de cuong on tap ki 1

§¹i sè C¨n thøc – rót gän biĨu thøc CHđ ®Ị 1: I c¨n thøc:  KiÕn thøc c¬ b¶n: §iỊu kiƯn tån t¹i : A Cã nghÜa ⇔ A ≥ H»ng ®¼ng thøc: A2 = A Liªn hƯ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng: A.B = Liªn hƯ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng: A = B §a thõa sè ngoµi c¨n: A B = A B §a thõa sè vµo c¨n: A B= A A ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B B = A.B B C Trơc c¨n thøc ë mÉu: = ( A ≥ 0; B > 0) B ( B ≥ 0) A B = − A B Khư c¨n thøc ë mÉu: ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B ( A < 0; B ≥ 0) ( B > 0) C( A  B ) A− B A± B  Bµi tËp:  T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh: Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× çc biĨu thøc sau ®©y x¸c ®Þnh: −5 1) − x + 2) 3) 4) 2 x+3 x x +6 5) 6) + x 3x + 7) − 2x  Rút gọn biểu thức Bµi1 1) 12 + − 48 4) 12 − 27 + 48 2) 5 + 20 − 45 5) 12 + 75 − 27 7) 20 − 45 + 8) ( + 2) − 2 10) 5−2 + 5+2 11) 4−3 − 4+3 8) −3 3x + 3) 32 + − 18 6) 18 − + 162 1 − 9) −1 +1 12) 2+ 15) ( − ) − 120 1+ 14) ( 14 − ) + 28 16) (2 − ) + + 24 17) (1 − ) + ( + 3) 18) 19) ( − 3) + ( − 2) 20) ( 19 − 3)( 19 + 3) 13) ( 28 − 14 + 7) + 21) x + ( x − 12) ( x ≥ 2) 22) ( − 2) + ( − 1) 7+ 7− + 7− 7+ 23) x + y − ( x − xy + y ) ( x ≥ y ) Bµi2: 2 1) (3 + ) + 15 - (3 − ) + 3−2 5) x − 12 = 6) − (2 + 3) + 3) ( − 3) + ( ) 5+3 4) 6) − 15 −  Giải phương trình: 1) x − = 2) x − = (5 + ) 5) − 15 4+2 + 4−2 − (2 − 3) 2) 3+ 9( x − 1) = 21 3) 7) ( x − 3) = 4) x − 50 = 4x + 4x + = 8) ( x − 1) = 9) x = 10) 4(1 − x) − = 11) x + = 12) 3 − x = −2 II çc bµi to¸n rót gän: A.çc bíc thùc hiªn:  Ph©n tÝch tư vµ mÉu thµnh nh©n tư (råi rót gän nÕu ®ỵc) T×m §KX§ cđa biĨu thøc: lµ t×m TX§ cđa tõng ph©n thøc råi kÕt ln l¹i Quy ®ång, gåm çc bíc: + Chän mÉu chung : lµ tÝch çc nh©n tư chung vµ riªng, mçi nh©n tư lÊy sè mò lín nhÊt + T×m nh©n tư phơ: lÊy mÉu chung chia cho tõng mÉu ®Ĩ ®ỵc nh©n tư phơ t¬ng øng + Nh©n nh©n tư phơ víi tư – Gi÷ nguyªn mÉu chung Bá ngc: b»ng çch nh©n ®a thøc hc dïng h»ng ®¼ng thøc Thu gän: lµ céng trõ çc h¹ng tư ®ång d¹ng Ph©n tÝch tư thµnh nh©n tư ( mÉu gi÷ nguyªn) Rót gän B.Bµi tËp lun tËp: x 2x − x − Bài Cho biểu thức : A = với ( x >0 x ≠ 1) x −1 x − x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x = + 2 Bài Cho biểu thức : P = a+4 a +4 a +2 + 4−a 2− a ( Với a ≥ ; a ≠ ) 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị a cho P = a + Bài 3: Cho biểu thức A = x +1− x x + x + x −1 x +1 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị x A< -1 Bµi 4: Cho biểu thức A = (1 + x+ x x− x )(1 − ) x +1 x −1 ( Với x ≥ 0; x ≠ ) a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - Bµi 5: Cho biĨu thøc : B = x −2 a; T×m TX§ råi rót gän biĨu thøc B b; TÝnh gi¸ trÞ cđa B víi x =3 c; T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A = − x +2 + x 1− x Bµi 6: Cho biĨu thøc : P = a; T×m TX§ b; Rót gän P c; T×m x ®Ĩ P = Bµi 7: Cho biĨu thøc: x +1 x −2 Q=( + x x +2 + 2+5 x 4− x 1 a +1 a +2 − ):( − ) a −1 a a −2 a −1 a; T×m TX§ råi rót gän Q b; T×m a ®Ĩ Q d¬ng c; TÝnh gi¸ trÞ cđa BiĨu thøc biÕt a = 9-  a  a − a a + a    Bµi 8: Cho biĨu thøc: M =   − a  a + − a −     a/ T×m §KX§ cđa M b/ Rót gän M T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ M = - 15 x − 11 x x +3 Bµi : Cho biĨu thøc : K = + − x + x − 1− x x +3 a T×m x ®Ĩ K cã nghÜa b Rót gän K c T×m x K= d T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa K  x −2 x +  x − 2x +  Bµi 10 : Cho biĨu thøc:G=  −  x −1  x + x +   X¸c ®Þnh x ®Ĩ G tån t¹i Rót gän biĨu thøc G TÝnh sè trÞ cđa G x = 0,16 T×m gÝa trÞ lín nhÊt cđa G T×m x ∈ Z ®Ĩ G nhËn gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng : NÕu < x < th× M nhËn gi¸ trÞ d¬ng T×m x ®Ĩ G nhËn gi¸ trÞ ©m Bµi 11 : Cho biĨu thøc: P=  x+2 x  x −1   Víi x ≥ ; x ≠ + +  x x −1 x + x +1 1− x :   a Rót gän biĨu thøc trªn b Chøng minh r»ng P > víi mäi x≥ vµ x ≠  1 a +1   Q=   + a + − a − − a .1 + a     Bµi 12 : cho biĨu thøc a T×m a dĨ Q tån t¹i b Chøng minh r»ng : Q kh«ng phơ thc vµo gi¸ trÞ cđa a Bµi 13: Cho biĨu thøc : A= x3 + 2x 1− x xy − y xy + y − x − x − x a) Rót gän A b) T×m çc sè nguyªn d¬ng x ®Ĩ y = 625 vµ A < 0,2  a a 4( a + )   a +   (Víi a ≥0 ; a ≠ 16) Bµi 14:XÐt biĨu thøc: P=  + +  : 1 −  16 − a a + a − a +     1)Rót gän P 2)T×m a ®Ĩ P =-3 3)T×m çc sè tù nhiªn a ®Ĩ P lµ sè nguyªn tè -CHđ ®Ị 2: hµm sè - hµm sè bËc nhÊt I hµm sè: Kh¸i niƯm hµm sè * NÕu ®¹i lỵng y phơ thc vµo ®¹i lỵng x cho mçi gi¸ trÞ cđa x, ta lu«n x¸c ®Þnh ®ỵc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cđa y th× y ®ỵc gäi lµ hµm sè cđa x vµ x ®ỵc gäi lµ biÕn sè * Hµm sè cã thĨ cho bëi c«ng thøc hc cho bëi b¶ng II hµm sè bËc nhÊt:  KiÕn thøc c¬ b¶n:  §Þnh nghÜa: Hµm sè bËc nhÊt cã d¹ng: y = ax + b Trong ®ã a; b lµ çc hƯ sè a ≠ Nh vËy: §iỊu kiƯn ®Ĩ hµm sè d¹ng: y = ax + b lµ hµm sè bËc nhÊt lµ: a ≠ VÝ dơ: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (1) T×m çc gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ hµm sè (1) lµ hµm sè bËc nhÊt Gi¶i: Hµm sè (1) lµ bËc nhÊt ⇔ − m ≠ ⇔ ⇔ m ≠  TÝnh chÊt: + TX§: ∀x ∈ R + §ång biÕn a > NghÞch biÕn a < VÝ dơ: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (2) T×m çc gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ hµm sè (2): + §ång biÕn trªn R + NghÞch biÕn trªn R Gi¶i: + Hµm sè (1) §ång biÕn ⇔ − m > ⇔ ⇔ m < + Hµm sè (1) NghÞch biÕn ⇔ − m < ⇔ ⇔ m >  §å thÞ: + §Ỉc ®iĨm: §å thÞ hµm sè bËc nhÊt lµ ®êng th¼ng c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng b b c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng − a + Tõ ®Ỉc ®iĨm ®ã ta cã çch vÏ ®å thÞ hµm sè y= ax+b: Cho x=0 => y=b => ®iĨm (0;b) thc ®å thÞ hµm sè y= ax+b Cho y=0 => x=-b/a => ®iĨm (-b/a;0) thc ®å thÞ hµm sè y= ax+b §êng th¼ng qua hai ®iĨm (o;b) vµ (-b/a;0) lµ ®å thÞ hµm sè y= ax+b VÝ dơ: VÏ ®å thÞ hµm sè : y = 2x + Gi¶i: Cho x=0 => y=1 => ®iĨm (0;1) thc ®å thÞ hµm sè y = 2x + Cho y=0 => x=-1/2 => ®iĨm (-1/2;0) thc ®å thÞ hµm sè y = 2x + §êng th¼ng qua hai ®iĨm (0;1) vµ (-1/2;0) lµ ®å thÞ hµm sè y = 2x +  §iỊu kiƯn ®Ĩ hai ®êng th¼ng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a ≠ a , */ §Ĩ hai ®êng th¼ng c¾t trªn trơc tung th× c©n thªm ®iỊu kiƯn b = b ' */ §Ĩ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi th× : a.a ' = −1 + Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a = a , ; b ≠ b ' + Trïng nhau: (d1) ≡ (d2) ⇔ a = a , ; b = b ' VÝ dơ: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1) Và y = x – m (d2) a/ T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®å thÞ hai hµm sè song song víi b/ T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®å thÞ hai hµm sè c¾t c/ T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®å thÞ hai hµm sè c¾t t¹i mét ®iĨm trªn trơc tung Gi¶i: 3 − m = m = a/ (d1)//(d2) ⇔  ⇔ ⇔ {m = 2 ≠ − m m ≠ −2 b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ − m ≠ ⇔ m ≠ c/ (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iĨm trªn trơc tung ⇔ − m = ⇔ m = −2  HƯ sè gãc cđa ®êng th¼ng y = ax + b lµ a + Çch tÝnh gãc t¹o bëi ®êng th¼ng víi trơc Ox lµ dùa vµo tØ sè lỵng gi¸c tgα = a • Trêng hỵp: a > th× gãc t¹o bëi ®êng th¼ng víi trơc Ox lµ gãc nhän • Trêng hỵp: a < th× gãc t¹o bëi ®êng th¼ng víi trơc Ox lµ gãc tï ( 180 − α ) VÝ dơ 1: TÝnh gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = 2x + víi trơc Ox Gi¶i: Ta cã: Tgα = = Tg 63 ⇒ α = 630 VËy gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = 2x + víi trơc Ox lµ: α = 63 VÝ dơ 2: TÝnh gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = - 2x + víi trơc Ox Ta cã: Tg (180 − α ) = = Tg 630 ⇒ (180 − α ) = 630 ⇒ α = 117 VËy gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = - 2x + víi trơc Ox lµ: α = 117  Çc d¹ng bµi tËp thêng gỈp: - Dạng1: Xác dịnh giá trị hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng Ph¬ng ph¸p: Xem l¹i çc vÝ dơ ë trªn -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xem l¹i çc vÝ dơ ë trªn Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Ph¬ng ph¸p: §Ỉt ax + b = a,x + b, gi¶i ph¬ng tr×nh ta t×m ®ỵc gi¸ trÞ cđa x; thay gi¸ trÞ cđa x vµo (d1) hc (d2) ta tÝnh ®ỵc gi¸ trÞ cđa y CỈp gi¸ trÞ cđa x vµ y lµ to¹ ®é giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng Tính chu diện tích hình tạo đường thẳng: Ph¬ng ph¸p: +Dùa vµo çc tam gi¸c vu«ng vµ ®Þnh lý Py ta go ®Ĩ tÝnh ®é dµi çc ®o¹n th¼ng kh«ng biÕt trùc tiÕp ®ỵc Råi tÝnh chu vi tam gi¸c b»ng çch céng çc c¹nh + Dùa vµo c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ®Ĩ tÝnh S -Dạng 3: Tính góc α tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox Xem l¹i çc vÝ dơ ë trªn -D¹ng 4: §iĨm thc ®å thÞ; ®iĨm kh«ng thc ®å thÞ: Ph¬ng ph¸p: VÝ dơ: Cho hµm sè bËc nhÊt: y = ax + b §iĨm M (x 1; y1) cã thc ®å thÞ kh«ng? Thay gi¸ trÞ cđa x1 vµo hµm sè; tÝnh ®ỵc y0 NÕu y0 = y1 th× ®iĨm M thc ®å thÞ NÕu y0 ≠ y1 th× ®iĨm M kh«ng thc ®å thÞ -D¹ng 5: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng: VÝ dơ: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng