BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO Đề THAM KHảO Đề THI TUYểN SINH ĐạI HọC, CAO ĐẳNG NĂM 2011 Môn thi : TO¸N Thời gian làm : 180’, khơng kể thời gian phát §Ị I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x+2 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (1) 2x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB cân gốc tọa độ O Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: cot x + + tan x + 2cot x = 2) Giải phương trình: x − 2( x + 1) 3x + = 2 x + x + − x − π Câu III (1 điểm) Tính tích phân : I = cos x − sin x dx ∫ − sin x Câu IV (1 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh CD, A′D′ Điểm P thuộc cạnh DD’ cho PD′ = 2PD Chứng tỏ (MNP) vng góc với (A′AM) tính thể tích khối tứ diện A′AMP Câu V (1 điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= ( a + b − c )3 (b + c − a )3 (c + a − b)3 + + 3c 3a 3b II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) + (y + 1)2 = 25 điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) A, B phân biệt cho MA = 3MB 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = x +1 y z + x −1 y − z +1 = = = = hai đường thẳng ∆1 : ; ∆2 : Xác định tọa độ 1 −2 điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Câu VII.a 1) Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2 + 2z + 10 = 2 Tính giá trị biểu thức: A = z1 + z2 2).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng ∆: x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích ∆IAB lớn B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2) Viết phương trình đường thẳng qua A chia ∆ABC thành hai phần có tỉ số diện tích x 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng d : = y −1 z − = mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + = Lập phương trình đường thẳng d′ qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) cắt đường thẳng d ( ) Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: log + x = log x ĐÁP ÁN ĐỀ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x+2 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (1) 2x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB cân gốc tọa độ O ∆OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = x y = –x −1 x = −1 ⇒ y = = ±1 ⇒ Nghĩa là: f ′(x0) = ±1 ⇒ (2x + 3) x = −2 ⇒ y = ∆1 : y – = –1(x + 1) ⇔ y = –x (loại); ∆2 : y – = –1(x + 2) ⇔ y = –x – (nhận) Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: cot x + + tan x + 2cot x = π Điều kiện: sin x cos x ≠ ⇔ x ≠ k cos x cos x − sin x =2 = cot x − tan x Ta có: 2cot x = sin x 2sin x cos x cot x ≤ π ⇔ cot x = ⇔ x = + kπ , k ∈ ¢ PT ⇔ + cot x = − cot x ⇔ cot x − cot x + = 2) Giải phương trình: x − 2( x + 1) 3x + = 2 x + x + − x − Điều kiện: x ≥ − PT ⇔ ( x + 1) − 2( x + 1) x + + ( x + ) + ( x + ) − 2 x + x + + ( x + ) = 2 3x + = x + ⇔ ( x + 1) − 3x + + ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ⇔ x =1 x + = x + π Câu III (1 điểm) Tính tích phân : I = cos x − sin x dx ∫ Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = ∫ du − u2 − sin x BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 π 2cos tdt Đặt u = 2sin t ⇒ I = ∫ − 4sin t π π = ∫ dt = π π 12 Câu IV (1 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh CD, A′D′ Điểm P thuộc cạnh DD’ cho PD′ = 2PD Chứng tỏ (MNP) vng góc với (A′AM) tính thể tích khối tứ diện A′AMP Gọi Q giao điểm NP AD Do PD′ = 2PD nên D′N = 2DQ AD.DQ = MD = a2 ⇒ QM ⊥ AM (đpcm) Ta có: V = MD.S∆ A ' AP (1) S∆ A ' AP = S ADD ' A ' − S∆ APD − S ∆ A ' D ' P = Thay vào (1), ta được: V = a2 a3 12 Câu V (1 điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ ( a + b − c )3 (b + c − a )3 (c + a − b)3 + + 3c 3a 3b ( a + b − c )3 c , Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương ta được: 3c ( a + b − c )3 c (a + b − c) 4c + + ≥a+b−c⇒ ≥ a + b − − (1) 3c 3 3c 3 3 (b + c − a ) 4a (c + a − b ) 4b ≥b+c− − (2), ≥c+a− − (3) Tương tự: 3a 3 3b 3 Cộng (1), (2) (3) ta suy P ≥ ⇒ P = a = b = c = biểu thức: P= II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) + (y + 1)2 = 25 điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) A, B phân biệt cho MA = 3MB PM /( C ) = 27 > ⇒ M nằm (C) (C) có tâm I(1;–1) R = uuur uuur Mặt khác: PM /(C ) = MA.MB = 3MB ⇒ MB = ⇒ BH = ⇒ IH = R − BH = = d [ M ,(d )] Ta có: phương trình đường thẳng (d): a(x – 7) + b(y – 3) = (a2 + b2 > 0) d [ M ,( d )] = ⇔ a = =4⇔ a = − 12 b a + b2 −6a − 4b Vậy (d): y – = (d): 12x – 5y – 69 = 2).