TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10

Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Một số sai sót HS th ờng mắc phải - khắc phục định hớng lời giải số toán rút gọn biểu thức ( su tầm biên soạn: Nguyễn Quốc Thọ) Đặt vấn đề: Sau nhiều năm ôn tập cho học sinh thi tốt nghiệp THCS thi tuyến sinh vào lớp 10 THPT thu thập tìm hiếu đề thi định hớng chơng trình ôn thi cho học sinh khối sau hoàn chơng trình THCS Chơng trình ôn tập gồm phần trọng tâm, phần đề thi thờng xuất bàitoán rút gọn biếu thức Trong toán rút gọn biểu thức định mức độ nh sau: Cơ sở lý thuyết: Cho biểu thức A(x) a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x=? c) Tìm giá trị x z để A z Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn A Tìm giá trịcủa x để A.f(x) =g(x) Tìm giá trị x để A=k; A k;A k Tìm x để A > A Tìm x để A > A Dạng x + ): x x x x ( Đề thi lớp 10A1 trờng THPT NLII năm học 2007-2008) a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị A x=3-2 c) Tìm giá trị nhỏ A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x x x + ): =( + ): Rút gọn A = ( x x x x x x x( x 1) Bài Cho biểu thức A=( ( x )2 + x (x + 2)( x 1) x + A= = = x ( x 1) x ( x 1) x b Khi x= 3-2 = ( x 1) x = A= ( )( 52 32 + 52 = = 2 ) =1 +1 Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 x+2 = x+ 2 ( BĐT Côsi cho hai số dơng) x x A = 2 x = x = (TMĐK) x Vậy Amin=2 x = Bài 2: ( Đề thi tốt nghiệp năm 2002-2003) Cho biểu thức A = ữ: x +3 x x a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị xthì A > c) Tìm x để A đạt giá trị lớn c) Ta có A= Bài giải: a) ĐKXĐ x 0; x ( )( x + A= : = ữ x + x x x ( x +3 b) A > ) x + 3) x x = ( x )( x +3 ) A= > x +3 3 x >0 >0 x +3 3 x +3 ( ) x > ( 3( ( x + 3) > 0) x < x < Kết hợp với ĐKXĐ: x A > 1/3 c) A = đạt giá trị lớn x + đạt giá trị nhỏ x +3 ( ) = x = x = lúc AMax= x = Bài 3: ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2008-2009) + : Cho biểu thức P = ữ x +1 x +1 x a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = x + 12 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x P Mà x +33 x +3 Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang = x 3 Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Bài giải: a) ĐKXĐ x 0; x x +2 x +1 3+ x x +1 x +2 + = = P= = x x +1 x + ( x 1) x + x x +1 x x +2 b) P = = x + = x x + = x x x = 13 x = 168 (TMĐK) ( )( ) ( ( ( ( ) ) ( )( )( ) ) ) x + 12 x + 12 x x + 12 x + 16 = = = = x P x x + x +2 x +2 16 16 16 x 2+ = x +2+ ta có x +2+ 16 = 2.4 = x +2 x +2 x +2 16 M = M = x + = x +2 c) M = ( ( ) x + 6) ( x + = 16 ) ( x +2+4 )( ) x +24 =0 x = x = x = 4(TMDK) Vậy Mmin= x = x x 3x + x + 1ữ Bài 4: Cho biểu thức: D = ữ x x x x +3 a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < c) Tìm giá trị nhỏ D Dạng Bài ( Đề thi vào lớp 10 A1 trờng THPT NLII năm 2006-2007) a+2 a a a 1ữ: + 1ữ Cho biểu thức: P = a +2 a a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a z để P nhận giá trị nghyên Bài giải: a) ĐKXĐ: a 0;a a a +2 a a P= + = a +2 a ( ) ( ) ( )( a : ) a +1 = a a +1 Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 b) P = a =1 a +1 a +1 để P nhận giá trị nguyên 2 nhận giá trị nguyên dơng a + thuộc ớc dơng a +1 a +1 =1 a = a=1 (Loại không thoả điều kiện) a = a + = Vậy P nhận giá trị nguyên a = Bài 2: ( Đề thi vào lớp 10 A1 trờng THPT NLII năm 2004-2005) 1 Cho biểu thức B = x + x + +1 ( ) ( ) a) Tìm x để B có nghĩa rút gọn B b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên Bài giải: a) ĐKXĐ x 3; x B= ( ) 2( x + 1 ) x + +1 b) B nhận giá trị nguyên = x + +1 ( )= x + ( x + 1) = 2( x + 2) x + nhận giá trị nguyên x+2 x + Ư(1) x + = x = thoả mãn điều kiện x + = x = Vậy x= -1; x= -3 B nhận giá trị nguyên x2 x 2x + x ( x 1) Bài Cho biểu thức P = + x + x +1 x x a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P x c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị nguyên P Dạng Bài1 ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2006-2007) x +1 + ữ: Cho biểu thức: P = x x x x ( ) a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P > Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Bài giải a) ĐKXĐ x>0; x x 1 x +1 1+ x x P= + : = = x x x x x +1 x x x x b) P > > x > ( x > 0) x < x < x Kết hợp với ĐKXĐ: < x < P > ( ) ( ) ( ) ( ) Bài Cho biểu thức a +1 a +2 P= : ữ ữ a a a a a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị a để P > Bài (Đề thi thử tốt nghiệp năm 2003-2004) x x + (1 x) Cho biểu thức P = ữ x x + x + a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < x x Bài Cho biểu thức: P = + x x x +1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < a a + a a + a ữ aữ Bài 5: Cho biểu thức: B = a + a a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B b)Tìm a để B < 7- Bài 6: Cho biểu thức: a K = ữ: ữ a a a a +1 a a) Rút gọn biểu thức K b) Tìm giá trị K a = 3+2 c) Tìm giá trị a cho K < Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Dạng Bài (Đề thi vào lớp 10 năm học 2007-2008) Cho biểu thức x A= ữ: x x x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm tất giá trị x cho A < c) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình A x = m x có nghiệm Bài giải a) ĐKXĐ: x > 0; x x x 1 : = A= = ữ: x x x x x x x x ( b) A < x < x < (vì x ) ( ) x ( ) x x x x = x x < ) x < kết hợp với ĐKXĐ Vậy m>-1 m pt A x = m x có m + > m > nghiệm Bài 2: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2004-2005) Cho biểu thức: P = + ữ x x x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị P x = 25 c) Tìm x để P + ( ) x = x 2005 + + Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x x P = + = ữ x x x x x x 1 P = = b) Khi x= 25 16 25 ( c) P + ( ữ P= ữ ( ) ( 2+ ( ) x ) ) x = x 2005 + + ( ) x ) ( ) x = x 2005 + + + = x 2005 + + x = 2005 TMĐK Vậy x = 2005 P + ( ) x = x 2005 + + Dạng Bài (Đề thi vào lớp 10 năm học 2003-2004) + Cho biểu thức A = ữ.1 + ữ x +1 x x a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A b)Tính giá trị A x= c)Tìm giá trị x để A > A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x A= + ữ. + ữ= x + x x ( x + 1+ x )( x ) x +1 x +1 = x ( ( x 1) ( x ) x + 1) x +1 x A = A= b) Khi x = 2 = = 1 1 < c) A > < A < < x Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang = x Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 +0 < x > x > 1( 1) x 2 x < >0 >0 x x x x > x > Vậy x > A > A x > Bài 2: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2001-2002) x x Cho biểu thức A = x x x + ( ) a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A c) Với giá trị x A > A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x A= x x = x x x ( ) ( ) x x ( x +1 ) x = ( x ( ) x ) x = x x 36 = 36 x c) A > A A < < x < (vì x > ) x x < x < Kết hợp với điều kiện xác định < x A b) Khi x=36 A = Chuyên đề tam thức bậc hai Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 ( Su tầm biên soạn: Nguyễn Đình Dung) A.lý thuyết I áp dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để xét số nghiêm phơng trình bậc hai Cho phơng trình bậc hai: ax +bx+c=0(a 0) = b 4ac Nếu b=2b ' ' = b ' -ac Phơng trình có nghiệm Ta xét hai trờng hợp: +Trờng hợp 1: - Nếu a=0,phơng trình có nghiệm x= +Trờng hợp : a { c b { a ' 2.Phơng trình có nghiệm phân biệt { a >0 { a ' > 3.Phơng trình có nghiệm kép { a = { a ' =0 Phơng trình vô nghiệm a a < ' 0 { 24m +17 > 17 m> 24 c.Phơng trình có nghiệm kép { a = 17 m = 24m +17 =0 24 d Phơng trình vô nghiệm { a 0 { m0 2m +1>0 m o m c.Phơng trình có nghiệm kép { a =0 { m 2m +1=0 m0 m = Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 10 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Vớ d 2: Ngi ta trn 8g cht lng ny vi 6g cht lng khỏc cú lng riờng nh hn nú l 0,2g/cm3 c hn hp cú lng riờng 0,7g/cm3 Tỡm lng riờng ca mi cht lng Gii Gi lng riờng ca cht lng th nht l x (g/cm3) k x > 0,2 Khi lng riờng ca cht lng th nht l x 0,2 (g/cm3) (cm3 ) x Th tớch ca cht lng th hai l x 0, (cm ) Th tớch ca hn hp l x + x + 0, (cm ) Th tớch ca cht lng th nht l 14 Theo bi ta cú pt x + x + 0, = 0, 14x 12, 6x + 1,12 = Gii pt ta c kt qu x1 = 0,1 (loi) ; x2 = 0,8 (t/m k) Vy lng riờng ca cht lng th nht l 0,8 (g/cm3) Khi lng riờng ca cht lng th hai l 0,6 (g/cm3) Bi tp: Bi 1: Mt phũng hp cú 240 gh c xp thnh cỏc dóy cú s gh bng Nu mi dóy bt i mt gh thỡ phi xp thờm 20 dóy mi ht s gh Hi phũng hp lỳc u c xp thnh bao nhiờu dóy gh Bi 2: Hai giỏ sỏch cú 400 cun Nu chuyn t giỏ th nht sang giỏ th hai 30 cun thỡ s sỏch giỏ th nht bng s sỏch ngn th hai Tớnh s sỏch ban u ca mi ngn? Bi 3: Ngi ta trng 35 cõy da trờn mt tha t hỡnh ch nht cú chiu di 30 m chiu rng l 20 m thnh nhng hng song song cỏch u theo c hai chiu Hng cõy ngoi cựng trng trờn biờn ca tha t Hóy tớnh khong cỏch gia hai hng liờn tip? Bi 4: Hai ngi nụng dõn mang 100 qu trng ch bỏn S trng ca hai ngi khụng bng nhng s tin thu c ca hai ngi li bng Mt ngi núi vi ngi kia: Nu s trng ca tụi bng s trng ca anh thỡ tụi bỏn c 15 ng Ngi núi Nu s trng ca tụi bng s trmg ca anh tụi ch bỏn c ng thụi Hi mi ngi cú bao nhiờu qu trng? Bi 