y = ax + b ®i qua ®iĨm P (x0; y0) vµ ®iĨm Q(x1; y1) Ph¬ng ph¸p: + Thay x0; y0 vµo y = ax + b ta ®ỵc ph¬ng tr×nh y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vµo y = ax + b ta ®ỵc ph¬ng tr×nh y1 = ax1 + b (2) + Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh ta t×m ®ỵc gi¸ trÞ cđa a vµ b + Thay gi¸ trÞ cđa a vµ b vµo y = ax + b ta ®ỵc ph¬ng tri9nhf ®êng th¼ng cÇn t×m -D¹ng 6: Chøng minh ®êng th¼ng ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh hc chøng minh ®ång quy: VÝ dơ: Cho çc ®êng th¼ng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m ≠ 1; m ≠ -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m r»ng m thay ®ỉi th× d1 lu«n ®i qua 1®iĨm cè ®Þnh b) C/m r»ng d1 //d3 th× d1 vu«ng gãc d2 c) X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®êng th¼ng d1 ;d2 ;d3 ®ång qui Gi¶i: a) Gäi ®iĨm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng d1 ®i qua lµ A(x0; y0 ) thay vµo PT (d1) ta cã : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Víi mäi m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 víi mäi m ; §iỊu nµy chØ x¶y : x0+ =0 x0+y0+5 = suy : x0 =-1 Y0 = - VËy ®iĨm cè ®Þnh lµ A (-1; - 4) b) +Ta t×m giao ®iĨm B cđa (d2) vµ (d3) : Ta cã pt hoµnh ®é : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vµo y = x +1 = +1 =2 VËy B (1;2) §Ĩ ®êng th¼ng ®ång qui th× (d1) ph¶i ®i qua ®iĨm B nªn ta thay x =1 ; y = vµo pt (d1) ta cã: = (m2 -1) + m2 -5 m2 = => m = vµ m = -2 VËy víi m = hc m = - th× ®êng th¼ng trªn ®ång qui  Bµi tËp: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) (d2) cắt 2) Với m = – , vẽ (d1) (d2) mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m ≠ 0) y = (2 - m)x + ; (m ≠ 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 5: Víi giá trị m hai đường thẳng y = 2x + 3+m y = 3x + 5- m cắt điểm trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với −1 x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 10 (d’): y = Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) B(-1;3) Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = x + (d2): y = − x + 2 a/ Vẽ (d1) (d2) hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , C giao điểm (d1) (d2) Tính chu vi diện tích tam giác ABC (đơn vị hệ trục tọa độ cm)? Bài 9: Cho çc ®êng th¼ng (d1) : y = 4mx - (m+5) víi m ≠ (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× (d1) // (d2) b; Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× (d1) c¾t (d2) t×m to¹ ®é giao ®iĨm Khi m = c; C/m r»ng m thay ®ỉi th× ®êng th¼ng (d1) lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh A ;(d2) ®i qua ®iĨm cè ®Þnh B TÝnh BA ? Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b a; X¸c ®Þnh hµm sè biÕt ®å thÞ cđa nã song song víi y = 2x +3 vµ ®i qua ®iĨm A(1,-2) b; VÏ ®å thÞ hµm sè võa x¸c ®Þnh - Råi tÝnh ®é lín gãc ∝ t¹o bëi ®êng th¼ng trªn víi trơc Ox ? c; T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng trªn víi ®êng th¼ng y = - 4x +3 ? d; T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®êng th¼ng trªn song song víi ®êng th¼ng y = (2m-3)x +2 CHđ ®Ị 3: hƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn I çc kh¸I niƯm: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: +D¹ng: ax + by = c ®ã a; b; c lµ çc hƯ sè ®· biÕt( a ≠ hc b ≠ 0) + Mét nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh lµ cỈp sè x0; y0 tháa m·n : ax0 + by0 = c + Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiƯm + TËp nghiƯm ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d): ax + by = c NÕu a ≠ 0; b ≠ th× ®êng th¼ng (d) lµ ®å thÞ cđa hµm sè a c bËc nhÊt: y = − x + b b  HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax + by = c.(1) + D¹ng:  , , , a x + b y = c (2) + NghiƯm cđa hƯ lµ nghiƯm chung cđa hai ph¬ng tr×nh + NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiƯm chung th× ta nãi hƯ v« nghiƯm + Quan hƯ gi÷a sè nghiƯm cđa hƯ vµ ®êng th¼ng biĨu diƠn tËp nghiƯm: -Ph¬ng tr×nh (1) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d) -Ph¬ng tr×nh (2) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d') *NÕu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm nhÊt *NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ v« nghiƯm *NÕu (d) trïng (d') th× hƯ v« sè nghiƯm HƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: Hai hƯ ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nÕu chóng cã cïng tËp nghiƯm Ii.ph¬ng ph¸p gi¶I hƯ ph¬ng tr×nh: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ: a) Quy t¾c thÕ: + Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ®· cho, ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia, råi thay vµo ph¬ng tr×nh thø hai ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi (chØ cßn Èn) + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi nµy ®Ĩ thay thÕ cho ph¬ng tr×nh thø hai hƯ (ph¬ng tr×nh thø nhÊt còng thêng ®ỵc thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn cã ®ỵc ë bíc 1) VÝ dơ: xÐt hƯ ph¬ng tr×nh:  x − y = 1.(1)  3 x + y = 3.(2) + Bíc 1: Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta biĨu diƠn x theo y ( gäi lµ rót x) ta cã: x = + y.(*) Thay x = + y.(*) vµo ph¬ng tr×nh (2) ta ®ỵc: 3(1 + y ) + y = 3.(**) + Bíc 2: ThÕ ph¬ng tr×nh (**) vµo ph¬ng tr×nh hai cđa hƯ ta cã: x = + y  3(1 + y ) + y = b) Gi¶i hƯ : x = + y x = + y x = + y x =1 ⇔ ⇔ ⇔   3(1 + y ) + y = 3 + y + y = y = y =0 VËy hƯ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm (x = 1; y = 0)  Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè: a)Quy t¾c céng ®¹i sè: + Bíc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ cđa hƯ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ (vµ gi÷ nguyªn ph¬ng tr×nh kia) Lu ý: Khi çc hƯ sè cđa cïng mét Èn ®èi th× ta céng vÕ theo vÕ cđa hƯ Khi çc hƯ sè cđa cïng mét Èn b»ng th× ta trõ vÕ theo vÕ cđa hƯ Khi hƯ sè cđa cïng mét Èn kh«ng b»ng còng kh«ng ®èi th× ta chän nh©n víi sè thÝch hỵp ®Ĩ ® a vỊ hƯ sè cđa cïng mét Èn ®èi (hc b»ng nhau).( t¹m gäi lµ quy ®ång hƯ sè) bµi tËp: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ 4 x + y = x − y = m 3 x + y =       8 x + y = 2 x + y = x − y = 2 x − y = 2 x + y = 3 x − y =       5 x − y = x + y = − x + y = x + y = − x − y = 2x − 3y =      3 x + y =  −2 x − y =  −4x + 6y = Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè 2 x − 11 y = −7 3 x + y = 2 x + y =       10 x + 11 y = 31 2 x − y = 2 x − y = 3 x + y = −2 − x + y = 2 x − y = 11     3 x − y = −3 6 x − y = −7 − x + y = 3 x + y = 2 x + y =   2 x − y = 6 x − 15 y = §Ỉt Èn phơ råi gi¶i çc hƯ ph¬ng tr×nh sau 1 x + y = 2( x + y ) + 3( x − y ) =      ( x + y ) + 2( x − y ) = 1 − =  x y Çc bµi tËp tù lun Bµi Gi¶i çc hƯ ph¬ng tr×nh sau :  x − y = −2 a)  2 x − y = x + y = c)  2 x − y = −4 3x + y = −2 e)  6 x + y + = 3 x − y =  6 x − y =  x − +     −  x − =2 y −1 =1 y −1 2 x + y = b)  − 10 x − y = 20 2 x + y = −4 d)  5 x + y = −9 x y  − = f)  x + 2y =  Bµi : Gi¶i çc hƯ ph¬ng tr×nh sau : 1 1  x + y = x − y − = x + 2y − x − 2y =1    a)  b)  c)  1 − = 3 + −1=  20 + =  x y  x y −  x + y x − y ( m − 3) x + y = Bµi : Cho hƯ ph¬ng tr×nh  x − y = a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh m = b) Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× hƯ ph¬ng tr×nh nhËn cỈp sè ( x= ; y =- 6) lµm nghiƯm c) T×m m ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt T×m nghiƯm ®ã ax − y = Bµi : Cho hƯ ph¬ng tr×nh   x + ay = a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh a = b) T×m a ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt vµ t×m nghiƯm ®ã c) T×m a ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh v« nghiƯm ax − y = a Bµi : Cho hƯ ph¬ng tr×nh  − x + y = a + a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh a = -2 b) T×m a ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt, ®ã tÝnh x ; y theo a c) T×m a ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt tho¶ m·n: x - y = d) T×m a ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt tho¶ m·n x vµ y lµ çc sè nguyªn 2 x + (m − 4) y = 16 Bµi :a) Gi¶i vµ biƯn ln hƯ ph¬ng tr×nh: (I)  (4 − m) x − 50 y = 80 b) Trong trêng hỵp hƯ ph¬ng tr×nh (I) cã nghiƯm nhÊt h·y t×m m ®Ĩ x+y lín h¬n Bµi 7* : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : a) + x + − x = b) − x + x + = CHđ ®Ị 4: h×nh häc I hƯ thøc tam gi¸c vu«ng:  HƯ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao: + b = a.b , ; c = a.c , + h = b , c , + a.h = b.c 1 + = , + , h b c + a2 = b2 + c2 + a = b, + c, , , + b = b ; c = c c c, b2 b, HƯ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc: Tû sè lỵng gi¸c: D K D K Sin = ; Cos = ; Tg = ; Cotg = H H K D TÝnh chÊt cđa tû sè lỵng gi¸c: Tgα = Cotgβ Sinα = Cosβ 1/ NÕu α + β = 90 Th×: Cotgα = Tgβ Cosα = Sinβ α α α 2/Víi nhọn < sin < 1, < cos < *sin2 α + cos2 α = *tg α = sin α /cos α *cotg α = cos α /sin α *tg α cotg α =1 HƯ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc: + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh hun nh©n Sin gãc ®èi: b = a.SinB.; c = a.SinC + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh hun nh©n Cos gãc kỊ: b = a.CosC.; c = a.CosB + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng nh©n Tg gãc ®èi: b = c.TgB.; c = b.TgC + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng nh©n Cotg gãc kỊ: b = c.CotgC ; c = b.CotgB Bµi TËp ¸p dơng: Bài 1: Cho tam giác ABC vng A Biết b = cm, c = cm Giải tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có b’ = 7, c’ = Giải tam giác ABC? Bài 3a: Cho tam giác ABC vng A có b = 4, b ’ = 3.2 Giải tam giác ABC? Bài 3b: Cho tam giác ABC vng A có c = 4, b’ = 3.2 Giải tam giác ABC? Bài 4: Cho tam giác ABC vng A có AH = 4.8, BC =10 Giải tam giác ABC? Bài 5: Cho tam giác ABC vng A có h = 4, c’ = Giải tam giác ABC? Bài 6: Cho tam giác ABC vng A có b = 12, a = 20 Giải tam giác ABC? Bài7: Chotam giác ABC vng A có h = 4, c = Giải tam giác ABC? Bài 8: Cho tam giác ABC vng có A = 900, b = 5, B = 400 Giải tam giác ABC? Bài 9: Cho tam giác ABC vng A có a = 15, B = 600 Giải tam giác ABC? Bài 10:Cho tam giác ABC vng A có AH = 3, C = 400 Giải tam giác ABC? Bài 11: Cho tam giác ABC vng A có c’ = 4, B = 550 Giải tam giác ABC? Bài 12: Chotam giác ABC vng A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền m a = 5, h = Giải tam giác ABC? Bài13: Chotam giác ABC vng A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m a = 5, góc nhọn 470 Giải tam giác ABC? Bài14: Tam giác ABC vng A có h = 4, §êng ph©n gi¸c øng víi c¹nh hun g a = Giải tam giác ABC? Bài15: Chotam giác ABC vng A có §êng ph©n gi¸c øng víi c¹nh hun g a = Góc C = 300 Giải tam giác ABC? II §êng trßn:   Sù x¸c ®Þnh ®êng trßn: Mn x¸c ®Þnh ®ỵc mét ®êng trßn cÇn biÕt: + T©m vµ b¸n kÝnh,hc + §êng kÝnh( Khi ®ã t©m lµ trung ®iĨm cđa ®êng kÝnh; b¸n kÝnh b»ng 1/2 ®êng kÝnh) , hc + §êng trßn ®ã ®i qua ®iĨm ( Khi ®ã t©m lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng trung trùc cđa hai ®o¹n th¼ng nèi hai ba ®iĨm ®ã; B¸n kÝnh lµ kho¶ng çch tõ giao ®iĨm ®Õn mét ®iĨm ®ã)  TÝnh chÊt ®èi xøng: + §êng trßn cã t©m ®èi xøng lµ t©m cđa ®êng trßn + BÊt k× ®êng kÝnh vµo còng lµ mét trơc ®èi xøng cđa ®êng trßn  Çc mèi quan hƯ: Quan hƯ gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y: + §êng kÝnh (hc b¸n kÝnh) ⊥ D©y ⇔ §i qua trung ®iĨm cđa d©y Êy Quan hƯ gi÷a d©y vµ kho¶ng çch tõ t©m ®Õn d©y: + Hai d©y b»ng ⇔ Chóng çch ®Ịu t©m + D©y lín h¬n ⇔ D©y gÇn t©m h¬n  VÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng víi ®êng trßn: + §êng th¼ng kh«ng c¾t ®êng trßn ⇔ Kh«ng cã ®iĨm chung ⇔ d > R (dlµ kho¶ng çch tõ t©m ®Õn ®êng th¼ng; R lµ b¸n kÝnh cđa ®êng trßn) + §êng th¼ng c¾t ®êng trßn ⇔ Cã ®iĨm chung ⇔ d < R + §êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn ⇔ Cã ®iĨm chung ⇔ d = R  TiÕp tun cđa ®êng trßn: §Þnh nghÜa: TiÕp tun cđa ®êng trßn lµ ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn ®ã TÝnh chÊt: TiÕp tun cđa ®êng trßn th× vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i ®Çu mót cđa b¸n kÝnh (tiÕp ®iĨm) 3.DÊu hiƯu nhhËn biÕt tiÕp tun: §êng th¼ng vu«ng gãc t¹i ®Çu mót cđa b¸n kÝnh cđa mét ®êng trßn lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®ã Bµi TËp tỉng hỵp häc kú I: Bµi Cho tam gi¸c ABC (AB = AC ) kỴ ®êng cao AH c¾t ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c t¹i D a/ Chứng minh: AD lµ ®êng kÝnh b/ TÝnh gãc ACD c/ BiÕt AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tÝnh b¸n kÝnh cđa ®êng trßn t©m (O) Bµi Cho ( O) vµ A lµ ®iĨm n»m bªn ngoµi ®êng trßn KỴ çc tiÕp tun AB ; AC víi ®êng trßn ( B , C lµ tiÕp ®iĨm ) a/ Chøng minh: OA ⊥ BC b/VÏ ®êng kÝnh CD chøng minh: BD// AO c/TÝnh ®é dµi çc c¹nh cđa tam gi¸c ABC biÕt OB =2cm ; OC = cm? Bµi 3: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB Qua C thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun d víi ®êng trßn G äi E , F lÇn lỵt lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ A , B ®Õn d vµ H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ C ®Õn AB Chứng minh: a/ CE = CF b/ AC lµ ph©n gi¸c cđa gãc BAE c/ CH2 = BF AE Bµi 4: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB vÏ çc tiÕp tun A x; By tõ M trªn ®êng trßn ( M kh¸c A, B) vÏ tiÕp tun thø nã c¾t Ax ë C c¾t B y ë D gäi N lµ giao ®iĨm cđa BC Vµ AO CMR CN NB a/ = AC BD b/ MN ⊥ AB c/ gãc COD = 90º Bµi 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM a)CMR: NE ⊥ AB b) Gọi F điểm đối xứng với E qua M CMR: FA tiếp tuyến (O) c) Chứng minh: FN tiếp tuyến đtròn (B;BA) 10 Bµi 11 TÝnh ®é dµi çc c¹nh cđa mét tam gi¸c vu«ng , biÕt r»ng chóng lµ sè tù nhiªn liªn tiÕp Bµi12 TÝnh chiỊu dµi vµ chiỊu réng cđa mét h×nh ch÷ nhËt biÕt chu vi b»ng 34m , ®êng cao 13 m Bµi13 Mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh hun lµ 15 cm vµ hai c¹nh gãc vu«ng h¬n kÐm 3cm TÝnh ®é dµi çc c¹nh cđa tam gi¸c vu«ng ®ã Bµi14 TÝnh çc c¹nh gãc vu«ng cđa mét tam gi¸c vu«ngcã c¹nh hun b»ng 10 Vµ mét çc c¹nh gãc vu«ng b»ng trung b×nh céng cđa c¹nh vµ c¹nh hun Bµi15 Mét s©n tam gi¸c cã diƯn tÝch 180 m2 TÝnh c¹nh ®¸y cđa tam gi¸c biÕt r»ng nÕu t¨ng c¹nh ®¸y 4m vµ gi¶m chiỊu cao t¬ng øng 1m th× diƯn tÝch kh«ng ®ỉi.S phÇn thø hai : h×nh häc I_chøng minh tø gi¸c néi tiÕp Bµi : Chøng minh r»ng çc tø gi¸c çc h×nh vÏ díi ®©y néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn A A D B B N M C A C A D K E F O O x G P H Q Bµi : Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iĨm A ë bªn ngoµi ®êng trßn, tõ A kỴ hai tiÕp tun AB vµ AC víi ®êng trßn (O) M lµ mét ®iĨm t ý trªn d©y BC (M≠B ; M≠ C) ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OM t¹i M c¾t AB, AC lÇn lỵt ë D vµ E CMR a Tø gi¸c ODBM vµ tø gi¸c ABOC néi tiÕp mét ®êng trßn b M lµ trung ®iĨm cđa DE Bµi : Cho ®êng trßn (O) mét cung AB vµ S lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung ®ã Trªn d©y AB lÊy hai ®iĨm E vµ H Çc ®êng th¼ng SH , SE c¾t ®êng trßn (O) lÇn lỵt t¹i C vµ D CMR tø gi¸c EHCD néi tiÕp mét ®êng trßn Bµi : Cho tø gi¸c ACDB (AB>CD) néi tiÕp ®êng trßn (O) Gäi S lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá CD.®êng th¼ng AD c¾t BS ë E ®êng th¼ng BC c¾t AS ë F CMR a Tø gi¸c AFEB néi tiÕp mét ®êng trßn b ED.EA= ES.EB c DC song song víi EF ∧ ∧ ∧ Bµi : Cho ∆ ABC nhän çc ®êng ph©n gi¸c cđa gãc B vµ gãc C gỈp ë S çc ®êng ph©n gi¸c ngoµi B ∧ vµ C gỈp ë E a> CMR: tø gi¸c BSCE néi tiÕp ®êng trßn b> Gäi M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BSCE CMR tø gi¸c ABMC néi tiÕp Bµi 6: cho ®êng trßn (0) vµ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn Çc tiÕp tun víi ®êng trßn (0) kỴ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (0) ë B vµ C gäi M lµ mét ®iĨm t ý trªn ®êng trßn ( M≠B ; M≠C ).Tõ M kỴ MH vu«ng gãc víi BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vu«ng gãc víi AB a> chøng minh tø gi¸c ABOC néi tiÕp b> chøng minh tam gi¸c MIH ®ång d¹ng víi tam gi¸c MHK c> chøng minh MI.MK= MH2 Bµi 7: Cho ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh AB M lµ mét ®iĨm trªn ®êng trßn(M≠A; M≠ B) C lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AB (C≠A; C≠0;C≠B) ®êng vu«ng gãc MC t¹i M c¾t hai tiÕp tun kỴ tõ A vµ B víi ®êng trßn (0) t¹i E va F chøng minh a> Tø gi¸c BCMF néi tiÕp mét ®íng trßn b> Tam gi¸c ECF vu«ng t¹i C Bµi 8: cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®êng trßn t©m O , hai ®êng cao BB’ vµ CC’ c¾t t¹i H a)chøng minh tø gi¸c BCB’C’ néi tiÕp T×m t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BCB’C’ b)Tia AO c¾t ®êng trßn (O) ë D, c¾t B’C’ ë I CMR tø gi¸c B’IDC néi tiÕp, tõ ®ã suy AO ⊥ B’C’ c)Chøng minh H ®èi xøng víi D qua trung ®iĨm M cđa BC Bµi : cho (O; R) hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi E lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá BC AE c¾t OC ë F, DE c¾t AB ë N a Chøng minh tø giøac CFMB néi tiÕp, t×m t©m ®êng trßn ®ã b Chøng minh : OE ; BF ; CM ®ång quy 21 Bµi 10 : cho hai ®êng trßn (O1) ; (O2) c¾t t¹i E vµ F ; O1O2 c¾t (O1) t¹i A, C ; c¾t (O2) t¹i B, D (s¾p xÕp theo thø tù A, B, C, D) vµ c¾t EF t¹i H P lµ mét ®iĨm trªn tia ®èi cđa tia EH CP c¾t (O 1) t¹i M ; BP c¾t (O2) t¹i N ; AM c¾t DN t¹i I chøng minh r»ng : a Tø gi¸c MPNI néi tiÕp b HA HC = HB HD c Tø gi¸c BNMC néi tiÕp d H ; I ; P th¼ng hµng vµ tø gi¸c ANMD néi tiÕp II-Chøng minh ®¹i lỵng a.b=c.d (a,b,c,d lµ ®é dµi çc ®o¹n th¼ng) Bµi : cho ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn (O) tõ A kỴ tiÕp tun AT tíi ®êng trßn vµ çc çt tun AEF ; APQ CMR : AT2 = AE AF = AP AQ Bµi 2: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn t©m O.Gäi I lµ giao ®iĨm hai ®êng chÐo AC vµ BD.CMR :IA.ID = IB IC Bµi : Cho ∆ BAC vu«ng ë A,®êng cao AH, gäi P,Q theo thø tù lµ h×nh chiÕu cđa H trªn AB vµ AC a Chøng minh r»ng : tø gi¸c BPQC néi tiÕp mét ®êng trßn b Chøng minh r»ng : AP AB = AQ AC c Gäi O vµ O’ thø tù lµ trung ®iĨm cđa BH vµ HC Gäi I lµ giao ®iỴm cđa PQ vµ AH d CMR : OI2 = OH OO’ Bµi 4: Cho ®êng trßn (O;R) hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau.Trªn cung nhá BC lÊy ®iĨm M.Gäi dao ®iĨm cđa AM vµ CD lµ K CMR :AM.AK =AD2 = BD2 = 2R2 AB Bµi : Cho ®o¹n th¼ng AB , kỴ Bx ⊥ AB Trªn Bx lÊy mét ®iĨm O cho BO = Tia AO c¾t ®êng trßn (O ; OB) ë D vµ E ( D n»m gi÷a A vµ O) ®êng trßn (A ; AD) c¾t AB ë C a T×m vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa (A ; AC) víi ®êng trßn ( O ; OE) b Chøng minh r»ng : DE2 = AD AE c AC2 = BC AB Bµi : cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) Gäi K lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC AK c¾t BC ë I’ vµ c¾t ®êng trßn (O) ë P KỴ ®êng kÝnh PQ Gäi E vµ F thø tù lµ giao ®iĨm cđa BK vµ CK víi ®êng th¼ng AQ Chøng minh r»ng a PC2 = PI PA b ®iĨm B, C, E, F cïng thc mét ®êng trßn Bµi 7:Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) (AC>AB) gäi D lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá BC, P lµ giao ®iĨm cđa AB vµ CD, tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i C c¾t tiÕp tun t¹i D vµ c¾t AD thø tù t¹i E vµ Q a Chøng minh r»ng : DE // BC b Chøng minh : DP DC = DA DQ c Chøng minh : DE // PQ 1 = + d Gäi F lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Chøng minh CE CQ CF III Chøng minh mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tun cđa mét ®êng trßn Bµi : Cho nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ hai tia tiÕp tun Ax, By cđa nã Mét ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi nưa ®êng trßn (O) t¹i C (c ≠ A, B) c¾t Ax, By lÇn lỵt t¹i E, F a Chøng minh OE vu«ng gãc víi OF b Chøng minh tam gi¸c EOF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACB c T×m t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OEF Tõ ®ã chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OEF Bµi : Cho ®êng trßn (O), ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn t¹i A vÏ ®êng trßn (I) ®êng kÝnh OA a Chøng minh hai ®êng trßn (O) vµ (I) tiÕp xóc víi b Qua A vÏ mét çt tun c¾t ®êng trßn (I) vµ ®êng trßn (O) lÇn lỵt ë M vµ C CMR : MA= MC c §êng th¼ng OM c¾t d t¹i B Chøng minh r»ng : BC lµ tiÕp tun cđa (O) Bµi : cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ C ; D lµ hai ®iĨm trªn ®ã (C n»m gi÷a A vµ D) AC vµ AD c¾t tiÕp tun Bx cđa nưa ®êng trßn lÇn lỵt t¹i E vµ F a Chøng minh ABD = AEF ; ABC = AEB b Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp mét ®êng trßn c Gäi I lµ trung ®iĨm cđa FB.Chøng minh r»ngDI lµ tiÕp tun cđa nưa ®êng trßn d Gi¶ sư CD c¾t Bx ë G, ph©n gi¸c cđa CGE c¾t AE vµ AF thø tù t¹i M vµ N Chøng minh tam ti¸c AMN c©n Bµi : Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ E lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung AB Hai d©y EC, ED c¾t AB thø tù t¹i P vµ Q çc d©y AD vµ EC kÐo dµi c¾t ë I Çc d©y BC vµ ED kÐo dµi c¾t ë K Chøng minh r»ng a Tø gi¸c CDIK néi tiÕp b Tø gi¸c CDPQ néi tiÕp c IK song song víi AB d §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AQP tiÕp xóc víi EA t¹i A Bµi : Cho tam gi¸c c©n ABC(CA=CB) I lµ trung ®iĨm cđa AB, ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi AB t¹i A, c¾t CI t¹i H a Chøng minh r»ng : H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC b Gäi B’ lµ ®iĨm ®èi xøng víi B qua AC Chøng minh r»ng B’ còng thc ®êng trßn (O) 22 c Chøng minh ngỵc l¹i r»ng : nÕu H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC th× ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHC tiÕp xóc víi AB Bµi : Cho nưa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R vµ mét d©y cung thay ®ỉi MN=R (M n»m ë gi÷a cung AN) AM c¾t BN ë C ; AN c¾t BM ë D a Chøng minh tø gi¸c AMDN néi tiÕp mét ®êng trßn t×m t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CMDN b Chøng minh r»ng CD vu«ng gãc víi AB c Chøng minh r»ng OM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CMDN d Chøng minh r»ng CD =AB vµ CD song song víi mét ®êng th¼ng cè ®Þnh Bµi 8: Cho ba ®iĨm th¼ng hµng theo thø tù lµ A, B, C VÏ hai nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ BC ( vÏ cïng mét phÝa cđa AC) trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AC t¹i B lÊy ®iĨm D cho gãc ADC = 90 gäi giao ®iĨm cđa DA vµ DC víi nưa ®êng trßnl µ E vµ F Chøng minh r»ng a EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn b Tø gi¸c AEFC néi tiÕp mét ®êng trßn c X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm B trªn ®o¹n th¼ng AC ®Ĩ tø gi¸c DEBF lµ h×nh vu«ng Bµi : Cho tam gi¸c ABC nhän vµ AB < AC néi tiÕp ®êng trßn (O,R) H lµ giao ®iĨm cđa çc ®êng cao AM ; BN ; CP cßn Q lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm E cđa c¹nh BC Chøng minh çc gãc PNB = BNM = CBQ Chøng minh r»ng : Q thc ®êng trßn t©m (O) Tõ A kỴ ®êng th¼ng xy song song víi NP ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng th¼ng BC ë K Chøng minh r»ng xy lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) vµ AK2 = KB BC Gäi I lµ ®iĨm ®èi xøng cđa O qua BC, tÝnh HI theo R IV.Chøng minh hai ®êng th¼ng song song hc vu«ng gãc Bµi : Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) ®êng cao AH c¾t ®êng trßn (O) ë D, kỴ ®êng kÝnh AOE a Chøng minh r»ng : DE song song víi BC b Gäi M lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung DE, OM c¾t BC t¹i I Chøng minh r»ng I lµ trung ®iĨm cđa BC c TÝnh b¸n kÝnh cđa ®êng trßn (O) biÕt BC = 24 cm ; IM = 8cm Bµi : Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, gäi S lµ trung ®iĨm cđa AO, vÏ ®êng trßn t©m S ®i qua A a Chøng minh r»ng çc ®êng trßn (O) vµ (S) tiÕp xóc víi t¹i A b Mét ®êng th¼ng d ®i qua A c¾t ®êng trßn (S) t¹i M vµ ®êng trßn (O) t¹i P Chøng minh r»ng : SM // OP M lµ trung ®iĨm cđa AP vµ OM //BP Bµi : Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t t¹i hai ®iĨm A vµ B, vÏ mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn (O) ë C c¾t ®êng trßn (O’) ë D (A n»m gi÷a C vµ D), vÏ mét ®êng th¼ng qua B c¾t ®êng trßn (O) ë E, c¾t ®êng trßn (O’) víi F (B n»m gi÷a E, F) hai ®êng th¼ng CD vµ EF kh«ng c¾t ë bªn hai ®êng trßn Chøng minh r»ng CE // DE Bµi : Cho nưa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, Tõ A vµ B kỴ hai tiÕp tun Ax vµ By Qua mét ®iĨm M thc nưa ®êng trßn nµy kỴ tiÕp tun thø ba c¾t Ax, By thø tù ë C vµ D Çc ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t ë N Chøng minh r»ng a MN // AC b CD MN= CM BD Bµi :Tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) çc ®êng ph©n gi¸c cđa çc gãc B, C lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i E, F D©y cung EF c¾t AC, AB lÇn lỵt t¹i H, I a) Chøng minh çc tam gi¸c FKB vµ EAK c©n b) Chøng minh tø gi¸c FIKN néi tiÕp Tõ ®ã suy IK // AC c) Cã nhËn xÐt g× vỊ tø gi¸c AIKH ? Bµi : cho nưa lơc gi¸c ®Ịu ABCD néi tiÕp nưa ®êng trßn (O;R) hai tiÕp tun t¹i B vµ D c¾t ë T a Chøng minh r»ng OT// AB b Chøng minh r»ng : ba ®iĨm O,C,T th¼ng hµng c tÝnh chu vi vµ diƯn tÝch tam gi¸c TBD theo R Bµi 7: Trong ®êng trßn (O) cho hai d©y AC vµ BD vu«ng gãc víi t¹i I Chøng minh r»ng : a) Kho¶ng çch tõ O tíi AB b»ng nưa ®é dµi CD b) §êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iĨm cđa BC vu«ng gãc víi AD Bµi 8: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh BC Mét ®iĨm P ë ngoµi ®êng trßn cã h×nh chiÕu trªn BC lµ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn Giao cđa PB, víi PC víi ®êng trßn lÇn lỵt lµ M, N, giao cđa AN víi ®êng trßn lµ E Chøng minh r»ng : a) Bèn ®iĨm A, B, N, P n»m trªn mét ®êng trßn b) EM vu«ng gãc víi BC Bµi 9: Tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp mét ®êng trßn (O), ngoµi ACB = 450 Çc ®êng cao AH, BH cđa tam gi¸c c¾t ®êng trßn lÇn lỵt t¹i P, Q Hai ®êng th¼ng AQ vµ BP giao t¹i S a) Chøng minh PQ lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn (O) b) Chøng minh çc tam gi¸c ASH vµ APQ lµ h×nh b×nh hµnh c) Chøng minh çc tam gi¸c ASH vµ APQ lµ b»ng d) NÕu tam gi¸c ABC cã gãc B tï th× çc kÕt qu¶ trªn cßn ®óng hay kh«ng ? chøng minh çc ®iỊu ®ã Bµi 10: Tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O).