Đề thi đ/án chuyên năng khiếu tp09 10

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: (08) 7305 7668 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề _ Câu a) Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn điều kiện a c a+c = = , a.c ≠ b d 3b − d Chứng minh rằng: b = d b) Giải hệ phương trình: 3− x − y ⎧ x −1 ⎪ xy − = − x − y ⎪ ⎨ ⎪ y − = 3− x − y ⎪⎩ xy − − x − y Câu a) Giải bất phương trình: x + ≤ x + b) Cho a, b, c số thuộc [ −1; 2] thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + c ≥ Câu a) Chứng minh không tồn số tự nhiên a cho a + a = 20102009 b) Chứng minh không tồn số tự nhiên a cho a + a + a = 20092010 Câu Cho đường tròn ( O ) tâm O , đường kính AB = R C điểm thay đổi đường tròn (O ) cho tam giác ABC không cân C Gọi H chân đường cao tam giác ABC hạ từ C Hạ HE , HF vuông góc với AC , BC tương ứng Các đường thẳng EF AB cắt K a) Tính theo R diện tích tam giác CEF độ dài đoạn KA, KB trường hợp n = 600 BAC b) Hạ EP, FQ vuông góc với AB Chứng minh đường tròn đường kính PQ tiếp xúc với đường thẳng EF c) Gọi D giao điểm ( O ) đường tròn đường kính CH , D ≠ C Chứng minh KA.KB = KH giao điểm M đường thẳng CD EF thuộc đường thẳng cố định Câu Trên đường tròn, người ta xếp số 1, 2,3, ,10 (mỗi số xuất lần) a) Chứng minh không tồn cách xếp mà tổng hai số kề lớn 10 b) Tồn hay không cách xếp mà tổng hai số kề lớn 10? -Hết -Nguyễn Tăng Vũ - Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://trungtamquangminh.tk Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: (08) 7305 7668 Hướng dẫn giải Dưới hướng dẫn giải chủ quan đáp án thức trường nên mang giá trị tham khảo Bài a) Trường hợp 1: b = − d ⇒ b = d (đccm) Trường hợp 2: b ≠ −d , kết hợp với điều kiện a c = suy a ≠ −c b d Khi a c a+c = = (tính chất dãy tỉ số nhau) b d b+d Suy ⎡a + c = a+c a+c = ⇒⎢ 3b − d b + d ⎣3b − d = b + d Với a + c = mà ac ≠ suy a ≠ 0, c ≠ suy b = − d (mâu thuẫn) Với 3b − d = b + d ⇒ b = d ⇒ b = d Vậy hai trường hợp ta có b = d Nhận xét: Mấy em áp ụng dãy tỉ số thiếu trường hợp rồi, bị trừ điểm b) 3− x − y ⎧ x −1 ⎪ xy − = − x − y x −1 y−2 3− x − y ⎪ ⇔ = = ⎨ xy − xy − − x − y ⎪ y − = 3− x − y ⎪⎩ xy − − x − y ⎧ xy ≠ ⎪ Điều kiện ⎨ xy ≠ ⎪ 2 ⎩x + y ≠ Trường hợp 1: xy − = − ( xy − ) ⇔ xy = , x − = − ( y − ) ⇔ x + y = ⎧x + y = ⎪ Ta có hệ ⎨ (VN ) ⎪⎩ xy = Trường hợp 2: xy − ≠ − ( xy − ) Khi ta có 3− x − y x −1 y −2 x + y −3 = = = 2 7−x − y xy − xy − xy − Nguyễn Tăng Vũ - Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://trungtamquangminh.tk Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: (08) 7305 7668 ⎡3 − x − y = Suy ⎢ 2 ⎢⎣7 − x − y = − ( xy − ) ⎧x = Với − x − y = ta có x − = y − = ⇒ ⎨ ⎩y = Với − x − y = −2 xy + ⇒ ( x − y ) = ⇒ x = y Khi ta