5: Mt hp kim gm ng v km ú cú gam km Nu thờm 15 gam km vo hp kim ny thỡ c mt hp kim mi m ú lng ng ó gim so vi lỳc u l 30% Tỡm lng ban u ca hp kim? Kt qu: Bi 1: Cú 60 dóy gh Bi 2: Giỏ th nht cú 180 quyn Giỏ th hai cú 220 quyn Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 32 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Bi 3: Khong cỏch gia hai hng l 5m Bi 4: Ngi th nht cú 40 qu Ngi th hai cú 60 qu Bi 5: 25 gam hoc 10 gam Chuyên đề: Hình học (Su tầm biên soạn: Nguyễn Thanh Tuấn) Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P => CEH + CDH = 1800 Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEC = 900 CF đờng cao => CF AB => BFC = 900 Nh E F nhìn BC dới góc 900 => E F nằm đờng tròn đờng kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â góc chung => AEH ADC => AE AH = => AE.AC = AH.AD AD AC * Xét hai tam giác BEC ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C góc chung => BEC ADC => BE BC = => AD.BC = BE.AC AD AC Ta có C1 = A1 ( phụ với góc ABC) C2 = A1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BM) => C1 = C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => CB đơng trung trực HM H M đối xứng qua BC Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn => C1 = E1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( hai góc nội tiếp chắn cung HD) Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 33 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 E1 = E2 => EB tia phân giác góc FED Chứng minh tơng tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn A Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE đờng cao) O H B E D CDH = 90 ( Vì AD đờng cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đờng cao => BE AC => BEA = 900 AD đờng cao => AD BC => BDA = 900 Nh E D nhìn AB dới góc 900 => E D nằm đờng tròn đờng kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đờng cao nên đờng trung tuyến => D trung điểm BC Theo ta có BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE = BC Vì O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1) Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2) Mà B1 = A1 ( phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE E Vậy DE tiếp tuyến đờng tròn (O) E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 OE2 ED2 = 52 32 ED = 4cm Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = 900 Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 34 = C Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Chứng minh AC BD = AB Chứng minh OC // BM Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn đờng kính CD y Chứng minh MN AB x D Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ / I M Lời giải / Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt C ta có: CA = CM; DB = DM N => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD O Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân A B giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM hai góc kề bù => COD = 900 Theo COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM CD (OM tiếp tuyến ) áp dụng hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, AB Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R => AC BD = Theo COD = 900 nên OC OD (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vuông góc với OD) Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO bán kính Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đờng trung bình hình thang ACDB => IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB tiếp tuyến O đờng tròn đờng kính CD Theo AC // BD => CN AC CN CM = = , mà CA = CM; DB = DM nên suy BN BD BN DM => MN // BD mà BD AB => MN AB ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vuông góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24Cm Lời giải: (HD) Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 35 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Vì I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B Do BI BK hayIBK = 900 Tơng tự ta có ICK = 900 nh B C nằm đờng tròn đờng kính IK B, C, I, K nằm đờng tròn Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân giác góc ACH C2 + I1 = 900 (2) ( IHC = 900 ) I1 = ICO (3) ( tam giác OIC cân O) Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC Vậy AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 HC2 => AH = 20 12 = 16 ( cm) CH2 = AH.OH => OH = I B CH 12 = (cm) = AH 16 OC = OH + HC = + 12 A 2 H C o K = 225 = 15 (cm) Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d