ĐÁP ÁN PHƯƠNG TRÌNH-BPT-HPT GV: Nguyeãn Höõu Trung – THPT Vónh Ñònh I/Giải phương pháp biến đổi tương đương đưa pt hệ quả: Dạng 1: 1/ Phương trình có nghiệm x=3 2/ x = 3/x = 4, x = 4/ x = x = 6/ −5 − 97 x= 18 5/ x= ±5 Dạng 2: 1/ x=-1/2 2/ Đưa dạng A = B đặt t = x + 3/Lập phương vế sử dụng pt đầu, giải xong phải thử lại C2: Đặt ẩn u, v 4/ Lập phương đặt u, v: x=1;2;3/2 5/x=-1 6/x= ±1 7/x=1;5 8/Tập nghiệm S = [2; + ∞ ) 9/ x=0; 2; -2 10/x=3 11/x = 12/ x=0; 9/8 16) Lập phương vế: x=0; ± 13) x = 7/6) 14) x=1 15) x= ± Dạng 3: Đặt nhân tử chung 1/x=-3 2/x = 0;1 3/x = 0; -1 4/ x=4;5 II/Đặt ẩn phụ hoàn toàn: Dạng : Pt dạng: a.f (x) + b n f (x) + c = đặt t = n f (x) 1/x=2;-4 2/ x = 0;-5 −3 ± 109 5/ x = − 5; x = − 13 1± 7/ x = Dạng 2: Dạng f( a ± b; ab ) = thông thường ta đặt t = a ± b x= 1/ x=2 4/ x = Dạng : 1) x = 3) x = 3/x=1;-7/2 4/ 6/(nghiệm lẻ) 2/ x= 0; 3/ x=0 ;2 ; 5/x = 0; 6/ x=2;3 − 14 − ± 37 Dạng 4: Dạng khác x + x −1 1/ x − x − + x + x − = (t 1/t) 2/ 3/ x + x + = x ( x + 2)( x = t 4/ x + x / x −1 = x (t 1/t) x − = 2( x > 1) (Bp, t=căn) III/ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn nhiều ẩn phụ đưa pt ẩn hệ: Dạng 1: Đặt ẩn phụ đưa hệ 1) x = -2 2) x=3;-88;-24 4) x = 1; 2; 10 5) x = 17 − 11 − 17 ; 2 3) x = ± ; − 17 ÷ 2 7) ( x = 1;16 ) 8) ( x = 1; −6 ) 10) (x=1/8) Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình biến ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp 1) x = −1 ± 2) (x=4/3) 5) x = ±2 6) x = 1; − 8) đặt t = x + 2x + ⇒ (t − 4x)(t + 4x) = 9x ) 9) Bình phương đặt t = 10) (Đặt a = ( − 2x ) x = 5± ,b = 1) x = 1; ,b = 59 − 4)x= ± 10 7) t = , hết x2 ) 1+ ) Dạng 3: Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng ( gặp [f(x)]n + b = a n a f ( x) − b đặt u= f(x), v = xứng) 11) (Đặt a = 3) x = ⇒x= n a f ( x ) − b t = −1 ± ÷ ÷ n a f ( x) − b đưa hệ đối 1+ 2) x = −1; ÷÷ 4) x = 3)(Đặt y = 35 − x3 ⇒ x3 + y = 35 ) −5 − 13 17 − ; ÷ 2 ÷ 5) x + x + = x + ⇔ (2 x + 1) + x = 2.(2 x + 1) − x (x=1/4; -7/4) x +3 x +1 ⇔ ( x + 1)2 − = +1 2 49 49 7) Viết lại (7 x + ) − = x + + 4 6) x + x = 8) t = − x ; x = −1; 2; −1 ± 13 ) IV/Nhân chia lượng liên hợp: 1/ (x=2) 2/ x + − + − x − = 3/x = 3; 9) u = x; v = 2002x − 2001 x−2 đặt u = x + 1; v = x − 2( x = 2) 11 − 5/ (Nhóm 2-3,1-4; (x=1)) − x − 3x − = (x=1) 7/ 24 + x + 12 − x = (Sdụng lại pt đầu, qđồng ; đặt u,v nhanh hơn) 6) Đề sai, sửa lại: 9/ x = 11) x=0 ;8/7 