có ⎡ x = −1 ⇒ y = −1 x −1 x−2 = ⇒⎢ x −3 x −4 ⎣x = ⇒ y = Thử lại ta thấy (1; ) ( −1; −1) nghiệm hệ phương trình Vậy phương trình có hai nghiệm ( x; y ) (1; ) ( −1; −1) Nhận xét: Bài hệ phương trình ý tưởng giống câu a, dùng dãy tỉ số Không khó, nhiên lại dễ sai, thiếu sót Ví dụ ⎡m = m m (dễ sót trường hợp m = ) = ⇔⎢ x y ⎣x = y Bài a) Ta có ⎡ ⎧2 x + < ⎢⎨ ⎢ ⎩8 x + ≥ 2x + ≤ 8x + ⇔ ⎢ ⎧2 x + ≥ ⎢ ⎪⎨ ⎢ ⎣ ⎪⎩( x + 1) ≤ x + (I ) ( II ) ⎧ ⎪⎪ x < − Giải (I): Ta có ( I ) ⇔ ⎨ ⇔− ≤x p 2009 + Vậy không tồn số tự nhiên a thỏa mãn đề Nhận xét: Bài hiểu ý khó trình bày quá, dễ rơi vào tình trạng lòng vòng Kinh nghiệm cho số lớn thường không ảnh hưởng đến cách giải, nhiên số mũ lẻ nên dùng tính chất số phương Hơn nữa, xét theo modul 3, thỏa hết Cái câu a b nhìn giống cách giải lại khác b) Giả sử tồn số tự nhiên a thỏa đề Tức a + a + a = 20092010 Rõ ràng a > , ta có a < a + a + a < a + 3a + 3a + = ( a + 1) ( ) ) < ( a + 1) (Vô lý a , ( a + 1) Mặt khác 20092010 = 2009607 ( Suy a < 2009670 3 3 3 lập phương hai số tự nhiên liên tiếp ) Vậy không tồn số tự nhiên a thỏa mãn đề Nhận xét Bài thuộc dạng quen thuộc phương trình nghiệm nguyên, bị nhiễu câu a, khó nhận Nói chung năm hai số học không khó số học năm ngoái (Bài số bạch kim) Câu Nguyễn Tăng Vũ - Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://trungtamquangminh.tk Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: (08) 7305 7668 C D F J I T E K,M A P H O Q B a) Tính theo R diện tích tam giác CEF độ dài đoạn KA, KB trường hợp n = 600 BAC Ta có n ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) n = R.cos 600 = R Tam giác ABC vuông C nên ta có AC = AB.cos CAB n = R.sin 600 = R Và CB = AB.sin CAB R Ta có CH = AC.sin n ACB = R.sin 600 = Tam giác CHE vuông H có HE đường cao nên ⎛R 3⎞ ⎜ ⎟ CH ⎝ ⎠ CE.CA = CH ⇒ CE = = = R CA R Tương tự ta có CF = CH R = CB 1 3R R R 3 = Do SCEF = CE.CF = 2 4 32 n = 600 nên A nằm K B Vì BAC n = CEF n = CHF n = CBA n = 300 , mà Dễ thấy CEHF hình chữ nhật KEA n n⇒n n−n AKE + n AEK = CAB AKE = CAB AEK = 600 − 300 = 300 Vậy tam giác KAE cân A suy KA = AE Mà AE = AC − CE = R − Và KB = KA + AB = 3R 1 = R nên KA = R 4 R + 2R = R Nguyễn Tăng Vũ - Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://trungtamquangminh.tk Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: (08) 7305 7668 b) Chứng minh EF tiếp xúc với đường tròn đường kính PQ Câu b, c ta xét trường hợp AC < BC, trường hợp AC > BC làm tương tự Gọi I giao điểm EF CH Vì AEHF hình chữ nhật nên I trung điểm EF Tứ giác EPQF hình thang vuông (vì EP, FQ ⊥ PQ ) Ta có IH // EP I trung điểm EF nên H trung điểm PQ Khi đường tròn đường kính PQ đường tròn tâm H bán kính HP Gọi T hình chiếu H EF n = EAH n (cùng phụ EHA n ) TEH n = IHE n , IHE n = EAH n (cùng phụ với EHA n.) Ta có PEH n = TEH n , suy ΔPEH = ΔTEH ⇒ HT = HP Suy PEH Ta có HT ⊥ EF (T ∈ EF ) HT = HP nên EF tiếp xúc với đường tròn đường kính PQ c) Chứng minh KA.KB = KH M thuộc đường cố định n = CEF n = CHF n = CBK n , suy ΔKAE ∪∩ ΔKFB ( g g ) , Ta có KEA KA KE = ⇒ KA.KB = KE.KF (1) KF KB n = HCE n = HFK n , suy ΔKHE ∪∩ ΔKFH ( g g ) Mặt khác ta có KHE Do Do KH KE = ⇒ KE.KF = KH (2) KF KH Từ (1) (2) KA.KB = KH Gọi J giao điểm OC EF, n = OBC n (tam giác OBC cân O) Ta có OCF n = ICF n (do tam giác ICF cân I) Và JFE Do n + JFE n = OBC n + ICF n = 900 OCF n = 900 ⇒ OC ⊥ EF ⇒ CJF Tam giác CKO có CH KJ hai đường cao, cắt I nên I trực tâm tam giác CKO, OI ⊥ CK (3) Mặt khác hai đường tròn (O) đường tròn tâm I đường kính CH cắt C D, nên OI đường trung trực CD, suy OI ⊥ CD (4) Từ (3) (4) ta có C , K , D thẳng hàng Vậy K giao điểm CD EF, M ≡ K M thuộc đường thẳng AB cố định Nhận xét: Đây hình học quen thuộc, không khó Đỡ năm ngoái nhiều Nguyễn Tăng Vũ - Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://trungtamquangminh.tk Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: (08) 7305 7668 Bài a) Giả sử tồn cách xếp thỏa đề a1 a2 a10 a3 a9 a4 a8 a5 a7 a6 Không tính tổng quát ta giả sử a1 = Khi ta có ⎧ a1 + a2 > 10 ⎧a2 > ⎧a2 = 10 ⇒⎨ ⇒⎨ (vô lý số xuất lần) ⎨ ⎩ a1 + a10 > 10 ⎩a10 > ⎩a10 = 10 Vậy không tồn cách xếp thỏa mãn đề b) Tồn cách xếp Ví dụ: 10 Nguyễn Tăng Vũ - Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://trungtamquangminh.tk Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: (08) 7305 7668 Nhận xét: Thường đánh rớt học sinh từ lúc đọc đề, bị tâm lý Nhưng thực không khó đề trước Không làm câu a “lụi” câu b Nhận xét chung đề năm nay: Đề năm không khó không dễ dàng điểm cao có nhiều chỗ “bẫy” Theo nghĩ câu dễ 2a 4a Câu trung bình câu 1a, 1b, 4b câu khó chút 3a, 3b câu khó 2b, 5ab Tỉ lệ chọi cao, điểm chuẩn cao Phổ Thông Năng Khiếu chọn học sinh giỏi Sang năm có World Cup nên phải có câu bóng đá, chờ xem Nguyễn Tăng Vũ - Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://trungtamquangminh.tk ... 10 ⎧a2 > ⎧a2 = 10 ⇒⎨ ⇒⎨ (vô lý số xuất lần) ⎨ ⎩ a1 + a10 > 10 ⎩a10 > ⎩a10 = 10 Vậy không tồn cách xếp thỏa mãn đề b) Tồn cách xếp Ví dụ: 10 Nguyễn Tăng Vũ - Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ Thông Năng. .. Thông Năng Khiếu http://trungtamquangminh.tk Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM ĐT: (08) 7305 7668 Bài a) Giả sử tồn cách xếp thỏa đề a1 a2 a10 a3... dạng bản, khó khăn Đây xem câu dễ đề, không cẩn thận dễ xét thi u Và để ý kỹ câu lại gợi ý làm câu b Nguyễn Tăng Vũ - Nguyễn Ngọc Duy Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://trungtamquangminh.tk Trung