Lời giải: (HS tự làm) Vì K trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đờng kính Và dây cung) => OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900 nh K, A, B nhìn OM dới góc 900 nên nằm đờng tròn đờng kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM trung trực AB => OM AB I Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI đờng cao áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; OI IM = IA2 Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 36 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi Theo OAHB hình thoi => OH AB; theo OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đờng thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo OAHB hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động d H di động nhng cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE Lời giải: (HD) AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) AE = AC (2) Vì AB CE (gt), AB vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến BEC => BEC tam giác cân => B1 = B2 Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH AI = AH BE AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M Từ (1) (2) => ABM = Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng AOP (3) tròn Chứng minh BM // OP Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải: (HS tự làm) Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM góc tâm chắn cung AM => ABM = AOM (1 ) OP tia phân giác AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt ) => AOP = AOM (2) Mà ABM AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 37 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Xét hai tam giác AOP OBN ta có : PAO=900 (vì PA tiếp tuyến ); NOB = 900 (gt NOAB) => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau) Tứ giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta có PM OJ ( PM tiếp tuyến ), mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO = AON = ONP = 900 => K trung điểm PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6) AONP hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt Ta có PO tia phân giác APM => APO = MPO (8) Từ (7) (8) => IPO cân I có IK trung tuyến đông thời đờng cao => IK PO (9) Từ (6) (9) => I, J, K thẳng hàng Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn (M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Lời giải: Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (vì hai góc kề bù) AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (vì hai góc kề bù) => KMF + KEF = 1800 Mà KMF KEF hai góc đối tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp Ta có IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM IB ( theo trên) áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => AI2 = IM IB Theo giả thiết AE tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí ) => ABE =MBE (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1) Theo ta có AEB = 900 => BE AF hay BE đờng cao tam giác ABF (2) Từ (1) (2) => BAF tam giác cân B BAF tam giác cân B có BE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm AF (3) Từ BE AF => AF HK (4), theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) => HAK tam giác cân A có AE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm HK (6) Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng) (HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FH hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 38 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn AKFI phải hình thang cân AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB Thật vậy: M trung điểm cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7) Tam giác ABI vuông A có ABI = 450 => AIB = 450 (8) Từ (7) (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Lời giải: C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông B có BC đờng cao => AC AE = AB2 (hệ thức cạnh đờng cao ), mà AB đờng kính nên AB = 2R không đổi AC AE không đổi ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => ABD + BAD = 900 (vì tổng ba góc tam giác 1800)(1) E ABF có ABF = 900 ( BF tiếp tuyến ) =>AFB + BAF = 900 (vì tổng ba góc tam giác 1800) (2) Từ (1) (2) => ABD = DFB ( phụ với BAD) Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ABD + ACD = 1800 C F D ECD + ACD = 1800 ( Vì hai góc kề bù) => ECD = ABD ( bù với ACD) Theo ABD = DFB => ECD = DFB Mà EFD + DFB = 1800 ( Vì hai góc kề bù) nên suy ECD + EFD = 1800, O A B mặt khác ECD EFD hai góc đối tứ giác