm): Cho hàm số y = x3 − 3mx + 4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Câu (2.0 điểm ) : + 2sin x + − = 2(cotg x + 1) sin x cos x x3 − y + y − 3x − = Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực 2 x + − x − y − y + m = Câu (2.0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình: x y +1 z − = = (P): 2x − y − 2z − = 0; (d): −1 1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) khoảng vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn có bán kính Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Câu (2.0 điểm): Cho parabol (P): y = x2 Gọi (d) tiếp tuyến (P) điểm có hoành độ x = Gọi (H) hình giới hạn (P), (d) trục hoành Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) quay quanh trục Ox Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị nhỏ 1 + + biểu thức: P = + xy + yz + zx Giải phương trình: Câu (2.0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tiếp tuyến chung elip x2 y2 (E): + = parabol (P): y2 = 12x 12 1 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển Newton: − x − ÷ x −−−−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−−−− Câu Nội dung Điểm Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x3 − 3x2 + + TXĐ: R + Sự biến thiên: y’ = 3x2 − 6x = ⇔ x = x = Hàm số đồng biến trên: (−∞; 0) (2; +∞) Hàm số nghich biến trên: (0; 2) Hàm số đạt CĐ xCĐ = 0, yCĐ = 4; đạt CT xCT = 2, yCT = y” = 6x − = ⇔ x = Đồ thị hàm số lồi (−∞; 1), lõm (1; +∞) Điểm uốn (1; 2) 4 3 Giới hạn tiệm cận: lim y = lim x 1 − + ÷ = ±∞ x→±∞ x →±∞ x x LËp BBT: x −∞ y’ + y − 0.25 0.25 +∞ + +∞ 0.25 I §å thÞ: −∞ y 0.25 O x x = 2/ Ta có: y’ = 3x2 − 6mx = ⇔ x = 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu m ≠ uuu r Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) ⇒ AB = (2m; −4m3 ) Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng y = x AB vuông góc với đường thẳng y = x I thuộc đường thẳng y = x 0.25 0.25 0.25 2m − 4m3 = ⇔ 2m = m Giải ta có: m = ± ;m=0 0.25 Kết hợp với điều kiện ta có: m = ± 2/ Đk: x ≠ k 2 π 0.25 Phương trình cho tương đương với: + tg x + − = 2cotg x sin x 2(sin x + cos x) ⇔ 3tg x + − = 2cotg x sin x cos x ( ) 0.25 ⇔ 3tg x + 2tg x − = π tg x = − x = − + kπ ⇔ ⇔ tg x = x = π + kπ II 0.25 KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : x = x3 − y + y − 3x − = 2/ 2 x + − x − y − y + m = π π + k ; k∈Z (1) (2) 0.25 1 − x ≥ −1 ≤ x ≤ ⇔ Điều kiện: 2 y − y ≥ 0 ≤ y ≤ Đặt t = x + ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t3 − 3t2 = y3 − 3y2 Hàm số f(u) = u3 − 3u2 nghịch biến đoạn [0; 2] nên: (1) ⇔ y = y ⇔ y = x + ⇒ (2) ⇔ x − − x + m = Đặt v = − x ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − = m Hàm số g(v) = v2 + 2v − đạt g (v) = −1; m ax g (v) = [ 0;1] 0.25 [ 0;1] 0.25 0.25 0.25 Vậy hệ phương trình có nghiệm −1 ≤ m≤ III x = −t 1/ Đường thẳng (∆) có phương trình tham số là: y = −1 + 2t ; t ∈ R z = + t 0.25 Gọi tâm mặt cầu I Giả sử I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(∆) Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) khoảng nên: t = | −2t + − 2t − − 2t − | | 6t + | d ( I ; ∆) = = = 3⇔ 3 t = − 0.25 8 17 ⇒ Có hai tâm mặt cầu: I − ; ; ÷ vµ I ; − ; − ÷ 3 3 3 7 Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính nên mặt cầu có bán kính R = 0.25 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: 2 2 2 2 1 8 7 17 1 x + ÷ + y − ÷ + z − ÷ = 25 vµ x − ÷ + y + ÷ + z + ÷ = 25 3 3 3 3 3 3 r 2 x + y + = 2/ Đường thẳng (∆) có VTCP u = (−1;2;1) ; PTTQ: x + z − = r Mặt phẳng (P) có VTPT n = (2; −1; −2) Góc đường thẳng (∆) mặt phẳng (P) là: sin α = | −2 − − | = 3 6 ⇒ Góc mặt phẳng (Q) mặt phẳng (Q) cần tìm cos α = − = Giả sử (Q) qua (∆) có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z − 2) = (m2+ n2 > 0) ⇔ (2m + n)x + my + nz + m − 2n = | 3m | = Vậy góc (P) (Q) là: cos α = 3 5m + 2n + 4mn ⇔ m2 + 2mn + n2 = ⇔ (m + n)2 = ⇔ m = −n Chọn m = 1, n = −1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y − z + = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1/ Phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ x = là: y = 4x − IV 0.25 2 Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: V = π ∫ x dx − ∫ (4 x − 4) dx ÷ ÷ 0 0.25 16π x5 16 − ( x − 1)3 ÷ = = π 15 0.5 1 + + 2/ Ta có: [ (1 + xy ) + (1 + yz ) + (1 + zx) ] ÷≥ + xy + yz + zx 0.25 ⇔P≥ 9 ≥ + xy + yz + zx + x + y + z 0.25 ⇒ P≥ = 0.25 Vậy GTNN Pmin = V x = y = z 0.25 1/ Giả sử đường thẳng (∆) có dạng: Ax + By + C = (A2 + B2 > 0) (∆) tiếp tuyến (E) ⇔ 8A2 + 6B2 = C2 (1) (∆) tiếp tuyến (P) ⇔ 12B2 = 4AC ⇔ 3B2 = AC (2) 0.25 Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A C = −2A Với C = −2A ⇒ A = B = (loại) 0.25 2A ⇒ Đường thẳng cho có phương trình: Với C = 4A ⇒ B = ± Ax ± 0.25 2A y + 4A = ⇔ x ± y+4=0 3 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: x ± y+4=0 12 12 0.25 k 12 1 Ta có: x + − 1÷ = 1 − x + ÷ = ∑ (−1)12−k C12k x + ÷ x x x k =0 12 = ∑ (−1) 12−k k =0 V 12 C12k k i =0 i 12 k 12− k k i k −4 i − i x ÷ = ∑∑ ( −1) C12Ck x x k =0 i =0 k −i ∑ (x ) Cki 0.25 k 0.25 = ∑∑ (−1)12−k C12k Cki x k −5i k =0 i =0 Ta chọn: i, k ∈N, ≤ i ≤ k ≤ 12; 4k − 5i = ⇒ i = 0, k = 2; i = , k = 7; i = 8, k 12 0.25 12 Vậy hệ số cần tìm là: C122 C20 − C127 C74 + C12 C12 = −27159 0.25 ...Câu Nội dung Điểm Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x3 − 3x2 + + TXĐ: R + Sự biến thi n: y’ = 3x2 − 6x = ⇔ x = x = Hàm số đồng biến trên: (−∞; 0) (2; +∞) Hàm số nghich biến trên:... AB I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng y = x AB vuông góc với đường thẳng y = x I thu c đường thẳng y = x 0.25 0.25 0.25 2m − 4m3 = ⇔ 2m = m Giải ta có: m = ± ;m=0 0.25 Kết