TRNG THPT CHUYấN NGUYN HU K THI TH I HC LN TH T NM HC 2010 2011 THI MễN: TON KHI A, B Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao Cõu I: (2,0 im) Cho hm s y = 2x x +1 Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s Vit phng trỡnh ng thng ct th (C) ti hai im A, B phõn bit cho A v B i xng qua ng thng cú phng trỡnh: x + 2y +3= Cõu II: (2,0 im) sin x + = 2cosx sin x + cos x tan x x+ y xy =2 Gii h phng trỡnh: 2 2 x + y +1 x y = Gii phng trỡnh: Cõu III: (1,0 im) Tớnh tớch phõn: (e cos x + s inx).sin x.dx Cõu IV: (1,0 im) Cho lng tr ABC.ABC ni tip hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy r; gúc gia BC v trc ca hỡnh tr bng 300; ỏy ABC l tam giỏc cõn nh B cú ãABC = 1200 Gi E, F, K ln lt l trung im ca BC, AC v AB Tớnh theo r th tớch chúp A.KEF v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din FKBE Cõu V: (1,0 im) Cho a, b, c l ba s dng tho : a + b + c = Chng minh rng: 3 1 +3 +3 a + 3b b + 3c c + 3a Cõu VI: (2,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M (2; 1) v ng thng : x y + = Vit phng trỡnh ng trũn i qua M ct im A, B phõn bit cho MAB vuụng ti M v cú din tớch bng 2.Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d: x y z = = 1 v mt phng (P) : ax + by + cz = (a + b 0) Vit phng trỡnh mt phng (P) bit (P) i qua ng thng d v to vi cỏc trc Oy, Oz cỏc gúc bng Cõu VII: (1,0 im) Xột s phc z tha iu kin : z 3i = , tỡm giỏ tr nh nht ca z Ht -Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn: SBD: TRNG THPT CHUYấN NGUYN HU HNG DN CHM THI TH I HC LN TH T NM HC 2010 2011 THI MễN: TON CU NI DUNG IM TX: D = R\{-1} > x D ( x + 1) Hs ng bin trờn mi khong (; 1) v (1; +) , hs khụng cú cc tr Gii hn: lim y = 2, lim y = +, lim+ y = Chiu bin thiờn: y ' = x x 0,25 x 0,25 => th hs cú tim cn ng x = -1, tim cn ngang y = BBT x y - + y I-1 (1 im) + -1 + + 0,25 - + th (C): th ct trc honh ti im ( 2;0 ) , trc tung ti im (0;-4) th nhn giao im ng tim cn lm tõm i xng 0,25 I-2 (1 im) ng thng d cn tỡm vuụng gúc vi : x + 2y +3= nờn cú phng trỡnh y = 2x +m 0,25 2x = x + m cú nghim phõn bit x +1 x + mx + m + = cú nghim phõn bit khỏc - m 8m 32 > (1) x A + xB m xI = = Gi I l trung im AB cú y = 2x + m = m I I Do AB vuụng gúc vi nờn A, B i xng qua ng thng : x + 2y +3= I m = D ct (C) im A, B phõn bit 0,25 0,25 m = - tha (1) vy ng thng d cú phng trỡnh y = 2x - 0,25 Điều kiện: sin x 0, cos x 0,sin x + cos x cos x Pt cho trở thành sin x cos x II-1 (1 im) II-2 (1 im) + sin x cos x cos x = sin x + cos x cos x =0 sin x + cos x 0,25 sin x cos x sin( x + ) sin x = +) cos x = x = + k , k x = + m2 x = x + + m2 4 +) sin x = sin( x + ) x = + n2 x = x + n t x= + , t Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm pt t x = + k ; x = + , k, t iu kin: x+y 0, x-y u = x + y t: ta cú h: v = x y 0,25 m, n 0,25 0,25 0,25 u v = (u > v) u + v = uv + u + v2 + u + v2 + uv = uv = 2 u + v = uv + (1) (u + v) 2uv + Th (1) vo (2) ta cú: uv = (2) 0,25 0,25 uv + uv + uv = uv + uv + = (3 + uv ) uv = uv = u = 4, v = (vỡ u>v) T ú ta cú: x =2; y =2.