8/ (x=3/2) 10/ x = V/Đánh giá: 1/ HD: ( ) ( 5x − − x + ) − 5x − + x − = VI Tính đơn điệu : 1/ (x=-1/5) 2) x=2 3 3/Đặt t = x + , = t – 6x, t + t = (2x)3 + 2x, giải tiếp lgiác hóa 4) (x=3) Đặt u = 2x; v = − y ; (x;y)=(1/2; 2)) 7) ( x ≤ / vô nghiệm, x>3/4 ⇒ x =1) 8) Sử dụng hàm số, tính đạo hàm cấp lập bbt ĐS: x = 0;1 6)(Giải (1) cách x ≤ VII Sử dụng vectơ: a) (x=1/5) b)x = r r uu r r r uu r r r uu r c)Xét VT: u = ( x; 2); v = ( y − x;1); w = (3 − y;1) sử dụng BĐT u + v + w ≥ u + v + w Dấu “=” xảy vt hướng r r d) u = (1;1), v = ( x + 1;8 − x) e)Đề sai: − x − 3x + 10 + − x − x + 18 = 77 r r Đặt u = ( x + 5; − x ), v = ( − x ; x + 9) sử dụng BĐT tích vô hướng f) Tương tự câu c: x= −2; x = −5 / 45 2 g)Đề sai: x + x + − x − x + 40 = x + x + (x = -5/2) l) (x=1;x = + ) VIII Tham số : Tìm m để pt sau có nghiệm nhất(Sử dụng đk cần đủ): a)Nhận xét: x nghiệm –x nghiệm Vậy để phtrình có nghiệm ta cần có x = -x ⇔ x =0 ⇒ m = giải lại m = ta thấy pt có nghiệm Vậy m = b) (x nghiệm –x nghiệm) Kq: m = 0; -1 m = loại có nghiệm x =1; x = 1/2 c) (x nghiệm –x nghiệm) Kq: m = d) (x nghiệm 14 –x nghiệm) Kq: m = 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I/Giải phương pháp biến đổi tương đương: 1/x≥1/4 2/ S = (10 − 34; +∞) S = (−∞; 4/S = [1 ;3] 5/ 7/ S = { 1} ∪ [4; +∞) 9/ S = (−∞;0) ∪ [1;2] 12/a) S = (2; 5) 13/a ( 6;1 + 7) 3− ) ∪ (3; +∞) 2 −13 ) ∪ [3; +∞) 6/S = 8/ S = { 3} ∪ [17/3; +∞) 11/Giải tương tự b)S= (−∞;0] ∪ [1; +∞) e)Chia trường hợp, phá GTTĐ khoảng để f) S = (- ∞ ; -1) U (2 ; + ∞ ) giải : S = (−∞; − ] ∪ [ ; 2] 14/x= (−∞; 3− ) 15/[2; 10) A ≥ A ≤ B ≥ B ≤ 16/ Đk áp dụng: A.B ≥ ⇔ −1 )∪( ; ] 18/Đề sai: x + x − + x − x − > (x ≥ 1) 5 2 ⇒ 19/Đk 2x – < xét trường hợp x - 22/Đk, Bình phương 23) S = [2 − 2;1) ∪ (2; + 2] 17/ S=[- ; II/Đặt ẩn phụ hoàn toàn: 1/S=(- ∞ ; -3] U [1; + ∞ ) 2/S= (2 − 3; + 3) ≥ Tập nghiệm S = (0; − 2 ) ∪ ( + 2 ; +∞) x 2 x x +1 −2 > : S = (-4/3 ; 0) 4/ x +1 x 3/ t = x + 5/Đk, đặt t = − x + + x ≥ 6/ Đk, đặt t = x + 7/ Đk, đặt t = + x + − x ≥ 8/Bỏ ≥2 x 9/ t = x − x − ≥ 10/Đk, suy 12-x > x – > Quy đồng đặt t = (12 − x)( x − 2) > 11/Đk, đặt t = x − 4x ≤ 12/ t = x + x + ≥ 13/Đk, đặt t = x + + x − ≥ 14/ Đk, đặt x + − x > ; S= [0; + ∞ ) 15) (Đk, Chuyển x + − x − ≤ x bình phương) IV/Nhân chia lượng liên hợp: ( 2/Đk, nhân chia với + + x 3)Đk, xét TH: + + x = ⇔ x = thay vào để thử 1/ S = [ − ;0) ∪ (0; ] ( + + x ≠ : nhân