Çc ®êng ph©n gi¸c cđa çc gãc B,vµ C lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i E& F.D©y cung Ì c¾t AC,AB lÇn lỵt t¹i H; I CMR: 23 a) MN//AC b) CD.MN = CM.BD Bµi 11:Trong ®êng trßn (O) cho 12 d©y cung AC vµ BD vu«ng gãc víi t¹i I CMR a)Kho¶ng çch tõ O t¬Ý AB b»ng nưa ®é dµi CD b)§êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iĨm cđa BC vuong gãc víi AD Bµi 12: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh BC.Mét ®iĨm P n»m ngoµi ®êng trßn cã h×nh chiÕu trªn BC lµ mét ®iĨm trªn A ë ngoµi ®êng trßn Giao ®iĨm cđa PB vµ PC víi ®êng trßn lÇn lỵt lµ M&N Gäi giao ®iĨm cđa AN víi ®êng trßn lµ E CMR: a)Bèn ®iiĨm A,B,N,P n»m trªn ®êng trßn b)EN vu«ng gãc víi BC Bµi 13:Tam gi¸c ABC cã gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O),ngoµi gãc ACB =45 Çc ®êng cao AH,BH cđa tam gi¸c c¾t ®ên trßn lÇn lỵt t¹i P,Q Hai ®êng th¼ng AQ ,BP giao t¹i S CMR: a)PQ lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn(O) b) ACBS lµ h×nh b×nh hµnh c)Çc ∆ ASH vµ APQ lµ b»ng nhau: d) NÕu ∆ ABC cã gãc B tï th× çc kÕt qu¶ trªn cßn ®óng hay kh«ng?Chøng minh ®iỊu ®ã II chøng minh ba ®iĨm th¼ng hµng Bµi 1cho hai ®êng trßn t©m O vµ O’c¾t t¹i Avµ B tõ B kỴ çc ®êng kÝnh BOC vµ BO’D a chøng minh r»ng: ba ®iĨm C,A,D th¼ng hµng suy CD = 2OO’ b gäi M lµ trung ®iĨm cđa d©y cung chung AB CMR ba ®iªmt O,M,O’ th¼ng hµng c biÕt OO’= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm tÝnh AB,AC vµ diƯn tÝch OBO’ Bµi 3: Cho hai ®iĨm A, B cè ®Þnh trªn ®êng trßn (O) Çc ®iĨm C, D di ®éng trªn ®êng trßn cho AD//BC vµ C, D ë vỊ cïng mét phÝa víi d©y AB ; M lµ giao ®iĨm cđa AC, BD çc tiÕp tun víi ®êng trßn t¹i A vµ D c¾t t¹i I Chøng minh a Ba ®iĨm I, O, M th¼ng hµng b Chøng minh ®iĨm A, B, M, P cïng thc mét ®êng trßn c B¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MDC lµ h×nh sè Bµi 4: Cho M lµ mét ®iĨm di ®éng trªn nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB Gäi H lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung AM Tia BH c¾t AM t¹i I vµ c¾t tiÕp tun t¹i A cđa ®êng trßn (O) t¹i K Çc tia AH, BM c¾t t¹i S a Chøng minh tam gi¸c ABS c©n.Tõ ®ã chøng minh S n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh b Chøng minh KS lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (B, BA) c §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BIS c¾t ®êng trßn (B, BA) t¹i N Chøng minh r»ng M, N, A th¼ng hµng Bµi : Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) víi trùc t©m H, AH kÐo dµi c¾t ®êng trßn ë E KỴ ®êng kÝnh AOF a Chøng minh tam gi¸c BCEF lµ h×nh thang c©n b Chøng minh BAE = CAF c Gäi I lµ trung ®iĨm cđa BC chøng minh H, I, F th¼ng hµng VI ph¬ng ph¸p chøng minh ba ®êng th¼ng ®ång quy Bµi 1: Hai ®êng trßn (O) ; (O’) c¾t t¹i A vµ B §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i B c¾t çc ®êng trßn (O) vµ (O’) lÇn lỵt t¹i C, D Çc ®êng th¼ng CA, DA c¾t (O’), (O) theo thø tù t¹i E, F Chøng minh a) Tø gi¸c CFED néi tiÕp b) AB lµ ph©n gi¸c gãc FBE c) Çc ®êng th¼ng CF, DE, AB néi tiÕp Bµi 2:Tõ mét ®iĨm C ë ngoµi ®êng trßn (O) kỴ çt tun CBA Gäi IJ lµ ®êng kÝnh vu«ng gãc víi AB Çc ®êng th¼ng CI, CJ theo thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i M vµ N a) Chøng minh r»ng IN, IM vµ AB ®ång quy t¹i mét ®iĨm D b) Chøng minh r»ng çc tiÕp tun t¹i M vµ N ®i qua trung ®iĨm E cđa CD Bµi 3: Cho hai ®êng trßn (O, R) vµ (O’ , R’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A(R>R’) §êng nèi t©m OO’ c¾t ®êng trßn (O) vµ (O’) theo thø tù t¹i B vµ C(B vµ C kh¸c A) EF lµ d©y cung cđa ®êng trßn (O) vu«ng gãc víi BC t¹i trung ®iĨm I cđa BC, BC c¾t ®êng trßn (O’) t¹i D VII to¸n tỉng hỵp vµ to¸n kh¸c Bµi 1: cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh cm ®iĨm M thc c¹nh AD cho AM = cm vÏ ®êng trßn t©m O cã ®êng kÝnh BM ®êng trßn c¾t AC ë E ( kh¸c A ) tÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) CMR: DC lµ tiỊp tun cđa ®êng trßn (O) CMR: tam gi¸c BEM lµ tam gi¸c vu«ng c©n tiÕp tun Bx cđa ®êng trßn (O) c¾t DC ë K CMR: M,E,K lµ ba ®iĨm th¼ng hµng Bµi 2: cho hai ®êng trßn b»ng (O) vµ(O’) c¾t t¹i hia ®iĨm Avµ B ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB kỴ qua B c¾t ®êng trßn (O) vµ (O’) lÇn lỵt t¹i çc ®iĨm thø hai C vµ D LÊy ®iĨm M trªn xung nhá CB víi ®êng trßn t©m (O) Gäi giao ®iĨm thø hai cđa ®êng th¼ng CMvíi ®êng trßn t©m (O’) lµ N vµ giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng CM vµ DN lµ P a tam giµc AMN lµ tam gi¸c g× ? t¹i sao? b CMR: tø gi¸c ACPD néi tiÕp tõ dã suy P lu«n thc ®êng trßn c Gäi giao ®iĨm thø hai cđa AP víi ®êng trßn (O’) lµ Q tø gi¸c BCPQ lµ h×nh g×? t¹i ? 24 d Gäi giao ®iĨm cđa AP vµ CD lµ E CMR: M di ®éng trªn cung nhá BC th× t©m ®êng trßn ngo¹i tiỊp tam gi¸c CED lu«n thc ®êng th¼ng cè ®Þnh Bµi 3: cho nưa ®êng trßn t©m (O) ®êng kÝnh AB K lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung AB M lµ ®iĨm bÊt k× trªn cung AK Trªn tia BM lÊy ®iĨm N cho BN =AM a chøng minh r»ng: tam gi¸c AMK = tam gi¸c BNK b tam giac MNK vu«ng c©n vµ MK lµ tia ph©n gi¸c gãc AMN c M chun ®éng trªn cung AK th× ®êng vu«ng gãc víi BM kỴ tõ N lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh Bµi 4: cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB I vµ K thc AB cho OI= OK M thc (O) MO,MI ,MK c¾t (O) lÇn lỵt t¹i E,C,D ®êng th¼ng CD c¾ AB t¹i F EI c¾t DE t¹i N MI c¾t EF t¹i H a CMR: FA.FB = FC.FD b M? th× MI =IH c CM: tø gi¸c ENCH néi tiÕp d CMR: EF lµ tiÕp tun cđa t©m (O) Bµi 5.Cho ®êng trßn t©m O ,d©y AB , C n»m ngoµi (O) , C thc tia AB P lµ ®iĨm n»m chÝnh gi÷a cung lín AB , kỴ ®êng kÝnh PQ c¾t d©y AB t¹i D ,tia CP c¾t ®êng rßn t¹i I , AB c¾t QI t¹i K Chøng minh r»ng tø gi¸c PDKI néi tiÕp Chøng minh QB2 = QK.QI Chøng minh CI.CP = CK.CD Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c gãc ngoµi ®Ønh I cđa tam gi¸c AIB chøng minh CK.CD = CA.CB Bµi Cho (O;R) tiÕp xóc ngoµi (O'; r) (R > r) t¹i C AC,BC lµ hai ®êng kÝnh cđa (O) vµ (O') DE lµ d©y cđa (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iĨm M cđa AB; ®êng th¼ng DC c¾t (O') t¹i F Chøng minh r»ng: Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? ®iĨm B,E,F th¼ng hµng Tø gi¸c MDBF néi tiÕp DB c¾t (O') t¹i G Chøng minh DF,EG,AD ®ång quy 5.DE = MF vµ MF lµ tiÕp tun (O') Bµi Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O) ,P lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cung AB kh«ng chøa C vµ D Hai d©y PC ,PD c¾t d©y AB t¹i E,F ; çc d©y AD, PC kÐo dµi c¾t t¹i I Çc d©y BC, PD kÐo dµi nc¾t t¹i K So s¸nh hai gãc CID vµ CKD Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp Chøng minh IK song song víi AB Chøng minh AP lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®i qua ®iĨm A,F,D mét sè bµi to¸n h×nh häc líp Bµi Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) Çc ®êng cao AD, BE, CF c¾t t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lỵt t¹i M,N,P Chøng minh r»ng: Çc tø gi¸c AEHF, néi tiÕp Bèn ®iĨm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H vµ M ®èi xøng qua BC X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), çc ®êng cao AD, BE, c¾t t¹i H Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bèn ®iĨm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh ED = BC Chøng minh DE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) TÝnh ®é dµi DE biÕt DH = Cm, AH = Cm Bµi Cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R Tõ A vµ B kỴ hai tiÕp tun Ax, By Qua ®iĨm M thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun thø ba c¾t çc tiÕp tun Ax , By lÇn lỵt ë C vµ D Çc ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t t¹i N Chøng minh AC + BD = CD AB Chøng minh AC BD = Chøng minh ∠COD = 900 4 Chøng minh OC // BM Chøng minh AB lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh CD Chøng minh MN ⊥ AB X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ chu vi tø gi¸c ACDB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iĨm cđa IK Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh AC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bµi Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iĨm A trªn (O) kỴ tiÕp tun d víi (O) Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iĨm M bÊt k× ( M kh¸c A) kỴ çt tun MNP vµ gäi K lµ trung ®iĨm cđa NP, kỴ tiÕp tun MB (B lµ tiÕp ®iĨm) KỴ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gäi H lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD, I lµ giao ®iĨm cđa OM vµ AB 25 Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chøng minh n¨m ®iĨm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi Chøng minh ba ®iĨm O, H, M th¼ng hµng T×m q tÝch cđa ®iĨm H M di chun trªn ®êng th¼ng d Bµi Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH Gäi HD lµ lµ ®êng kÝnh cđa ®êng trßn (A; AH) TiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E Chøng minh tam gi¸c BEC c©n Gäi I lµ h×nh chiÕu cđa A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE Bµi Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB KỴ tiÕp tun Ax vµ lÊy trªn tiÕp tun ®ã mét ®iĨm P cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) t¹i M Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn Chøng minh BM // OP §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t t¹i J Chøng minh I, J, K th¼ng hµng Bµi Cho nưa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M bÊt k× trªn nưa ®êng trßn ( M kh¸c A,B) Trªn nưa mỈt ph¼ng bê AB chøa nưa ®êng trßn kĨ tiÕp tun Ax Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cđa gãc IAM c¾t nưa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi e) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®ỵc mét ®êng trßn Bµi Cho nưa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB KỴ tiÕp tun Bx vµ lÊy hai ®iĨm C vµ D thc nưa ®êng trßn Çc tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lỵt ë E, F (F ë gi÷a B vµ E) Chøng minh AC AE kh«ng ®ỉi Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M bÊt k× trªn nưa ®êng trßn cho AM < MB Gäi M’ lµ ®iĨm ®èi xøng cđa M qua AB vµ S lµ giao ®iĨm cđa hai tia BM, M’A Gäi P lµ ch©n ®¬ng vu«ng gãc tõ S ®Õn AB Chøng