CDFE Do tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, MA Gọi P chân đơng vuông góc từ S đến AB Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn Gọi S giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PSM cân Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn Lời giải: Ta có SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AMS = 900 Nh P M nhìn AS dới góc 900 nên nằm đờng tròn đờng kính AS Vậy bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn Vì Mđối xứng M qua AB mà M nằm đờng tròn nên M nằm đờng tròn => hai cung AM AM có số đo X Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 39 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 => AMM = AMM ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) (1) Cũng Mđối xứng M qua AB nên MM AB H => MM// SS ( vuông góc với AB) => AMM = ASS; AMM = ASS (vì so le trong) (2) S => Từ (1) (2) => ASS = ASS M Theo bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn => ASP=AMP (nội tiếp chắn AP ) 4( )1 P B ) => ASP = AMP => tam giác PMS cân P H O 3( A Tam giác SPB vuông P; tam giác SMS vuông M => B1 = S1 (cùng phụ với S) (3) M' Tam giác PMS cân P => S1 = M1 (4) Tam giác OBM cân O ( có OM = OB =R) => B1 = M3 S' (5) Từ (3), (4) (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mà M3 + M2 = AMB 0 = 90 nên suy M1 + M2 = PMO = 90 => PM OM M => PM tiếp tuyến đờng tròn M Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam giác DEF có ba góc nhọn DF // BC Tứ giác BDFC nội tiếp BD BM = CB CF Lời giải: (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt ta có AD = AF => tam giác ADF cân A => ADF = AFD < 900 => sđ cung DF < 1800 => DEF < 900 ( góc DEF nội tiếp chắn cung DE) Chứng minh tơng tự ta có DFE < 900; EDF < 900 Nh tam giác DEF có ba góc nhọn Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => AD AF = => DF // BC AB AC DF // BC => BDFC hình thang lại có B = C (vì tam giác ABC cân) => BDFC hình thang cân BDFC nội tiếp đợc đờng tròn Xét hai tam giác BDM CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác cân) BDM = BFD (nội tiếp chắn cung DI); CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF => BDM CBF => BD BM = CB CF Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến C N đờng tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M M O A B Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định N Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 40 = P D A' B' Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Lời giải: Ta có OMP = 900 ( PM AB ); ONP = 900 (vì NP tiếp tuyến ) Nh M N nhìn OP dới góc 900 => M N nằm đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM) Tam giác ONC cân O có ON = OC = R => ONC OCN => OPM = OCM Xét hai tam giác OMC MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM lại có MO cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo giả thiết Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành Xét hai tam giác OMC NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C góc chung => OMC NDC => CM CO = => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CD CN CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy đờng thẳng cố định vuông góc với CD D Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A B song song AB Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Lời giải: Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AEH = 900 (vì hai góc kề bù) (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2) EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vuông) Tứ giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đợc đờng tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (O1) (O2) => B1 = H1 (hai góc nội tiếp chắn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE + EFC = 1800 (vì hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC EFC hai góc đối tứ giác BEFC BEFC tứ giác nội tiếp Xét hai tam giác AEF ACB ta có A = 900 góc chung; AFE = ABC ( theo Chứng minh trên) => AEF ACB => * HD cách 2: AE AF = => AE AB = AF AC AC AB Tam giác AHB vuông H có HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông H có HF AC => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) (**) => AE AB = AF AC Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 41 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1 O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chứng minh tơng tự ta có O2F EF Vậy EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K) Ta có: BNC= 900( nội