(Tha /k) Kt hp (1) ta cú: u + v = KL: Vy nghim ca h l: (x; y)=(2; 2) III (1 im) (e cos x I = e 0 0,25 + s inx).sin x.dx = e cos x cos x.sin x.dx + s inx.sin x.dx 0,25 0,25 cos x cos x.sin x.dx t t = cosx cú I = t.e dt = t.e t t 1 et dt = 1 K = s inx.sin x.dx = (cos x cos3 x).dx = (s inx sin x) = 20 3 0 (e cos x + s inx).sin x.dx = + 0,25 = 3 0,25 ã ' C = 300 T gi thit suy BC BA = BC = r CC ' = BC cot 300 = r 0,25 IV (1 im) 1 1 r3 VA ' KEF = VC KEF = VF KEC = VA ' ABC = AA ' BA.BC.sin1200 = 8 32 0,25 r Gi J l trung im KF, mp (FKH) ng trung trc ca FK ct FH ti I, I chớnh l tõm mt cu ngoi tip t din FKBE FK = FH + KH = r Bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din FKBE FJ FK FK r2 r R = FI = = = = FH FH r 3 Gi H l trung im ca AC ta cú FH // AA suy FH (ABC) v HK = HB = HE = 0,25 0,25 p dng Bt ng thc Trung bỡnh cng trung bỡnh nhõn cho b ba s dng ta cú 1 1 (x + y + z) + + 33 xyz =9 + + (*) x y z x+y+z xyz x y z 0,25 1 +3 +3 3 a + 3b b + 3c c + 3a a + 3b + b + 3c + c + 3a ỏp dng Bt ng thc Trung bỡnh cng trung bỡnh nhõn cho b ba s dng ta cú ỏp dng (*) ta cú P = V (1 im) a + 3b + + 1 = ( a + 3b + ) 3 b + 3c + + 1 ( b + 3c ) 1.1 = ( b + 3c + ) 3 c + 3a + + 1 ( c + 3a ) 1.1 = ( c + 3a + ) 3 ( a + 3b ) 1.1 Suy 0,25 a + 3b + b + 3c + c + 3a ( a + b + c ) + + = 3 0,25 a + b + c = a=b=c= Do ú P ; Du = xy a + 3b = b + 3c = c + 3a = 0,25 ng trũn (C) tõm I(a, b) bỏn kớnh R cú phng trỡnh ( x a ) + ( y b) = R MAB vuụng ti M nờn AB l ng kớnh suy qua I ú: 0,25 a - b + = (1) VI.-1 (1 im) H MH AB cú MH = d ( M , ) = 1+1 = 0,25 1 S MAB = MH AB = R R = 2 Vỡ ng trũn qua M nờn (2 a ) + (1 b) = (2) VI -2 (1 im) VII (1 im) 0,25 (1) a b + = Ta cú h 2 (2 a ) + (1 b) = (2) Gii h c a = 1; b = Vy (C) cú phng trỡnh ( x 1) + ( y 2) = r ng thng d qua M (0, 2, 1) cú VTCP u (1, 1, 1) r (P) cú VTPT n(a, b, c ) rr d ( P ) n.v = a b c = a = b + c r r r r b = c (ãOy, ( P)) = (ãOz , ( P)) cos( j, n) = cos( k , n) b = c b = c 0,25 0,25 0,25 Nu b = c = thỡ a = suy ( P1 ) : 2x + y + z - = (loi vỡ M ( P1 ) Nu b = - c = - thỡ a = suy ( P2 ) : y - z - = (tha món) Vy (P) cú phng trỡnh y - z - = 2 t z = x + iy ta cú z 3i = x + ( y 3) = 0,25 T x + ( y 3) = ta cú ( y 3) y 0,25 Do ú z = x + y + 22 = 0,25 Vy giỏ tr nh nht ca z bng t z = 2i 0,25 2 0,25 0,25 ...TRNG THPT CHUYấN NGUYN HU HNG DN CHM THI TH I HC LN TH T NM HC 2010 2011 THI MễN: TON CU NI DUNG IM TX: D = R{-1} > x D ( x + 1) Hs ng bin trờn mi khong... trờn mi khong (; 1) v (1; +) , hs khụng cú cc tr Gii hn: lim y = 2, lim y = +, lim+ y = Chiu bin thi n: y ' = x x 0,25 x 0,25 => th hs cú tim cn ng x = -1, tim cn ngang y = BBT x y - + y I-1... x).dx = (s inx sin x) = 20 3 0 (e cos x + s inx).sin x.dx = + 0,25 = 3 0,25 ã ' C = 300 T gi thit suy BC BA = BC = r CC ' = BC cot 300 = r 0,25 IV (1 im) 1 1 r3 VA ' KEF = VC KEF = VF KEC