minh ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn Gäi S’ lµ giao ®iĨm cđa MA vµ SP Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n Chøng minh PM lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn Bµi 11 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC) C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i çc ®iĨm D, E, F BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M Chøng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp BD BM = CB CF Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iĨm M (M kh¸c O) CM c¾t (O) t¹i N §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tun t¹i N cđa ®êng trßn ë P Chøng minh : Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh CM CN kh«ng phơ thc vµo vÞ trÝ cđa ®iĨm M Khi M di chun trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh nµo Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH Trªn nưa mỈt ph¼ng bê BC chøa ®iĨn A , VÏ nưa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nưa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa ®êng trßn Bµi 14 Cho ®iĨm C thc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vỊ mét phÝa cđa AB çc nưa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nưa ®êng trßn (O) t¹i E Gäi M N theo thø tù lµ giao ®iĨm cđa EA, EB víi çc nưa ®êng trßn (I), (K) Chøng minh EC = MN Chøng minh MN lµ tiÕp tun chung cđa çc nưa ®êng trßn (I), (K) TÝnh MN TÝnh diƯn tÝch h×nh ®ỵc giíi h¹n bëi ba nưa ®êng trßn 26 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Trªn c¹nh AC lÊy ®iĨm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc SCB Gäi E lµ giao ®iĨm cđa BC víi ®êng trßn (O) Chøng minh r»ng çc ®êng th¼ng BA, EM, CD ®ång quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc ADE Chøng minh ®iĨm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iĨm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E Çc ®êng trßn CD, AE lÇn lỵt c¾t ®êng trßn t¹i F, G Chøng minh : Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG Çc ®êng th¼ng AC, DE, FG ®ång quy Bµi 17 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC cã ®êng cao lµ AH Trªn c¹nh BC lÊy ®iĨm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B C, H ) ; tõ M kỴ MP, MQ vu«ng gãc víi çc c¹nh AB AC Chøng minh APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ h·y x¸c ®Þnh t©m O cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ®ã Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH ⊥PQ Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iĨm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B); trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iĨm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh çc ®êng trßn AD, BC, MH ®ång quy t¹i I Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 19 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AC Trªn b¸n kÝnh OC lÊy ®iĨm B t ý (B kh¸c O, C ) Gäi M lµ trung ®iĨm cđa ®o¹n AB Qua M kỴ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB CD c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BC t¹i I Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chøng minh MI lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh BC Bµi 20 Cho ®êng trßn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi t¹i C Gäi AC vµ BC lµ hai ®êng kÝnh ®i qua ®iĨm C cđa (O) vµ (O’) DE lµ d©y cung cđa (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iĨm M cđa AB Gäi giao ®iĨm thø hai cđa DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp B, E, F th¼ng hµng Bèn ®iĨm M, D, B, F cïng n»m trªn mét ®5 DF, AG, AB ®ång quy êng trßn MF = 1/2 DE Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi 21 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Gäi I lµ trung ®iĨm cđa OA VÏ ®êng tron t©m I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q Chøng minh r»ng çc ®êng trßn (I) vµ (O) tiÕp xóc ngoµi t¹i A Chøng minh IP // OQ Chøng minh r»ng AP = PQ X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa P ®Ĩ tam gi¸c AQB cã diƯn tÝch lín nhÊt Bµi 22 Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iĨm E thc c¹nh BC Qua B kỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®êng th¼ng nµy c¾t çc ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chun trªn c¹nh BC th× H di chun trªn ®êng nµo? Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Dùng ë miỊn ngoµi tam gi¸c ABC çc h×nh vu«ng ABHK, ACDE Chøng minh ba ®iĨm H, A, D th¼ng hµng §êng th¼ng HD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i F, Chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n Cho biÕt ∠ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iĨm cđa BF vµ ED, Chøng minh ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh MC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Bµi 24 Cho tam gi¸c nhän ABC cã ∠B = 450 VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AC cã t©m O, ®êng trßn nµy c¾t BA vµ BC t¹i D vµ E Chøng minh AE = EB Gäi H lµ giao ®iĨm cđa CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®êng trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH Chøng minh OD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDE 27 Bµi 25 Cho ®êng trßn (O), BC lµ d©y bÊt k× (BC< 2R) KỴ çc tiÕp tun víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C chóng c¾t t¹i A Trªn cung nhá BC lÊy mét ®iĨm M råi kỴ çc ®êng vu«ng gãc MI, MH, MK xng çc c¹nh t¬ng øng BC, AC, AB Gäi giao ®iĨm cđa BM, IK lµ P; giao ®iĨm cđa CM, IH lµ Q Chøng minh tam gi¸c ABC c©n Chøng minh MI2 = MH.MK Çc tø gi¸c BIMH, CIMH néi tiÕp Chøng minh PQ ⊥ MI Bµi 26 Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R VÏ d©y cung CD ⊥ AB ë H Gäi M lµ ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung CB, I lµ giao ®iĨm cđa CB vµ OM K lµ giao ®iĨm cđa AM vµ CB Chøng minh : KC AC AM lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc CMD = KB AB Tø gi¸c OHCI néi tiÕp Chøng minh ®êng vu«ng gãc kỴ tõ M ®Õn AC còng lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn t¹i M Bµi 27 Cho ®êng trßn (O) vµ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn çc tiÕp tun víi ®êng trßn (O) kỴ tõ A tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B vµ C Gäi M lµ ®iĨm t ý trªn ®êng trßn ( M kh¸c B, C), tõ M kỴ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB tø gi¸c ABOC néi tiÕp Chøng minh tam gi¸c MIH ®ång d¹ng víi tam gi¸c MHK Chøng minh MI.MK = MH2 Chøng minh ∠BAO = ∠ BCO Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Gäi H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c ABC; E lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua BC; F lµ ®iĨm ®èi xøng cđa H qua trung ®iĨm I cđa BC Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh E, F n»m trªn ®êng trßn (O) Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n Gäi G lµ giao ®iĨm cđa AI vµ OH Chøng minh G lµ träng t©m cđa tam gi¸c ABC Bµi 29 BC lµ mét d©y cung cđa ®êng trßn (O; R) (BC ≠ 2R) §iĨm A di ®éng trªn cung lín BC cho O lu«n n»m tam gi¸c ABC Çc ®êng cao AD, BE, CF cđa tam gi¸c ABC ®ång quy t¹i H Chøng minh tam gi¸c AEF ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC Gäi A’ lµ trung ®iĨm cđa BC, Chøng minh AH = 2OA’ Gäi A1 lµ trung ®iĨm cđa EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’ Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vÞ trÝ cđa A ®Ĩ tỉng EF + FD + DE ®¹t gi¸ trÞ lín nh¸t Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC c¾t (O) t¹i M VÏ ®êng cao AH vµ b¸n kÝnh OA Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cđa gãc OAH Gi¶ sư ∠B > ∠C Chøng minh ∠OAH = ∠B - ∠C Cho ∠BAC = 600 vµ ∠OAH = 200 TÝnh: a) ∠B vµ ∠C cđa tam gi¸c ABC b) DiƯn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt ∠BAC = 600 TÝnh sè ®o gãc BOC vµ ®é dµi BC theo R VÏ ®êng kÝnh CD cđa (O; R); gäi H lµ giao ®iĨm cđa ba ®êng cao cđa tam gi¸c ABC Chøng minh BD // AH vµ AD // BH TÝnh AH theo R Bµi 32 Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R Mét çt tun MN quay quanh trung ®iĨm H cđa OB Chøng minh MN di ®éng , trung ®iĨm I cđa MN lu«n n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh Tõ A kỴ Ax ⊥ MN, tia Bi c¾t Ax t¹i C Chøng minh tø gi¸c CMBN lµ h×nh b×nh hµnh Chøng minh C lµ trùc t©m cđa tam gi¸c AMN Khi MN quay quanh H th× C di ®éng trªn ®êng nµo Cho AM AN = 3R2 , AN = R TÝnh diƯn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c AMN Bµi 33 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC c¾t BC t¹i I, c¾t ®êng trßn t¹i M Chøng minh OM ⊥ BC Chøng minh MC2 = MI.MA KỴ ®êng kÝnh MN, çc tia ph©n gi¸c cđa gãc B vµ C c¾t ®êng th¼ng AN t¹i P vµ Q Chøng minh ®iĨm P, C , B, Q cïng thc mét ®êng trßn Bµi 34 Cho tam gi¸c ABC c©n ( AB = AC), BC = Cm, chiỊu cao AH = Cm, néi tiÕp ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AA’ TÝnh b¸n kÝnh cđa ®êng trßn (O) KỴ ®êng kÝnh CC’, tø gi¸c CAC’A’ lµ h×nh g×? T¹i sao? KỴ AK ⊥ CC’ tø gi¸c AKHC lµ h×nh g×? T¹i sao? TÝnh diƯn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c ABC Bµi 35 Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, ®iĨm I n»m gi÷a A vµ O cho AI = 2/3 AO KỴ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iĨm t ý thc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi Ac c¾t MN t¹i E Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp Chøng minh tam gi¸c AME ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACM 28 Chøng minh AM2 = AE.AC Chøng minh AE AC – AI.IB = AI2 H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa C cho kho¶ng çch tõ N ®Õn t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi 36 Cho tam gi¸c nhän ABC , KỴ çc ®êng cao AD, BE, CF Gäi H lµ trùc t©m cđa tam gi¸c Gäi M, N, P, Q lÇn lỵt lµ çc h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa D lªn AB, BE, CF, AC Chøng minh : Çc tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt Çc tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp Hai tam gi¸c HNP vµ HCB ®ång d¹ng Bèn ®iĨm M, N, P, Q th¼ng hµng Bµi 37 Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A KỴ tiÕp tun chung ngoµi BC, B ∈ (O), C ∈ (O’) tiÕp tun chung t¹i A c¾t tiÕp tun chung ngoµi BC ë I Chøng minh çc tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp Chøng minh ∠ BAC = 900 TÝnh sè ®o gãc OIO’ TÝnh ®é dµi BC biÕt OA = 9cm, O’A = 4cm 29 Bµi 38 Cho hai ®êng trßn (O) ; (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A, BC lµ tiÕp tun chung ngoµi, B∈(O), C∈ (O’) TiÕp tun chung t¹i A c¾ tiÕp tun chung ngoµi BC ë M Gäi E lµ giao ®iĨm cđa OM vµ AB, F lµ giao ®iĨm cđa O’M vµ AC Chøng minh : Chøng minh çc tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt ME.MO = MF.MO’ OO’ lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh BC BC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh OO’ Bµi 39 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BC, dÊy AD vu«ng gãc víi BC t¹i H Gäi E, F theo thø tù lµ ch©n çc ®êng vu«ng gãc kỴ tõ H ®Õn AB, AC Gäi ( I ), (K) theo thø tù lµ çc ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HBE, HCF H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa çc ®êng trßn (I) vµ (O); (K) vµ (O); (I) vµ (K) Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao? Chøng minh AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tun chung cđa hai ®êng trßn (I) vµ (K) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa H ®Ĩ EF cã ®é dµi lín nhÊt Bµi 40 Cho nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R Tõ A vµ B kỴ hai tiÕp tun Ax, By Trªn Ax lÊy ®iĨm M råi kỴ tiÕp tun MP c¾t By t¹i N Chøng minh tam gi¸c MON ®ång d¹ng víi tam gi¸c APB Chøng minh AM BN = R2 S R TÝnh tØ sè MON AM = S APB TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh nưa h×nh trßn APB quay quanh c¹nh AB sinh Bµi 41 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC , O lµ trung ®iĨn cđa BC Trªn çc c¹nh AB, AC lÇn lỵt lÊy çc ®iĨm D, E cho ∠ DOE = 600 Chøng minh tÝch BD CE kh«ng ®ỉi Chøng minh hai tam gi¸c BOD; OED ®ång d¹ng Tõ ®ã suy tia DO lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc BDE VÏ ®êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB Chøng minh r»ng ®êng trßn nµy lu«n tiÕp xóc víi DE Bµi 42 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã c¹nh ®¸y nhá h¬n c¹nh bªn, néi tiÕp ®êng trßn (O) TiÕp tun t¹i B vµ C lÇn lỵt c¾t AB, AC ë D vµ E Chøng minh : BD2 = AD.CD Tø gi¸c BCDE néi tiÕp BC song song víi DE Bµi 43 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB, ®iĨm M thc ®êng trßn VÏ ®iĨm N ®èi xøng víi A qua M, BN c¾t (O) t¹i C Gäi E lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BM Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp Chøng minh NE ⊥ AB Gäi F lµ ®iĨm ®èi xøng víi E qua M Chøng minh FA lµ tiÕp tun cđa (O) Chøng minh FN lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn (B; BA) Bµi 44 Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t t¹i A vµ B D©y AC cđa ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O’) t¹i A D©y AD cđa ®êng trßn (O’) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A Gäi K lµ ®iĨm ®èi xøng víi A qua trung ®iĨm I cđa OO’, E lµ ®iĨm ®èi xøng víi A qua B Chøng minh r»ng: AB ⊥ KB Bèn ®iĨm A, C, E, D cïng n»m trªn mét ®êng trßn Bµi 45 Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC) néi tiÕp ®êng trßn (O) Gäi D lµ trung ®iĨm cđa AC; tiÕp tun cđa ®êng trßn (O) t¹i A c¾t tia BD t¹i E Tia CE c¾t (O) t¹i F Chøng minh BC // AE Chøng minh ABCE lµ h×nh b×nh hµnh Gäi I lµ trung ®iĨm cđa CF vµ G lµ giao ®iĨm cđa BC vµ OI So s¸nh ∠BAC vµ ∠BGO Bµi 46 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB , trªn ®êng trßn ta lÊy hai ®iĨm C vµ D cho cung AC = cung AD TiÕp tun víi ®êng trßn (O) vÏ tõ B c¾t AC t¹i F Chøng minh hƯ thøc : AB2 = AC AF Chøng minh BD tiÕp xóc víi ®êng trßn ®êng kÝnh AF Khi C ch¹y trªn nưa ®êng trßn ®êng kÝnh AB (kh«ng chøa ®iĨm D ) Chøng minh r»ng trung ®iĨm I cđa ®o¹n µ ch¹y trªn mét tia cè ®Þnh , x¸c ®Þnh tia cè ®Þnh ®ã Bai 47 Cho ®iĨm A; B; C cè ®Þnh th¼ng hµng theo thø tù VÏ ®êng trßn (O) bÊt kú ®i qua B vµ C ( BC kh«ng lµ ®êng kÝnh cđa (O) KỴ tõ çc tiÕp tun AE vµ AF ®Õn (O) (E; F lµ çc tiÕp ®iĨm) Gäi I lµ trung ®iĨm cđa BC; K lµ trung ®iĨm cđa EF, giao ®iĨm cđa FI víi (O) lµ D Chøng minh: AE2 = AB.AC Tø gi¸c AEOF N¨m ®iĨm A; E; O; I; F cïng n»m trªn mét ®êng trßn ED song song víi Ac Khi (O) thay ®ỉi t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OIK lu«n thc mét ®êng th¼ng cè ®Þnh Bµi 48 : Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän §êng trßn (O) ®êng kÝnh BC c¾t AB; AC t¹i E vµ D BD c¾t CE t¹i H; AH c¾t BC t¹i I VÏ çc tiÕp tun AM vµ AN cđa (O) Chøng minh: 30 Çc tø gi¸c ADHE; ADIB néi tiÕp ®ỵc CD.CA + BE BA = BC2 M; H; N th¼ng hµng TÝnh chu vi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ADHE nÕu tam gi¸c ABCD lµ tam gi¸c ®Ịu cã c¹nh b»ng 2a Bµi 49: Cho ®êng trßn (O; R) vµ ®iĨm M n»m ngoµi (O) KỴ hai tiÕp tun MB; BC cđa (O) vµ tia Mx n»m gi÷a hai tia MO vµ MC Qua B kỴ ®êng th¼ng song song víi Mx, ®êng th¼ng nµy c¾t (O) t¹i ®iĨm thø hai lµ A; AC c¾t Mx t¹i I VÏ ®êng kÝnh BB’ Qua O kỴ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BB’ ®êng nµy c¾t ; BC lÇn lỵt t¹i K vµ E Chøng minh: Tø gi¸c MOIC néi tiÕp OI vu«ng gãc víi Mx ME cã ®é dµi kh«ng phơ thc vÞ trÝ cđa ®iĨm M Khi M di ®éng mµ OM = 2R th× K chun ®éng trªn ®êng nµo? T¹i sao? Bµi 50: Cho (O; R) vµ ®iĨm A ∈ (O) Mét gãc vu«ng xAy quay quanh A vµ lu«n tho¶ m·n Ax; Ay c¾t (O) giä çc giao ®iĨm thø hai cđa Ax; Ay víi (O) lÇn lỵt lµ B; C §êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t AB; AC t¹i çc ®iĨm thø hai t¬ng øng lµ M; N Tia OM c¾t (O) t¹i P Gäi H lµ trùc t©m tam gi¸c AOP Chøng minh: Tø gi¸c AMON lµ h×nh ch÷ nhËt MN // BC Tø gi¸c PHOP néi tiÕp X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa gãc xAy cho tam gi¸c AMN cã diƯn tÝch lín nhÊt ******************* §Ị bµi: I.Tr¾c nghiƯm: C©u (4®iĨm) §iỊn ®óng(§)- sai(S) vµo « trèng çc c©u sau ®©y: x − x¸c ®Þnh vµ chØ x ≥ − a, 2 x + x¸c ®Þnh víi mäi x ∈ R b, ( 48 − 7) = − 48 c, d, 8: =4 Khoanh trßn ch÷ çi ®øng tríc c©u tr¶ lêi ®óng 1/ C¨n bËc hai sè häc cđa 36 lµ : A - ; B - 36 ; C D -6 2/ BiĨu thøc ( - 2) cã gi¸ trÞ lµ: A - ; 3/ a b»ng : A a 4/ NÕu B - ; C D 2+ B – a C ± a D a 9x - 4x = th× x b»ng A ; B/ ; 5/ BiĨu thøc 2x - x¸c ®Þnh : A x ≥ ; B x ≥ ; C C x ≥ D KÕt qu¶ kh¸c D x ≤ / Rót gän biĨu thøc: − ®ỵc kÕt qu¶ lµ : A 3 −1 B C – D 31 H·y chän chØ mét ch÷ çi tríc c©u tr¶ lêi ®óng: 1/ C¨n bËc hai sè häc cđa 81 lµ : A -9 B C 81 2/ x − cã nghÜa : A x ≥ B x = C x > 3/ NÕu x = 70 th× x b»ng : A 196 4/ BiĨu thøc (1− 3) B 196 D x < D 14 cã gi¸ trÞ lµ: A 3-1 B 1- 5/ Ph¬ng tr×nh x = cã nghiƯm lµ : A x = ± B x = 6/ Khư mÉu cđa biĨu thøc lÊy c¨n A C 14 D – 81 B C +1 D 1+ C x = - D x = ta ®ỵc: 96 C 16 D Khoanh trßn ch÷ çi ®øng tríc c©u tr¶ lêi ®óng 1/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A th× SinB lµ A AC BC B AB BC C AC AB 2/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A th×: B sin B + cos B = C sin B = cos B sin B + cos B = 3/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH th×: A AH = AB AC B AH = AB.BC C AH = AC.BC 4/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A th×: A AB = AC.sin B B AB = BC.SinB C AB = AC.tgB 5/ Cho sin x = 0,5 th× : A.x = 300 B x = 400 C x = 500 /2/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, biÕt gãcB =300 vµ BC = 18 th×: A AC = C AC = B AC = D AB AC D sin B = cot B D AH = BH HC D AB = AC.tgC D x = 600 D AC = 18 Khoanh trßn ch÷ çi ®øng tríc c©u tr¶ lêi ®óng 1/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A th× SinC lµ A AC BC B AB BC C AC AB 2/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A th×: B sin B + cos B = C sin B = cos C sin B + cos C = 3/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH th×: A AB = BC AC B AB = BH BC C AB = AH BC 4/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A th×: A AB = AC.sin B B AB = BC.SinC C AB = AC.tgB 5/ Cho cos x = 0,5 th× : A.x = 300 B x = 400 C x = 500 /2/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, biÕt