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = hai x +1 y z + x −1 y − z +1 = = = = đường thẳng ∆1 : ; ∆2 : Xác định tọa độ điểm M 1 −2 thuộc đường thẳng ∆1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ÔN THI ĐẠI HỌC 2011 r M (–1 + t; t; –9 + 6t) ∈∆1; ∆2 qua A (1; 3; –1) có véctơ phương a = (2; 1; –2) uuuur r uuuur AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8) ⇒ AM;a = (14 – 8t; 14t – 20; – t) Ta có : d (M, ∆2) = d (M, (P)) ⇔ 261t − 792t + 612 = 11t − 20 53 35 ⇔ 35t2 – 88t + 53 = ⇔ t = hay t = 18 53 Vậy M (0; 1; –3) hay M ; ; ÷ 35 35 35 Câu VII.a (1 điểm) 1).Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2 + 2z + 10 = 2 Tính giá trị biểu thức: A = z1 + z2 ∆’ = –9 = 9i2 phương trình có nghiệm z1 = –1 – 3i, z2 = –1 + 3i 2 ⇒ A = z1 + z2 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 2).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng ∆: x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích ∆IAB lớn (C) có tâm I (–2; –2); R = Giả sử ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ∆ABC, ta có · · S∆ABC = IA.IB.sin AIB = sin AIB · Do S∆ABC lớn sin AIB = ⇔ ∆AIB vuông I − 4m IA = (thỏa IH < R) ⇔ =1 ⇔ IH = m2 + ⇔ – 8m + 16m2 = m2 + ⇔ 15m2 – 8m = ⇔ m = hay m = 15 B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2) Viết phương trình đường thẳng qua A chia ∆ABC thành hai phần có tỉ số diện tích 3x + 2y – 15 = 0; 2x + 5y – 12 = x 2).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng d : = y −1 z − = mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + = Lập phương trình đường thẳng d′ qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) cắt đường thẳng d uuuur Chọn N ∈ d ⇒ N (t ;1 + 2t ;2 + t ) ⇒ MN = (t − 2; 2t − 1; t − 2) uuuur r x −1 y − z − MN P ( P ) ⇔ MN n P = ( M ∉ ( P ) ) ⇔ t = ⇔ N (1;3;3) ⇒ d ' : = = −1 Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: log + x = log x ( ) Điều kiện: x > Đặt t = log x ⇔ x = t BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ÔN THI ĐẠI HỌC 2011 PT ⇔ log ( + ) = t ⇔ + t t t t t t t 3 3 = ⇔ + = ⇔ ÷ + ÷ − = (*) 8 8 t t 3 Hàm số f (t ) = ÷ + ÷ − nghịch biến f (3) = nên (*) có nghiệm t = 8 8 Vậy phương trình có nghiệm x = 343 ấ Phần chung cho tất thí sinh: Câu I (2 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x + (C) Víi giá trị tham số a đồ thị hµm sè y = x − 3ax + a có hai điểm cực trị đối xứng với qua đờng phân giác góc phần t thứ I thứ III Câu II (2 điểm) + sin x + cos x = − tan x 1/.Giải phơng trình + sin x x2 y2 = + 2/.Giải hệ phơng trình y x xy xy ( x + y ) + y = C©u III (1 điểm) Tính tích phân sin x (2 + sin x) − dx C©u IV (1 ®iĨm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a AA’ = a Lấy điểm M cạnh AD cho AM = 3MD a) Tính thể tích khối chóp M.AB’C theo a b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’C) theo a Câu V (1 điểm) Cho hai số thực x, y thay ®ỉi tháa m·n x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = − 4( xy + x + y ) Phần Riêng: (3 điểm) Thí sinh đợc chọn làm hai phần (phần A phần B) A Theo chơng trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong kh«ng gian Oxyz cho tø diƯn ABCD víi A(1;1;1) , B (−2 ; ; 2) , C (0 ;1; − 3) , D(4 ; − 1; 0) Tính độ dài đờng cao tứ diện kẻ từ ®Ønh D Cho ®êng trßn (C ) : ( x + 4) + ( y − 3) = 25 đờng thẳng ( ) : x − y + 10 = LËp ph¬ng trình đờng thẳng ( ) biết (1 ) () (1 ) cắt (C) A, B