chia với − + x ) ) >0 > Tập nghiệm S = [-1; 8) 4/ 4(x + 1) < (2x + 10)(1 − + 2x ) 5/Sai đề x2 + 5x + − x2 − x − > x + 6)Đưa + x + − x < bình phương 7/ x − − x + ≥ x − (ĐH MĐC) 8/S = [1; 2] 9) S = (1; + ∞ ) V.Vec tơ: r r r r 1) u = (1;1); v = ( x − 1; x − 3) 2) u = (1 − x; 2); v = ( x + 1;3) r r r r 3) u = ( x;1); v = ( x + 1; − x ) 4) u = (1;1); v = ( x + 1;8 − x) VI.Đơn điệu: a) Xét x > 2; x < Lưu ý tử thức hàm đồng biến b) x (x = 5; ;lập BBT ⇒ S= (2; 5) ∪ (2 5; +∞) ) HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 1) nghiệm (x; y) = (0; 2); (2; 0) 2) nghiệm (x; y) = (1; 27), (27; 1) 3) nghiệm (x;y) = (4; 4) 4) nghiệm (x; y) = (1; -2), (-1; 2), (2; -1), (-2; 1) 6) nghiệm (x; y) = (-4; 1), (-4; -3),(2;1), (2;-3) đảo lại 7)2 nghiệm (x; y) = (4; 3), (3;4) 8)2 nghiệm (x; y) = (4; 9), (9;4) 9) (x; y) = (2; 8), (8; 2) 10) nghiệm (x; y) = (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1) đảo lại 11) nghiệm (x; y) = (4; 9), (9;4) 12) S = x – y P = x.(-y) Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 1)2 nghiệm (x; y) = (0; 0), (-1;-1) + 21 − 21 − 21 + 21 ; ; ÷, ÷ ÷ ÷ 2) nghiệm (x; y) = (1; 1), (-1;-1), 3)2 nghiệm (x;y) = (1; 1), (2 ; 2) log x ( x3 + x − x − y ) = 5)Đề sai: (x = y = 4) log y ( y + y − y − x) = 6) nghiệm (2; 0), (0; 2) 7)Trừ, đơn điệu, x = y = 11 8) x = y = 9) x = y = Dạng 3: Hệ đẳng cấp 1768 37 1768 1768 37 1768 ;− ; ÷ ÷ ÷, − ÷ 1933 133 1933 1933 133 1933 15 15 15 15 ÷ ÷ ; , − ; − 2) nghiệm (0;0), (2;1), (-2;-1), 2 ÷ 2 ÷ 1) nghiệm (2; 1), (-2;-1), 3) nghiệm (2;1), (-2;-1) 3 ; 2÷ , − ; − ÷ ÷ ÷ 5) nghiệm (0; 1), ; ÷ 9 2 3 3 ; , − ; − 7) nghiệm (1; 1), (-1; -1), ÷ ÷ ÷ 3 ÷ 4) nghiệm (2;1), (-2;-1), 9) nghiệm (9; 4) 78 78 78 78 ;− ÷ ÷, − 13 ; 13 ÷ ÷ 13 13 10)4 nghiệm (3; 1), (-3; -1), Dạng 4: Hệ giải biến đổi tương đương 1 1 1) nghiệm (1; 1), ; ÷ 2 2 2) nghiệm: (4; 3), (3;4), (-4; -3), (-3; -4) 3) nghiệm (4; 4), (9/2; 7/2) 1− + ; ÷ 4 ÷ 4) nghiệm ; ÷, 2 2 5) x=y=7 6) nghiệm (0; 0), (3; 3) 7) nghiệm 54 + 27 5; −54 + 27 , −54 + 27 5; −54 − 27 8) x=y = 9) Bình phương phương trình đầu, kết hợp với để giải ĐS: hệ vô nghiệm 11) Bình phương phương trình: nghiệm (5; 4) ( )( 5 ) 12) Bphương lần : nghiệm ; ÷ 2 17 13) (Bp lần):1 nghiệm ; ÷ 12 14) Phương trình đầu có dạng A = B 1+ 1+ 1− 1− ; ÷ ÷, ; ÷ ÷ 2 15) nghiệm (-1; 3), (3; -1), (-3; 2), (2; -3), 16)1 nghiệm (5;2)(D/08) 17) Trừ VTV, rút x giải pp