tiếp chắn Chứng minh EC = MN nửa đờng tròn tâm K) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) Tính MN Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Lời giải: => ENC = 900 (vì hai góc kề bù) (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 900 (vì hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật ) Theo giả thiết EC AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (I) (K) => B1 = C1 (hai góc nội tiếp chắn cung CN) Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng bán kính) => tam giác KBN cân K => B1 = N1 (5) Từ (4) (5) => N1 = N3 mà N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN N => MN tiếp tuyến (K) N Chứng minh tơng tự ta có MN tiếp tuyến (I) M, Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo EC = MN => MN = 20 cm Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn S = S= ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 42 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Lời giải: Ta có CAB = 900 ( tam giác ABC vuông A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CDB = 900 nh D A nhìn BC dới góc 900 nên A D nằm đờng tròn đờng kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp ABCD tứ giác nội tiếp => D1= C3( nội tiếp chắn cung AB) ẳ = EM ẳ => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung D1= C3 => SM nhau) => CA tia phân giác góc SCB Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC nh BA, EM, CD ba đờng cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy ẳ = EM ẳ => D1= D2 => DM tia phân giác góc ADE.(1) Theo Ta có SM Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) => MEB = 900 Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đờng tròn => A2 = B2 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => A1= B2( nội tiếp chắn cung CD) => A1= A2 => AM tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) (2) Ta có M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS ằ = CS ằ => SM ẳ = EM ẳ => SCM = ECM => CA tia phân giác góc SCB => CE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 43 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC góc chung => DEB CAB Theo DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 ( ABC vuông A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà hai góc đối nên ADEC tứ giác nội B tiếp * BAC = 900 ( tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) hay BFC = 900 nh F A nhìn BC dới góc 900 O nên A F nằm đờng tròn đờng kính BC E => AFBC tứ giác nội tiếp Theo ADEC tứ giác nội tiếp => F G D E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà hai góc so le nên suy AC // FG S A C (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đờng cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài 17 Cho tam giác ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB AC Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH Chứng minh OH PQ Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 44 = Lời giải: Ta có MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 900 nh P Q nhìn BC dới góc 900 nên P Q nằm đờng tròn đờng kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp * Vì AM đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung điểm AM Tam giác ABC có AH đờng cao => SABC = BC.AH Tam giác ABM có MP đờng cao => SABM = AB.MP A Tam giác ACM có MQ đờng cao => SACM = AC.MQ O Ta có SABM + SACM = SABC => 1 AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + 2 AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) P Q B H M C => MP + MQ = AH Tam giác ABC có AH đờng cao nên đờng phân giác ằ = HQ ẳ ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) => HAP = HAQ => HP => OH tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đờng cao => OH PQ Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H không trùng O, B) ; đờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đờng tròn ; MA MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Lời giải: Ta có : ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) M => MCI = 900 (vì hai góc kề bù) K ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) C => MDI = 90 (vì hai góc kề bù) D I => MCI + MDI = 180 mà hai góc đối tứ giác MCID nên MCID tứ giác nội tiếp A B O H Theo Ta có BC MA; AD MB nên BC AD hai đờng cao tam giác MAB mà BC AD cắt I nên I trực tâm tam giác MAB _ _ Theo giả thiết MH AB nên MH đờng cao tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy I OAC cân O ( OA OC bán kính) => A1 = C4 KCM cân K ( KC KM bán kính) => M1 = C1 Mà A1 + M1 = 900 ( tam giác AHM vuông H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( góc ACM góc bẹt) hay OCK = 900 Xét tứ giác KCOH Ta có OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mà OHK OCK hai góc đối nên KCOH tứ giác nội tiếp [...]