cho AB = Câu VII.a (1 điểm) Tìm số h¹ng chøa y3z6t6 khai triĨn (y + z + t)n, biÕt: Cn1 −5 + Cn2− + Cn3− + + Cnn−−56 = 1022 (víi n lµ sè tự nhiên, n ) B Theo chơng trình n©ng cao BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI I HC 2011 Câu VI.b (2 điểm) Cho điểm M(1; 2; 3) Lập phơng trình mặt phẳng (P), biết (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lợt A, B, C cho M trọng tâm cđa tam gi¸c ABC Cho tam gi¸c ABC cã ba đỉnh thuộc mặt cầu (S) : x + y + z − x + y z 86 = mặt phẳng qua ba điểm A, B, C có phơng tr×nh x − y − z + = Xác định tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu VII.b (1 điểm) Giải bất phơng trình: x 10 x − 15 + x − x − > ĐÁP ÁN ĐỀ PhÇn chung cho tất thí sinh: Câu I (2 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm sè y = x − x + (C) ã Tập xác định hàm số R ã Sự biến thiên y (C) a/ Giới hạn lim y = lim ( x − x + 1) = lim x (1 − + ) = +∞ x → −∞ x → −∞ x2 x4 lim y = +∞ U1 x → −∞ U2 x + b/ Bảng biến thiên Ta có y = x − x = x (2 x − 1) y’ = ⇔ x(2 x − 1) = ⇔ x = 0, x = ± x 1 U Hàm số đồng biến khoảng ( ; 0) ( Hàm số nghịch biến khoảng (; ( 0; 2 ) − ∞_ x y’ ) y Hàm số đạt cực đại điểm x = 0, giá trị cực đại hàm số y(0) = 1 Hàm số đạt cực tiểu hai điểm x = , giá trị )= cực tiểu y ( ã Đồ thị + Điểm uốn ; + ) + U -1/ 0 + 1/ _ 3/4 3/4 +∞ +∞ y+ ( C ) BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 1 Ta cã y’’ = 12 x − , y’’ = x = ⇔ x = ± 6 31 ; y’’ ®ỉi dÊu qua hai nghiƯm ®ã Do đồ thị hàm số có hai điểm uốn lµ U − 36 31 ; vµ U 36 + Đồ thị cắt Oy (0; 1) + Giải phơng trình y = ⇔ x − x + = Phơng trình vô nghiệm đồ thị không cắt trục Ox + Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1) vµ (1; 1) + NhËn xÐt: Hµm sè đà cho hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng 2.Với giá trị tham số a đồ thị hàm số y = x − 3ax + a có hai điểm cực trị đối xứng với qua đờng phân giác góc phần t thứ I thứ III Hàm số có tập xác định R x = ⇒ y = a3 Ta cã y’ = x − 6ax = x( x − a ) ; y’ = ⇔ x=a⇒ y=0 ã Đồ thị hàm số có hai cực trị y = có hai nghiệm phân biƯt ⇔ a ≠ Khi ®ã täa ®é hai điểm cực trị đồ thị hàm số M(0; a3), N(a; 0) ã Đờng phân giác góc phần t thứ I thứ III có phơng trình y = x ã Hai điểm đối xứng với qua đờng thẳng y = x xM = y N ⇔ a = a ⇔ a = ⇔ a = ±1 y = x N M C©u II (2 ®iÓm) + sin x + cos x = − tan x + sin x cos x ≠ π ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ §iỊu kiƯn sin x + Giải phơng trình Phơng trình (*) + sin x + cos x = − tan x + sin x + sin x + cos x sin x = 2− + sin x cos x ⇔ cos x ( + sin x + cos x ) = ( cos x − sin x ) ( + sin x ) ⇔ cos x ( + sin x ) + cos x = ( cos x − sin x ) ( + sin x ) ⇔ cos x ( + sin x ) + ( − sin x ) = ( cos x − sin x ) ( + sin x ) ⇔ ( + sin x ) [(cos x + − sin x) − (2 cos x − sin x)] = ⇔ ( + sin x ) ( − cos x ) = ⇔ − cos x = ( cosx ≠ 0, sinx ≠ ±1, suy + sin x ≠ 0) ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π VËy x = k 2π , (k ∈ Z ) nghiệm phơng trình đà cho BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 x2 y2 = + 2/.Giải hệ phơng tr×nh y x xy xy ( x + y ) + y = §iỊu kiện xy Với điều kiện ta cã: x2 y2 x3 + y3 = = + ⇔ x xy y 2 x y + xy + y = xy ( x + y ) + y = (1) (2) Tõ (1) vµ (2) suy x y + xy + y = 2( x + y ) ⇔ (2 x − xy ) + ( y − x y ) = ⇔ x( x − y ) − y ( x − y ) = ⇔ ( x = y x − y ( x − y ) = ⇔ x = − y x = y ) • Víi x = y , thay vµo (1) ta cã y = ⇔ y = • Víi x = − y , thay vµo (1) ta cã ( − y ) + y = ⇔ = (vô nghiệm) 3 ã Với y = x , ta cã x + (2 x ) = ⇔ x = ⇔ x = 1 Vậy nghiệm hệ phơng trình ( x ; y ) = ; , ( x ; y ) = ; 2 9 − Ta cã K = − dx sin x cos x dx = ∫ dx π ( + sin x ) Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx sin x ∫π (2 + sin x) sin x ∫π (2 + sin x) C©u III (1 điểm) Tính tích phân Đổi cận, x = − π ⇒ t = −1; x = ⇒ t = 0 t.dt (t + − 2).dt dt dt =2 ∫ =2 ∫ −4 Vậy ta đợc K = 2 t + −1 (t + 2) (t + 2) −1 (t + 2) −1 −1 ] = ( ln + ) − = ln − = [2 ln t + + t + Câu IV (1 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = a, BC = 2a AA = a Lấy điểm M cạnh AD cho AM = 3MD a) Tính thÓ tÝch khèi chãp M.AB’C theo a Ta cã VM AB 'C = V B '.MAC A 2a M D a a BB (ABCD) nên hình chóp B’.AMC cã chiỊu cao lµ BB’ = a C B I D’ A’ C’ a B’ BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ÔN THI ĐẠI HỌC 2011 Do AM = 3MD nªn AM = AD, suy ra: 3 3a S ∆AMC = S ∆ADC = 2a.a = 4 VËy thÓ tÝch cđa khèi tø diƯn B’.MAC lµ: 1 3a a3 = S ∆AMC BB ' = a = 3 4 V B '.MAC a3 b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) theo a Hay VM AB 'C = Gọi h khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) Khi ta có: VM AB 'C a3 = S ∆AB 'C h = (theo a/) (1) Ta dễ tính đợc AC = B ' C = 5a ⇒ ∆ACB ' cân điểm C Do đờng trung tuyến CI tam giác ACB đờng cao Vậy z B’ a 2 3a = a ⇒ CI = CI = CA − AI = 5a − 2 DÉn ®Õn diƯn tÝch cđa tam giác ABC 1 3a 3a AB '.CI = a = 2 2 Thay vào (1) ta suy đợc khoảng cách cần tìm 3a 3a a h= = = 4S ∆AB 'C 3a a C’ A’ S ∆AB 'C = D’ B A x a C y 2a M D C¸ch 2: (Sử dụng phơng pháp tọa độ) a Chọn hệ trục tọa độ Đêcác Oxyz cho B trùng với O, A(a ; ; 0), C (0 ; 2a ; 0), B ' (0 ; ; a ) Do AM = 3MD nªn AM = AD, 3.(2a) 3a Suy ®iĨm M cã täa ®é M (a ; ; 0) ã Thể tích khối chóp M.ABC đợc tính công thøc VM AB 'C = AB', AC AM (1) tøc AM = [ ] Ta cã AB' = ( − a ; ; a ) , AC = ( − a ; 2a ; ) [ ] a a −a −a 3a = − 2a ; − a ; − 2a ; AM = ; ; ; ; Suy AB ' , AC = 2a 0 − a − a 2a ( ) BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 Thay vào (1) ta đợc VM AB 'C ( ) 3a a3 = + − a2 + = b MỈt phẳng (ABC) có phơng trình theo đoạn chắn ( AB ' C ) : x y z + + =1 a 2a a Hay ( AB ' C ) : x + y + z − 2a = 3a Vậy khoảng cách từ điểm M (a ; ; 0) đến mặt phẳng (ABC) là: 3a 2.a + + − 2a a d ( M , ( AB ' C )) = = 2 + 12 + 2 C©u V (1 ®iĨm) Cho hai sè thùc x, y thay ®æi tháa m·n x + y − = Tìm giá trị lớn giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = − 4( xy + x + y ) ã Đặt t = x + y (t ∈ R) ⇒ t = x + y + xy Do x + y − = , dÉn ®Õn x + y = nªn xy = t2 − t2 − + t = − 2t + − 4t = −2t − 4t + Suy P = − 4 t2 − ⇔ t2 ≤ ⇔ − ≤ t ≤ 2 • Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P, ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (t ) = 2t 4t + đoạn [2 ; 2] Do ( x + y ) ≥ xy nªn t ≥ Ta cã: f ' (t ) = −4t − 4; f ' (t ) = ⇔ t = −1 ∈ [−2 ; 2] f ( −2) = ; f ( −1) = ; f (2) = −11 f (t ) = −11 , x = y = Suy P = [ −2 ; 2] max P = max f (t ) = , x + y = −1, xy = − , (ta dễ tìm đợc x, y) [ ; 2] 2 (Chó ý r»ng f (t ) = −2t − 4t + có đồ thị đờng Parabol, ®Ønh cđa (P) lµ ®iĨm cã b = −1 , từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f(t) hoành độ x = 2a đạt điểm t = 2, t = 1, t = 2) Phần Riêng: (3 điểm) Thí sinh đợc chọn làm hai phần (phần A phần B) A Theo chơng trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1/.Trong không gian Oxyz cho tø diƯn ABCD víi A(1;1;1) , B (−2 ; ; 2) , C (0 ;1; − 3) , D(4 ; 1; 0) Tính độ dài đờng cao tứ diện kẻ từ đỉnh D 10 B TON CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 II PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho phương trình hai cạnh tam giác 5x – 2y + = 4x + 7y – 21 = Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác đó, biết trực tâm trùng với gốc tọa độ O Giả sử AB: 5x – 2y + = 0; AC: 4x + 7y – 21 = Vậy A(0;3) r Đường cao đỉnh B qua O nhận VTCP a = (7; −4) AC làm VTPT ⇒ BO: 7x – 4y = ⇒ B(–4; –7) A nằm Oy ⇒ đường cao AO trục Oy Vậy AC: y + = 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A; cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm ∆IJK x y z Ta có I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒ ( P ) : + + = uur uur uuur a b c uur IA = (4 − a;5;6), JA = (4;5 − b;6); JK = (0; −b; c), IK = ( − a;0; c) 77 a= 4 a + b + c = 77 ⇒ phương trình mp(P) Ta có: −5b + 6c = ⇒ b = 77 − 4a + 6c = c = Câu VII.a (1 điểm) Tính tổng: S = 1.2.C252 + 2.3.C253 + + 24.25.C2525 Xét nhị thức Newton: ( x + 1) n n = ∑ Cnk x k k =0 Lấy đạo hàm đến cấp hai hai vế ta được: n(n − 1) ( x + 1) Cho x = n = 25 từ (1) ⇒ 25 24.223 = 25 ∑ k (k − 1)C k =2 n−2 k 25 n = ∑ k (k − 1)Cnk x k − ⇔ k =2 25 ∑ k (k − 1)C k =2 k 25 (1) = 5033164800 B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600 (C) có tâm I(3;0) bán kính R = M ∈ Oy ⇒ M(0;m) ·AMB = 600 (1) Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm) ⇒ ·AMB = 1200 (2) Vì MI phân giác ·AMB nên: IA (1) ⇔ ·AMI = 300 ⇔ MI = ⇔ MI = 2R ⇔ m + = ⇔ m = ± sin 300 IA (2) ⇔ ·AMI = 600 ⇔ MI = R ⇔ m2 + = (vô nghiệm) ⇔ MI = sin 60 3 Vậy có hai điểm M1(0; ) M2(0; – ) 78 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 2).Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Viết phương trình đường thẳng (D) vng góc với mặt phẳng (Oxy) cắt AB, uuur đường thẳnguuu r CD uuur BA = (4;5;5) , CD = (3; −2;0) , CA = (4;3;6) Gọi (P) mặt phẳng qua AB (P) ⊥ (Oxy) ⇒ (P) có VTPT uuur r r n1 = BA, k = (5; –4; 0) ⇒ (P): 5x – 4y = uuur r r (Q) mặt phẳng qua CD (Q) ⊥ (Oxy) ⇒ (Q) có VTPT n2 = CD, k = (–2;–3; 0) ⇒ (Q): 2x + 3y – = Ta có (D) = (P)∩(Q) ⇒ Phương trình (D) Câu VII.b (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: z = phần thực z hai lần phần ảo Giả sử : z = a + bi (a- phần thực, b- phần ảo) a = −2 a = a + b = a = 2b z =5 ÷ ⇔ ⇔ ⇔ ∨ b = − ÷ b = a = 2b a = 2b b = ± Ta có: C©u1: Kết luận: Có hai số phức thoả u cầu tốn: z = −2 − 5i; z = + 5i ĐỀ 18 x2 + x + − 2k − = 1).BiÖn luËn theo k số nghiệm phơng trình: x +1 x + x + m2 + m + 2) cho hµm sè: y= (Cm) với m tham số M điểm thuộc đồ thị x +1 (Cm ).Qua M kẻ đờng thẳng song song với đờng tiệm cận đứng,tiệm cận xiên, cắt tiệm cận xiên Avà tiệm cận đứng B.Tìm m để diện tích hình bình hành IAMB nhỏ nhất.(I giao điểm hai đờng tiệm cận) Câu2:1) Tìm nghiệm thuộc [ 0; ] phơng trình: cos x + sin 3x ) = cos x + 5(sinx+ + 2sin x 2).Giải phương trình: 9sinx + 6cosx -3sin2x + cos2x = 3) Giải bất phương trình: log x2 −3 x−1 x > logx-1 x t t = logx-1 x 4) Tìm m để hệ sau cã nghiÖm nhÊt: m x +1 + y = 2m x +1 + m 2y = m +1 Câu3:Trong hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC,biết phơng trình cạnh: (BC): x-y+1=0 Hai đờng phân giác góc B vàC lần lợt có phơng trình: d1: 2x+y-1=0 d2: x+2y-3=0 Viết phơng trình cạnh AB tam giác ABC Câu4:Trong hệ toạ độ 0xy cho hai đờng tròn: (C1): (x-1)2+y2=4 (C2): x2+y2-4y+3=0 1)Xét vị trí tơng đối hai đờng tròn 79 B TON CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 2) ViÕt phơng trình tiếp tuyến chung hai đờng tròn 3) (C1) cắt (C2) A B (xA ; y > thay đổi thỏa mãn : x- x2 ≥ y3- y2 Tìm giá trị lớn F = x2 + y2 ĐÁP ÁN ĐỀ 18 Câu1: 1)Biện luận theo k số nghiệm phơng trình: x2 + x + − 2k − = x +1 x2 + x + ( x > −1) x + x + x + *Nêu cách vẽ đồ thị hàm số y= = x +1 − x + x + ( x < −1) x +1 *Sè nghiệm PT số giao điểm ĐTHS với ĐT y=2k+3 ĐTHS suy ra: +k x ≠ Đặt t = logx-1 x => ( x-1 )t = x BPT ⇔ log x2 −3 x−1 x > t Th1: x > x −1 (I ) ⇔ t > DO :t = logx-1 x > logx-1 > ( x − x − ) x > > ⇔ -1 < x < : ( loại ) x −1 (I ) ⇔ x − 3x − 0 < x − x − < + 17 TH : t = logx-1 x < logx-1 = x −1 Nên : > ⇔ -1 < x < 2 x − 3x − + 17 Kết hợp với điều kiện , nghiệm bõt phng trỡnh : 0 m −1 81 2m =m2-m m +1 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 Câu3:Trong hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC,biết phơng trình cạnh: (BC): x-y+1=0 Hai đờng phân giác góc B vàC lần lợt có phơng trình: d1: 2x+y-1=0 d2: x+2y-3=0 Viết phơng trình cạnh AB tam giác ABC *Toạ độ điểm B nghiệm hệ PT: x − y +1 = x = ⇔ ⇔ B(0;1) 2 x + y − = y =1 * Toạ độ điểm C nghiệm hÖ PT: x − y +1 = x = ⇔ ⇔ C(1;2) x + y − = y = r *Gäi F ®èi xøng C qua d1;đờng thẳng CF qua C nhận v (1;-2) VTCP d1 Làm VTPT nên có PT: (x-1)-2(y-2)=0 x-2y+3=0 *G=d1 CF Toạ độ điểm G lµ nghiƯm hƯ: x − y + = x = −1/ ⇔ 2 x + y − = y = 7/5 *G trung điểm CF nên F(-7/5;4/5) *PT AB qua FvàB có PT: 