gãcB =300 vµ BC = 20 th×: A AC = 10 C AC = 10 B AC = 10 D AB AC D sin B = cot B D AB = BH HC D AB = BC.tgC D x = 600 D AC = 20 32 C©u1: Chän ph¬ng ¸n ®óng çc kh¼ng ®Þnh sau: Đường thẳng điểm A (1;3) song song với đường thẳng y = -3x +2 là: A y = - 3x – B y = -3x C y = -3x + D y = 3x + Điểm thuộc đồ thị hám số y = 2x – là: A (-2; -1) B ( 3; 2) C ( 1; -3) D ( -1; ) Trong hàm số sau hàm số hàm số bậc A y = (3-3)x – = 2x – B y = - 2x C y = 1− x D y Cho hàm số y = kx + hàm số y = - x – Đồ thị hai hàm số hai đường thẳng song song k bằng: A B C D – Cho hàm số y = (2 – m) x + m – hàm số bậc m khác: A -1 B C D x Đồ thị hàm số y = − + qua điểm có tọa độ là: A ( ; 0) B (-1; ) C ( -2 ; 1) D ( -2 ; -1) Trong hàm số sau hàm số đồng biến A y = – x B y = − 3( – x ) C y = – x–2 D y = – 2(x–1) Hàm số y = 2x + m – Xác định giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm A (0; 4) là: A m = B m = C m = D m = C©u 1(4®) Chän ®¸p ¸n ®óng cho mçi c©u sau 1, Hµm sè y = (−m + 2) x + ®ång biÕn vµ chØ khi: A m ≥ −2 ; B m < −2 ; C m ≥ ; D m > E m < 2, CỈp sè nµo sau ®©y lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: 5x + 4y = A (0;2) , B (2;0), 3, NghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh: A (-4;1), B (-4;-1), C (1;2), D (2;1) x + y =  x − y = lµ C (4;-1) , D (4;1) 2 x − y = lµ:  −4 x + y = 4, Sè nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh:  33 II.Tù ln: A Cã mét nghiƯm nhÊt; C V« nghiƯm; B Cã v« sè nghiƯm; C©u Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: x + y = 3x + y = −1 2 x + y =  x − y = −3 a,  b,  C©u Hai ngêi lµm chung mét c«ng viƯc th× sau 16 giê xong c«ng viƯc Ngêi thø nhÊt lµm giê, ngêi thø hai lµm giê th× ®ỵc 25% c«ng viƯc Hái mçi ngêi lµm mét m×nh th× sau bao l©u xong c«ng viƯc? 7 x − 2ay = C©u T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh  (4 − 5a ) x − 4ay = v« nghiƯm Câu : Cho hai hàm số: y = 2x + (d1) a)Vẽ đồ thị hai hàm số cho b)Tính diện tích tam giác tạo đồ thị trục toạ độ Bµi Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH BiÕt AB = 21 cm, AC = 28cm a) TÝnh ®é dµi BC, AH, BH, HC b) TÝnh sè ®o çc gãc B,C c) §êng ph©n gi¸c AD.TÝnh ®é dµi BD, DC Bµi Cho tam gi¸c ABC Chóng minh sin A BC ≤ AB + AC Bµi Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH BiÕt AB = 30 cm, AC = 40cm a) TÝnh ®é dµi BC, AH, BH, HC b) TÝnh sè ®o çc gãc B,C c) KỴ ®êng trung tun AM,.TÝnh chu vi tam gi¸c AHM Bµi Cho tam gi¸c ABC Chóng minh sin Bµi :TÝnh : a) 169 − 64 A BC ≤ AB + AC b) (2 + ) - 40 Bµi 10 Gi¶i ph¬ng tr×nh : x + =  x x    − +  : ÷ víi x > vµ x ≠ x − x − x − x + x     Bµi 11 Cho biĨu thøc P =  a/ Rót gän P b/ T×m x ®Ĩ P > Bµi 12 : Cho A = x - x +3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A Gi¸ trÞ ®ã ®¹t ®ỵc x b»ng bao nhiªu? Bµi 13 TÝnh 34 a/ 144-2 36 Bµi 14 T×m x biÕt: x + =  b/ (5 + ) - 250   x +1 x +2 Bµi 15 : Cho biĨu thøc P =  ÷ ÷:  x -1 ÷  x -1 x   x -2  ( Víi x > 0; x ≠ 1; x ≠ 4) a/ Rót gän P b/ T×m çc gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P < Bµi 16 : Cho A = x - x +3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A Gi¸ trÞ ®ã ®¹t ®ỵc x b»ng bao nhiªu? C©u 17 TÝnh: a, 4a 2b (a > 0, b ≠ 0) a 1 = (2ab )2 = 2ab = 2ab = 2b a a a b, =3.2=6 1 = = 147 49 C©u 18 TÝnh: c, a, 4a 2b (a > 0, b ≠ 0) a b, c, 147 C©u 19 : T×m x biÕt a, 3x + = b, − x2 − 4x + = x − 35 [...]... c©u tr¶ lêi ®óng: 1/ C¨n bËc hai sè häc cđa 81 lµ : A -9 B 9 C 81 2/ x − 1 cã nghÜa khi : A x ≥ 1 B x = 1 C x > 0 3/ NÕu 5 x = 70 th× x b»ng : A 1 196 4/ BiĨu thøc (1 3) B 19 6 2 D x < 1 D 14 cã gi¸ trÞ lµ: A 3 -1 B 1- 3 5/ Ph¬ng tr×nh x 2 = 2 cã nghiƯm lµ : A x = ± 2 B x = 1 6/ Khư mÉu cđa biĨu thøc lÊy c¨n A C 14 D – 81 1 6 8 B 8 6 C 3 +1 D 1+ 3 C x = - 2 D x = 2 9 ta ®ỵc: 96 C 16 6 D 1 6 4 Khoanh trßn... 1 + x1 x 2 ; C= x1 x + 2 x2 x1 ; D = x13 + x23 E = x1 (1- x2) + x2 (1- x1) ; F = x13 - x23 Bµi 20 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 8x + n = 0 (1) n lµ tham sè a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi n = 1 b) T×m ®iỊu ki n cđa n ®Ĩ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm c) Gäi x1 ; x2 lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ; t×m n ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm tho¶ m·n 1) x1 - x2 = 2 ; 3) 2x 1 + 3x2 = 36 2) x1 = 3x2 ; 4) x12 + x22 = 50 Bµi 21 : Cho ph¬ng tr×nh... + p1x + q1 = 0 vµ x2 + p2x + q2 = 0 BiÕt r»ng: p1p2 = 2(q1 + q2) CMR: Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh cã nghiƯm Bµi 37 : Chøng minh r»ng hai ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (1) vµ a1x2 + b1x + c1 = 0 (2) Cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung th× (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c) Mét sè bµi to¸n tỉng hỵp vỊ ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 38: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m +1) x +m-4 = 0 (1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m =1 b)CMR... 250 1   x +1 x +2 Bµi 15 : Cho biĨu thøc P =  ÷ ÷:  x -1 ÷  x -1 x   x -2  ( Víi x > 0; x ≠ 1; x ≠ 4) a/ Rót gän P b/ T×m çc gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P < 0 Bµi 16 : Cho A = 1 x - 2 x +3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A Gi¸ trÞ ®ã ®¹t ®ỵc khi x b»ng bao nhiªu? C©u 17 TÝnh: a, 1 4a 2b 4 (a > 0, b ≠ 0) a 1 1 1 = (2ab 2 )2 = 2ab 2 = 2ab 2 = 2b 2 a a a b, 9 4 =3.2=6 3 1 1 = = 14 7 49 7 C©u 18 TÝnh: c, a, 1 4a... viƯc.NÕu lµm chung trong 4 giê th× hoµn thµnh 4 1 giê ®Èy bĨ, m«Ü giê lỵng níc cđa vßi 1 ch¶y b»ng 1 lỵng n5 2 íc ë vßi 2 Hái mçi vßi ch¶y riªng th× trong bao l©u ®Çy bĨ Bµi 10 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo 1 bĨ th× sau 4 19 Bµi 11 : Hai ngêi thỵ dù ®Þnh cïng lµm chung mét c«ng viƯc trong 7 giê 12 ’ th× xong nhng trong thùc tÕ ngêi 1 lµm 3 trong 5 giê vµ ngêi 2 t¨ng n¨ng xt lªn gÊp ®«i vµ lµm trong 3 giê th×... nghiƯm kia nhá h¬n 1 Bµi 43:Cho ph¬ng tr×nh Èn x : x2 + p x +q = 0 (1) a)Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh theo p,q biĨu thøc 1 1 + A= theo p ,q 2 2(2 x 1 + 3) 2(2 x 2 + 3) 2 b)T×m p,q ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm lµ 1 vµ 2 x +1 x2 +1 c)lËp 1 ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiƯm lµ 1 vµ x1 − 1 x2 1 d)Gi¶ sư p+q = 1 CMR ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh ë c©u (c) cã nghiƯm chung e)CMR nÕu ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh:... Èn x: x2 + 2m x +2m -1 = 0 (1) 1) CMR ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi m 2)Gi¶ sư x1,x2 lµ çc nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (1) a.T×m hƯ thøc liªn hƯ gi÷a x1,x2 lµ ®éc lËp víi m b T×m m ®Ĩ x1- x2 =6 c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc A== x12 x2 + x22 x1 3)T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm trong ®ã cã 1 nghiƯm lín h¬n 3 4)T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm trong ®ã cã 1 nghiƯm nhá h¬n 1 5)T×m m ®Ĩ ph¬ng... (3-3)x – 5 = 2x – B y = - 2x C y = 1 2 3 1 x D y 4 Cho hàm số y = kx + 3 và hàm số y = - 2 x – 1 Đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song khi k bằng: A 2 B 0 C 1 D – 2 5 Cho hàm số y = (2 – m) x + m – 1 là hàm số bậc nhất khi m khác: A -1 B 2 C 0 D 1 x 2 6 Đồ thị hàm số y = − + 1 đi qua điểm có tọa độ là: A ( 2 ; 0) B ( -1; 1 ) 2 C ( -2 ; 1) D ( -2 ; -1) 7 Trong các hàm số sau hàm số nào đồng... :TÝnh : a) 16 9 − 2 64 A BC ≤ 2 AB + AC b) (2 5 + 5 2 ) 2 - 40 Bµi 10 Gi¶i ph¬ng tr×nh : 4 x + 1 = 5  x x   1 2  − +  : ÷ víi x > 0 vµ x ≠ 4 x − 1 x − 1 x − x 1 + x     Bµi 11 Cho biĨu thøc P =  a/ Rót gän P b/ T×m x ®Ĩ P > 0 Bµi 12 : Cho A = 1 x - 2 x +3 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A Gi¸ trÞ ®ã ®¹t ®ỵc khi x b»ng bao nhiªu? Bµi 13 TÝnh 34 a/ 14 4-2 36 Bµi 14 T×m x biÕt: x + 2 = 4  1 b/ (5 2... tr×nh: x2 - (a -1) x - a2 +a - 2 = 0 (1) 1) CMR ph¬ng tr×nh (1) lu«n lu«n cã nghiƯm tr¸i dÊu víi mäi a 2)Gäi x1,x2 lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh TÝnh S= x12 + x22 theo a Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa S 3)lËp hƯ thøc liªn hƯ gi÷a x1,x2 ®éc lËp víi a 1 1 4)T×m a ®Ĩ nghiƯm x1,x2 tho¶ m·n + nhËn gi¸ trÞ d¬ng x1 x 2 Bµi 41: Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m +1) x2 + 5 x +m2 - 1= 0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -1 b)T×m m ®Ĩ ... çc biĨu thøc sau(x1; x2lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh) 1) S = x1 + x2 ; P = x1 x2 2) A = x12 + x22 ; B= 1 + x1 x ; C= x1 x + x2 x1 ; D = x13 + x23 E = x1 (1- x2) + x2 (1- x1) ; F = x13 - x23 Bµi 20 :... = (1) Gi¶i (1) ta cã: ∆=…………………….=……… >0 =>Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm y1=……………= …………; y2=……………=………… 11 Víi y1=………;……… tho¶ m·n ®iỊu ki n cđa bµi to¸n => y1=………(lo¹i) y2=…………tho¶ m·n ®iỊu ki n... thức A = x +1 x x + x + x 1 x +1 1/.Đặt điều ki n để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị x A< -1 Bµi 4: Cho biểu thức A = (1 + x+ x x− x ) (1 − ) x +1 x 1 ( Với x ≥ 0;