Câu Câu I (3 đ) ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (Gồm có trang) Nội dung −2 x + (2 điểm) Khảo sát hàm số y = x −1 * Tập xác định : D = ¡ \ { 1} * Sự biến thiên + Chiều biến thiên : y ′ = −1 ( x − 1) Điểm 0,25 0,25 < 0, ∀x ∈ D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , ( 1; +∞ ) + Hàm số cực trị y = lim y = −2 suy tiệm cận ngang y = −2 + Giới hạn : xlim →−∞ x →+∞ lim+ = +∞ 0,5 lim = −∞ suy tiệm cận đứng x = x →1− x →1 + Bảng biến thiên 0,25 x y' - - +∞ -2 y −∞ 0,25 -2 * Vẽ đồ thị Đồ thị hàm số qua điểm 3 ;0 ÷, ( 0; −3) , 2 Đồ thị có tâm đối xứng I ( 1; −2 ) (I giao điểm hai tiệm cận) 0,5 (1 điểm ) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm với Ox 3 3 Gọi A = ( C ) ∩ Ox ⇒ A ;0 ÷ y ′ ÷ = −4 2 2 3 Phương trình tiếp tuyến A y = y′ ÷ x − ÷ ⇔ y = −4 x + 2 Vậy phương trình phải tìm y = −4 x + Câu II (3 đ) 0,5 0,5 2 (1 điểm) Giải phương trình : 8log x − 5log x + 12 = ĐK : x > PT cho ⇔ 8log 22 x − 10 log x + 12 = ⇔ log x − 5log x + = 2 log x = x = ⇔ ⇔ x = log x = Vậy PT cho có nghiệm x = 4, x = 0,25 0,25 0,25 0,25 (1 điểm) Tính tích phân : − 2x dx x − I =∫ Đặt u = x − ⇔ x = u + ⇒ dx = du Khi x = ⇒ u = 1; x = ⇒ u = 2 − ( u + 1) −2u + ⇒I =∫ du = ∫ du u u 1 0,25 0,25 2 1 = ∫ −2 + ÷du = ( −2u + ln u ) u 1 = −2 + ln Vậy I = −2 + ln (1 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x + − x CâuII I (1 đ) ĐK : − x ≥ ⇔ x ∈ [ −1;1] Hàm số cho xác định liên tục đoạn [ −1;1] x Ta có y ′ = − Tại x = ±1 ⇒ y′ không xác định − x2 2 Với x ∈ ( −1;1) , ta có y ′ = ⇔ − x = x ⇔ − x = x ; ( x ≥ ) ⇔ x = Tính y ( −1) = −1, y ( 1) = 1, y ÷= 2 Vậy y = −1 x = −1 max y = x = Tính góc mặt phẳng ( ABC ) ( A′B′C ) a2 a.a.sin 600 = ′ V = S Thể tích khối lăng trụ ABC CC 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có S ABC = ⇒ 0,5 3a a a = CC ′ ⇔ CC ′ = Gọi I trung điểm A′B′ Tam giác đếu A′B′C ′ ⇒ A′B′ ⊥ IC ′ Lăng trụ ⇒ CC ′ ⊥ ( A′B′C ′ ) ⇒ CC ′ ⊥ A′B′ ⇒ A′B′ ⊥ IC · ′ =α Suy góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( A′B′C ) góc CIC Tam giác CIC ′ vuông C ′ có CC ′ = IC ′ = a ⇒ α = 450 0,25 0,25 Câu IVa (2 đ) Vậy giá trị phải tìm 45 (1 điểm) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua A vuông góc với ∆ r r ∆ có VTCP u = ( 2;3;1) , ( α ) ⊥ ∆ ⇒ u VTPT ( α ) 0,5 Mà ( α ) qua A ( 1; 2; −1) nên pt ( α ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = ⇔ x + y + z − = Vậy phương trình ( α ) : x + y + z − = (1 điểm) Tìm tọa độ điểm M ∆ cho tam giác OAM cân O PT tham số ∆ : x = −1 + 2t ; y = + 3t ; z = + t 0,5 0,25 M ∈ ∆ ⇒ M ( −1 + 2t ;1 + 3t ; + t ) OM = ( −1 + 2t ) + ( + 3t ) + ( + t ) = 14t + 6t + 2 0,25 OA2 = + + = ∆OAM cân O ⇒ OA2 = OM ⇔ 14t + 6t = ⇔ t = ∨ t = − Câu Va (1 đ) 0,25 −13 −2 11 ; ; ÷ Dễ thấy O, M, A không thẳng hàng Do tọa độ M ( −1;1; ) , M 7 7 −13 −2 11 ; ; ÷ Vậy có hai điểm thỏa mãn đề M ( −1;1; ) , M 7 7 Hãy tính z , biết z số phức thỏa mãn : z − + 2i = − i Từ z − + 2i = − i ⇒ z = − 3i 0,25 z = ( − 3i ) = 16 − 24i + 9i = − 24i 0,5 ⇒ z = + ( −24 ) = 25 0,25 2 2 Câu Ivb (2 đ) 0,25 ( điểm) Tìm tọa độ giao điểm M ( P ) ∆ PT tham số ∆ : x = + t ; y = −1 − 2t ; z = + 3t M ∈ ∆ ⇒ M ( + t ; −1 − 2t ;1 + 3t ) 0,5 M ∈ ( P ) ⇒ ( + t ) − ( −1 − 2t ) + ( + 3t ) + = ⇔ t = −1 0,5 Vậy tọa độ M ( 1;1; −2 ) (1 điểm) Lập phương trình tắc ∆′ hình chiếu vuông góc ∆ ( P ) Lấy A′ ( 2; −1;1) ∈ ∆ Câu Vb (1 đ) Hạ AH ⊥ ( P ) H suy đường thẳng ∆′ MH 0,25 r r (P) có VTPT n = ( 2; −1;1) AH qua A có VTCP n = ( 2; −1;1) nên có pt : x = + 2t ; y = −1 − t ; z = + t H ∈ AH ⇒ H ( + 2t ; −1 − t ;1 + t ) 0,25 −1 −1 H ∈ ( P ) ⇒ ( + 2t ) − ( −1 − t ) + + t + = ⇔ t = − ⇒ H ; ; ÷ 6 uuuur 11 MH = − ; − ; ÷ = − ( 8;5; −11) 6 r x −1 y −1 z + = = ⇒ ∆′ qua M ( 1;1; −2 ) có VTCP u = ( 8;5; −11) nên có pt : −11 Tìm bậc hai số phức sau : z = − 4i Gọi bậc hai z a + bi ; a, b ∈ ¡ Ta có ( a + bi ) = − 4i 2ab = −4 ( 1) ⇔ a − b + 2abi = − 4i ⇔ 2 a − b = ( ) ( 1) ⇒ b = − vào (2) suy a − = ⇔ a − 3a − = ⇔ a = 4; ( a ≥ ) a a a = ⇒ b = −1 ⇔ a = −2 ⇒ b = Vậy số phải tìm − i, −2 + i 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25