vectow: (x; y) = (4; 4) 3 1 3 1 1 1 18) nghiệm (x; y) = ; ÷, ; − ÷, − ; ÷, − ; − ÷ đảo lại 2 2 2 2 2 2 19) Giải (2) vào (1), bình phương (B/05)Kq: (1;1), (2;2) 20) (B/08), rút xy (2) thay vào (1), (x; y) = (-4; 17/4) Ax2 = 2Cx2 21)Đk để ý 3 Ay = 6C y 22) (Chia y đặt ẩn phụ) 23) ẩn phụ 24) (giải pt theo pp đẳng cấp): (0; 0), (2; 1), (-1; -2) Dạng 5: Hệ giải phương pháp đặt ẩn phụ a = x + ≥ a = x + y + ≥ x = ; 1) 2) b = x + y ≥ y = −1 b = y ≥ 3) Chia phương trình cho y đặt S = x + y P = x y a = x b = y 4) (Chia cho y): nghiệm (1; 2: ,(-2; 5) (3 x + y )( x + x ) = 12 5) Viết lại Hệ có nghiệm: ( ( 2;0 ) , (−2;6), ( 1;3 / ) , ( −3;15 / ) x + x + (3 x + y ) = 6) nghiệm (1;3), (−3;15), (−1 + 7;6 + 7), ( −1 − 7;6 − 7) ( ) 7)Phân tích phương trình (1) thành tích ( x + 2)(2 y + 3) = 8)Xét y = 0, y ≠ 0Chia pt(1) cho y, pt(2) cho y2 đặt a = x, b = 1/y (Kq: x; y) = (3; 1), (1; 1/3) 9) nghiệm: (3; 1), (5; -1), ±4 + 10;3 m 10 ( ) 25 ÷ 16 ÷ 121 169 ; , (4;1), ÷ 64 64 10)Đặt a = x + y, b = xy, (1; − ), ; − 11) a = x;b = y 12) Chia phương trình đầu cho x đặt a = 1/x, b = x + y: (1;1), (2; -3/2) u = − x + xy 13) Đặt : nghiệm (1; 0) (-1; 0) v = x y Dạng 6: Hệ giải tính đơn điệu đánh giá x 1) x − = y − ⇔ x = y (A/03) y 2) S= (-1; 1/3) 3) a = x, b = − y nghiệm (1/2; 2)(A/2010) 4) Trừ VTV, xét f(x) = x + x − x + − 3x −1 x, f’(x) > ∀ x ∈ R Từ ta x = y (Đặt u = x – Pt u + u + = 3u ⇔ 3u ( u + − u) = giải đơn điệu, u = 0) 5)Đề sai: Cộng VTV Để ý x − 2x + ≥ nên xy x − 2x + + xy ≤ xy + xy ≤ x + y ⇒ VP ≥ VT y − 2y + Từ điều kiện dấu “=” ⇒ nghiệm (0; 0), (1;1) 3 6) nghiệm (1;0: (-1; -1) r u = ( x + a ; − x + a ) r 7) Đặt v = ( y + a ; − y + a ) Kiểm tra r uu w = ( z + a ; − z + a ) r r uu r u = v = w r r uu r r r r uu r ⇔ u = v = w ⇔ x = y = z = 1/ a r r uu u + v + w = u + v + w 8)Giải phương trình theo phương trình đẳng cấp bậc Giải toán có chứa tham số phương pháp đồ thị: Bài 2.Xác định giá trị tsố m để phương trình: , x ∈ ( −∞;1] ∪ [4; +∞) x − x + 2 f ( x ) = − x + 10 x − − x + x = a) Đặt −3 x + 15 x − 8, x ∈ (1; 4) 2 x − , x ∈ ( −∞;1) ∪ (4; +∞) f '( x ) = Lập BBT suy kết −6 x + 15, x ∈ (1; 4) b)Tương tự câu a (m = -57/80) d) 14 ≤ m ≤1 27 e) không tồn m f) m ∈ [ − 1;1] B/2004 g) Trong có dạng HĐT h)Đặt t = x2: m ∈ (−1;1) k)Bỏ l) Đk, chia cho i) m ∈ (0;1] x + đặt t = x −1 , m ∈ (-1; 1/3] x +1 m)Đặt f(x) = x + x + − x + − x ; x ∈ [0;6] p)Đề sai: Chứng minh phöông trình có hai nghiệm phân biệt với m > Bài 3.Xác định giá trị tsố m để phương trình sau có nghiệm nhất: a)Đồ thị b) x − 13 x + m + x − = (Đồ thị) c)Sử dụng điều kiện cần đủ(Xem phần bpt vô tỷ, mục VIII.b) d) Bỏ x Bài 4.b) a x + < x + a ⇔ a < 2x + −1 (do x + - > 0) Đặt f(x) = Ycbt ⇔ đường thẳng y = a nằm hoàn toan phía (C) Bài Tìm m để bpt: a) Đặt t = x − x + ∈ [1; 2] x2 − x b) Chia cho đặt t = ÷ 2 ≥ x 2x + −1 (C), lập BBT (Kq: m ≤ 25/16) Bài Tìm m để hệ sau có nghiệm thực: 7 a = x + x , a ≥ 4 ≤ m ≤ a)Đặt Kq: b = y + , b ≥ m ≥ 22 y 4− m ≤ c) (Rút y, pthđ giao điểm, đồ thị)Kq: m ≥ d) Giải (1) Đặt t = x ∈ [1; 2] để lập BBT Kq: 14 ≤ m ≤ 19 7 x + x +1 − + x +1 + 2010 x ≤ 2010 2x+ e) ( (1) ⇔ x − (m + 2) x + 2m + ≥ x +1 ( ) + 1005 x + x + ≤ 2+ x +1 ( ) + 1005 + x + ) Bài 7.Tìm a để phương trình, hpt sau có nghiệm nhất: a)Nhận xét: Hệ cho có nghiệm (x; y) có nghiệm (y; x) Vậy để hệ có nghiệm ta cần có x = y Thay vào tìm a để ptrình x = a( x − 1) có nghiệm nhất( ∆ = 0), sau thử lại b) mx + (2m − 1) y + = phương trình đường thẳng ∆ x + y − x + y = phương trình đường tròn (C): tâm I(1; -1) ,R = Vậy hpt có nghiệm ⇔ ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I, ∆ ) = R c)Nếu (x; y) nghiệm (-x; -y) nghiệm Vậy x = y = ⇒ a = Thử lại y x e = 2007 − y2 −1 Bài Chứng minh hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > e y = 2007 − x x2 −1 x y x x x y x x (Hd e − x − = e − y − ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Nên: e = 2007 − ; g ( x ) = e + − 2007 x −1 x −1 Ta có: g′( x ) = ex − (x − 1) ; g ′′ ( x ) = e x + 3x (x − 1) > 0, ∀x > g ′ ( x ) = +∞ nên g ′ ( x ) = có ⇒ g ′ ( x ) đồng biến ( 1;∞ ) , mà lim+ g ′ ( x ) = −∞; xlim →+∞ x →1 g ( x ) = +∞ ⇒ g ( x ) = có nghiệm (đpcm) nghiệm x0 ; mà g (2) < 0; xlim →+∞ ... kiện cần đủ(Xem phần bpt vô tỷ, mục VIII.b) d) Bỏ x Bài 4.b) a x + < x + a ⇔ a < 2x + −1 (do x + - > 0) Đặt f(x) = Ycbt ⇔ đường thẳng y = a nằm hoàn toan phía (C) Bài Tìm m để bpt: a) Đặt t =... ) Bài 7.Tìm a để phương trình, hpt sau có nghiệm nhất: a)Nhận xét: Hệ cho có nghiệm (x; y) có nghiệm (y; x) Vậy để hệ có nghiệm ta cần có x = y Thay vào tìm a để ptrình x = a( x − 1) có nghiệm... 7) ( ) 7)Phân tích phương trình (1) thành tích ( x + 2)(2 y + 3) = 8)Xét y = 0, y ≠ 0Chia pt( 1) cho y, pt( 2) cho y2 đặt a = x, b = 1/y (Kq: x; y) = (3; 1), (1; 1/3) 9) nghiệm: (3; 1), (5; -1),