6x-7y+14=0 ( Học sinh làm theo phơng án nh phơng án thay d2: x + 2y - = mà cho điểm tối đa ) Chú ý:Nếu học sinh làm theo giả thiết:PT d2:x+2y-3=0 đáp án nh sau: *Toạ ®é ®iĨm B lµ nghiƯm hƯ PT: x − y +1 = x = ⇔ ⇔ B(0;1) 2 x + y − = y =1 * Toạ độ điểm C nghiệm hệ PT: x − y + = x = 1/ ⇔ ⇔ C(1/3;4/3) x + y − = y = 4/3 r *Gäi F ®èi xứng C qua d1;đờng thẳng CF qua C nhận v (1;-2) VTCP d1 Làm VTPT nên có PT: (x-1/3)-2(y-4/3)=0 ⇔ x-2y+7/3=0 *G = d1 ∩ CF To¹ ®é ®iĨm G lµ nghiƯm hƯ: x − y + / = x = −1/15 ⇔ 2 x + y − = y = 17 /15 *G trung điểm CF nên F(-7/15;14/15) *PT AB qua Fvà B có PT: x+7y-7=0 Câu4:Trong hệ toạ độ 0xy cho hai đờng tròn: (C1): (x-1)2+y2=4 (C2): x2+y2-4y+3=0 1)Xét vị trí tơng đối hai đờng tròn *C1 có tâm I(1;0);R=2; C2 có tâm J(0;2);R=1 * R-R thay đổi thỏa mãn : x- x2 ≥ y3- y2 Tìm giá trị lớn F = x2 + y2 TH1: < x ≤ < y ≤ => F = x2 + y2 ≤ =( 83 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ÔN THI ĐẠI HỌC 2011 TH1: < x ≤ y ≥ Do :x- x2 ≥ y3- y2 => x2 ≤ x - y3 + y2 Nên : F = x2 + y2 ≤ x - y3 +2y2 ≤ - y3 +2y2 Xét : y = - y3 +2y2 y’ = 4y – 3y2 ; y’ = ⇔ y = hay y = ∞ x 4/3 + y’ + y 59 27 -∞ ĐỀ 19 I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm)Cho hµm sè y = x+2 (C) x 1 (1,0 im Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) 2.(1,0 im) Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) cho hai tiếp điểm tơng øng n»m vỊ hai phÝa trơc ox Câu II (2,0điểm) π 2π 2 2 (1,0 điểm) Giải PT : cos x + ÷+ cos x + ÷ = ( sin x +1) 3 (1,0 điểm) Giải PT : x + − x = + x − x Câu III ( x − y ) = xy 1) Giải hệ phương trình : x − y = 1 1 2) Cho số thực x , y thuộc đoạn [ 2; 4] , chứng minh : ≤ ( x + y ) + ÷ ≤ x y π π − 3).Tính tích phân I= ∫ sin x + cos x dx 6x + Câu IV (2,0 điểm)Trong kg Oxyz cho đường thảng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I∈ ∆ khoảng cách từI đến mp(P) mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3 II.PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn làm hai câu(Va hoặcVb) Câu Va 1(2,0 điểm) Trong Oxy hình thang cân ABCD có AB //CD A( 10;5) ; B(15;5 ) ; D (-20;0 ) Tìm toạ độ C 2.(1,0 điểm) Từ số 0,1,2,3,4,5,6 Lập số có chử số khác mà thiết phải có chử số Câu Vb 84 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 (2,0 điểm).Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 60 0, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) log ( x + 1) − log ( x + 1) >0 x − 3x − 2.(1,0 điểm) Giải B PT ĐÁP ÁN ĐỀ 19 I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm)Cho hµm sè y = x+2 (C) x 1 (1,0 im Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Tập xác định:D=R\{1} *-Sù biÕn thiªn y −3 Hoành độ tiếp ®iĨm x ; x lµ nghiƯm cđa (4) x1 + x2 + Tung ®é tiÕp ®iĨm lµ y = , y2 = x1 − x2 Để hai tiếp điểm nằm hai phÝa cđa trơc ox lµ: y y < ⇔ (x + 2)(x + 2) x + y = x + y − xy = Ta có hệ PT: ( x + y ) − xy = Giải hệ theo S;P => Hệ đối xứng loại Đặt S=x +y ; P=xy Khi S=2 P=0 x = 0; y = => x = 2; y = −6 − 126 x= 10 Khi s = − ; p = − ⇒ Vậy PT có nghiêm 3 − + 126 y = Câu III (1,0điểm) ( x − y ) = xy 1) Giải hệ phương trình : x − y = Với điều kiện : x y ≥ ; x ≥ y Pt 3( x − y ) = xy ⇔ 3( x − y ) = xy ⇔ (3x − y )( x − y ) = y ⇔ x = y hay x = 86 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 Với x = y , vào Pt x − y = : y − y + = ⇔ y = ; y = x = x = 12 ; Hệ có nghiệm y = y = y Với x = , vào Pt x − y = : y − y + 24 = Vô nghiệm x = x = 12 ; Kết luận : hệ phương trình có nghiệm : y = y = 1 1 2) Cho số thực x , y thuộc đoạn [ 2; 4] , chứng minh : ≤ ( x + y ) + ÷ ≤ x y 1 1 x y Gọi A = ( x + y ) + ÷ = + + ÷ x y y x x Đặt t = A = f (t ) = + t + y t 2 ≤ x ≤ x 1 Với x, y ∈ [ 2; 4] ⇒ 1 ⇒ ≤ ≤ ⇒ t ∈ ; y 2 4 ≤ y ≤ t −1 1 = ; f ' (t ) = ⇔ t = 1∈ ; t t 2 9 1 Ta có : f ÷ = f (2) = ; f (1) = ⇒ ≤ A ≤ (điều phải chứng minh) 2 2 ' Ta có f (t ) = − π π − 3).Tính tích phân I= ∫ sin x + cos x dx 6x + * Đăt t = -x => dt = -dx π π π π * Đổi cận: x = − ⇒ t = ;; x = ⇒ t = − 4 4 π π − I =∫ π π sin t + cos t sin t + cos t t dt ; => I = ∫ π (6 + 1) dt = ∫ 4π (sin t + cos )tdt t t − − +1 +1 4 t π π − 2I = ∫ π π 5π 5 31 4 − sin t dt = + cos 4t ÷dt = t + sin 4t ÷ = π ÷ ∫ − 8 − π 16 48 =>I = 5π 32 Câu IV (2,0 điểm)Trong kg Oxyz cho đường thảng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I∈ ∆ khoảng cách từI đến mp(P) mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường trịn (C)có bán kính r=3 m cầu(S) có tâm I∈ ∆ g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT ∆ (1) * d ( I;( P) ) = (2) 87 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 Từ (1) và(2) ta có hệ PT: a − b − 2c − = 11 14 1 7 a=t ⇒ ⇒ heconghiem ; − ; ÷; va − ; − ; ÷ Do b = 2t − 6 6 3 3 c = t + r = R − = ⇔ R = 13 Vậy có mặt cầu theo ycbt : 2 14 1 11 ( S1 ) : x − ÷ + y + ÷ + z − ÷ = 13 6 3 6 2 1 ( S2 ) : x + ÷ + y + ÷ + z − ÷ = 13 3 3 3 II.PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn làm hai câu(Va hoặcVb) Câu Va 1(2,0 điểm).Trong Oxy hình thang cân ABCD có AB //CD A( 10;5) ; B(15;-5 ) ; D (-20;0 ) Tìm toạ độ C 25 *M trung điểm AB => M ;0 ÷ uuur ∆quaM ; ∆ ⊥ AB ( 5;−10 ) ⇒ PT ∆ : x − y − 25 = x = −20 + t dtDC // AB; dtDCquaD ( −20;0 ) ⇒ pttsDC : y = −2t 27 * N = DC ∩ ∆ ⇒ N − ; −13 ÷ *Do ABCD h thang cân=>C đ xửng với D qua ∆ =>N trung điểm CD=> C(-7;26) 2.(1,0 điểm) Từ số 0,1,2,3,4,5,6 Lập số có chử số khác mà thiết phải có chử số *Số có chử số khác là: 6.A6 (số) * Số có chử số khác khơng có mặt chử số là: 3.A5 4 *Vậy Số có chử số khác ln có mặt chử số là: A6 − A5 = 1560 (SỐ) Câu Vb (2,0 điểm).Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) = 60 0, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt S phẳng (SAC) Gọi M trung điểm BC O hình chiếu S lên AM Suy ra: SM =AM = a ; ·AMS = 600 SO ⊥ mp(ABC) 3a ⇒ d(S; BAC) = SO = Gọi VSABC- thể tích khối chóp S.ABC A C O 88 B M BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 ⇒ VS.ABC = 13 S∆ABC SO = a16 (đvtt) Mặt khác, VS.ABC = 13 S∆SAC d ( B; SAC ) ∆SAC cân C có CS =CA =a; SA = a 13 ⇒ S∆SAC = a 16 3V Vậy: d(B; SAC) = S S ABC = 3a (đvđd) 13 ∆SAC log ( x + 1) − log ( x + 1) 2.(1,0 điểm) Giải B PT >0 x − 3x − *ĐK: x >-1 x ≠ x − x − > 0khi x > *Do x − x − < 0khi − < x < *Xét ( 4; +∞ ) → ( 1) ⇔ log x +1 − log x+1 > ⇔ ∀x ⇒ bpt ( 1) co.nghiemS = ( 4; +∞ ) * Xét ( −1; ) → ( 1) ⇔ log x +1 − log x +1 < ⇔ log x +1 C©u V (1 ®iĨm) Cho ba sè a, b, c cho abc = 89 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 1 + + Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøcA = a ( b + c) b ( a + c) c ( b + a) Phần Riêng: (3 điểm) Thí sinh đợc chọn làm hai phần (phần A phần B) A Theo chơng trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1/.Cho ABC có phơng trình hai cạnh là: x − y + = 0, 4x + 7y - 21 = Trực tâm tam giác trùng với gốc toạ độ O, lập phơng trình cạnh lại 2/.Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d1) (P) song song với đờng thẳng x = − t x − = t , (t ∈ R ) (d2) BiÕt (d1): , (d2): y = y + 8z + = z = + 2t Câu VII.a (1 điểm) Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ban cán gồm lớp trởng, lớp phó ủy viên (Biết không phân biệt chức danh ủy viên) Hỏi có cách lập ban cán B Theo chơng trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1/.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SO (ABCD) Gọi M, N lần lợt trung điểm SA BC Tính góc đờng thẳng MN mặt phẳng a 10 (ABCD) thể tích khối chóp M.ABCD, biÕt r»ng MN = 2/.Cho ®iĨm A(1; 0; 2), B(1; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1) tạo thành tứ diện Lập phơng trình đờng cao DH tứ diện kẻ từ đỉnh D Câu VII.b (1 điểm) x2 + x Tìm giá trị tham số m để đờng thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = x hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung AP AN ấ 20 Phần chung cho tất thí sinh: Câu I (2 điểm) Cho hm s y = x3 + mx2– m a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Khi đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt hàm số có cực đại cực tiểu ycđ yct < y’ = 3x2 + 2mx = x(3x + 2m) y’ = ⇔ x = , x = – 2m/3 Hàm có cực đại cực tiểu ⇔– 2m/3 ≠ ⇔ m ≠ 4m3 − 27 m −2 m ⇔ m < − 3 3 3 Vậy m > V m> 2 c) Xác định m cho x ≤ ⇒ y ≤ Tìm GTLN−GTNN |y| = | x3 + mx2–m| –[−1; 1]? Xét f(x) = x3 + mx2– m xác định nên liên tục /[−1 ; 1] f’(x) = ⇔ x = , x = – 2m/3 90 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 −2 m m −m y(0) = −m; y(−1) = −1; y(1) = 1; y ÷ = 27 Do y(−1).y(1) = −1 < ⇒ pt y(x) = ln có nghiệm xo∈[−1;1] Ta có |y| = |f(x)| |y(0)| = |m|; |y(−1)| =| y(1)| = 1; x ≤ ⇒ y ( x ) ≤ điều kiện cần y ( ) = m ≤ −2m Với |m| ≤ 1, m ≠ 0, ta có |−2m/3| ≤ 1với m ∈ [−1, 1]\ { 0} y ÷ = 4m 4m − m = m 1 − ÷≤ m ≤1 27 27 Vậy (|x|≤1 ⇒ |y|≤1) ⇔ max y ≤ [ −1;1] ⇔ m ∈ [−1; 1] x (C ) T×m m để đồ thị hàm số y = x − m( x − 1) − , (Cm) tiÕp x −1 xóc víi trơc hoµnh Ox Trơc Ox cã phơng trình y = (= 0x + 0), có hƯ sè gãc k = d/.Cho hµm sè y = §êng cong (Cm) tiÕp xóc víi Ox x − m( x − 1) − = (1) Hệ phơng trình có nghiệm (2) 3x − m = Tõ (2) suy m = 3x2 thay vào (1) ta có phơng tr×nh: x − x ( x − 1) − = ⇔ − x + 3x − = x =1 ⇒ m = ⇔ ( x − 1)(−2 x + x + 1) = ⇔ ⇒ m= x = − Vậy m = 3, m = đờng cong (Cm) tiếp xúc với trục hoành Câu II (2 điểm) 1/.Giải phơng trình: sin x + sin x − cos2 x = Dïng công thức hạ bậc ta có phơng trình ban đầu tơng đơng: 1 (1 cos x ) + (1 − cos x) − cos 2 x = , (*) 2 Ta kh«ng khó khăn để chứng minh công thức nhân ba: cos3a = 4cos3a 3cosa (Bạn đọc tự chứng minh) 1 Khi ®ã (*) ⇔ (1 − cos x ) + (1 − cos x + cos x) − cos 2 x = 2 ⇔ − cos x + cos x − cos x − cos 2 x = ⇔ + cos x − cos x − cos 2 x = ⇔ (2 cos x + 1)(cos 2 x + cos x − 1) = cos x = − cos x = − ⇔ ⇔ cos 2 x + cos x − = cos x = − 91 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 2011 2π −1 2x = ± + k 2π ⇔ , (k , l ∈ Z , cos α = ) x = ±α + l 2π π x = ± + kπ −1 , ( k , l Z , cos = ) Vậy phơng trình ban đầu có nghiệm x = ± + lπ 2 x + y = 2/.Xác định số nghiệm hệ phơng trình 2 x y + xy = (Nhận xét: phơng trình đẳng cấp bậc hai x y Ta giải theo cách sau) 2x + y = 2x + 3y = (1) ⇔ C¸ch 1: Hệ phơng trình 2 ( 2) x − y + xy = 2 x − y + xy = Trừ hai vế tơng ứng hai phơng trình cho ta đợc: 5y2 y xy = ⇔ x = (3) (y = không thoả mÃn phơng trình) 8y 5y2 + 3y = Thế x vào phơng trình (1) ta đợc phơng trình: y 4 ⇔ 25 y − 10 y + + 96 y − 224 y = 117 ± 13568 >0 (4) 121 Tõ (4) ta có giá trị phân biệt y, thay bốn giá trị y vào (3) ta đợc bốn giá trị x tơng ứng với y Vậy hệ phơng trình đà cho có nghiệm Cách 2: Nhận thấy x = y = không thoả mÃn hệ phơng trình x 2 + 3t = (*) Khi xy ≠ , ®Ỉt y = tx Khi ®ã ta cã hƯ 2 x − t + 4t = ⇔ 121 y − 234 y + = ⇔ y = ( ( ) ) 6( + 3t ) = 7(1 − t ) x ( + 3t ) 2 = ⇔ + 4t 2 x (1 t + 4t ) Từ phơng trình bậc hai theo t ta giải đợc hai giá trị t, thay vào (*) ta tìm đợc giá trị phân biệt x Vậy hệ đà cho có nghiệm (Học sinh tự giải chi tiết toán theo cách này) dt K = Câu III (1 ®iĨm) TÝnh tÝch ph©n ∫ t t − tdt ⇒ du = ; t2 = u2 +1 §Ỉt: u = t − t −1 §æi cËn, t = ⇒ u = ; t = ⇒ u = Khi ®ã ta cã: 2 dt tdt du K= ∫ = (*) = ∫ ∫ 2 t −1 u +1 t t −1 t ã Tính tích phân (*) 92 Dộn đến phơng tr×nh ... ⇔ ⇔ x =1 x + = x + π Câu III (1 điểm) Tính tích phân : I = cos x − sin x dx ∫ Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = ∫ du − u2 − sin x BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ÔN THI ĐẠI HỌC 2011 π 2cos tdt Đặt u = 2sin... Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số y = x − x + (C) Với giá trị tham số a đồ thị hàm số y = x 3ax + a có hai điểm cực trị đối xứng với qua đờng phân giác góc phần t thứ I thứ III Câu II (2 ®iÓm)... π Câu III (1điểm): Tính I= ∫ e sin x sin x cos x dx Đặt sin2x= t => dt= 2sinx cosxdx Đổi cận: x=0 => t=0; π x= ⇒ t = 21 1 t Khi ®ã I= ∫ e (1 − t ) dt 20 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ÔN THI ĐẠI HỌC 2011 1