... có hai nghiệm phân biệt Giải : a.với m=3 ta có -x 2 -6x+1=0 ' =(-3) 2 +1 =10; ' = 10 -phơng trình có hai nghiệm phân biệt Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 13 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 x 1 =-3- 10 ; x 2 =-3+ 10 b Phơng trình có nghiệm x= 2 ,thay vào phơng trình ta có (m-4)2-2 2 m+m-2=0 m =10( 3+2 2 ) c.-Phơng trình có nghiệm kép khi { a 0 '=0 { m 4 '= m 2 (m... là 100 km nên thời gian ô tô đi là ta có phơng trình 100 (giờ) y 100 80 = (1) x y Quảng đờng xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là Quảng đờng ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là 60 (giờ) y 120 (giờ) y Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 24 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Vì ô tô đi trớc xe máy 54 phút = 9 nên ta có phơng trình 10 120 60 9 = (2) x y 10 100 ... thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trớc ô tô thứ hai là 30 phút Tính vânl tốc của mỗi ô tô Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 25 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 4 Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng và ngợc dòng là 4 giờ 10 phút Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông 5 Một... thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu đợc cũng viết bằng hai chữ số đó nhng theo thứ tự ngợc lại Hãy tìm số đó? Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 22 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Giải Gọi chữ số hàng chục là x ( (0 < x 9, x N) Chữ số hàng đơn vị là y (03 và m0 p >1 a 2 1 1 2 2 Hệ phơng trình vô nghiệm ,không có giá trị nào của p để cả hai nghiệm đều dơng 1 2p p 1 1 2p 2p 2 1 = c Do S= x1 + x 2 = và P= x1.x 2 = nên ta có :S+2P= + 2 2 2 2 2 Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 15 = 3 2 Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Vậy hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào p là x1 + x 2 + 2x1.x 2 = Bài tập 5 1 2 Cho phơng trình... Trang 27 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Hai ngời thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ ngời thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong công việc? Giải: Gọi thời gian để một mình ngời thứ nhất hoàn thành công việc là x (x>2; ngày) Gọi thời gian để một mình ngời thứ hai hoàn thành công việc... 21% Vỡ vy trong thi gian quy nh h ó hon thnh vt mc 120 sn phm Hi s sn phm c giao ca mi t l bao nhiờu Gii Gi x l s sn phm t I hon thnh theo k hoch (sn phm), k 0 < x < 600 S sn phm t II hon thnh theo k hoch l 600 x (sn phm) Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 30 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 18 (sn phm) 100 21 S sn phm vt mc ca t II l (600 x ) (sn phm) 100 S sn phm vt... vo dung dch thỡ trng lng ca dung dch l: Vỡ nng gim 10% nờn ta cú phng trỡnh 40 % x + 240 40 40 10 = x 2 + 280x 70400 = 0 x + 40 x + 240 100 Gii pt ta c x1 = -440 ( loi); x2 = 160 (tho món k ca bi toỏn) Vy trc khi thờm nc trong dung dch cú 160 g nc Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 31 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Vớ d 2: Ngi ta trn 8g cht lng ny vi 6g cht lng khỏc... của số đã cho theo thứ tự đó Đáp số: Bài 1: Số đó là 19; Bài 2: Hai số đó là 15 và 36 Bài 3: Số đó là 61 Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 23 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Bài 4: Hai số đó là 10 và 15 hoặc -10 và -15; Bài 5: Số đó là 32 Dạng 2: Toán chuyển động Những kiến thức cần nhớ: Nếu gọi quảng đờng là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì: s t S = v.t; v = ; t = s ... cho K < Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Dạng Bài (Đề thi vào lớp 10 năm học 2007-2008) Cho biểu thức x A= ữ: x x x x a) Tìm... THCS Nghi Kiều = Trang = x Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 +0 < x > x > 1( 1) x 2 x < >0 >0 x x x x > x > Vậy x > A > A x > Bài 2: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2001-2002) x x Cho... ' =(-3) +1 =10; ' = 10 -phơng trình có hai nghiệm phân biệt Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 13 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 x =-3- 10 ; x =-3+ 10 b Phơng